2013年全国高考理科数学试题分类汇编4:数列
一、选择题
1 .(2013年高考上海卷(理))在数列{}n a 中,21n
n a =-,若一个7行12列的矩阵的第i
行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =?++,(1,2,,7;1,2,
,12i j ==)则该矩阵元素能取到
的不同数值的个数为( ) (A)18 (B)28 (C)48
(D)63
【答案】A.
2 .(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))已知数
列{}n a 满足124
30,3
n n a a a ++==-,则{}n a 的前10项和等于 (A)()
10613--- (B)
()101
139
-- (C)()10313-- (D)()1031+3- 【答案】C
3 .(2013年高考新课标1(理))设n n n A B C ?的三边长分别为,,n n n a b c ,n n n A B C ?的面积为
n S ,1,2,3,n =,若11111,2b c b c a >+=,111,,22
n n n
n
n n n n c a b a a a b c +++++==
=,则( ) A.{S n }为递减数列 B.{S n }为递增数列
C.{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列
D.{S 2n -1}为递减数列,{S 2n }为递增数列
【答案】B
4 .(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))函数=()y f x 的
图像如图所示,在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得
1212()
()()==,n n
f x f x f x x x x 则n 的取值范围是
(A){}3,4 (B){}2,3,4 (C) {}3,4,5 (D){}2,3
【答案】B
5 .(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD 版))已知等比数列{}
n a 的公比为q,记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++
*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=???∈则以下结论一定正确的是( )
A.数列{}n b 为等差数列,公差为m
q B.数列{}n b 为等比数列,公比为2m
q C.数列{}n c 为等比数列,公比为2m q D.数列{}n c 为等比数列,公比为m
m q
【答案】C
6 .(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD 版含答案))等比数
列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12310a a S +=,95=a ,则=1a
(A)
31 (B)31- (C)9
1
(D)9
1
-
【答案】C
7 .(2013年高考新课标1(理))设等差数列
{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,
则m = ( ) A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
8 .(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版))下面是关于公差0
d >的等差数列()n a 的四个命题:
{}1:n p a 数列是递增数列;
{}2:n p na 数列是递增数列; 3:n a p n ??
????
数列是递增数列; {}4:3n p a nd +数列是递增数列;
其中的真命题为
(A)12,p p (B)34,p p (C)23,p p (D)14,p p
【答案】D
9 .(2013年高考江西卷(理))等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于
A.-24
B.0
C.12
D.24
【答案】A
二、填空题
10.(2013年高考四川卷(理))在等差数列{}n a 中,218a a -=,且4a 为2a 和3a 的等比中项,
求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和.
【答案】解:设该数列公差为d ,前n 项和为n s .由已知,可得
()()()2
1111228,38a d a d a d a d +=+=++.
所以()114,30a d d d a +=-=,
解得14,0a d ==,或11,3a d ==,即数列{}n a 的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.
所以数列的前n 项和4n s n =或232
n n n
s -=
11.(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD 版含答案))等差数
列{}n a 的前n 项和为n S ,已知10150,25S S ==,则n nS 的最小值为________.
【答案】49-
12.(2013年高考湖北卷(理))古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三
角形数1,3,6,10,,第n 个三角形数为
()2111
222
n n n n +=+.记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥,以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式:
三角形数 ()211
,322
N n n n =
+ 正方形数 ()2
,4N n n = 五边形数 ()231,522
N n n n =
- 六边形数 ()2
,62N n n n =-
可以推测(),N n k 的表达式,由此计算()10,24N =___________. 选考题
【答案】1000
13.(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD 版含附加题))在正项等比数列}{n a 中,2
1
5
=
a ,376=+a a ,则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为_____________. 【答案】12
14.(2013年高考湖南卷(理))设n S 为数列
{}n a 的前n 项和,1
(1),,2
n n n n S a n N *=--
∈则 (1)3a =_____; (2)12100S S S ++???+=___________.
【答案】116-
;10011
(1)32
- 15.(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD 版))当,1
x R x ∈<时,有如下表达式:21
1.......1n x x x x
+++++=
- 两边同时积分得:
111112
222220
00
1
1.......1n
dx xdx x dx x dx dx x
+++++=-?
????
从而得到如下等式:23111111111()()...()...ln 2.2223212
n n +?
+?+?++?+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:
122311111111()()...()_____2223212
n
n n n n n
n C C C C +?+?+?++?=+ 【答案】113
[()1]12
n n +-+
16.(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))已知
{}n a 是等差数
列,11a =,公差0d ≠,n S 为其前n 项和,若125,,a a a 成等比数列,则8_____S =
【答案】64
17.(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,
则数列的前n 项和n =S __________.
【答案】
257
66
n n - 18.(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))在等差数列
{}
n a 中,已知
3810
a a +=,则
573a a +=
_____.
【答案】20
19.(2013年高考陕西卷(理))观察下列等式:
211=
22123-=- 2221263+-=
2222124310-+-=-
照此规律, 第n 个等式可为___)1(2
)1-n 1--32-11
2
1
-n 2
2
2
+=+
++n n n ()( ____. 【答案】)1(2
)1-n 1--32-11
2
1
-n 2
2
2
+=+
++n n n ()( 20.(2013年高考新课标1(理))若数列{n a }的前n 项和为S n =
21
33
n a +,则数列{n a }的通项公式是n a =______.
【答案】n a =1
(2)
n --.
21.(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))如图,互不-相同
的点12,,,n A A X 和12,,,n B B B 分别在角O 的两条边上,所有n n A B 相互平行,且所有
梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设.n n OA a =若121,2,a a ==则数列{}n a 的通项公式是_________.
【答案】*,23N n n a n
∈-=
22.(2013年高考北京卷(理))若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q =_______;
前n 项和S n =___________.
【答案】2,1
2
2n +-
23.(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版))已知等比数列
{}
n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和,若13a a ,是方程2
540x x -+=的两个根,则
6S =____________.
【答案】63 三、解答题
24.(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD 版))设函数
22
222()1(,)23n
n n x x x f x x x R n N n
=-++++
+∈∈,证明: (Ⅰ)对每个n
n N ∈,存在唯一的2[,1]3
n x ∈,满足()0n n f x =;
(Ⅱ)对任意n
p N ∈,由(Ⅰ)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n
+<-<
.
【
答
案
】
解
:
(Ⅰ)
224232224321)(0n
x x x x x x f n x y x n
n n ++++++-=∴=> 是单调递增的时,当是x 的
单调递增函数,也是n 的单调递增函数. 011)1(,01)0(=+-≥<-=n n f f 且.
010)(],1,0(321>>>≥=∈?n n n n x x x x x f x ,且满足存在唯一
x x x x x x x x x x x x x f x n n n -?
++-<--?++-=++++++-≤∈-11
4111412
2221)(,).1,0(2122242322 时当]1,3
2
[0)23)(2(1141)(02
∈?≤--?-?++-≤=?n n n n n n n n x x x x x x x f
综上,对每个n
n N ∈,存在唯一的2[,1]3
n x ∈,满足()0n n f x =;(证毕)
(Ⅱ) 由题知04321)(,01224
23
22
=++++++-=>>≥+n
x
x x x x x f x x n
n n n n n n n p
n n
)()1(4321)(2
2
1
2
2
4
2
3
2
2
=++
+++
+
++
+
+
+-=+++++++++++p n x n x n x x x x x x f p
n p
n n p
n n
p n p n p n p n p n p n p n 上
式
相减
:
2
2
1
224
23
22
2242322)()1(432432p n x n x n x x x x x n x x x x x p
n p n n p n n
p n p n p n p n p n n
n
n n n n ++++++++++=++++++++++++++ )
(
)(2
2
12
2
4
42
3
32
2
2)
()
1(-4
-3
-2
--p n x n x n
x x x x x x x x x x p
n p
n n p
n n
n
n p n n
p n n
p n n
p n p n n ++
++++
++
+
=+++++++++ n
x x n p n n p n n 1-111<+-=
+. 法二:
25.(2013年高考上海卷(理))(3 分+6分+9分)给定常数
0c >,定义函数
()2|4|||f x x c x c =++-+,数列
123,,,a a a 满足*
1(),n n a f a n N +=∈.
(1)若12a c =--,求2a 及3a ;(2)求证:对任意*
1,n n n N a a c +∈-≥,;
(3)是否存在1a ,使得12,,,n a a a 成等差数列?若存在,求出所有这样的1a ,若不存在,说
明理由.
【答案】:(1)因为0c >,1(2)a c =-+,故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=,
3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+
(2)要证明原命题,只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立,
()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+?++-+≥+
即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++
若0x c +≤,显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立;
若0x c +>,则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++?++>+显然成立
综上,()f x x c ≥+恒成立,即对任意的*
n N ∈,1n n a a c +-≥
(3)由(2)知,若{}n a 为等差数列,则公差0d c ≥>,故n 无限增大时,总有0n a > 此时,1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+
故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++, 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++,
当10a c +≥时,等式成立,且2n ≥时,0n a >,此时{}n a 为等差数列,满足题意; 若10a c +<,则11|4|48a c a c ++=?=--, 此时,230,8,
,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+也满足题意;
综上,满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞?--.
26.(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD 版含附加题))本小题满分10分.
设数列
{}122,3,3,3444
4n a :
,-,-,-,-,-,-,,-1
-1-1-1k k k k k 个
(),,(),即当1122
k k k k n -+<≤()()()k N +∈时,1
1k n a k -=(-),记12n n S a a a =++()
n N +∈,对
于l N +
∈,定义集合{
}
l P 1n n n S a n N n l +
=∈≤≤是的整数倍,,且 (1)求集合11P 中元素的个数; (2)求集合2000P 中元素的个数.
【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用
数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1)
解
:
由
数
列
{}
n a 的定义
得:11=a ,22-=a ,23-=a ,34=a ,35=a ,36=a ,47-=a ,48-=a ,49-=a ,
410-=a ,511=a
∴11=S ,12-=S ,33-=S ,04=S ,35=S ,66=S ,27=S ,28-=S ,69-=S ,
1010-=S ,511-=S
∴111a S ?=,440a S ?=,551a S ?=,662a S ?=,11111a S ?-= ∴集合11P 中元素的个数为5
(2)证明:用数学归纳法先证)12()12(+-=+i i S i i 事实上,
① 当1=i 时,3)12(13)12(-=+?-==+S S i i 故原式成立
② 假设当m i =时,等式成立,即)12()12(+?-=+m m S m m 故原式成立 则:1+=m i ,时,
2
222)12(}32)(1(}1)1(2)[1()22()12()12()22()12(+-+++-=+-++==++++++m m m m m m S S S m m m m m m
)32)(1()352(2++-=++-=m m m m
综合①②得:)12()12(+-=+i i S i i 于是
)1)(12()12()12()12(22}12(}12)[1(++=+++-=++=+++i i i i i i S S i i i i
由上可知:}12(+i i S 是)12(+i 的倍数
而)12,,2,1(12}12)(1(+=+=+++i j i a j i i ,所以)12()12()12(++=+++i j S S i i j i i 是
)12,,2,1(}12)(1(+=+++i j a j i i 的倍数
又)12)(1(}12)[1(++=++i i S i i 不是22+i 的倍数, 而)22,,2,1)(22(}12)(1(+=+-=+++i j i a j i i 所
以
)
22()1)(12()22()12)(1()12)(1(+-++=+-=+++++i j i i i j S S i i j i i 不是
)22,,2,1(}12)(1(+=+++i j a j i i 的倍数
故当)12(+=i i l 时,集合l P 中元素的个数为2
i 1-i 231=+
++)( 于是当)(1i 2j 1j )12(+≤≤++=i i l 时,集合l P 中元素的个数为j i 2
+ 又471312312000++??=)(
故集合2000P 中元素的个数为100847312
=+
27.(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD 版))在公差为d 的
等差数列}{n a 中,已知101=a ,且3215,22,a a a +成等比数列. (1)求n a d ,; (2)若0 【答案】解:(Ⅰ)由已知得到: 22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=?++=+?+=+ 2 2 41 12122125253404611n n d d d d d d d a n a n ==-???++=+?--=??? =+=-??或; (Ⅱ)由(1)知,当0d <时,11n a n =-, ①当111n ≤≤时, 123123(1011)(21) 0||||||||22 n n n n n n n a a a a a a a a a +--≥∴++++=++++= = ②当12n ≤时, 1231231112132123111230||||||||() 11(2111)(21)21220 2()()2222 n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n a a a a a a a a ≤∴++++=++++-+++---+=++++-++++=?-= 所以,综上所述:1232 (21) ,(111)2||||||||21220,(12)2 n n n n a a a a n n n -?≤≤?? ++++=?-+?≥??; 28.(2013年高考湖北卷(理))已知等比数列{}n a 满足:2310a a -=,123 125a a a =. (I)求数列{}n a 的通项公式; (II)是否存在正整数m ,使得12 111 1m a a a +++ ≥?若存在,求m 的最小值;若不存在,说明理由. 【答案】解:(I)由已知条件得:2 5a =,又2110a q -=,13q ∴=-或, 所以数列{}n a 的通项或2 53n n a -=? (II)若1q =-, 12 1111 05 m a a a +++ =-或,不存在这样的正整数m ; 若3q =,12 11 1919110310 m m a a a ????++ +=-? ???????,不存在这样的正整数m . 29.(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))设等差数列 {}n a 的 前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且 1 2 n n n a T λ++=(λ为常数).令2n n c b =*()n N ∈.求数列{}n c 的前n 项和n R . 【答案】解:(Ⅰ)设等差数列 {}n a 的首项为1a ,公差为d , 由 424S S =, 221 n n a a =+得 11114684(21)22(1)1a d a d a n a n d +=+?? +-=+-+?, 解得,11a =,2 d = 因此 21n a n =-*() n N ∈ (Ⅱ)由题意知: 12n n n T λ-=- 所以2n ≥时, 11 21 22n n n n n n n b T T ----=-=- + 故, 1 221 221(1)()24n n n n n c b n ---== =- *()n N ∈ 所以01231 11111 0()1()2()3()(1)()44444n n R n -=?+?+?+?+???+-?, 则1231111111 0()1()2()(2)()(1)()4 44444n n n R n n -=?+?+?+???+-?+-? 两式相减得1231311111()()()()(1)()4 44444n n n R n -=+++???+--? 11() 1 44(1)()1414n n n -=--- 整理得1131(4) 94n n n R -+=- 所以数列数列{}n c 的前n 项和1131 (4)94n n n R -+=- 30.(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD 版含附加题))本小题满分16分.设}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和. 记c n nS b n n += 2 ,* N n ∈,其中c 为实数. (1)若0=c ,且421b b b ,,成等比数列,证明:k nk S n S 2=(* ,N n k ∈); (2)若}{n b 是等差数列,证明:0=c . 【答案】证明:∵}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和 ∴d n n na S n 2 ) 1(-+ = (1)∵0=c ∴d n a n S b n n 2 1-+== ∵421b b b ,,成等比数列 ∴412 2b b b = ∴)2 3 ()21(2d a a d a +=+ ∴041212=-d ad ∴0)21(21=-d a d ∵0≠d ∴d a 2 1 = ∴a d 2= ∴a n a n n na d n n na S n 222 ) 1(2)1(=-+=-+ = ∴左边=a k n a nk S nk 222)(== 右边=a k n S n k 2 22= ∴左边=右边∴原式成立 (2)∵}{n b 是等差数列∴设公差为1d ,∴11)1(d n b b n -+=带入c n nS b n n += 2得: 11)1(d n b -+c n nS n += 2 ∴)()21()21(1112113 1b d c n cd n d a d b n d d -=++--+-对+∈N n 恒成立 ∴??? ?? ? ??? =-==+--=-0)(0 0210211 11111b d c cd d a d b d d 由①式得:d d 2 1 1= ∵ 0≠d ∴ 01≠d 由③式得:0=c 法二:证:(1)若0=c ,则d n a a n )1(-+=,2]2)1[(a d n n S n +-=,2 2)1(a d n b n +-=. 当421b b b ,,成等比数列,412 2b b b =, 即:??? ? ?+=??? ??+2322 d a a d a ,得:ad d 22 =,又0≠d ,故a d 2=. 由此:a n S n 2=,a k n a nk S nk 222)(==,a k n S n k 2 22=. 故:k nk S n S 2=(* ,N n k ∈). (2)c n a d n n c n nS b n n ++-=+=22 222)1(, c n a d n c a d n c a d n n ++--+-++-=2 222)1(22)1(22)1( c n a d n c a d n ++--+-=2 22)1(22)1(. (※) 若}{n b 是等差数列,则Bn An b n +=型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂, 故有:022)1(2 =++-c n a d n c ,即022)1(=+-a d n c ,而22)1(a d n +-≠0, 故0=c . 经检验,当0=c 时}{n b 是等差数列. 31.(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))等差数 列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2 32=S a ,且124,,S S S 成等比数列,求{}n a 的通项式. 【答案】 32.(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))已知首项为 3 2 的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1 n n n T S n S ∈=- N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值. 【答案】 33.(2013 年高考江西卷(理))正项数列{a n }的前项和{a n }满 足:222 (1)()0n n s n n s n n -+--+= (1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令22 1(2)n n b n a += +,数列{b n }的前n 项和为n T .证明:对于任意的* n N ∈,都有564 n T < 【答案】(1)解:由2 2 2 (1)()0n n S n n S n n -+--+=,得2()(1)0n n S n n S ??-++=??. 由于{}n a 是正项数列,所以2 0,n n S S n n >=+. 于是112,2a S n ==≥时,22 1(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=. 综上,数列{}n a 的通项2n a n =. (2)证明:由于22 1 2,(2)n n n n a n b n a +== +. 则222211114(2)16(2)n n b n n n n ?? += =-??++?? . 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ?? = -+-+-++-+-??-++?? (2222) 1111115 1(1)162(1)(2)16264 n n ??= +--<+=??++??. 34.(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯WORD 版))设数列 {}n a 的 前n 项和为n S .已知11a =,21212 33 n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值; (Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有 12 11 174 n a a a +++ <. 【答案】.(1) 解: 21212 33 n n S a n n n +=---,n N *∈. ∴ 当1n =时,112212 221233 a S a a ==---=- 又11a =,24a ∴= (2)解: 21212 33 n n S a n n n +=---,n N *∈. ∴ ()()32111212 2333n n n n n n S na n n n na ++++=---=- ① ∴当2n ≥时,()()()111213 n n n n n S n a =-+=-- ② 由① — ②,得 ()()112211n n n n S S na n a n n -+-=---+ 1222n n n a S S -=- ()()1211n n n a na n a n n +∴=---+ 111n n a a n n +∴-=+ ∴数列n a n ?? ????是以首项为111a =,公差为1的等差数列. ()()2111,2n n a n n a n n n ∴ =+?-=∴=≥ 当1n =时,上式显然成立. 2* ,n a n n N ∴=∈ (3)证明:由(2)知,2* ,n a n n N =∈ ①当1n =时, 117 14 a =<,∴原不等式成立. ②当2n =时, 121117 144a a +=+<,∴原不等式亦成立. ③当3n ≥时, ()()()() 221111,11n n n n n n >-?+∴<-?+ ()()() 22212 11111 11111 112 1324 211n a a a n n n n n ∴ +++=+++ <++++ + ??-?-?+ 111111111111111121322423522211n n n n ?????? ????=+-+-+-+ +-+- ? ? ? ? ?--+?????????? 1111111111112132435 211n n n n ??=+-+-+-+ + -+- ?--+?? 1111171117121214214n n n n ????=++--=+--< ? ?++???? ∴当3n ≥时,,∴原不等式亦成立. 综上,对一切正整数n ,有 12 11174 n a a a +++ <. 35.(2013年高考北京卷(理))已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n 项的最大 值记为A n ,第n 项之后各项1n a +,2n a +,的最小值记为B n ,d n =A n -B n . (I)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N * ,4n n a a +=),写出 d 1,d 2,d 3,d 4的值; (II)设d 为非负整数,证明:d n =-d (n =1,2,3)的充分必要条件为{a n }为公差为d 的等差数列; (III)证明:若a 1=2,d n =1(n =1,2,3,),则{a n }的项只能是1或者2,且有无穷多项为1. 【答案】(I)12341, 3.d d d d ==== (II)(充分性)因为{}n a 是公差为d 的等差数列,且0d ≥,所以12.n a a a ≤≤≤≤ 因此n n A a =,1n n B a +=,1(1,2,3,)n n n d a a d n +=-=-=. (必要性)因为0(1,2,3, )n d d n =-≤=,所以n n n n A B d B =+≤. 又因为n n a A ≤,1n n a B +≥,所以1n n a a +≤. 于是n n A a =,1n n B a +=. 因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=,即{}n a 是公差为d 的等差数列. (III)因为112,1a d ==,所以112A a ==,1111B A d =-=.故对任意11,1n n a B ≥≥=. 假设{}(2)n a n ≥中存在大于2的项. 设m 为满足2n a >的最小正整数,则2m ≥,并且对任意1,2k k m a ≤<≤,. 又因为12a =,所以12m A -=,且2m m A a =>. 于是211m m m B A d =->-=,{}1min ,2m m m B a B -=≥. 故111220m m m d A B ---=-≤-=,与11m d -=矛盾. 所以对于任意1n ≥,有2n a ≤,即非负整数列{}n a 的各项只能为1或2. 因此对任意1n ≥,12n a a ≤=,所以2n A =. 故211n n n B A d =-=-=. 因此对于任意正整数n ,存在m 满足m n >,且1m a =,即数列{}n a 有无穷多项为1. 36.(2013年高考陕西卷(理)) 设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 导{}n a 的前n 项和公式; (Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是 等比数列. 【答案】解:(Ⅰ) 分两种情况讨论. ①.}{111111na a a a S a a q n n =+++== 的常数数列,所以是首项为时,数列当 ②n n n n n n qa qa qa qa qS a a a a S q ++++=?++++=≠--1211211 时,当. 上 面 两 式 错 位 相 减 : .)()()()-11123121n n n n n qa a qa qa a qa a qa a a S q -=--+-+-+=- ( q q a q qa a S n n n -1)1(.-111-=-=?. ③综上,?? ? ??≠--==) 1(,1) 1()1(,11q q q a q na S n n (Ⅱ) 使用反证法. 设{}n a 是公比q ≠1的等比数列, 假设数列{1}n a +是等比数列.则 ①当1* +∈?n a N n ,使得=0成立,则{1}n a +不是等比数列. ②当01* ≠+∈?n a N n ,使得成立,则 恒为常数=++=++-+1 1 111111n n n n q a q a a a 1,0111111=≠?+=+?-q a q a q a n n 时当.这与题目条件q ≠1矛盾. ③综上两种情况,假设数列{1}n a +是等比数列均不成立,所以当q ≠1时, 数列{1}n a +不是等比数列. 专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用 答案部分 2019年 1.解析:对于B ,令2 104x λ-+=,得12 λ=, 取112a = ,所以211 ,,1022n a a == 所以54 65109 323232a a a a a a ?>???> ???? ?>??M ,所以6 10432a a ??> ???,所以107291064a > >故A 正确.故选A . 2.解析:(1)设数列{}n a 的公差为d ,由题意得 11124,333a d a d a d +=+=+, 解得10,2a d ==. 从而* 22,n a n n =-∈N . 由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得 () ()()2 12n n n n n n S b S b S b +++=++. 解得()2 121n n n n b S S S d ++= -. 所以2* ,n b n n n =+∈N . (2 )*n c n = ==∈N . 我们用数学归纳法证明. ①当n =1时,c 1=0<2,不等式成立; ②假设() *n k k =∈N 时不等式成立,即12h c c c +++ 专题六 数列 1.【2015高考重庆,理2】在等差数列{}n a 中,若2a =4,4a =2,则6a = ( ) A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B 【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=?-=,选B . 【考点定位】本题属于数列的问题,考查等差数列的通项公式及等差数列的性质. 【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解,也可应用等差数列的性质求解,主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题. 2.【2015高考福建,理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零 点,且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p q + 的值等于( ) A .6 B .7 C .8 D .9 【答案】D 【解析】由韦达定理得a b p +=,a b q ?=,则0,0a b >>,当,,2a b -适当排序后成等比数列时,2-必为等比中项,故4a b q ?==,.当适当排序后成等差数列时,2-必不是等差中项,当a 是等差中项时,,解得1a =,4b =;当 4 a 是等差中项时,,解得4a =,1b =,综上所述,5a b p +==,所以p q +9=,选D . 【考点定位】等差中项和等比中项. 【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项,其中分类讨论和逻辑推理是解题核心.三个数成等差数列或等比数列,项及项之间是有顺序的,但是等差中项或等比中项是唯一的,故可以利用中项进行讨论,属于难题. 3.【2015高考北京,理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是( ) A .若120a a +>,则230a a +> B .若130a a +<,则120a a +< C .若120a a <<,则2a > D .若10a <,则()()21230a a a a --> 【答案】C 第8讲数列 [考情分析]数列为每年高考必考内容之一,考查热点主要有三个方面:(1)对等差、等比数列基本量和性质的考查,常以客观题的形式出现,考查利用通项公式、前n项和公式建立方程(组)求解,利用性质解决有关计算问题,属于中、低档题;(2)对数列通项公式的考查;(3)对数列求和及其简单应用的考查,主、客观题均会出现,常以等差、等比数列为载体,考查数列的通项、求和,难度中等. 热点题型分析 热点1等差、等比数列的基本运算及性质 1.等差(比)数列基本运算的解题策略 (1)设基本量a1和公差d(公比q); (2)列、解方程(组):把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组),然后求解,注意整体计算,以减少运算量. 2.等差(比)数列性质问题的求解策略 (1)解题关键:抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解; (2)牢固掌握等差(比)数列的性质,可分为三类:①通项公式的变形;②等差(比)中项的变形;③前n项和公式的变形.比如:等差数列中,“若m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q(m,n,p,q∈N*)”;等比数列中,“若m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q(m,n,p,q∈N*)”. 1.已知在公比不为1的等比数列{a n }中,a 2a 4=9,且2a 3为3a 2和a 4的等差中项,设数列{a n }的前n 项积为T n ,则T 8=( ) A.12×37-16 B .310 C.318 D .320 答案 D 解析 由题意得a 2a 4=a 23=9.设等比数列{a n }的公比为q ,由2a 3为3a 2和a 4 的等差中项可得4a 3=3a 2+a 4,即4a 3=3a 3 q +a 3q ,整理得q 2-4q +3=0,由公比 不为1,解得q =3.所以T 8=a 1·a 2·…·a 8=a 81q 28=(a 81q 16 )·q 12=(a 1q 2)8·q 12=a 83· q 12=94×312=320.故选D. 2.(2019·江苏高考)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5 +a 8=0,S 9=27,则S 8的值是________. 答案 16 解析 解法一:由S 9=27?9(a 1+a 9) 2=27?a 1+a 9=6?2a 5=6?2a 1+8d =6 且a 5=3.又a 2a 5+a 8=0?2a 1+5d =0, 解得a 1=-5,d =2.故S 8=8a 1+8×(8-1) 2d =16. 解法二:同解法一得a 5=3. 又a 2a 5+a 8=0?3a 2+a 8=0?2a 2+2a 5=0?a 2=-3. ∴d =a 5-a 2 3=2,a 1=a 2-d =-5. 故S 8=8a 1+8×(8-1) 2 d =16. 数列 1(2017山东文)(本小题满分12分) 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) {}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ??????的前n 项和n T . 2(2017新课标Ⅰ文数)(12分) 记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求S n ,并判断S n +1,S n ,S n +2是否成等差数列。 3((2017新课标Ⅲ文数)12分) 设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=K . (1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列21n a n ????+?? 的前n 项和. 4(2017浙江)(本题满分15分)已知数列{x n }满足:x 1=1,x n =x n +1+ln(1+x n +1)(n N *∈). 证明:当n N *∈时, (Ⅰ)0<x n +1<x n ; (Ⅱ)2x n +1? x n ≤12 n n x x +; (Ⅲ)112 n -≤x n ≤212n -. 112()2 n n n n x x x x n *++-≤∈N . 5(2017北京理)(本小题13分) 设{}n a 和{}n b 是两个等差数列,记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--???-(1,2,3,)n =???, 其中12max{,,,}s x x x ???表示12,,,s x x x ???这s 个数中最大的数. (Ⅰ)若n a n =,21n b n =-,求123,,c c c 的值,并证明{}n c 是等差数列; (Ⅱ)证明:或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n m ≥时, n c M n >;或者存在正整数m ,使得12,,,m m m c c c ++???是等差数列. 6(2017新课标Ⅱ文)(12分) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的前n 项和为n T ,11221,1,2a b a b =-=+=. (1)若335a b +=,求{}n b 的通项公式; (2)若321T =,求3S . 7(2017天津文)(本小题满分13分) 已知{}n a 为等差数列,前n 项和为*()n S n ∈N ,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于 0, 2018试题分类汇编---------数列 一、填空题 1.(北京理4改)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理 论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为__________. 1.1272f 2.(北京理9)设{}n a 是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{}n a 的通项公式为__________. 2.63n a n =- 3.(全国卷I 理4改)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若3243S S S =+,12a =,则=5a __________. 3.10- 4.(浙江10改).已知1234,,,a a a a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若11a >,则13,a a 的大小关系是_____________,24,a a 的大小关系是_____________. 4.1324,a a a a >< 5.(江苏14).已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ,*{|2,}n B x x n ==∈N .将A B 的所有元素从小到大依 次排列构成一个数列{}n a .记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________. 5.27 二、解答题 6.(北京文15)设{}n a 是等差数列,且123ln 2,5ln 2a a a =+=. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求12e e e n a a a +++. 6.解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,∵235ln 2a a +=,∴1235ln 2a d +=, 又1ln 2a =,∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. (2)由(I )知ln 2n a n =,∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==, ∴{e }n a 是以2为首项,2为公比的等比数列.∴2 12ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a ++ +=++ + 2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =,()121n n na n a +=+,设n n a b n = . (1)求123b b b , ,; (2)判断数列{}n b 是否为等比数列,并说明理由; (3)求{}n a 的通项公式. 7.解:(1)由条件可得a n +1=2(1) n n a n +.将n =1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以,a 2=4. 将n =2代入得,a 3=3a 2,所以,a 3=12.从而b 1=1,b 2=2,b 3=4. (2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得121n n a a n n +=+,即b n +1=2b n ,又b 1=1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得12n n a n -=,所以a n =n ·2n -1. 8.(全国卷II 理17)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知17a =-,315S =-. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求n S ,并求n S 的最小值. 8. 解:(1)设{}n a 的公差为d ,由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为 29n a n =-.(2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--,所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16. 专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和 答案部分 2019年 1.解析 (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q , 依题意得2 662,6124q d q d =+?? =+?解得3 .2d q =??=? 故14(1)331, 6232n n n n a n n b -=+-?=+=?=?. 所以,{}n a 的通项公式为(){}31, n n a n n b *=+∈N 的通项公式为() 32n n b n *=?∈N . (Ⅱ)(i )()()()() 22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=?+?-=?-. 所以,数列(){} 221n n a c -的通项公式为()() 221941n n n a c n *-=?-∈N . (ii ) ()()22221 1 1 1 2211n n n n i i i i i i i i i i i i c a c a a c a a ====-??=+-=+??∑∑∑∑ () () 12212439412n n n n i i =??- ?=?+?+?- ??? ∑ ( )( )21 1 41432 52 914 n n n n ---=?+?+? -- ()211* 2725212 n n n n --=?+?--∈N . 2010-2018年 1.【解析】∵113 n n a a +=-,∴{}n a 是等比数列 又243a =-,∴14a =,∴()1010101413313113 S -????-- ? ? ?????==-+ ,故选C . 2.D 【解析】由数列通项可知,当125n 剟,n N +∈时,0n a …,当2650n 剟, n N +∈ 时,0n a …,因为1260a a +>,2270a a +>???∴1250,,,S S S ???都是 2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S n +2?S n =36,则n = A .5 B .6 C .7 D .8 【答案】D 【解析】解法一:由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+,S n +2=(n +2)2,由S n +2?S n =36得,(n +2)2?n 2=4n +4=36,所以n =8. 解法二:S n +2?S n =a n +1+a n +2=2a 1+(2n +1)d =2+2(2n +1)=36,解得n =8.所以选D . 【易错点】对S n +2?S n =36,解析为a n +2,发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中,若28641,2a a a a ==+,则a 6的值是________. 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0),∵a 2=1,则由8642a a a =+得6422q q q =+,即42 20q q --=,解得q 2=2, ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差(比)数列基本量的计算是解决等差(比)数列题型时的基础方法,在高考中常有所体现,多以选择题或填空题的形式呈现,有时也会出现在解答题的第一问中,属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路: (1)设基本量a 1和公差d (公比q ). (2)列、解方程组:把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组),然后求解,注意整体计算,以减少运算量. 历年数列高考题汇编 1、(全国新课标卷理) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ?? ??的前项和. 解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ,由 2 3 26 9a a a =得 3234 9a a =所以 21 9q = .有条件可知a>0,故 13q = . 由 12231 a a +=得 12231 a a q +=,所以 113a = .故数列{a n }的通项式为a n =13n . (Ⅱ ) 111111 log log ...log n b a a a =+++ (12...)(1)2 n n n =-++++=- 故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21n n - + 2、(全国新课标卷理)设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=g (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 令n n b na =,求数列的前n 项和n S 解(Ⅰ)由已知,当n ≥1时, 111211 [()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L 21233(222)2n n --=++++L 2(1)12n +-=. 而 12, a =所以数列{ n a }的通项公式为 21 2n n a -=. (Ⅱ)由 21 2n n n b na n -==?知 3521 1222322n n S n -=?+?+?++?L ① 从而 235721 21222322n n S n +?=?+?+?++?L ② ①-②得 2352121 (12)22222n n n S n -+-?=++++-?L . 即 211 [(31)22] 9n n S n +=-+ 3.设}{n a 是公比大于1的等比数列,S n 为数列}{n a 的前n 项和.已知S 3=7,且 a 1+3,3a 2,a 3+4构成等差数列.(1)求数列}{n a 的通项公式;(2)令Λ2,1,ln 13==+n a b n n ,求数列}{n b 的前n 项和T n . . 4、(辽宁卷)已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8=-10 高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S n +2?S n =36,则n = A .5 B .6 C .7 D .8 【答案】D 【解析】解法一:由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+,S n +2=(n +2)2,由S n +2?S n =36得,(n +2)2?n 2=4n +4=36,所以n =8. 解法二:S n +2?S n =a n +1+a n +2=2a 1+(2n +1)d =2+2(2n +1)=36,解得n =8.所以选D . 【易错点】对S n +2?S n =36,解析为a n +2,发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中,若28641,2a a a a ==+,则a 6的值是________. 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0),∵a 2=1,则由8642a a a =+得6422q q q =+,即42 20q q --=,解得q 2=2, ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差(比)数列基本量的计算是解决等差(比)数列题型时的基础方法,在高考中常有所体现,多以选择题或填空题的形式呈现,有时也会出现在解答题的第一问中,属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路: (1)设基本量a 1和公差d (公比q ). (2)列、解方程组:把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组),然后求解,注意整体计算,以减少运算量. 2019年高考数学真题分类汇编 专题18:数列(综合题) 1.(2019?江苏)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”. (1)已知等比数列{a n }()* n N ∈满足:245324,440a a a a a a =-+=,求证:数列{a n }为 “M-数列”; (2)已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ,其中S n 为数列{b n }的前n 项和. ①求数列{b n }的通项公式; ②设m 为正整数,若存在“M-数列”{c n }()* n N ∈ ,对任意正整数k , 当k ≤m 时,都有1k k k c b c +≤≤成立,求m 的最大值. 【答案】 (1)解:设等比数列{a n }的公比为q , 所以a 1≠0,q ≠0. 由 ,得 ,解得 . 因此数列 为“M—数列”. (2)解:①因为 ,所以 . 由 得 ,则 . 由 ,得 , 当 时,由 ,得 , 整理得 . 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知,b k =k , . 因为数列{c n }为“M–数列”,设公比为q , 所以c 1=1,q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1 , 所以 ,其中k =1,2,3,…,m . 当k=1时,有q≥1; 当k=2,3,…,m时,有. 设f(x)= ,则. 令,得x=e.列表如下: x e(e,+∞) +0– f(x)极大值 因为,所以. 取,当k=1,2,3,4,5时,,即, 经检验知也成立. 因此所求m的最大值不小于5. 若m≥6,分别取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,从而q15≥243,且q15≤216,所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上,所求m的最大值为5. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用,等比数列的通项公式,等差关系的确定 【解析】【分析】(1)利用已知条件结合等比数列的通项公式,用“M-数列”的定义证出数列{a n}为“M-数列”。(2)①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列,并利用等差数列通项公式求出数列的通项公式。②由①知,b k=k, .因为数列{c n}为“M–数列”,设公比为q,所以c1=1,q>0,因为c k≤b k≤c k+1,所以,其中k=1,2,3,…,m ,再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性,从而求出函数的极值,进而求出函数的最值,从而求出m的最大值。 1.(2014 北京理 5)设{}n a 是公比为q 的等比数列,则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2014 大纲理 10)等比数列{}n a 中,4525a a ==,,则数列{}lg n a 的前8项和等于( ). A .6 B .5 C .4 D .3 3.(2014 福建理 3)等差数列{}n a 的前n 项和n S ,若132,12a S ==,则6a =( ). A.8 B.10 C.12 D.14 4.(2014 辽宁理 8)设等差数列{}n a 的公差为d ,若数列{}12 n a a 为递减数列,则( ). A .0d < B .0d > C .10a d < D .10a d > 5.(2014 重庆理 2)对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( ). A. 139,,a a a 成等比数列 B. 236,,a a a 成等比数列 C. 248,,a a a 成等比数列 D. 369,,a a a 成等比数列 二、 填空题 1.(2014 安徽理 12)数列{}n a 是等差数列,若11a +,33a +,55a +构成公比为q 的等比数列,则q = . 2.(2014 北京理 12)若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>,7100a a +<,则当n =________时,{}n a 的前n 项和最大. 3.(2014 广东理 13)若等比数列{}n a 的各项均为正数,且5 10119122e a a a a +=, 则1220ln ln ln a a a +++= . 4.(2014 江苏理 7)在各项均为正数的等比数列{}n a 中,21a =,8642a a a =+,则6a 的值是 . 5.(2014 天津理 11)设{}n a 是首项为1a ,公差为1-的等差数列,n S 为其前n 项和.若 124,,S S S 成等比数列,则1a 的值为__________. 高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列 条件中,使得()*∈ A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则 a 1= ,S 5= . 【答案】1 121 高考数列选择题部分 (2016全国I )(3)已知等差数列{}n a 前9项的和为27,10=8a ,则100=a (A )100 (B )99 (C )98 (D )97 (2016上海)已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列条 件中,使得() * ∈ 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ,(P Q P Q ≠表示点与不重合). 若1n n n n n n n d A B S A B B +=,为△的面积,则 A .{}n S 是等差数列 B .2 {}n S 是等差数列 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 1.【2015高考重庆,理2】在等差数列{}n a 中,若2a =4,4a =2,则6a = ( ) A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 2.【2015高考福建,理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的 零点,且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p q + 的值等于( ) A .6 B .7 C .8 D .9 3.【2015高考北京,理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是( ) A .若120a a +>,则230a a +> B .若130a a +<,则120a a +< C .若120a a <<,则2a > D .若10a <,则()()21230a a a a --> 4.【2015高考浙江,理3】已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是n S ,若3a , 4a ,8a 成等比数列,则( ) A. 题08 数列 1.【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则 A .25n a n =- B . 310n a n =- C .2 28n S n n =- D .2 122 n S n n = - 【答案】A 【解析】由题知,415 144302 45d S a a a d ? =+??=???=+=?,解得132a d =-??=?,∴25n a n =-,2 4n S n n =-,故选A . 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式,渗透方程思想与数学计算等素养.利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程,解出首项与公差,再适当计算即可做了判断. 2.【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15,且53134a a a =+,则3a = A .16 B .8 C .4 D .2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ,则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?, 解得11,2 a q =??=?,2 314a a q ∴==,故选C . 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量,熟练应用公式是解题的关键. 3.【2019年高考浙江卷】设a ,b ∈R ,数列{a n }满足a 1=a ,a n +1=a n 2 +b ,n *∈N ,则 A . 当101 ,102 b a = > B . 当101 ,104 b a = > C . 当102,10b a =-> D . 当104,10b a =-> 【答案】A 【解析】①当b =0时,取a =0,则0,n a n * =∈N . 2020年高考试题分类汇编(数列) 考法1等差数列 1.(2020·全国卷Ⅱ·理科)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心由一块圆心石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一层多 9块, 已知每层的环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石) A .3699块 B .3474块 C .3402块 D .3339块 2.(2020·全国卷Ⅱ·文科)记n S 是等差数列{}n a 的前n 项的和,若12a =-,262a a +=,则10S = . 3. (2020·山东卷)将数列{21}n -与{32}n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ,则{}n a 的前n 项和为 . 4.(2020·上海卷)已知{}n a 是公差不为零的等差数列,且1109a a a +=,则12910 a a a a +++= . 5.(2020·浙江卷)已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ,公差0d ≠, 11a d ≤.记12b S =,122n n n b S S ++=-,n N *∈,下列等式不可能成立的是 A.4262a a a =+ B.4262b b b =+ C. 2428a a a =? D.2428b b b =? 6.(2020·北京卷)在等差数列{}n a 中,19a =-,31a =-.记12n n T a a a =(1,2,n =),则数列{}n T A.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项 C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项 2017年高考试题分类汇编之数列 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. (2017年新课标Ⅰ) 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则 {}n a 的公差为( )1.A 2.B 4.C 8.D 2.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( ) 1.A 盏 3.B 盏 5.C 盏 9.D 盏 3.(2017年新课标Ⅲ卷理) 等差数列{}n a 的首项为1,公差不为0.若632,,a a a 成等比数列,则{}n a 前6项的和为( ) 2 4.-A 3.-B 3.C 8.D 4. (2017年浙江卷) 已知等差数列}{n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0>d ”是 “5642S S S >+”的( ) .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 5.(2017年新课标Ⅰ) 几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家 学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列?,16,8,4,2,1,8,4,2,1,4,2,1,2,1,1其中第一项是0 2,接下来的两项是1 2,2,再接下来的三项是2 1 2,2,2,依此类推.求满足如下条件的最小整数 100:>N N 且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) 440.A 330.B 220.C 110.D 二、填空题(将正确的答案填在题中横线上) 6. (2017年北京卷理) 若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足8,14411==-==b a b a , 2 2 a b =_______. 7.(2017年江苏卷)等比数列的各项均为实数,其前项和为,已知, 则=_______________. {}n a n n S 36763 44 S S ==,8a 历年高考《数列》真题汇编 1、(2011年新课标卷文) 已知等比数列{}n a 中,113a =,公比13q =. (I )n S 为{}n a 的前n 项和,证明:12n n a S -= (II )设31323log log log n n b a a a =+++L ,求数列{}n b 的通项公式. 解:(Ⅰ)因为.31)31(311n n n a =?=-,23113 11)311(3 1n n n S -=--= 所以,2 1n n a S -- (Ⅱ)n n a a a b 32313log log log +++=Λ ).......21(n +++-= 2)1(+-=n n 所以}{n b 的通项公式为.2 )1(+-=n n b n 2、(2011全国新课标卷理) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?????? 的前项和. 解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ,由23269a a a =得32349a a =所以219 q =。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=,所以113a = 。故数列{a n }的通项式为a n =13n 。 (Ⅱ )111111log log ...log n b a a a =+++ 故12112()(1)1 n b n n n n =-=--++ 所以数列1{ }n b 的前n 项和为21n n -+ 3、(2010新课标卷理) 08高考数学理科数列训练题 1.某数列{}n a 的前四项为 ①1(1)2n n a ??=+-?? ② n a = ③0 n a =?? )(n n 为奇数为偶数)( 其中可作为{}n a 的通项公式的是() A .① B .①② C .②③ D .①②③ 2.设函数()f x 满足()()212 f n n f n ++= ()n N *∈,且()12f =,则()20f =() A .95 B .97 C .105 D .192 3.已知数列中{}n a ,11a =,()111n n n n a a a --=+- ()2,n n N *≥∈,则35a a 的值是() A .1516 B .158 C .34 D .38 4.已知数列{}n a 的首项11a =,且121n n a a -=+ (2)n ≥,则5a 为() A .7 B .15 C .30 D .31 5.已知数列{}n a 是等差数列,且31150a a +=,又413a =,则2a 等于( ) A .1 B .4 C .5 D .6 6.若lg a 、lg b 、lg c 成等差数列,则( ) A .2a c b += B .()1lg lg 2 b a b =+ C .a 、 b 、 c 成等差数列 D .a 、 b 、 c 成等比数列 7.38,524-,748,980- … 一个通项公式是____ 8.已知{}n a 是递增数列,且对任意n N *∈都有2n a n n λ=+恒成立,则实数λ的取值范 围是____ 9.设等差数列{}n a 的公差为2-,且1479750a a a a +++???+=,则36999a a a a +++???+=______. 10.等比数列中{}n a ,公比1q ≠±,200100S =,则 4020 1S q =+______. 2008年高考数学试题分类汇编 数列 一. 选择题: 1.(全国一5)已知等差数列{}n a 满足244a a +=,3510a a +=,则它的前10项的和10S =( C ) A .138 B .135 C .95 D .23 2.(上海卷14) 若数列{a n }是首项为1,公比为a -3 2的无穷等比数列,且{a n }各项的 和为a ,则a 的值是(B ) A .1 B .2 C .12 D .5 4 3.(北京卷6)已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ,满足p q p q a a a +=+,且26a =-,那么 10a 等于( C ) A .165- B .33- C .30- D .21- 4.(四川卷7)已知等比数列()n a 中21a =,则其前3项的和3S 的取值范围是(D ) (A)(],1-∞- (B)()(),01,-∞+∞ (C)[)3,+∞ (D)(][),13,-∞-+∞ 5.(天津卷4)若等差数列{}n a 的前5项和525S =,且23a =,则7a =B (A )12 (B )13 (C )14 (D )15 6.(江西卷5)在数列{}n a 中,12a =, 11 ln(1)n n a a n +=++,则n a = A A .2ln n + B .2(1)ln n n +- C .2ln n n + D .1ln n n ++ 7.(陕西卷4)已知{}n a 是等差数列,124a a +=,7828a a +=,则该数列前10项和10S 等于( B ) A .64 B .100 C .110 D .120 8.(福建卷3)设{a n }是公比为正数的等比数列,若n 1=7,a 5=16,则数列{a n }前7项的和为C A.63 B.64 C.127 D.128数列历年高考真题分类汇编
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