多面体截面作法

多面体截面作法

——电化教育公开观摩课制作计算机辅助教学软件文字稿

江苏省丹阳高级中学郭友敏

引：上次课我们重点研究了空间两条异面直线间距离的求法，本次课我们研究多面体截面的作法。

高中立体几何教学中，由所给条件进行已知多面体斜截面的作图是一个难点，本节课利用自编计算机辅助教学软件《多面体截面作法》及投影幻灯片，系统介绍多面体斜截面作图的常用四种方法：⑴交线法；⑵平行线法；

⑶分割法；⑷扩充法。

另叙述多面体斜截面作图中的一个结论，

首先我们看投影幻灯字幕。

例：已知四棱锥侧棱上A、B、C三点，

求作过A、B、C点的截面。

分析：一般会误作如左图，截面ABCD不是所求截面。

以下投影幻灯分析四个例图，小结每种作图基本方法。

㈠交线法

作法：

1、连接AB延长交同侧面底边延长线于D

G

2、连接AC延长交同侧面底边延长线于G

3、连接DG交底面两边（或两边延长线于E、F

4、连接BE、CF、EF，平面ABEFC是所求截面

图1

方法是：寻作所要求的截面和已知棱锥（或棱柱）的底面交线，具体先找交线和 这个多面体的侧面和对角截面的交点，分别连接交点和确定所要求截面的已知点可 得所求截面的边或对角线。所求截面是ABEFC 。方法录音叙述，制作两张投影片使例题、作图两次显示。

㈡平行线法

例：已知正方体侧棱上三定点A 、B 、C ，求作过A 、B 、C 三点的截面。

方法是，若棱柱有两个侧面平行，依据两个平行平面与第三个平面相交，而交线平 行的性质，作柱体平行侧面的平行平面，连接对应点则得截面；若棱柱侧面不平行，则可作平行一个侧面的平面的方法，寻作截面。如图所求作截面是ABCD 。

方法录音叙述，制两张投影片使例题、作图两次显示。

㈢分割法

例：已知五棱锥的侧棱上三定点A 、B 、C ，求作过A 、B 、C 三点的截面。

方法是：由所给的n 棱锥（或棱柱）分割了一个三棱锥（或柱），使确定所求截面的已知点在分割出的三棱锥（柱）的侧棱上，先作分割出的三棱锥（柱）的截面，然后作其它三棱锥（柱）的截面，各三棱锥（柱）的截面和为所求作的n 棱锥（柱）的截面。

如图所求截面是ACDEB 。

方法录音叙述，制两张投影片，使例题、作图两次显示

图3

作法：把五棱锥S-FGHIK分割成三个三棱锥S-GHI、 S-GIK、S-GKF；

1、连接GI，GK，FH，得交点X，Y

2、连接SX，SY，BC，得交点M，N

3、连接AN，AM交SI，SK于D，E

4、连接CD，DE，EB，ACD，ADE，AEB 三个截面之和ACDEB是所求截面

图2

作法：

1、连接AB，AC，BC

2、在平面ABC中过A在一侧面上作AD平行于BC

3、连接DC，平面ABCD是所求平面

D

㈣扩充法

例：已知六棱柱ABCDEF ——A 1B 1C 1D 1E 1F 1上 三定点A 、B 、D 1求作过三定点A 、B 、D 1的截面：

分析：把六棱柱扩充成三棱柱，求作过A 、B 、D 1三定点三棱柱截面，求经G 、H 、B 所求截面是ABG D 1 E 1H ，方法录音叙述，制两张投影片，使例题、图形两次显示。 方法是：把所给的n 棱锥（或棱柱）扩充成三棱锥（柱），然后作这个三棱锥（柱）的截面，所要求的截面是这个已作的截面的一部分。方法录音叙述。

㈤叙述结论以软件运行为主 教学过程中投影片讲解十五分钟

利用《高中立体几何计算机辅助教学》软件及部分内容《多面体截面作法》利用计算机房分配器装置把软件运行结果显示在各台计算机监示器屏幕上使学生分组观看，配有录音旁白解说，做到图、文、声三者并茂，有利加强学生作图方法记忆，提高教学效果（软件内13个例图与投影片不重复）及部分运行二十五分钟左右，关机。

教师小结三分钟左右即多面体截面作图常用四种方法，第二课时，讲解例题，巧用投影片，第一课时制投影片12张（附软件运行使用说明书1份）

㈤叙述一个结论（拟打一字幕投影片）

结论：对任意一个n 面多面体，按不同的方式被平面所截截得的截面最多是n 边形，且此截面与n 面多面体的各个面都相交，都有一条交线。

例：以正方体的截面是三角形、四边形、五边形、六边形为例。

作法：

1、延长正六棱柱上下底面六边形三边， 扩充成三棱柱XYZ-MNZ

2、连接D 1N交CC 1于G

3、连接E 1M交FF 1于H

4、连接AH、HE 1、BG、GD 1， 六边形ABGD 1E 1H是所求过A，B，D 1的截面

图4

此稿1987年在江苏省首例执教把自编计算机辅助教学软件应用高中立体几何教学，在省丹中首次把计算机辅助教学运用于高中立体几何教学，获电教公开观摩课优秀奖。自编计算机辅助教学软件获江苏省唯一特等奖。

B

截面是六边形

截面是五边形

截面是四边形

截面是三角形

几何体中的截面问题复习课程

F E 1Q 1 几何体中的的截面问题 1．定义及相关要素 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线．此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点． 2．作多面体的截面方法(交线法)：该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面． 题型一、截面的形状 1．P 、Q 、R 三点分别在直四棱柱AC 1的棱BB 1、CC 1和DD 1上，试画出过P 、Q 、R 三点的截面． 1解答：(1)连接QP 、QR 并延长，分别交CB 、CD (2)连接EF 交AB 于Ｔ，交AD 于S ． (3)连接RS 、TP 。则多边形PQRST 即为所求截面。 2．已知P 、Q 、R 分别是四棱柱ABCD ―A 1B 1C 1D 1的棱CD 、DD 1和AA 1上的点，且QR 与AD 不平行，求作过这三点的截面． 2解答： (1)连接QP 并延长交DA 延长线于点I 。 (2)在平面ABCD 内连接PI 交AB 于点 M 。 (3) 连接QP 、RM 。则四边形PQRM 即为所求。 注：①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。 ②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。 ③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。 3．一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是

3答案：D 解析：考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D 。 题型二、截面面积、长度等计算 4．过正方体1111D C B A ABCD -的对角线1BD 的截面面积为S ，S max 和S min 分别为S 的最大值和最小值，则 m in m ax S S 的值为 ( ) A ． 23 B ． 2 6 C ． 3 3 2 D ． 3 6 2 4答案：C 解析：设M 、N 分别为AA 1、CC 1的中点.易证截面BMD 1N 是边长为 5 2 的菱形(正方体棱长设为1),其面积S(min)= 6 2 . 而截面BB 1D 1D 是矩形,其面积S(max)=2． 5. 如图，已知球O 是棱长为1 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为 ． 5答案： 解析：平面ACD 1是边长为 的正三角形，且球与以点D 为公共 点的三个面的切点恰为三角形ACD 1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD 1内切圆的半径是 ×tan30°= ，则所求的截面圆的面积是π× × = ． 6．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 6答案：C 解析：1O 与2O 的公共弦为AB ，球心为Ｏ，AB 中点为C ， 则四边形C OO O 21为矩形，12||||,O O OC =||2,OA =Q 所以2 2 ||1,||||||3AC AC OC OC OA AC =⊥∴=-= 7．已知正四棱锥P —ABCD 的棱长都等于a ,侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N ，则截面AMN 与底面ABCD 所成二面角大小的正切值为 ． 7答案： 1 2 Ｏ２ Ｏ Ｃ Ｏ2

柏拉图多面体

从柏拉图多面体到尤拉公式 壹、柏拉图多面体 “多面体”是日常生活中经常看到的立体，它是被一些平面所包围的立体，例如粉笔盒、三棱镜、新光摩天大楼等等，那些包围多面体的多边形叫做多面体的面，两个面相交的线段叫做多面体的棱，棱与棱的交点叫做多面体的顶点。顶点是由三个或三个以上的面 交会出来的。 例如：右图中的立体中有5个面，9条棱，6个顶点。 所谓“柏拉图多面体”(Platonic Polyhedra)就是指正多面体，正多面体就是每个顶点处交会着相同数目全等的正凸多面体且每个立体角相等。正多面体会称为柏拉图多面体并不是因为柏拉图发现了正多面体，而是因为柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名。 貳、柏拉图多面体有多少个？ (1)要谈柏拉图多面体有几个之前，先观察平面上的凸正n边形，n至少等于3，且 每一个内角为(n-2)?180? n，而 (n-2)?180? n<180?，因此平面上的正凸n边形有无限 多个。在空间中，柏拉图多面体是否会有无限多个呢？答案令人很惊讶！不仅不是无限多个，而且只有5个。古人对于这个事实虽不愿相信，却不得不接受，最后只好搬出“神的旨意”来承认这个事实。为何会说是“神的旨意”呢？原来在伽利略(Galiep1564~1642意大利人)发明望远镜之前，当时天空中人类只观察到五颗行星，因此这五个正多面体就分别代表那五颗行星，这么的巧合，那一定是“神的旨意”，这样的想法，甚至影响了天文学家克卜勒(Kepler 1571~1630德国人)，他曾试图去观察、计算各行星的轨道半径，周期与五个正多面体对应，可惜并未成功。 (2)接下来我们来讨论柏拉图多面体的个数： 我们从一个顶点出发，因为正多面体的每一个顶点处都是正n边形内角的顶点，我们先从简单的正多边形讨论起： (1?)当正多边形是正三角形时，每一个正三角形的内角为60?， 若每一个顶点有3个正三角形，则会形成正四面体(Tetrahedon) 若每一个顶点有4个正三角形，则会形成正八面体(Octahedron) 若每一个顶点有5个正三角形，则会形成正二十面体(Icsoahedon) 但是当每一个顶点处有6个正三角形时，那么交会在这个顶点的面的角之总和为360?，于是这些三角形构成一平面或是凹面，故表面是正三角形的柏拉图多面体只有3种。

2017多面体的截面的作法

多面体的截面 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集（交线）叫做截线．此平面与几何体的棱的交集（交点）叫做截点． 作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面． 作截线与截点的主要根据有： （1）确定平面的条件．（2）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线． （3）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． （4）如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.（5）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行． 主要画法是交线法．即求出截面所在的平面与多面体某一表面所在平面的交线，再找出各有关截线（或其延长线）与此交线的交点． 例1 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，G F E 、、分别在 1DD BC AB 、、上，求作过G F E 、、三点的截面． 作法：（1）在底面AC 内，过F E 、作直线EF 分别与DC DA 、的延长线 交于M L 、． （2）在侧面D A 1内，连结LG 交1AA 于K ． （3）在侧面C D 1内，连结GM 交1CC 于H ． （4）连结KE 、FH ．则五边形EFHGK 即为所求的截面．有时为了便于作截面，还须引进辅助面作为作图的中介． 例2 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、在两条棱上，G 在底面1 1C A 内，求过G F E 、、的截面． 作法：（1）在底面11C A 内，过G 作11//C B PQ ，交棱于Q P 、两点． （2）作辅助面PC ，在此面内，过F G 、作直线交BP 的延长线于M ． （3）在侧面B A 1内，连结ME ，交11B A 于K ． （4）在底面11C A 内，连结KG ，延长交11C B 于H ．（5）连结HF ． （6）在底面AC 内，作HK FL //，交AB 于L ． （7）连结EL ．则五边形ELFHK 为所求的截面．此外，对于面数较多 的多面体，可以把其中一些表面伸展构成面数较少的多面体，使作图得解． 例 3 如图，五棱锥ABCD P -中，三条侧棱上各有一已知点 H G F 、、，求作过H G F 、、的截面． 作法：（1）将侧面PDE PBC PAB 、、伸展得到三棱锥BST P -． （2）在侧面PBS 内，连结并延长GF ，交PS 于K ． （3）在侧面PBT 内，连结并延长GH 交PT 于L ． 图

多面体的截面的作法

多面体的截面 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集（交线）叫做截线．此平面与几何体的棱的交集（交点）叫做截点． 作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面． 作截线与截点的主要根据有： （1）确定平面的条件． （2）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线． （3）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． （4）如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． （5）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行． 主要画法是交线法．即求出截面所在的平面与多面体某一表面所在平面的交线，再找出各有关截线（或其延长线）与此交线的交点． 例1 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，G F E 、、分别在1DD BC AB 、、上，求作过G F E 、、三点的截面． 作法：（1）在底面AC 内，过F E 、作直线EF 分别与DC DA 、的延长线 交于M L 、． （2）在侧面D A 1内，连结LG 交1AA 于K ． （3）在侧面C D 1内，连结GM 交1CC 于H ． （4）连结KE 、FH ．则五边形EFHGK 即为所求的截面．有时为了便于作截面，还须引进辅助面作为作图的中介． 例2 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、在两条棱上，G 在底面11C A 内，求过G F E 、、的 截面． 作法：（1）在底面11C A 内，过G 作11//C B PQ ，交棱于Q P 、两点． （2）作辅助面PC ，在此面内，过F G 、作直线交BP 的延长线于M ． （3）在侧面B A 1内，连结ME ，交11B A 于K ． （4）在底面11C A 内，连结KG ，延长交11C B 于H ． （5）连结HF ． （6）在底面AC 内，作HK FL //，交AB 于L ． （7）连结EL ．则五边形ELFHK 为所求的截面．此外，对于面数较多的多面体，可以把其中一些表面伸展构成面数较少的多面体，使作图得解． 例 3 如图，五棱锥A B C D P -中，三条侧棱上各有一已知点 H G F 、、，求作过H G F 、、的截面． 作法：（1）将侧面PDE PBC PAB 、、伸展得到三棱锥BST P -． （2）在侧面PBS 内，连结并延长GF ，交PS 于K ． （3）在侧面PBT 内，连结并延长GH 交PT 于L ． （4）在侧面PST 内，连结KL 分别交PE PD 、于N M 、． 图

高二数学最新教案-多面体截面的画法 精品

多面体截面的画法 在学习立体几何时，常要遇到画具有特定条件的截面图的习题.如棱柱、棱锥、棱台等多面体的对角面，当然是很容易画出的，但有些截面图是不容易画出的，一不小心，往往会画错. 用一个平面截面截割多面体，所得的公共平面图形称为多面体的截面，这个平面称为截平面.在立体几何中，简称截面.多面体的表面是由多边形所组成，因此，它被平面所截的截面一定也是一个平面多边形，这个平面多边形的各边是多面体与截面的交线（称为截交线），其顶点是多面体的棱与截面的交点，所以F 面体的截面的边数，最多不会超过 F ，最少当然是3.例如四棱柱有六个面，所以截面可能是六边形、五边形、四边 形或三角形，决不可能是七边形. 画多面体截面的关键在于根据确定截面的条件，作出截面与棱的交点（截 面的顶点）.确定多面体截面的条件，而确定平面的条件是以过不在一直线的任 意三点为基础的，所以多面体截面的画法，是以过不在一直线的任意三点所确 定截面的画法为最基本，下面我们通过一些例子，介绍多面体截面的几种画法. 一、直接法 由直接连接不在一直线的三点，或根据多面体的性质作平行线画出截面的方法，我们将它称为直接法. 图1 例1.求作过立方体棱上三个已知点A 、B 、C （图1）的截面. 画法：连接AB 、BC 、CA 便得所求截面ABC . 从本例可看出，同一个面上的两个已知点的连线才是截交线，如果本例的三 个已知点A 、B 和C 的位置如图2所示，这时AC 就不是截交线.因为面EF ∥面 GH ，所以只要过C 作CD ∥BA 交EI 于D ，连AD ，便得所求截面ABCD . 二、三面共点法 利用截面与多面体相邻两面交于一点的原理来画截面的方法称为三面共点 法. 例2.求作过正四棱锥棱上的三个已知点A 、B 和C （图3）的截面. 图2 我们采用三面共点法作出截面.首先利用截平面与面SKM 、面LM 交于一点，然后采用截平面与面SMN 、面LM 交于一点作出截面.具体画法如下： （1）作直线AB ，交MK 的延长线于F ，连接FC 交LK 于E ，交MN 的延长线于Q . （2）连接QB ，交SN 于D ，又连接CD 、AE 便得所求截面ABDCE . 图3 图4 例3.求作过正四棱台棱上的三个已知点A 、B 和C （图4）的截面 .

多面体截面的画法

多面体截面的画法 在学习立体几何时，常要遇到画具有特定条件的截面图的习题.如棱柱、棱锥、棱台等多面体的对角面，当然是很容易画出的，但有些截面图是不容易画出的，一不小心，往往会画错. 用一个平面截面截割多面体，所得的公共平面图形称为多面体的截面，这个平面称为截平面.在立体几何中，简称截面.多面体的表面是由多边形所组成，因此，它被平面所截的截面一定也是一个平面多边形，这个平面多边形的各边是多面体与截面的交线（称为截交线），其顶点是多面体的棱与截面的交点，所以F面体的截面的边数，最多不 会超过F，最少当然是3.例如四棱柱有六个面，所以截面可能是六边形、五边 形、四边形或三角形，决不可能是七边形. 画多面体截面的关键在于根据确定截面的条件，作出截面与棱的交点（截 面的顶点）.确定多面体截面的条件，而确定平面的条件是以过不在一直线的任 意三点为基础的，所以多面体截面的画法，是以过不在一直线的任意三点所确 定截面的画法为最基本，下面我们通过一些例子，介绍多面体截面的几种画法. 一、直接法 由直接连接不在一直线的三点，或根据多面体的性质作平行线画出截面的方法，我们将它称为直接法. 图1 例1.求作过立方体棱上三个已知点A、B、C（图1）的截面. 画法：连接AB、BC、CA便得所求截面ABC. 从本例可看出，同一个面上的两个已知点的连线才是截交线，如果本例的三 个已知点A、B和C的位置如图2所示，这时AC就不是截交线.因为面EF∥面 GH，所以只要过C作CD∥BA交EI于D，连AD，便得所求截面ABCD. 二、三面共点法 利用截面与多面体相邻两面交于一点的原理来画截面的方法称为三面共点法. 例2.求作过正四棱锥棱上的三个已知点A、B和C（图3）的截面. 图2 我们采用三面共点法作出截面.首先利用截平面与面SKM、面LM交于一点，然后采用截平面与面SMN、面LM交于一点作出截面.具体画法如下： （1）作直线AB，交MK的延长线于F，连接FC交LK于E，交MN的延长线于Q. （2）连接QB，交SN于D，又连接CD、AE便得所求截面ABDCE. 图3 图4 例3.求作过正四棱台棱上的三个已知点A、B和C（图4）的截面.

平面截多面体的截面

平面截多面体的截面 上海市崇明中学杨春耀 【教学目标】 1. 通过从具体到抽象的过程，逐步形成并理解平面截多面体的截面概念. 2. 通过多面体截面作法的探究，体会作多面体截面的基本方法一一“连延交” 3. 经历作多面体截面的过程，体会转化思想，培养空间想象力. 【教学重点】截面的概念及作法. 【教学难点】截面的作法. 【教学过程】 一、复习引入： 1. 通过实例说明作截面的现实需要性（课件显示）. 2. 公理与性质回顾： 公理1 :如果直线I上有两个点在平面上，那么直线I在平面上. 公理2如果不同的两个平面、有一个公共点A,那么、的交集是经过点 A的直线I. 公理3:不在同一直线上的三点确定一个平面. 若平面与平面相互平行，平面与、的交线分别为直线a、b,则a//b. 二、概念形成：

例题：在正方体ABCD-/BGD中， (1) 作出由点A、G、D确定的平面与正方体表面的所有交线； (2) 若点P位于棱DD±，作出由点A、C、P确定的平面与正方体表面的交线. ★体会：确定“平面与正方体表面的交线”的尖键是“找到正方体的表面与平面的两个公共点”. ⑶点P位于面AADD±，作出由点AGP确定的平面与正方体表面的交 线； ⑷作出由点A、Q A确定的平面与正方体表面的交线. ★体会：⑶初步体会“延”的必要性，“寻找平面与正方体另一个表面的公共点” 的尖键是“找到正方体的棱与平面的公共点”. ⑷“平面与正方体两平行平面的交线”也可以由“平行线法”获得. 平面截多面体的截面概念：当一个平面截多面体时，多面体的表面与平面的交线围成的平 面图形叫做平面截多面体的截面? 思考：截面多边形的边与顶点在多面体上的位置如何 1 ■截面多边形的各边都在多面体的表面上； (截面多边形的两邻边在多面体的两个相邻面上?) 2.截面多边形的各顶点都在多面体的棱上. 三、概念巩固： 例题：在正方体ABCD-/BCD中，若点E、F、G分别为AB BG CD的中点. (5)作出由点E、F、G确定的平面截正方体ABCD■屈GD的截面；

多面体的截面(一)

多面体的截面（一） 黄继红 一、教学分析 按课标，“多面体的截面”要求学生会作长方体的截面（如截面过已知不共线的、位于棱上的三点，且仅以平面的基本性质为画图依据）。 按教材，“多面体的截面”是对点、线、面的位置关系在认识上的深化和提高，又是为后继几何体的体积学习作准备。“多面体的截面”定义在课本中仅以“小字”形式作为注意点呈现，例题的截面作法也仅用“交线法”。 我认为：我们松江二中的学生对这个内容的学习不应该仅停留在理解概念、巩固练习的层面，更应该把它上升为探究性理解水平的层次。 基于以上认识，我确立“正确理解多面体的截面概念，体会作多面体截面的基本方法——连延交”作为本课的主要目标。在设计思路上我以“明线”和“暗线”同时进行、不断贯穿“转化”思想来组织教学，这样可以进一步体验概念学习的过程，还能在各个环节上逐步体会“连延交”的基本方法。在问题设计上我采取“反复变式”、“层层递进”、“制造认知冲突”等手段突出本课重点、突破本课难点。又考虑到我校学生已经较好地掌握公理4和面面平行的有关知识，所以本课我在重点突出“连延交”基本方法的同时，适当渗透“平行线法”，这样可以更好地完善学生的认知结构。 明线：形成概念理解概念巩固应用 →→ 暗线：

关于课时安排。“多面体的截面”分为2课时完成，本课为第1课，仅以“正方体”为载体设计教学目标、重点和难点。第2课安排以棱锥、三棱柱、长方体为例，进一步巩固多面体的截面作法，并说明截面分多面体为怎样的两个多面体、画出这两个多面体的直观图。 二、教学目标 ⑴通过从具体到抽象的过程，逐步形成并理解平面截多面体的截面概念。 ⑵通过正方体的截面作法的探究，体会作多面体截面的基本方法——“连延交”。 ⑶经历作正方体截面的过程，体会转化思想，培养空间想象力。 三、教学重点 截面的概念及作法 教学难点 如何“连” 四、教学过程 1、形成概念 引例 如图正方体ABCD A B C D ''''-，请画出由点 A '、、确定的平面C 'D α与正方体表面的交线。 变式1 点位于棱P DD '上，请画出由点A '、 C '、 确定的平面P α与正方体表面的交线。 变式2 点位于正方体的面P AA D D ''上，请画出由点 A '、、确定的平面C 'P α与正方体表面的交线。

多面体外接球半径常见的5种求法

多面体外接球半径常见的5种求法 文/郭军平 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8 x x x h h =??=??∴??=??=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12r = ，球心到底面的距离d =. ∴外接球的半径1R ==.43 V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= ∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直， 则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直

15.2.2空间多面体的截面的作法

空间多面体截面的作法 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集（交线）叫做截线．此平面与几何体的棱的交集（交点）叫做截点． 作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面． 作截线与截点的主要根据有： （1）确定平面的条件． （2）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线． （3）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． （4）如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． （5）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行． 主要画法是交线法．即求出截面所在的平面与多面体某一表面所在平面的交线，再找出各有关截线（或其延长线）与此交线的交点． 例1 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，G F E 、、分别在1DD BC AB 、、上，求作过G F E 、、三点的截面． 作法：（1）在底面AC 内，过F E 、作直线EF 分别与DC DA 、的延长线交于M L 、． （2）在侧面D A 1内，连结LG 交1AA 于K ． （3）在侧面C D 1内，连结GM 交1CC 于H ． （4）连结KE 、FH ．则五边形EFHGK 即为所求的截面．有时为了便于作截面，还须引进辅助面作为作图的中介． 例2 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、在两条棱上，G 在底面11C A 内，求过G F E 、、的截面． 作法：（1）在底面11C A 内，过G 作11//C B PQ ，交棱于Q P 、两点． （2）作辅助面PC ，在此面内，过F G 、作直线交BP 的延长线于M ． （3）在侧面B A 1内，连结ME ，交11B A 于K ． （4）在底面11C A 内，连结KG ，延长交11C B 于H ． （5）连结HF ． （6）在底面AC 内，作HK FL //，交AB 于L ． （7）连结EL ．则五边形ELFHK 为所求的截面．此外，对于面数较多的多面体，可以把其中一些表面伸展构成面数较少的多面体，使作图得解． 例 3 如图，五棱锥A B CD P -中，三条侧棱上各有一已知点H G F 、、，求作过H G F 、、的截面． 作法：（1）将侧面PDE PBC PAB 、、伸展得到三棱锥BST P -． 图

《几何体的截面形状》研究性学习活动教学设计

《几何体的截面形状》研究性学习活动 教学设计 一、课题研究的背景 按《课标》要求，在高中阶段至少要有一次小组合作或独立数学探究活动和数学建模活动，而活动的开展是要有一个渐进的过程的，学生需要一个逐步适应、了解和认识自主探究、合作学习的过程，所以在本模块设计该课题，是为实施更为完整的数学探究、数学建模活动做准备。 二、课题研究的目的和意义 帮助学生认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力；通过课题研究给学生提供一个施展所学的舞台，促进学生对所学知识的应用和反思，加深对空间图形的认识和理解。此外，该课题的学习有助于发展学生自主学习的能力，体验数学研究的过程，认识数学研究中直观和严谨、感性猜测和理性推理的关系，鼓励学生发挥自己的想象力和创造力。 三、课题研究的目标 体会转化、降维、类比等数学思想，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，提高交流表达能力，提高独立、合作小组探究学习获取知识的能力，培养学生把握空间图形的能力，学会欣赏空间图形所反映的数学美。 1、知识与能力：通过用一个平面去截一个正方体的切截活动过程，掌握空间图形与截面的关系，发展学生的空间观念，发展几何直觉。使学生经历观察、猜想、实际操作验证、推理等数学活动过程，发展学生的动手操作、自主探究、合作交流和分析归纳能力。 2、过程与方法及解决的问题：采用多种途径查阅资料（图书馆查阅、网页查阅、调查访问教师、专家、学者等）；能对各种资源

进行整合、筛选、整理、分析；经历发现问题、分析问题、解决问题的研究过程，初步学会探究学习的方法；经过小组合作学习，能写出调查报告。 丰富对空间图形的认识和感受，发展空间观念和形象思维，通过总结，归纳，获得经验。 3、情感态度与价值观：通过以教师为主导，引导学生观察发现、大胆猜想、动手操作、自主探究、合作交流，使学生在合作学习中体验到：数学活动充满着探索和创造。通过小组的合作，加强自己与同学之间的人际关系，了解团队的力量。使学生获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学的兴趣。同时培养学生积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识，激发学生对空间与图形学习的好奇心。 四、重点与难点 重点：引导学生经历用一个平面去截一个正方体的切截活动过程，体会截面和几何体的关系，充分让学生动手操作、自主探索、合作交流。 难点：1. 从切截活动中发现规律，并能用自己的语言合理清晰地来表达出自己的思维过程。 2. 能应用规律来解决问题，从理论上理解截出五边形、六边形的可能性，以及七边形的不可能性。 五、学生起点分析 所有高中学生在新世纪版北师大教材《数学》七年级上册第一章已经学习了《截一个几何体》知识，它是初中新课程改革中的新增内容，学生已经简单经历了切截几何体的实际操作活动，发展了学生的空间观念，激发了学生学习兴趣。学生已经具备了基本的观察、操作、推理、交流的能力。也就是说学生在研究性学习前，已经掌握了长方体，正方体，圆柱体，圆锥体和球体等常见的几何体的特点，理解了各种生活中所熟悉的几何体的表面组成；掌握了点，线，面，体四者之间的动态与静态的关系，再加之学生好奇心强，喜欢探索、解剖身边的事物，对出现在自己周围的物品进行实际的动手切截，热情势必较高，再配合创设一系列合理的问题情景，组织学生进行一些生动有趣的数学活动，本节课会极大地调动学生参与的积极性。

多面体外接球半径常见的求法整理

多面体外接球半径常见求法 知识回顾： 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。 一、公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 三、补形法 例3 ，则其外接球的表面积是 . 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为 R ，则有2R = 变式1：

变式2：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ） A ．26a π B ．29a π C ．212a π D ．224a π 四、寻求轴截面圆半径法 例4 正四棱锥S ABCD - S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习. 变式1：求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积 变式2：正三棱锥的高为 1 ，底面边长为 。求棱锥的内切球的表面积。 C D A B S O 1图3

平面截多面体的截面

平面截多面体的截面 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

15.2.2平面截多面体的截面 上海市崇明中学杨春耀 【教学目标】 ⒈通过从具体到抽象的过程，逐步形成并理解平面截多面体的截面概念． ⒉通过多面体截面作法的探究，体会作多面体截面的基本方法——“连延交”． ⒊经历作多面体截面的过程，体会转化思想，培养空间想象力． 【教学重点】截面的概念及作法． 【教学难点】截面的作法． 【教学过程】 一、复习引入： ⒈通过实例说明作截面的现实需要性（课件显示）． ⒉公理与性质回顾： 公理1：如果直线l上有两个点在平面?上，那么直线l在平面?上． 公理2：如果不同的两个平面?、?有一个公共点A，那么?、?的交集是经过点A的直线l． 公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面． 若平面?与平面?相互平行，平面?与?、?的交线分别为直线a、b，则a∥b． 二、概念形成： 例题：在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ⑴作出由点A1、C1、D确定的平面?与正方体表面的所有交线； ⑵若点P位于棱DD1上，作出由点A1、C1、P确定的平面?与正方体表面的交线． ★体会：确定“平面?与正方体表面的交线”的关键是“找到正方体的表面与平面? 的两个公共点”． ⑶点P位于面AA1D1D上，作出由点A、C、P确定的平面?与正方体表面的交线； ⑷作出由点A、C、A1确定的平面?与正方体表面的交线． ★体会：⑶初步体会“延”的必要性，“寻找平面?与正方体另一个表面的公共点”的关键是“找到正方体的棱与平面?的公共点”． ⑷“平面?与正方体两平行平面的交线”也可以由“平行线法”获得． 平面截多面体的截面概念：当一个平面截多面体时，多面体的表面与平面的交线围成 的平面图形叫做平面截多面体的截面． 思考：截面多边形的边与顶点在多面体上的位置如何 ⒈截面多边形的各边都在多面体的表面上； (截面多边形的两邻边在多面体的两个相邻面上.) ⒉截面多边形的各顶点都在多面体的棱上． 三、概念巩固： 例题：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点E、F、G分别为AB、BC、C1D1的中点． ⑸作出由点E、F、G确定的平面?截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面； ⑹作出由点E、F、D1确定的平面?截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面． 通过⑸、⑹总结作截面的常用方法，并比较方法的优劣． 四、应用拓展：

欧拉多面体公式

多面体欧拉公式的历史、建立过程和方法 古希腊的毕达哥拉斯学派和柏拉图学派,他们发现了五种正多面体:正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。欧几里得在《几何原本》中曾试图证明只有这五种正多面体,但没有成功。在很长的历史时期里,这个问题没有解决。后来,人们逐渐认识到,依靠角度、长度、面积等几何量的测量或计算,这个问题难以解决,而从多面体的顶点数、棱数和面数的关系入手,有可能获得成功。 1639年,笛卡儿考察了五种正多面体顶点数(V)、棱数(E)和面数(F)的关系,采用不完全归纳法,猜测到:顶点数与面数之和减去棱数,是一个不变量2,也就是:V+F-E=2。后来,他又用一些简单的多面体来验证自己的猜想,但是没有给出严格的证明,也没有发表。 1751年,欧拉给出了这一性质的一个证明。后人称它为多面体欧拉公式。欧拉之所以对这一性质感兴趣,是要用它来做多面体的分类。[1]但欧拉没有考虑到连续变换下的不变性。 欧拉问题的提出：任意一个三角形的内角和为180度,与三角形的形状无关,进而得到任一个凸n 边形的内角和为π)2(-n ,表明凸多边形的内角和由边数完全决定,而与形状无关。那么，推广到空间,对于由若干个多边形围成的凸多面体,是否也有某种类似的简单性质呢?欧拉就这样由类比提出了问题。 欧拉证明如下： 一个多面体有几种角呢?每条棱处有一个由两个面组成的二面角;每个顶点处,有一个由相交于这个顶点的各个面所围成的角,叫立体角(它的大小等于以立体角顶点为球心的单位球面被这个立体角的各个面所截出的球面多边形的面积的大小)；每个面多边形的每一个内角,叫多面体的一个面角。欧拉首先考察多面体的所有二面角之和(记为 ∑δ）及所有立体角之和(记为∑ω),看它们是否有某种简单的性质。 欧拉从最简单的多面体—四面体开始考察。四面体由四个三角形围成(图1),为了便于计算,欧拉考察了两种退化的情形。 (1)四面体退化成一个三角形和它内部一点与三个顶点所连成的线段(图2)。

平面截多面体的截面

平面截多面体的截面 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】

15.2.2平面截多面体的截面 上海市崇明中学杨春耀 【教学目标】 ⒈通过从具体到抽象的过程，逐步形成并理解平面截多面体的截面概念． ⒉通过多面体截面作法的探究，体会作多面体截面的基本方法——“连延交”． ⒊经历作多面体截面的过程，体会转化思想，培养空间想象力． 【教学重点】截面的概念及作法． 【教学难点】截面的作法． 【教学过程】 一、复习引入： ⒈通过实例说明作截面的现实需要性（课件显示）． ⒉公理与性质回顾： 公理1：如果直线l上有两个点在平面?上，那么直线l在平面?上． 公理2：如果不同的两个平面?、?有一个公共点A，那么?、?的交集是经过点A的直线l． 公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面． 若平面?与平面?相互平行，平面?与?、?的交线分别为直线a、b，则a∥b． 二、概念形成： 例题：在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ⑴作出由点A1、C1、D确定的平面?与正方体表面的所有交线； ⑵若点P位于棱DD1上，作出由点A1、C1、P确定的平面?与正方体表面的交线． ★体会：确定“平面?与正方体表面的交线”的关键是“找到正方体的表面与平面?的两个公共点”． ⑶点P位于面AA1D1D上，作出由点A、C、P确定的平面?与正方体表面的交线； ⑷作出由点A、C、A1确定的平面?与正方体表面的交线． ★体会：⑶初步体会“延”的必要性，“寻找平面?与正方体另一个表面的公共点”的关键是“找到正方体的棱与平面?的公共点”． ⑷“平面?与正方体两平行平面的交线”也可以由“平行线法”获得． 平面截多面体的截面概念：当一个平面截多面体时，多面体的表面与平面的交线围成的平面 图形叫做平面截多面体的截面． 思考：截面多边形的边与顶点在多面体上的位置如何 ⒈截面多边形的各边都在多面体的表面上； (截面多边形的两邻边在多面体的两个相邻面上.) ⒉截面多边形的各顶点都在多面体的棱上． 三、概念巩固： 例题：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点E、F、G分别为AB、BC、C1D1的中点． ⑸作出由点E、F、G确定的平面?截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面； ⑹作出由点E、F、D1确定的平面?截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面．通过⑸、⑹总结作截面的常用方法，并比较方法的优劣． 四、应用拓展： 分别在下列三棱锥、长方体、三棱柱中作出由点E、F、G确定的平面?截该多面体所得的截面： ⒈三棱锥A-BCD中，点E、F在面ACD上，点G在棱BC上； ⒉长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F在面ABB1A1上，点G在面A1B1C1D1上． ⒊三棱柱ABC-A1B1C1中，点E、F、G分别在棱A1C1、B1C1、BC上． 五、课堂小结： ⒈平面截多面体的截面． ⒉多面体截面作法．

平面截多面体的截面

15.2.2 平面截多面体的截面 上海市崇明中学 杨春耀 【教学目标】 ⒈ 通过从具体到抽象的过程，逐步形成并理解平面截多面体的截面概念． ⒉ 通过多面体截面作法的探究，体会作多面体截面的基本方法——“连延交”． ⒊ 经历作多面体截面的过程，体会转化思想，培养空间想象力． 【教学重点】 截面的概念及作法． 【教学难点】 截面的作法． 【教学过程】 一、复习引入： ⒈ 通过实例说明作截面的现实需要性（课件显示）． ⒉ 公理与性质回顾： 公理1：如果直线l 上有两个点在平面?上，那么直线l 在平面?上． 公理2：如果不同的两个平面?、?有一个公共点A ，那么? 、?的交集是经过点A 的直线l ． 公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面． 若平面?与平面?相互平行，平面?与?、?的交线分别为直线a 、b ，则a ∥b ． 二、概念形成： 例题：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， ⑴ 作出由点A 1、C 1、D 确定的平面?与正方体表面的所有交线； ⑵ 若点P 位于棱DD 1上，作出由点A 1、C 1、P 确定的平面?与正方体表面的交线． ★ 体会：确定“平面?与正方体表面的交线”的关键是“找到正方体的表面与平面?的两个公共点”． ⑶ 点P 位于面AA 1D 1D 上，作出由点A 、C 、 P 确定的平面?与正方体表面的交线； ⑷ 作出由点A 、C 、A 1确定的平面?与正方体表面的交线． ★ 体会：⑶ 初步体会“延”的必要性，“寻找平面?与正方体另一个表面的公共点”的关键是“找到正 方体的棱与平面?的公共点”． ⑷ “平面?与正方体两平行平面的交线”也可以由“平行线法”获得． 平面截多面体的截面概念：当一个平面截多面体时，多面体的表面与平面的交线围成的平面图形叫做平面截 多面体的截面． 思考：截面多边形的边与顶点在多面体上的位置如何？ ⒈ 截面多边形的各边都在多面体的表面上； (截面多边形的两邻边在多面体的两个相邻面上.) ⒉ 截面多边形的各顶点都在多面体的棱上． 三、概念巩固： 例题：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若点E 、F 、G 分别为AB 、BC 、C 1D 1的中点． ⑸ 作出由点E 、F 、G 确定的平面?截正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的截面； ⑹ 作出由点E 、F 、D 1确定的平面?截正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的截面． 通过⑸、⑹总结作截面的常用方法，并比较方法的优劣． 四、应用拓展： 分别在下列三棱锥、长方体、三棱柱中作出由点E 、F 、G 确定的平面? 截该多面体所得的截面： ⒈ 三棱锥A-BCD 中，点E 、F 在面ACD 上，点G 在棱BC 上； ⒉ 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 在面ABB 1A 1上，点G 在面A 1B 1C 1D 1上． ⒊ 三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，点E 、F 、G 分别在棱A 1C 1、B 1C 1、BC 上． 五、课堂小结： ⒈ 平面截多面体的截面． C D C 1B 1B A 1D 1A C D C 1B 1B A 1D 1P A F E C D C 1B 1B D 1A 1A G F E C D C 1B 1 B A 1D 1A B D A E F G C B A 1B 1 C 1A E F G

平面截多面体的截面

15.2.2平面截多面体的截面 上海市崇明中学杨春耀 【教学目标】 ⒈通过从具体到抽象的过程，逐步形成并理解平面截多面体的截面概念． ⒉通过多面体截面作法的探究，体会作多面体截面的基本方法——“连延交”． ⒊经历作多面体截面的过程，体会转化思想，培养空间想象力． 【教学重点】截面的概念及作法． 【教学难点】截面的作法． 【教学过程】 一、复习引入： ⒈通过实例说明作截面的现实需要性（课件显示）． ⒉公理与性质回顾： 公理1：如果直线l上有两个点在平面?上，那么直线l在平面?上． 公理2：如果不同的两个平面?、?有一个公共点A，那么?、?的交集是经过点A的直线l． 公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面． 若平面?与平面?相互平行，平面?与?、?的交线分别为直线a、b，则a∥b．二、概念形成： 例题：在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ⑴作出由点A1、C1、D确定的平面?与正方体表面的所有交线； ⑵若点P位于棱DD1上，作出由点A1、C1、P确定的平面?与正方体表面的交线． ★体会：确定“平面?与正方体表面的交线”的关键是“找到正方体的表面与平面?的两个公共点”． ⑶点P位于面AA1D1D上，作出由点A、C、P确定的平面?与正方体表面的交线； ⑷作出由点A、C、A1确定的平面?与正方体表面的交线． ★体会：⑶初步体会“延”的必要性，“寻找平面?与正方体另一个表面的公共点”的关键是“找到正方体的棱与平面?的公共点”． ⑷“平面?与正方体两平行平面的交线”也可以由“平行线法”获 得． 平面截多面体的截面概念：当一个平面截多面体时，多面体的表面与平面的交线 围成的平面图形叫做平面截多面体的截面． 思考：截面多边形的边与顶点在多面体上的位置如何 ⒈截面多边形的各边都在多面体的表面上； (截面多边形的两邻边在多面体的两个相邻面上.) ⒉截面多边形的各顶点都在多面体的棱上． 三、概念巩固： 例题：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点E、F、G分别为AB、BC、C1D1的中点． ⑸作出由点E、F、G确定的平面?截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面； ⑹作出由点E、F、D1确定的平面?截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面． 通过⑸、⑹总结作截面的常用方法，并比较方法的优劣．