当前位置：文档库 › 第30讲数列求和及数列实际问题

第30讲数列求和及数列实际问题

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]

高三新数学第一轮复习教案（讲座30）—数列求和及数列实际问

题

一．课标要求：

1．探索并掌握一些基本的数列求前n 项和的方法；

2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。

二．命题走向

数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目。有关命题趋势：

1．数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的综合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是高考的重点；

2．数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目能突出考察学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度；

3．数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的结合等； 4．有关数列的应用问题也一直备受关注。

预测2007年高考对本将的考察为：

1．可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题； 2．也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题上等联系的综合题，以及数列、数学归纳法等有机结合。

三．要点精讲

1．数列求通项与和

（1）数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =???--1

1s s s n n 12

=≥n n 。

（2）求通项常用方法

①作新数列法。作等差数列与等比数列；

②累差叠加法。最基本的形式是：a n =(a n －a n －1)+(a n －1+a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1；

③归纳、猜想法。（3）数列前n 项和 ①重要公式：1+2+…+n=

1n(n+1)；

12+22+…+n 2

1n(n+1)(2n+1)；

13+23+…+n 3=(1+2+…+n)2=4

1n 2(n+1)2；

②等差数列中，S m+n =S m +S n +mnd ；

③等比数列中，S m+n =S n +q n

S m =S m +q m

S n ； ④裂项求和

将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：)1

(

)

)((1

C An B

An B C C An B An a n +-

+-=

++=

、

)1(1

+n n =n

1－11+n 、n ·n ！=(n+1)!－n!、C n －1r －1=C n r －C n －1r 、

1(+n n =!

1n －

1(1+n 等。

⑤错项相消法

对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错项相消法。

n n c b a ?=, 其中

{}

n b 是等差数列，

{}

n c 是等比数列，记

n n n n n c b c b c b c b S ++?++=--112211，则1211n n n n n qS b c b c b c -+=+??++，…

⑥并项求和

把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S n 。

数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 ⑦通项分解法：n n n c b a ±= 2．递归数列

数列的连续若干项满足的等量关系a n+k =f(a n+k －1,a n+k －2,…,a n )称为数列的递归关系。由递归关系及k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由a n+1=2a n +1，及a 1=1，确定的数列}12{-n

即为递归数列。

递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。（2）迭代法。

（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。

（4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。

四．典例解析

题型1：裂项求和

例1．已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：∑

=+n

i i i a a 1

1。

解析：首先考虑

∑

=+n

i i i a a 1

1∑

=+-

i i i

a a d 1

)11

(

，则

∑

=+n

i i i a a 1

)11

(

++=

n n a a n a a d 。

点评：已知数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列

求和

i i d ===∑

∑

例2．求)(,32114

3211

211

N n n

∈++++++++++

+++

。

解析：)1(2211+=

+?++=

k k k a k ，

])

1n (n 1

212

11[

2S n ++

?+?+?=∴

211121113121211[2=

??? ?

+-=??? ??+-+?+??? ??-+??? ?

=n n n n 点评：裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些。

题型2：错位相减法

例3．设a 为常数，求数列a ，2a 2，3a 3，…，na n ，…的前n 项和。

解析：①若a=0时，S n =0； ②若a=1，则S n =1+2+3+…+n=

)1n (n 2

1-；

③若a ≠1，a ≠0时，S n -aS n =a （1+a+…+a n-1-na n ）， S n =

]na

a )1n (1[)

a 1(a 1

n n 2

+++--。

例4．已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令

)(lg N n a a b n n n ∈?=，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

解析：,lg n n n n a a b n a a ==? ，

(23)lg (23)lg n

n n n S a a a na a aS a a a na

a +∴=++++=++++ ……①……②

①-②得：a na

a a a S a n n n lg )()1(1

2+-+++=- ，

[]n

n a na n a a a S )1(1)

1(lg 2

-+--=

∴

点评：设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n

S 求解，均可用错位相减法。题型3：倒序相加

例5．求S C C nC n n n n n

=+++36312…。

解析：S C C C nC n n n n n n

=++++0363012·…。 ①

又S nC n C C C n n n n n n n =+-+++-33130110()…·。 ②

所以S n n n =-321·。

点评：S n 表示从第一项依次到第n 项的和，然后又将S n 表示成第n 项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到S n 的一种求和方法。

例6．设数列{}n a 是公差为d ，且首项为d a =0的等差数列，

求和：n

n n n n n C a C a C a S +++=+ 11001

解析：因为n

n n n n n C a C a C a S +++=+ 11001，

001

11n n n

n n n n n C a C a C a S +++=--+ n

n n n n n C a C a C a 0110+++=- ，

101102()()()n

n n n n n n n S a a C a a C a a C +-∴=++++++

00()()()2n

n n n n n a a C C C a a =++++=+

10()2

n n n S a a -+∴=+?。

点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列{}n a 的前n 项和n S 12)1(+-=n n ，

是否存在等差数列{}n b 使得n

n n n n n C b C b C b a +++= 2211对一切自然数n 都成立。

题型4：其他方法

例7．求数列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n 项和。

解析：本题实质是求一个奇数列的和。在该数列的前n 项中共有1212

+++=

+…n n n ()个奇数，故S n n n n n n n =

++++-=

+()[

(())]()

1112

×。

例8．求数列1，3＋

，32＋13

，……，3n ＋

的各项的和。

解析：其和为(1＋3＋ (3)

)＋(13

+＋……＋13

132

n n

+--+

(3n ＋1－

3-n )。

题型5：数列综合问题

例9．（ 2006年浙江卷）已知函数()f x ＝x 3+x 2

，数列 | x n | （x n > 0）的第一项x 1

＝1，以后各项按如下方式取定：曲线y ＝()f x 在11(())n n x f x ++?处的切线与经过（0，0）和（x n ，f （x n ））两点的直线平行（如图）。

求证：当n ∈*N 时：（I ）221132n n n n x x x x -++=+；（II ）1

1()

()2

n n n x --≤≤。

解析：（I ）因为'2

()32,f x x x =+

所以曲线()y f x =在11(,())n n x f x ++处的切线斜率12

1132.n n n k x x +++=+

因为过(0,0)和(,())n n x f x 两点的直线斜率是2

,n n x x +

所以22

1132n n n n x x x x +++=+.

（II ）因为函数2

()h x x x =+当0x >时单调递增，

而221132n n n n x x x x +++=+21142n n x x ++≤+2

11(2)2n n x x ++=+

所以12n n x x +≤，即

11,2

n n x x +≥

因此11

11().2

n n

n n n n x x x x x x x ----=

?????

≥ 又因为12

12(),n n n n x x x x +++≥+

令2

,n n n y x x =+则

11.2

n n

y y +≤

因为21112,y x x =+=所以1

1()

().2

n n n y y --≤?=

因此2

()

n n n n x x x -≤+≤

故1

1()

().2

n n n x --≤≤

点评：数列与解析几何问题结合在一块，数列的通项与线段的长度、点的坐标建立起联系。

例10．（2006年辽宁卷）已知0(),n

f x x ='

11()()(1)

k k k f x f x f --=

,其中(,)k n n k N +≤∈,

设021222

01()()()...()...()k n n n n k n n F x C f x C f x C f x C f x =+++++,[]1,1x ∈-。

(I) 写出

(1k f ；(II)

证明:对任意的

[]

12,1,1x x ∈-,恒有

12()()2

(2)1n F x F x n n --≤+--。

解析：(I)由已知推得()(1)n k

k f x n k x -=-+,从而有(1)1k f n k =-+；

(II) 证法1:当11x -≤≤时，

212(1)

22(2)

2()

()(1)...(1)...21n

n n k n k n n n n n F x x

nC x

n C x

n k C x

C x ----=++-+-++++

当x>0时, ()0F x '>,所以()F x 在[0,1]上为增函数。

因函数()F x 为偶函数所以()F x 在[－1,0]上为减函数，

所以对任意的[]12,1,1x x ∈-12()()(1)(0)F x F x F F -≤-， 0

1210(1)(0)(1)...(1)...2(1)...(1)...2k

n n n n n n n n n k n

F F C nC n C n k C C nC

n C

n k C

C C

-----=++-+-+++=+-+-++++

(1)()(1,2,31)

n k

n n

k k n n

n k C n k C C nC

C k n -----+=-+=+=-

1111

(1)(0)(...)(...)(2

1)212(2)1

k n n n n n n n n n n

n F F n C C C C C C C n n n --------=++++++=-+-=+--

因此结论成立。

证法2：当11x -≤≤时,

212(1)

22(2)

2()

()(1)...(1)...21n

n n k n k n n n n n F x x

nC x

n C x

n k C x

C x ----=++-+-++++

当x>0时, ()0F x '>,所以()F x 在[0,1]上为增函数。

因函数()F x 为偶函数所以()F x 在[-1,0]上为减函数

所以对任意的[]12,1,1x x ∈-12()()(1)(0)F x F x F F -≤-

(1)(0)(1)...(1)...2k

n n n n n n

F F C nC n C n k C C --=++-+-+++

又因12110

(1)(0)23......k n n n n n n F F C C kC nC C ---=++++++ 所以121102[(1)(0)](2)[......]2k n n n n n n F F n C C C C C ---=+++++++

121

2(1)(0)[......]2

2(22)12

(2)1

k n n n n

n n

n n F F C C C C C n n n ---+-=+++++++=-+=+--

因此结论成立。

证法3：当11x -≤≤时,

212(1)

22(2)

2()

()(1)...(1)...21n

n n k n k n n n n n F x x

nC x

n C x

n k C x

C x ----=++-+-++++

当x>0时, ()0F x '>,所以()F x 在[0,1]上为增函数。

因为函数()F x 为偶函数所以()F x 在[－1,0]上为减函数。

所以对任意的[]12,1,1x x ∈-12()()(1)(0)F x F x F F -≤-

(1)(0)(1)...(1)...2k

n n n n n n

F F C nC n C n k C C --=++-+-+++

由

121

[(1)][.....1]

.....n n n n k n k

n n n n n n

n k n k n n

x x x x C x C x

C x

C x C x C x

C x

x x

------+-+-=+++++=+++++

对上式两边求导得：

(1)(1)

(1)...(1)..21

n n

n n k n k

n n n n n x x nx x nx nC x

n C x

n k C x

C x -----+-++-=+-+-++++ 22

212

()(1)(1)n

n n F x x

n x x

n x

=+++- 1

(1)(0)221(2)2

n n F F n n n n --∴-=+--=+--

因此结论成立。

点评：数列与函数、导数结合在一块，考察数列是一种特殊的函数的性质，其中还要用到数列的函数性质来解释问题。题型6：数列实际应用题

例11．某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种

获利更多？

（取665.575.1,786.133.1,629.105.1101010===）

解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，

①甲方案获利：63.423

.01

.1%)301(%)301(%)301(110

≈-=

+++++++ （万

元），

银行贷款本息：29.16%)51(1010≈+（万元），故甲方案纯利：34.2629.1663.42=-（万元），

②乙方案获利：

5.02

910110)5.091()5.021()5.01(1??+?=?+++?++++

50.32=（万元）；

银行本息和：]%)51(%)51(%)51(1[05.192+++++++?

21.1305

.01

.105.110

≈-?

=（万元）

故乙方案纯利：29.1921.1350.32=-（万元）；综上可知，甲方案更好。

点评：这是一道比较简单的数列应用问题，由于本息金与利润是熟悉的概念，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解。

例12．（2005湖南20）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量，n ∈N *，且x 1＞0.不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n 成正比，死亡量与x n 2成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c 。（Ⅰ）求x n+1与x n 的关系式；

（Ⅱ）猜测：当且仅当x 1，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）

（Ⅱ）设a ＝2，b ＝1，为保证对任意x 1∈（0,2），都有x n ＞0，n ∈N *，则捕捞强度b 的最大允许值是多少？证明你的结论。

解析：（I ）从第n 年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax n ，被捕捞量为b x n ，死亡量

为

.(**)

*),1(.(*)*,,12

12N n cx b a x x N n cx bx ax x x cx n n n n n n n n n ∈-+-=∈--=-++即因此（II ）若每年年初鱼群总量保持不变，则x n 恒等于x 1， n ∈N*，

从而由（*）式得：

..0*,,0)(11c

b a x cx b a N n cx b a x n n -=

=--∈--即所以恒等于

因为x 1>0，所以a >b 。猜测：当且仅当a >b ，且c

b a x -=

1时，每年年初鱼群的总量保持不变。

（Ⅲ）若b 的值使得x n >0，n ∈N*

由x n +1=x n (3－b －x n ), n ∈N*, 知0

而x 1∈(0, 2)，所以]1,0(∈b 。

由此猜测b 的最大允许值是1.

下证当x 1∈(0, 2) ，b=1时，都有x n ∈(0, 2), n ∈N* ①当n=1时，结论显然成立。

②假设当n=k 时结论成立，即x k ∈(0, 2)，则当n=k+1时，x k+1=x k (2－x k )>0。又因为x k+1=x k (2－x k )=－(x k －1)2+1≤1<2, 所以x k+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立. 由①、②可知，对于任意的n ∈N*，都有x n ∈(0,2)。

点评：数学归纳法在猜想证明数列通项和性质上有很大的用处，同时该题又结合了实际应用题解决问题。题型7：课标创新题

例13．（2006年北京卷）在数列{}n a 中，若12,a a 是正整数，且

12||,3,4,5,n n n a a a n --=-= ，则称{}n a 为“绝对差数列”。

（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（Ⅱ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项。解析：（Ⅰ）a 1=3，a 2=1，a 3=2，a 4=1，a 5=1，a 6=0，a 7=1，a 8=1，a 9=0，a 10=1.（答案不唯一）；

（Ⅱ）证明：根据定义，数列{a n }必在有限项后出现零项.证明如下：

假设{a n }中没有零项，由于a n =|a n-1-a n-2|，所以对于任意的n ，都有a n ≥1,从而当a n-1 > a n-2时，a n = a n-1 －a n-2 ≤ a n-1－1（n≥3）；当a n-1 < a n-2时，a n = a n-2 － a n-1 ≤ a n-2－1（n≥3）,

即a n 的值要么比a n-1至少小1，要么比a n-2至少小1. 令c n =21212221

2(),

(),n n n n n n a a a a a a --->??

则00（n=1，2，3……）矛盾.从而{a n }必有零项。

若第一次出现的零项为第n 项，记a n-1=A （A ≠0），则自第n 项开始，没三个相邻的项周期地取值O ，A ，A ，即331320,

,0,1,2,3,,

n k n k n k a a A k a

A +++++=??

==??=?……

所以绝对等差数列{a n }中有无穷多个为零的项。

点评：通过设置“等差数列”这一概念加大学生对情景问题的阅读、分析和解决问题的能力。

例14．（2005江苏23）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11，且1(58)(52),1,2,3,n n n S n S An B n +--+=+=…，其中A,B 为常数。

（Ⅰ）求A 与B 的值；

（Ⅱ）证明数列{a n }为等差数列；

>对任何正整数m 、n 都成立

分析：本题是一道数列综合运用题，第一问由a 1、a 2、a 3求出s 1、s 2、s 3代入关系式，即求出A 、B ；第二问利用)1(1≥-=-n s s a n n n 公式，推导得证数列{a n }为等差数列。

解答：（1）由已知，得S 1=a 1=1,S 2=a 1+a 2=7,S 3=a 1+a 2+a 3=18。由(5n －8)S n+1－(5n+2)S n =An+B 知：

???-=+-=+??

?+=-+=--.482.

28,2122,7323

12B A B A B A S S B A S S 即。解得A =－20，B =－8。（Ⅱ）方法1

由（1）得，（5n-8）S n+1-(5n+2)S n =-20n-8, ① 所以 (5n-3)S n+2-(5n+7)S n+1=-20n-28, ② ②-①,得, (5n-3)S n+2-(10n-1)S n+1+(5n+2)S n =-20, ③ 所以 (5n+2)S n+3-(10n+9)S n+2+(5n+7)S n+1=-20.④

④-③,得 (5n+2)S n+3-(15n+6)S n+2+(15n+6)S n+1-(5n+2)S n =0. 因为 a n+1=S n+1-S n

所以 (5n+2)a n+3-(10n+4)a n+2+(5n+2)a n+1=0. 又因为 (5n+2)0≠,

所以 a n+3-2a n+2+a n+1=0, 即 a n+3-a n+2=a n+2-a n+1, 1≥n .

又 a 3-a 2=a 2-a 1=5,

所以数列}{n a 为等差数列。方法2.

由已知，S 1=a 1=1,

又(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =-20n-8,且5n-80≠,

所以数列}{}{n n a ，s 因而数列是惟一确定的

是惟一确定的。

设b n =5n-4,则数列}{n b 为等差数列，前n 项和T n =,2

)

35(-n n

于是 (5n-8)T n+1-(5n+2)T n =(5n-8)

,8202)

35()

25(2

)

25)(1(--=-+-++n n n n n n

由惟一性得b n =a,即数列}{n a 为等差数列。（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a n =1+5(n-1)=5n-4. 要证了

,15>-

n m mn a a a

只要证 5a mn >1+a m a n +2n m a a

因为 a mn =5mn -4,a m a n =(5m-4)(5n-4)=25mn -20(m+n)+16, 故只要证 5（5mn -4）>1+25mn -20(m+n)+16+2,n m a a

因为)291515(8558552-++-+<-+=+≤n m n m n m a a a a n m n m

=20m+20n-37,

所以命题得证。

点评：本题主要考查了等差数列的有关知识，不等式的证明方法，考查了分析推理、理性思维能力及相关运算能力等。

五．思维总结

1．数列求和的常用方法

（1）公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；

（2）裂项相消法：适用于?

???+1n n a a c 其中{ n a }是各项不为0的等差数列，

c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等；

（3）错位相减法：适用于{}n n b a 其中{ n a }是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列。

（4）倒序相加法：类似于等差数列前n 项和公式的推导方法.

（5）分组求和法

（6）累加（乘）法等。 2．常用结论

（1）1n

k k ==∑ 1+2+3+...+n =

)

1(+n n

（2）1

(21)n

k k =-=∑1+3+5+...+(2n-1) =2n

（3）31n

k k ==∑2

333)1(2121??

???+=+++n n n （4）21n

k k ==∑)12)(1(6

13212

222++=

++++n n n n

（5）

111)1(1+-

+n n

n n

11(21)

2(1+-=

+n n n n （6）

)()11(

11q p q

q pq

<--=

3．数学思想

（1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法）若1(),(2)n n a a f n n --=≥，则……；

（2）迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法）若1

()(2)n n a g n n a -=≥，则……；

（3）逆序相加（等差数列求和公式的推导方法）；（4）错位相减（等比数列求和公式的推导方法）。

数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结

数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念（1）若已知数列的第1项（或前项），且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么该公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法. （2）数列的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，可以用一个公式()n a f n =来表示，那么n a 就是数列的通项公式. 注：①并非所有的数列都有通项公式； ②有的数列可能有不同形式的通项公式； ③数列的通项就是一种特殊的函数关系式； ④注意区别数列的通项公式和递推公式. 题型归纳及思路提示题型1 数列通项公式的求解思路提示常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用递推公式和利用n S 与n a 的关系求解. 观察法根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项. 利用递推公式求通项公式 ①叠加法：形如1()n n a a f n +=+的解析式，可利用递推多式相加法求得n a ②叠乘法：形如1()n n a f n a -= (0)n a ≠*(2,)n n N ≥∈的解析式，可用递推多式相乘求得n a ③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对称变换法和同除以指数法. 利用n S 与n a 的关系求解形如 1(,)()n n n f S S g a -=的关系，求其通项公式，可依据 1* 1(1)(2,) n n n S n a S S n n N -=? =?-≥∈?，求出n a 观察法观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(1)n -或者1 (1) n -- 部分.②考虑各项的变化规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方{}2 n 、{}2n 与(1) n -有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列. 例6.20写出下列数列的一个通项公式：（1）325374 ,,,,,,;751381911 - --L

三年级下册数学试题-奥数专题讲练：第2讲数列求和精英篇(解析版)全国通用

第二讲数列求和知识导航德国有一位世界著名的数学家叫高斯（公元1777年-1855年）。他上小学的时候，老师出了一个题目，1+2+…+99+100＝？小高斯看了看，又想了想，很快说出结果是5050。同学们，你们知道他是怎么算出来的吗？原来小高斯在认真审题的基础上，发现题目的特点。像高斯的老师所出的题目那样，按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；……，最后一个数叫末项。如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。后项与前项的差叫做这个数列的公差。如：1，2，3，4，…是等差数列，公差为1； 2，4，6，8，…是等差数列，公差为2； 5，10，15，20，…是等差数列，公差为5。进一步，小高斯发现了这样的关系：1+100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，…，50＋51＝101。一共有多少个101呢？100个数，每两个数是一对，共有50个101。所以： 1＋2＋3＋…＋98+99+100 ＝101×50 即，和= (100＋1)×(100÷2)＝101×50＝5050 这道题目，我们还可以这样理解：即，和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050 由高斯的巧算可得出等差数列的求和公式：总和＝(首项+末项)×项数÷2 这样，由于高斯发现了巧算的方法，所以他最先得出了正确的答案。因此，同学们要想算得正确、迅速，方法合理、灵活，不仅要掌握数与运算的定律、性质，而且要善于观察，认真审题，注意发现题目的

例题精讲【例1】找找下面的数列有多少项？（1）2、4、6、8、……、86、98、100 （2）3、4、5、6、……、76、77、78 （3）4、7、10、13、……、40、43、46 （4）2、6、10、14、18、……、82、86 分析：（1）我们都知道：1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100 这个数列是100项，现在不妨这样去看：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100），让它们两两一结合，奇数在每一组的第1位，偶数在第2位，而且每组里偶数比奇数大，小朋友们一看就知道，共有100÷2=50组，每组把偶数找出来，那么原数列就有50项了。（2）连续的自然数列，3、4、5、6、7、8、9、10……，对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、……，发现它的项数比对应数字小2，所以78是第76项，那么这个数列就有76项。对于连续的自然数列，它们的项数是：末项—首项+ 1 。（3）配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组。当然，我们还可以有其他的配组方法。（4）22项．对于一个等差数列的求和，在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。这种找项数的方法在学生学习了求项数公式后，也许稍显麻烦，但它的思路很重要，对于以后学习数论知识有较多的帮助。希望教师能帮助孩子牢固掌握。【例2】计算下列各题：（1）2＋4＋6＋…＋96＋98＋100 （2）2＋5+8+…＋23+26＋29 分析：（1）这是一个公差为2的等差数列，首项是2，末项是100，项数为50。所以：2+4+6＋…+96＋98+100＝(2+100)×50÷2＝2550 （2）这是一个公差为3，首项为2，末项为29，项数是10的等差数列。所以：2＋5＋8＋…+23+26＋29＝(2+29)×10÷2＝155 其实在这里，我们还有一个找项数的公式。那么让我们一起从等差数列的特性来找找吧！【例3】你能找出几个等差数列的特征？从你的结果中，你能找到等差数列求项数的公式么？分析：我们都知道，所谓等差数列就是：从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，那么我们可以得

【高考数学专题突破】《专题三第讲数列求和及综合应用学案》(解析版)

第2讲数列求和及综合应用数列求和问题(综合型) [典型例题] 命题角度一公式法求和等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列：S n ＝na 1＋ n （n －1）2 d (d 为公差)或S n ＝n （a 1＋a n ） 2 . (2)等比数列：S n ＝???? ?na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1其中(q 为公比)． 4类特殊数列的前n 项和 (1)1＋2＋3＋…＋n ＝1 2n (n ＋1)． (2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2 . (3)12＋22＋32＋…＋n 2 ＝16n (n ＋1)(2n ＋1)． (4)13＋23＋33＋…＋n 3＝14 n 2(n ＋1)2 . 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n 2a n ＋3 ，n ∈N * .

(1)求证：数列???? ?? 1a n 为等差数列； (2)设T 2n ＝ 1 a 1a 2－ 1 a 2a 3＋ 1 a 3a 4－ 1 a 4a 5 ＋…＋ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ，求T 2n . 【解】 (1)证明：由a n ＋1＝3a n 2a n ＋3，得1a n ＋1＝2a n ＋33a n ＝1a n ＋2 3 ，所以 1 a n ＋1－1a n ＝23. 又a 1＝1，则1a 1＝1，所以数列???? ??1a n 是首项为1，公差为2 3的等差数列． (2)设b n ＝ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ＝? ??? ?1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ，由(1)得，数列???? ??1a n 是公差为2 3的等差数列，所以 1 a 2n －1 － 1 a 2n ＋1＝－43，即 b n ＝? ????1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ＝－43×1a 2n ，所以b n ＋1－b n ＝－43? ????1a 2n ＋2－1a 2n ＝－43×43＝－16 9. 又b 1＝－43×1a 2＝－43×? ????1a 1＋23＝－20 9 ，所以数列{b n }是首项为－209，公差为－16 9的等差数列，所以T 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－ 209n ＋n （n －1）2×? ?? ??－169＝－49(2n 2 ＋3n )．求解此类题需过“三关”：第一关，定义关，即会利用等差数列或等比数列的定义，判断所给的数列是等差数列还是等比数列；第二关，应用关，即会应用等差(比)数列的前n 项和公式来求解，需掌握等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝ n （a 1＋a n ） 2 或S n ＝na 1＋ n （n －1） 2d ；等比数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝?????na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1；第三关，运算关，认真运算，此类题将迎刃而解．命题角度二分组转化法求和将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)，然后分别求和．也可先根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和，再分组求和，即把一个通项拆成几个通项求和的形式，方便求和．已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，n ∈N * ，且不等式ax 2 －3x ＋2<0的解集为(1，

数列求通项公式及求和9种方法

【方 a n a S n 数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型亠、S n 是数列｛a n ｝的前n 项的和 S i (n 1) S n S n 1 (n 2 ) S n 1 ”代入消兀消a n 【注意】漏检验n 的值(如n 1的情况［例 U . ( 1)已知正数数列｛a n ｝的前n 项的和为S n , 且对任意的正整数n 满足2\金如1 ,求数列｛a n ｝的通项公式。 (2)数列｛a n ｝中，印1对所有的正整数n 都有 a 1 a 2 a 3 L a n 『，求数列｛a n ｝的通项公式【作业一】 2 n 1 n * 1 — 1 ■数列 a n 满足 a 1 3a 2 3 a 3 L 3 a n - (n N ) , 求数列a n 的通项公式. (二).累加、累乘 a 型如 a a f(n) , am f (n )

型一：a n a n 1 f (n)，用累加法求通项公式(推导等差数列通项公式的方法) 【方法】 a n a n 1 f(n), a n 1 a n 2 f(n 1), a2 a1 f (2) n 2, 从而a n a1 f (n) f(n 1) L f (2),检验n 1 的情况型二：|电f(n)，用累乘法求通项公式(推导等比a n1 数列通项公式的方法) 【方法】n 2，亘也L邑f(n) f(n 1) L f(2) a n 1 a n 2 a i 即色f(n) f(n 1) L f(2)，检验n 1的情a1 况【小结】一般情况下，“累加法”(“累乘法”)里只有n 1个等式相加(相乘). 1 1 【例2】.(1)已知a1 2，a n a n1 ■n^[(n 2)，求 a n ■ n 2 (2)已知数列a n满足a n1 - 2a n，且a1 n 2 3 求a n .

数列求通项与求和总结(精)

数列求和方法等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一，一般数列求和的基本思想是将其通项变形，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的对称性，采用消元等方法来求和. 下面我们结合具体实例来研究求和的方法. 一、直接求和法（或公式法）将数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前n 项和公式求得. 例1 求22222222 12345699100-+-+-+--+L ．解：原式2 2 2 2 2 2 2 2 (21)(43)(65)(10099)3711199=-+-+-++-=++++L L ．由等差数列求和公式，得原式50(3199) 50502 ?+= =．二、倒序相加法此方法源于等差数列前n 项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和. 例2 求2222 2 222 2222123101102938101 ++++++++L 的和．分析：由于数列的第k 项与倒数第k 项的和为常数1，故采用倒序相加法求和．解：设2222 2 2222222123101102938101 S =++++++++L 则2222 2 222 2222109811012938101 S =++++++++L ．两式相加，得 2111105S S =+++=∴=L ，．小结：对某些具有对称性的数列，可运用此法. 三、裂项相消法如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n 项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻k 项之积，且分子为常数的分式型数列的求和. 例3 已知2 2 2 1 12(1)(21)6 n n n n +++= ++L ，求 22 2222222 35721()11212312n n n * +++++∈++++++N L L 的和．分析：首先将数列的通项公式化简，然后注意到它可写成两项的差，在求和的过程中，中间的项相互抵消了，从而可求出原数列的前n 项和. 解：222 21216 112(1)(1)(21)6 n n n a n n n n n n ++= ==++++++Q L ，

数列的通项公式与求和的常见方法

数列的通项公式与求和的常见方法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

常见数列通项公式的求法类型一：公式法1（或定义法）例1. 已知数列{}n a 满足11a =， 12n n a a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。例2.已知数列{}n a 满足12a =，13n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =， 110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-， 13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足21 1=a ，n a a n n 21+=+， * ()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11 ln(1)n n a a n +=++，求数列{}n a 的通项公式。类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，251n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+，求数列{}n a 的通项公式。类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数， )0)1((≠-p pq ）解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可得数列λ+=n n a b 为等比数列例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-*()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。类型六：交叉项问题解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新的等差数列。例：已知数列{}n a 满足11a =， 122 n n n a a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足11a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， *()n N ∈，求数列{} n a 的通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{}n b （0n b ≠*n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b = 求数列{}n c 的通项公式。类型七：（公式法2）（n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ =-++11，即数列?? ????n n p a 为以 p λ 为公差的等差数列；例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1155+++=n n n a a ，11=a ，求数列{}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。数列求和的常用方法类型一：公式法例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2 232221n a a a a ++++ . 类型二：分组求和法例. 求数列的前n 项和： 2321 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 21 )12(++=，求n S . 类型三：倒序相加法例.求 88sin 3sin 2sin 1sin 2 222+???+++ 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法：例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；

数列求通项公式及求和9种方法

数列求通项公式及求和 9种方法 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S，且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a 的通项公式。（2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通项公式．（二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =

1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法）【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥，从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法）【方法】2n ≥，12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-?? 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??，检验1n =的情况【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知2 11=a ，)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ，求 n a . （2）已知数列 {}n a 满足1 2 n n n a a n +=+，且32 1=a ，求n a .

数列的通项及求和公式

数列的通项及求和公式专题课内导学案11 一、基本公式法：等差数列，等比数列。例1、（1）若{}n a 是等差数列，公差0d ≠， 236,,a a a 成等比，11a =，则n a =_________。（2）若{}n a 是等比数列，243,,a a a 成等差， 13a =，则n a =_________。二、已知n S 求n a ：11 (2) (1)n n n S S n a S n --≥?=? =?。类型1、（1）已知2 1n S n n =++，求n a 。（2）已知101n n S =-，求n a 。类型2、（1）已知32n n S a =-，求n a ；（2）已知3 32 n n S a =-，求n a ；（3）已知22n n S a +=，求n a 。类型3、（1）2 24n n n a a S +=，0n a >，求n a ；（2）2 1056n n n S a a =++，0n a >，求n a ；（3）2111 424 n n n S a a = ++，0n a >，求n a 。类型4、（1）11a =，12n n a S +=，求n a ；（2）11a =，12n n S a +=，求n a ；（3）13a =，11n n S a +=+，求n a 。

类型5、（1）122n n a a a ++???+=，则n a =_____ （2）123n a a a a n ?????=，则n a =_____ （3）12323n a a a na n +++???+=，则n a =_____ （4） 3 12123n a a a a n n +++???+=，则n a =_____ （5）231233333n n a a a a n +++???+=，n a =___ 三、形如1()n n a a f n +-=的递推数列求通项公式，使用累加法。例1、（1）数列{}n a 中满足12a =，1n n a a n +=+，求n a 的通项公式。（2）已知数列{}n a 中满足13a =， 12n n n a a +=+，求n a 的通项公式。（3）求数列2,4,9,17,28,42,???的通项公式。四、形如 1 ()n n a f n a +=的递推数列求通项公式，使用累乘法。例1、（1）数列{}n a 中满足15a =，12n n n a a +=?，求n a 的通项公式。（2）数列{}n a 中满足14a =，11 n n n a a n +=?+，求n a 的通项公式。（3）112a = ，111 n n n a a n --=+（2n ≥），求n a 的通项公式。五、构造法例1、（1）14a = 2=，求n a ；（2）14a =，22 12n n a a +-=，求n a ；（3）14a =， 144 2n n a a +-=，求n a ；（4）12a =，112(1)n n a a +-=-，求n a ；（5）11a =，1(1)3n n n a na ++=，求n a ；（6）11a =，121n n a a n n +-=+，求n a 。

数列求通项公式及求和9种方法

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a。【注意】漏检验n的值(如1 n=的情况【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S，且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。（2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列 {} n a的通项公式．（二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =

1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法）【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥，从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法）【方法】2n ≥，1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-?? 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-? ?，检验1n =的情况【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知21 1=a ，)2(1 1 2 1≥-+ =-n n a a n n ，求n a . （2）已知数列{}n a 满足1 2n n n a a n +=+，且3 21=a ，求n a .