耦合摆
耦合摆的研究
自然界中普遍存在着相互作用的振动系统，如电学中电容和电感耦合起来的振荡回路、固体晶格中相邻原子的振动模式以及光子和声子耦合产生的电磁耦合场等。相互作用将使振动系统呈现丰富的运动学行为，对此进行研究是非常必要的。本实验是以一种力学耦合摆作为研究对象。
[实验目的]
1. 观察在不同初始条件下耦合摆的振动特点。
2. 研究耦合度的大小对耦合摆振动特性的影响。
2. 了解“拍”的现象。
[实验原理]
如图所示，本实验仪器由两个完全相同的单摆组成，单摆的振动周期可分别调整，两者之间用一根弹簧相连，实现了相互的耦合即组成耦合摆。
1、摆杆固定和调整螺母
2、摆杆
3、立柱
4、耦合弹簧
5、耦合位置调节环
6、
振动频率微调螺母7、摆锤8、振幅指针兼计数计时挡杆9、水平尺固定架10、振幅测量直尺11、底盘12、气泡式水准仪13、仪器水平调整旋钮14、激光发射部件和信号处理部件15、可见红色激光束16、挡光片17、激光接收探头18、激光光电门支架19、次数预置－1按钮20、预置次数显示21、次数预置＋1按钮22、计数次数显示窗23、相应次数的计时显示窗24、秒表显示窗25、计数计时复位按钮26、＋5V接线柱27、GND（公共地）接线柱28、计数计时信号输入接线柱29、输入信号低电平指示30、次数－1相应时间查阅按钮31、次数＋1相应时间查阅按钮32、秒表时间复位按钮33、秒表计时开始／停止按钮
此系统的振动状态可分以下几种情况：
1. 没有弹簧相互作用时，通过调整振动频率微调螺母可使独立的两个摆具有相同的固有圆频率L
g =0ω，式中g 为重力加速度，L 为等效摆长。 2. 将两个完全相同的单摆通过一根弹簧耦合组成耦合摆，如果一个摆固定，另一个摆振动
的频率叫做支频率，支频率ω=Ω=
, K 为弹簧的倔强系数，μ为单
摆有效质量。
3. 耦合系统的两个摆都不固定时，其动力学方程为 222101122()d dt
?ω???+=-Ω- )(122220222???ω?-Ω-=+dt
d 其中，1?、2?分别为两摆离开平衡位置的角位移。
这种情况下振动方式比较复杂，具体如何振动取决于初始条件，下面分别讨论：
（1）同位相振动。初始条件为
t=0, ,21a ???== 021==dt
d dt d ?? 即将两摆相对平衡位置偏转同样的角度a ?，在t=0时将它们同时释放，这时，两摆作同相位振动，其圆频率为0ωω=同，这种振动形式与耦合度的强弱无关。其相应的方程组解为
t t t a 021cos )()(ω???==
（2）反相位振动，初始条件为
t=0, －,21a ???== 021==dt
d dt d ?? 分别将两摆从平衡位置偏离a ??-=1 ， a ??+=2，在t ＝０时，将它们同时释放，此时，弹簧片不断伸缩，对摆的耦合振动起明显的影响，两摆具有同样的圆频率反ω，微分方程组相应的解为
1()a t ??=
1()a t ??=-
由此得出 222Ω＋＝反o ωω
（3）简正振动，初始条件为 t=0, a ??=1, 20?= ,
021==dt d dt d ?? ,
即将摆Ｐ2固定，摆Ｐ1由平衡位置偏离角度a ??=1，在t=0时，将两摆同时释放。最初。仅摆Ｐ1振动，随着时间的推移，Ｐ1之振动能量通过弹簧片逐渐向摆Ｐ2转移，一直到Ｐ1停止振动，而摆Ｐ2得到它的全部振动能量，以后再复进行此过程。微分方程组的解为 t t t a 22cos 22cos )(0
2200
2201ωωωω??+Ω+-Ω+=
t t t a 22sin 22sin )(0
2200
2202ωωω???+Ω+-Ω+-=
对于弱耦合情况0ωΩ<<, 则
20
2201222ωωωωΩ≈-Ω+= 020*******
2ωωωωωΩ+≈+Ω+= 此时可明显看到“拍”的现象，)(1t ?，)(2t ?都可看作具有缓慢变化振幅的简正振动，当)
(1t ?的振幅为最大，)(2t ?的振幅为０。反之，当)(2t ?的振幅为最大，)(1t ?的振幅为０。两个摆的耦合程度可用耦合度Ｋ来描述。Ｋ定义为
2
220K ωΩ=+Ω
[实验仪器]
耦合摆实验仪、光电计时装置等。
[实验内容]
1. 不加耦合弹簧时，分别测量每个摆的振动周期，如不同，则调节摆上螺母使二者相等（误差不超过1%），并进行测量以求出固有圆频率0ω.
2. 将二摆在离悬挂点相同的l 处用弹簧相连接，构成耦合摆。通过测量支频率推算出l 取不同值时（一般取20cm 、25cm 、30cm 、35cm 、40cm ）的Ω值，并作22l -Ω关系的曲线。
3. 通过耦合摆的反位相振动实验，推算出l 取不同值时的Ω值，并作22l -Ω关系的曲线。
4. 在耦合摆的简正振动时，通过测量作22l -Ω关系的曲线，并分析耦合度对振动的影响。
[注意事项]
1) 激光光电门由激光发射和接收两部分组成。激光发射部分发出红色可见激光，其红
收孔，当其被激光照射后，上面的发光二极管熄灭，黄（信号）线输出低电平。该
2)实验测量摆动周期时，先调整激光方向，使激光束射向接收部件的小孔，发光二极
管熄灭。在待测量摆平衡位置，摆幅指针恰好遮挡激光束，将该激光光电门放置于
上述位置的圆底盘上。这样当摆左右摆动中在经过平衡位置时遮挡激光束，接收部
件将信号输出至计数计时多用秒表。显然计数+1为半周期，因难以精确置于平衡点，故实验时以一周期测量为好。一般次数预置成偶数，即整数个周期加以实验研究。
3)MS-4计数计时多用秒表的使用，计数计时始点时，计数窗显示：
00.000；
记录相应次数从开始点所计的时间。重复计数计时按
64次，一旦改变预置数，须按
[思考题]
1. 为什么调节摆杆上的微调螺母就可以改变摆的固有频率？
和2l成正比。
2. 证明2
3. 推导出耦合摆的动力学方程。
参考资料：
1、陈熙谋＜＜物理演示实验＞＞高等教育出版社
2、[德]威廉·Ｈ·卫斯特发尔，物理实验，实验十，王福山译，上海：上海科学技术出版社，
1981年
3、曹尔第，近代物理实验，上海：华东师范大学出版社，1992