高等数学知识在经济中的运用探赜_宋艳丽

收稿日期：2016－1－8

作者简介：宋艳丽（1974—），

女，河南驻马店人，河南质量工程职业学院经济与管理系讲师，研究方向：基础数学。高等数学知识在经济中的运用探赜

宋艳丽

（河南质量工程职业学院，河南平顶山467001）

［摘要］运用高等数学知识对经济问题进行深入的研究，

可以使得原本复杂、抽象的模型、函数与图表等以更加通达、简明的方式进行呈现，并清晰明确的表现经济运行规律与经济现象，具有高度的精准性与逻辑的严密性等诸多优势。高等数学知识是经济研究的基础与前提，只有拥有扎实的高等数学知识，才可以更好的认识与理解经济现象与问题，并掌握丰富的经济相关知识。

［关键词］高等数学知识；经济问题；经济现象；数学方法

［中图分类号］G640［文献标识码］A ［文章编号］1671－5918（2016）06－0021－02doi ：10．3969/j．issn．1671－5918．2016．06．011

［本刊网址］http ：//www．hbxb．net

随着经济社会的高速发展与快速进步，高等数学知识在多

种社会领域中的应用范围日益广泛，且根据实践结果显示，高等数学理论知识的功能与效果也十分显著。新时代的经济学家普遍认为，研究经济问题的基本方法就是对经济变量间的复杂关系实施精准无误的分析，通过高等数学知识构建经济模型，促使人们可以从理论视角对经济模型进行分析，进而做出科学合理的解释，并从中探讨出更深层的经济理论与原则，实现对经济建设的科学指导。所以，针对高等数学知识在经济中的运用探析，具有十分重要的经济价值与数学意义。

一、数学和经济学的关系

数学概念与经济学概念都是人类社会在长期的历史发展进程中，逐渐积累与总结而创造出的文明结晶，这两者是相互统一的辩证关系。人类社会从结绳计数开始，数学的概念与知识就已经与人们的生产生活密不可分了。人们常用数学方法对现实生活中的多种问题进行分析与解决，并将其抽象、概括为理论知识，然后通过这些理论知识对日常生活中的经济问题进行指导与分析，进而就构成了所谓的经济学，其中具体又可分为金融学、统计学、人口学、会计学、财政学等等。这一系列经济学科都与数学中的计算、计量、技术等紧密相关，即离不开数学概念与数学计算。

伴随着社会主义市场经济的大力推进与迅速发展，特别是金融市场与现代公司体制的构建，高等数学知识愈来愈多的被应用到商业、营销、医疗、管理、金融等诸多领域之中。当前已经有越来越多的人开始认识到高等数学知识与经济管理的密切关系，即这两者是相互促进、互为补充以及共同发展的关系。

二、高等数学知识在经济中的应用必要性（一）指导经济管理

高等数学知识的不断发展，使其已经日益广泛地应用到了科技、经济等多种领域，特别是现代经济领域中的高等数学知识应用更是普遍。高等数学知识的发展和经济学的进步密切相关，诸多高等数学知识对于经济分析与经济管理而言，都具有十分重要的功能与意义，特别是多数经济学概念与理论内容都与高等数学知识息息相关。正是因为高等数学知识在经济管理中的渗透与应用，使得一系列的数学公式与模型被引用到了数学管理之中，巨大的推进了经济学理论从单纯的定性分析发展为现代的严谨化、量化与精密化相互结合的分析模式，促使现代经济学发展成为定性分析和定量分析统一协调的科学。

众所周知，经济学的成熟与完善，其标志就是定性分析与定量分析的结合。根据实际调查发现，用高等数学知识对经济管理进行指导，所得出的定量分析与定性分析结果是严谨的、周密的，更是十分可靠的。

（二）促进经济分析从理论视角去看，高等数学知识在经济中的应用优势十分明显，即通过对数学模型或者数学定理知识在经济中的使用，可以促使经济得出无法凭借直觉或者非常不易得出的结果。虽然数学概念与数学理论非常抽象，然而其都是从实际生活得出的，而且可以在社会实践与其他学科领域中进行广泛的应用，这就是数学的生命力所在，也是对其他学科有着深刻影响与吸引力的根本所在。从高等数学与经济学相互促进的发展历程能够得出，高等数学知识可以为经济提供严密的、特有的分析方法，其与定性分析中经常使用到的逻辑学相同，都属于认识世界的一种工具。当前，高等数学已经发展成为经济学分析的一个重要工具，在对经济现象或者问题进行分析的过程中，采用高等数学分析方法已经成为了闭经的途径，更是经济学步入客观化、精密化的关键标志。

（三）简化经济解析

数量关系在经济问题中无处不在，如投入、成本、价格、产出、利润、销售额等。其中以边际概念的应用最为典型，从一定程度上讲其就是倒数在经济领域中应用的别名，将数学中的边际概念引用到经济学中，其目的就是为了更为高效的解决相关经济问题。另外，讲图形学广泛、大量的应用于经济领域中，可以使得复杂难懂的经济问题或现象更为简单、精确，诸如采用数学中的图形学对价格需求的弹性变化区间进行测量等。图形知识的应用可以让原本抽象、复杂的经济问题在解析的过程中变得深入浅出、简单明了。由于经济领域中大量的、广泛的高等数学知识的应用，催生了经济数学的诞生，这一新型学科有效地将数学和经济学这两门学科联系在了一起，极大地推进了现代经济的发展与进步。尤其是近些年来，诸多经济学相关研究人员把高等数学知识当做辅助性的手段，大力推动了经济学相关研究成果的清晰、精准与简洁解析。随着社会经济的持续稳定发展，高等数学知识必将更为广泛的被应用于经济领域中，并逐渐成为发现、分析与解决经济问题的主要工具之一。

三、高等数学知识在经济中的运用途径

（一）无穷等比级数在经济投资费用中的应用

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https://www.wendangku.net/doc/5410035419.html,

本文摘自湖北经济学院学报

经济投资费用主要包括前期投资与后期投资，

这是由于每隔一段时间就要对部分服务进行重复或者购买相应的设备。假如将每次经济活动中额后期投资费用都化作现值，并与前提投资加在一起，可以用之比较不同时间阶段的服务项目以及使用寿命不同的设备所需的投资费用，从而为选择最为节约成本的服务项目与设备购买作指导。

（二）数学建模法在经济预测中的应用高等数学知识在经济预测中的应用，主要是通过数学方法与技术方式的科学应用，对未来经济的发展状况进行分析与描述，进而形成科学合理的假设与判断。其中，政策性评价主要是指经济决策者在所有的决策方案中择取一种最为科学的政策作为最终的执行方案，而这就需要用到乘数、边际效益、函数以及生产系数等高等数学知识。同时，预测作为对未来经济发展状况的判断，目的是为了对人力资源、物理资源以及财力资源等进行合理的分配与利用，从而获取最大化的经济效益，根据高等数学理论得出，经济预测方法分为三种：一是时间发展趋势预测；二是回归的科学预测；三是投入与产出的预测。围观经济的预测方法中最为常用的就是前两种，特别是回归的预测更具科学性与完整性。

（三）导数在经济函数求解中的应用经济的中心问题就是增加企业的利润，降低企业的运营成本。其中，把握最合理的价格、最高的销售量是实现最大利润、最小成本的基础与前提。然而，要想掌握这一系列最佳点，就必须应用到最为常见的经济最优化知识，即函数的最小值与最大值求解；线性和非线性的规划等。即求解出目标函数的极值，以供企业选择。一个函数即f （x ），如果当所有的函数f （x0）

≥f （x ）时，则X0就是函数处于极大值时的点或者数据。同时，

当函数f 可以微分时，即：

f?（X0）≤0f'（X0）=0，

则x 就是函数的最大化解值。（四）概率在经济保险中的应用

高等数学中的概率知识在经济保险学中的功能发挥最为突出，其中涉及到随机变量的协方差、方差以及数学预期等。而这些概念的理解与应用需要通过概率论的基本概念的深入理解，才能够熟练地掌握随机积分、布朗运动以及随机游走等相关概念。其中，概率论知识中的随机游走内容在市场有效理论中发挥着决定性的功能与作用。还有概率内容中的中心极限相关定理，对于期权定价起着至关重要的影响力。

总而言之，人们的日常生活中随处都需要应用到数学知识，从长远视角来看，高度概括的数学理论知识的不断发展，必定会促进高等数学和经济学以及客观世界的全方位发展。高等院校作为复合型人才的教育与培养场地，更应该加强对学生运用高等数学知识对经济运行的定性分析与定量分析能力，促使高等数学知识的功能与价值得到最大发挥，推动我国经济的可持续健康发展。同时，高等数学知识在经济中的大量与广泛使用，为众多经济决策人员提供了必要的参考根据，并有效地指导了诸多相关经济部分或单位的工作，比如减少成本、节约开支、提高经济效益等。特别是对未来经济发展状况的估计与预测，对推动科学技术以及经济社会的健康发展发挥了巨大的积极作用与价值。

参考文献：

［1］金慧萍，吴妙仙．高等数学实践教学之探讨———基于在经济领域的应用［J ］．丽水学院学报，2010（2）．［2］刘丽娜．高等数学在经济领域的应用实例分析［J ］．太原城市职业技术学院学报，2013（2）．［3］姜福全，刘洋，孙伟．高等数学知识在经济分析中的应用［

J ］．长春师范学院学报（自然科学报），2010（3）．［4］聂天霞．例析经济生活中高等数学知识的运用［

J ］．郑州铁路职业技术学院学报，2011（1）．［5］杨菲，白婕．浅议高等数学在经济定量分析中的应用［J ］．天津职业院校联合学报，2012（2）．［6］罗琼．论导数在经济学中的应用［

J ］．商丘职业技术学院学报，2015（2）．Ｒesearch on the Application of Advanced Mathematics Knowledge in Economy

SONG Yan －li

（Henan Vocational College of Quality Engineering ，Pingdingshan Henan 467001，China ）

Abstract ：The use of higher mathematics knowledge of economic problems of in －depth study is a more accessible and concise way to render the original complex and abstract model ，function ，charts and clear performance economic operation rules and e-conomic phenomenon with many advantages of precision and logic of the tightness in a high degree．Advanced mathematical knowledge is the foundation and premise of economic research and we should have a solid knowledge of advanced mathematics to better understand economic phenomena and problems to grasp the wealth of economic related knowledge．

Key words ：advanced mathematics knowledge ；economic problems ；economic phenomena ；mathematical methods

（责任编辑：封丽萍）

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2hbjjxybjb@https://www.wendangku.net/doc/5410035419.html,

湖北经济学院学报投稿邮箱

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

高等数学知识点总结 (1)

高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-

高等数学考研知识点总结

高等数学考研知识点总结 一、考试要求 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5、理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。 6、掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。 7、掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。1

1、掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。 二、内容提要 1、函数（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系、（2）复合函数: y=f(u), u=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域、（3）分段函数: 注意，为分段函数、（4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性* 注： 1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。特别：若为偶函数且存在，则 2、若为偶函数，则为奇函数；若为奇函数，则为偶函数； 3、可导周期函数的导函数为周期函数。特别：设以为周期且存在，则。 4、若f(x+T)=f(x), 且，则仍为以T为周期的周期函数、 5、设是以为周期的连续函数，则， 6、若为奇函数，则；若为偶函数，则 7、设在内连续且存在，则在内有界。 2、极限 (1) 数列的极限： (2) 函数在一点的极限的定义： (3)

高数知识点总结

高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、 向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、 两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1)1(+- x x b a y y b a k ) =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、 二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222； （旋转抛物面： z a y x =+2 2 2（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面： 122 222=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转） ）

《高等数学》 各章知识点总结——第6章

第6章 微分方程总结 1.可分离变量微分方程 一阶微分方程y '=?(x , y ) 或M(x)N(y )dx +P(x)Q(y )dy =0能写成 g (y )dy =f (x )dx 两边积分可得通解。 2.齐次微分方程 dy y ()dx x =φ，令x y u =, 即y =ux , 有)(u dx du x u ?=+, 得??=-x dx u u du )(?。 3.一阶线性微分方程 （1）齐次线性 0)(=+y x P dx dy 用分离变量法可求得通解P(x)dx y Ce -?=。 （2）非齐次线性方程)()(x Q y x P dx dy =+ 由齐次方程常数变易法可得通解 ])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +??=?-。 4.伯努利方程 n y x Q y x P dx dy )()(=+ (n ≠0, 1)，以y n 除方程的两边, 得 )()(1x Q y x P dx dy y n n =+-- 令z =y 1-n , 得线性方程 )()1()()1(x Q n z x P n dx dz -=-+. 5.可降阶的高阶微分方程 （1）y (n )=f (x ) ：积分n 次 1)1()(C dx x f y n +=?-, 21)2(])([C dx C dx x f y n ++=??-，? ? ?. （2）y ''= f (x , y ')：设y '=p(x) , 则方程化为 p '=f (x , p )。 （3）y ''=f (y , y ')：设y '=p(y), dy dp p dx dy dy dp dx dp y =?==''，原方程化为 ),(p y f dy dp p = 6.二阶常系数线性微分方程 （1）二阶常系数齐次线性微分方程： y ''+py '+qy =0 （2）二阶常系数非齐次线性微分方程： y ''+py '+qy =f (x )

考研 高等数学 思维导图

1. 函数、极限与连续 重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。 2. 一元函数微分学 重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算（包括隐函数求导）、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。 3. 一元函数积分学 重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。 4. 向量代数与空间解析几何（数一）

主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题等。该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。 5. 多元函数微分学 重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。 6. 多元函数积分学 重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。 7. 无穷级数（数一、数三） 重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。 8. 常微分方程及差分方程 重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。此外，数三考查差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法。数一还要求会伯努利方程、欧拉公式等。

大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→

高等数学知识点归纳

第一讲: 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *010 2()(), ()x x f x F x x x f x ≤?=? >?; *0 0()(),x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () () x x t y y t =?? =? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞ ; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ±→) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()m a x (,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 1(0)x x →→∞, 0lim 1x x x + →=, l i m 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=,

高等数学(下)知识点总结

主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程

《高等数学》 各章知识点总结——第9章

第9章 多元函数微分学及其应用总结 一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间 2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三 维空间。 n R 为n 元数组),,,(21n x x x 的全体，称为n 维空间。 n 维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y 间的距离： ||PQ = 邻域: 设0P 是n R 的一个点，δ是某一正数，与点0P 距离小于 δ的点P 的全体称为点0P 的δ 邻域，记为),(0δP U ，即00(,){R |||}n U P P PP δδ=∈< 空心邻域: 0P 的 δ 邻域去掉中心点0P 就成为0P 的δ 空心邻域,记为 0(,)U P δ =0{0||}P PP δ<<。 内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，n P ∈R 是一个点。如果存在点P 的某个邻域 ),(δP U ，使得E P U ?),(δ，则称点P 为集合E 的内点。 如果点P 的任何邻域内都既有 属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点, E 的边界点的全体称为E 的边界． 聚点：设E 为n 维空间中的点集，n P ∈R 是一个点。如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。 开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。设点集n E ?R , 如果E 的补集 n E -R 是开集，则称E 为闭集。 区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域． 有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0>M ，使得(,)E U O M ?，即E 中所有点到原点的距离都不超过M ，则称点集E 为有界集，否则称为无界集． 如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域．

考研高等数学145分高手整理完整经典笔记(考研必备免费下载)

最新下载(https://www.wendangku.net/doc/5410035419.html,) 中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息 数学重点、难点归纳辅导 第一部分 第一章集合与映射 §1.集合 §2.映射与函数 本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。 第二章数列极限 §1.实数系的连续性 §2.数列极限 §3.无穷大量 §4.收敛准则 本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。 第三章函数极限与连续函数 §1.函数极限 §2.连续函数 §3.无穷小量与无穷大量的阶 §4.闭区间上的连续函数 本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。 第四章微分 §1.微分和导数 §2.导数的意义和性质 §3.导数四则运算和反函数求导法则 §4.复合函数求导法则及其应用 §5.高阶导数和高阶微分 本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。 第五章微分中值定理及其应用 §1.微分中值定理 §2.L＇Hospital法则 §3.插值多项式和Taylor公式 §4.函数的Taylor公式及其应用 §5.应用举例

§6.函数方程的近似求解 本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L＇Hospital法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。 第六章不定积分 §1.不定积分的概念和运算法则 §2.换元积分法和分部积分法 §3.有理函数的不定积分及其应用 本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。 第七章定积分（§1 —§3） §1.定积分的概念和可积条件 §2.定积分的基本性质 §3.微积分基本定理 第七章定积分（§4 —§6） §4.定积分在几何中的应用 §5.微积分实际应用举例 §6.定积分的数值计算 本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。 第八章反常积分 §1.反常积分的概念和计算 §2.反常积分的收敛判别法 本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。 第九章数项级数 §1.数项级数的收敛性 §2.上级限与下极限 §3.正项级数 §4.任意项级数 §5.无穷乘积 本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。 第十章函数项级数 §1.函数项级数的一致收敛性 §2.一致收敛级数的判别与性质 §3.幂级数

专升本高等数学知识点汇总

专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数

定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 )12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。

高等数学各章知识结构复习课程

高等数学各章知识结构 一．总结构 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学.微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分. 冯. 诺伊曼 注：冯. 诺依曼（John von Neumann，1903-1957，匈牙利人），20世纪最杰出的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支，从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面，他都作出了重要贡献. 他与经济学家合著的《博弈论与经济行为》奠定了对策论的基础，他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言，制造了第一台计算机，被人称为“计算机之父”.

微积分中重要的思想和方法： 1．“极限”方法，它是贯穿整个《微积分》始终。导数是一种特殊的函数极限；定积分是一种特殊和式的极限；级数归结为数列的极限；广义积分定义为常义积分的极限；各种重积分、曲线积分、曲面积分都分别是某种和式的极限。所以，极限理论是整个《微积分》的基础。尽管上述各种概念都是某种形式的极限，但是它们都有各自独特和十分丰富深刻的内容，这是《微积分》最有魅力的地方之一。 2．“逼近”思想，它在《微积分》处处体现。在近似计算中，用容易求的割线代替切线，用若干个小矩形面积之和代替所求曲边梯形面积；用折线段的长代替所求曲线的长；用多项式代替连续函数等。这种逼近思想在理论和实际中大量运用。 3．“求极限、求导数和求积分”是最基本的方法。熟练掌握求极限、求导数和求积分的方法，学习《微积分》就不会遇到太多困难，甚至能做到得心应手。 4．“特色定理”是《微积分》的支柱。夹逼定理、中值定理、微积分基本定理等是《微积分》中最深刻、最基本、最能体现《微积分》特色的定理，支撑起《微积分》的大厦。 5．“综合运用能力”是《微积分》学习的出发点和归宿。充分注重综合运用极限概念与方法的能力、综合运用导数与积分相结合的各种方法的能力、综合运用定积分思想方法解决问题的能力、综合运用一元和多元相结合方法的能力、综合运用各种方法解决实际问题的能力。

《高等数学》-各章知识点总结——第1章

第1章 函数与极限总结 1、极限的概念 (１）数列极限的定义 给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小)， 总存在正整数N ， 使得对于n >N 时的一切n , 恒有 |x ｎ-ａ ｜<ε 则称a 是数列｛x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞ →lim 或xn →ａ (ｎ→∞)． (2)函数极限的定义 设函数f （ｘ)在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>)有定义,如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小)， 总存在正数δ,（或存在X ） 使得当ｘ满足不等式0<|x －ｘ0|<δ 时，(或当x X >时） 恒有 |f (ｘ)－A ｜<ε , 那么常数Ａ就叫做函数f (ｘ)当0x x →（或x →∞)时的极限， 记为 A x f x x =→)(lim 0 或f (x ）→A (当x →ｘ０).（ 或lim ()x f x A →∞ =) 类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<(00x x x δ<<-）时,恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限(或右极限）记作 00 lim ()(lim ())x x x x f x A f x A - +→→==或 显然有0 lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?== 如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞)时的极限 记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞ →+∞ ==或 显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞ →-∞ →+∞ =?== ２、极限的性质 (１）唯一性 若a x n n =∞ →lim ,lim n n x b →∞ =，则a b = 若0() lim ()x x x f x A →∞→=0() lim ()x x x f x B →∞→=，则A B = (２)有界性 (i)若a x n n =∞ →lim ，则0M ?>使得对,n N + ?∈恒有n x M ≤

高等数学各章知识结构

高等数学各章知识结构一．总结构 的部分称为积分学.微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分. 冯. 诺伊曼注：冯. 诺依曼（John von Neumann，1903-1957，匈牙利人），20世纪最杰出的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支，从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面，他都作出了重要贡献. 他与经济学家合着的《博弈论与经济行为》奠定了对策论的基础，他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言，制造了第一台计算机，被人称为“计算机之父”. 微积分中重要的思想和方法： 1．“极限”方法，它是贯穿整个《微积分》始终。导数是一种特殊的函数极限；定积分是一种特殊和式的极限；级数归结为数列的极限；广义积分定义为常义积分的极限；各种重积分、曲线积分、曲面积分都分别是某种和式的极限。所以，极限理论是整个《微积分》的基础。尽管上述各种概念都是某种形式的极限，但是它们都有各自独特和十分丰富深刻的内容，这是《微积分》最有魅力的地方之一。 2．“逼近”思想，它在《微积分》处处体现。在近似计算中，用容易求的割线代替切线，用若干个小矩形面积之和代替所求曲边梯形面积；用折线段的长代替所求曲线的长；用多项式代替连续函数等。这种逼近思想在理论和实际中大量运用。 3．“求极限、求导数和求积分”是最基本的方法。熟练掌握求极限、求导数和求积分的方法，学习《微积分》就不会遇到太多困难，甚至能做到得心应手。 4．“特色定理”是《微积分》的支柱。夹逼定理、中值定理、微积分基本定理等是《微积分》中最深刻、最基本、最能体现《微积分》特色的定理，支撑起《微积分》的大厦。

考研高等数学知识点总结

高等数学知识点总结 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π

高等数学 各章知识点总结——第9章

一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间 2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三 维空间。 n R 为n 元数组),,,(21n x x x 的全体，称为n 维空间。 n 维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y L L 间的距离： ||PQ 邻域: 设0P 是n R 的一个点， 是某一正数， 与点0P 距离小于 的点P 的全体称为点0P 的 邻域，记为),(0 P U ，即00(,){R |||}n U P P PP 空心邻域: 0P 的 邻域去掉中心点0P 就成为0P 的 空心邻域,记为 0(,)U P o =0{0||}P PP 。 内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，n P R 是一个点。如果存在点P 的某个邻域 ),( P U ，使得E P U ),( ，则称点P 为集合E 的内点。 如果点P 的任何邻域内都既有 属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点, E 的边界点的全体称为E 的边界． 聚点：设E 为n 维空间中的点集，n P R 是一个点。如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。 开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。设点集n E R , 如果E 的补集 n E R 是开集，则称E 为闭集。 区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域． 有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0 M ，使得(,)E U O M ，即E 中所有点到原点的距离都不超过M ，则称点集E 为有界集，否则称为无界集． 如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域． 有界闭区域的直径：设D 是n R 中的有界闭区域，则称1212,()max{||}P P D d D PP 为D 的直径。

高数知识点总结(上册)

高数知识点总结（上册） 函数： 绝对值得性质： (1)|a+b|≤|a|+|b| (2)|a-b|≥|a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)|b a |=)0(||||≠b b a 函数的表示方法： （1）表格法 （2）图示法 （3）公式法（解析法） 函数的几种性质： （1）函数的有界性 （2）函数的单调性 （3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性 反函数： 定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数)(1 x f y -=存在，且是单 值、单调的。 基本初等函数： （1）幂函数 （2）指数函数 （3）对数函数 （4）三角函数 （5）反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限： 定义：设 {}n x 是一个数列，a 是一个定数。如果对于任意给定的正数ε（不管它多么小） ， 总存在正整数N ，使得对于n>N 的一切n x ，不等式 ε <-a x n 都成立，则称数a 是数列 {}n x 的 极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记做a x n n =∞ →lim ，或 a x n →（∞→n ） 收敛数列的有界性： 定理：如果数列 {}n x 收敛，则数列{}n x 一定有界 推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界 （3）有界命题不一定收敛 函数的极限： 定义及几何定义 函数极限的性质： （1）同号性定理：如果A x f x x =→)(lim 0 ，而且A>0(或A<0),则必存在0x 的某一邻域，当x 在该邻域内（点0 x 可除外），有0)(>x f （或0)(

高等数学知识点(重点)

高等数学知识点总结 空间解析几何与向量代数 一、重点与难点 1、重点 ①向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ②数量积（是个数）、向量积（是个向量）；（填空选择题中考察） ③几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；（重积分求体积时画图需要） ④平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程），两平面的夹角；（一般必考） ⑤空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程）， 两直线的夹角、直线与平面的夹角；（一般必考） 空间解析几何和向量代数： 。 代表平行六面体的体积为锐角时， 向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。 与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22 2 2 2 2 2 212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M M d z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u ??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-==

（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面： 同号） （、抛物面：、椭球面：二次曲面： 参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程： 1 1 3,,2221 1};,,{,1 30 2),,(},,,{0)()()(122 222222 22222 222 22220000002 220000000000=+-=-+=+=++??? ??+=+=+===-=-=-+++++= =++=+++==-+-+-c z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt z z nt y y m t x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D Cz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A 多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x y x F F y z F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x v v z x u u z x z y x v y x u f z t v v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz - =??-=??=? -?? -??=-==??+??=??+??= ==??? ??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??= ， ，　隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式： 时，，当 ： 多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22