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八年级全等三角形知识与辅助线做法

全等三角形复习 [知识要点] 一、全等三角形 1.判定和性质

注:① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等; ② 全等三角形面积相等. 2.证题的思路: 性质

1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等 (以上可以简称:全等三角形的对应元素相等)

7、三边对应相等的两个三角形全等。(SSS)

8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)

9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)

10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS) 11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL) 运用

1、性质中三角形全等是条件,结论是对应角、对应边相等。 而全等的判定却刚好相反

2、利用性质和判定,学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时,一定把对应的顶点,角、边的顺序写一致,为找对应边,角提供方便。 3,当图中出现两个以上等边三角形时,应首先考虑用SAS 找全等三角形。

4、用在实际中,一般我们用全等三角形测等距离。以及等角,用于工业和军事。有一??

?

??

???

????

?

??????

????????????????

??)找任意一边()找两角的夹边(已知两角)找夹已知边的另一角()

找已知边的对角()找已知角的另一边(边为角的邻边)任意角(若边为角的对边,则找已知一边一角)找第三边()

找直角()找夹角(已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS

定帮助。

5、角平分线的性质及判定

性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

做题技巧

一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。 因此我们可以来采取逆思维的方式。 来想要证全等,则需要什么条件

另一种则要根据题目中给出的已知条件,求出有关信息。

然后把所得的等式运用(AAS/ASA/SAS/SSS/HL )证明三角形全等。 (二)实例点拨

例1 (2010淮安) 已知:如图,点C 是线段AB 的中点,CE=CD ,∠ACD=∠BCE 。求证:AE=BD 。

解析:此题可先证三角形全等,由三角形全等得出对应边相等即结论成立。证明如下: 证明:∵点C 是线段AB 的中点 ∴AC=BC ∵∠ACD=∠BCE

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE 即∠ACE=∠BCD 在△ACE 和△BCD 中,

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD ∴△ACE ≌△BCD (SAS ) ∴AE=BD

反思:证明两边相等是常见证明题之一,一般是通过发现或构造三角形全等来得到对应边即要证边相等,或者若要证边在同一个三角形中,也常先证角相等,再用“等角对等边”来证明边相等。

例2 已知:AB=AC ,EB=EC ,AE 的延长线交BC 于D ,试证明:BD=CD

解析:此题若直接证BD 、CD 所在的三角形全等,条件不够,所以先证另一对三角形全等得到有用的角、边相等的结论用来证明BD 、CD 所在的三角形全等。证明如下: 证明:在△ABE 和△ACE 中

E

B

C

A D

??

?

??=∠=∠=EF BC F C DF AC

AB=AC , EB=EC , AE=AE

∴ △ABE ≌△ACE (SSS) ∴∠BAE =∠CAE 在△ABD 和△ACD 中 AB=AC ∠BAE= ∠CAE AD=AD

∴ △ABD ≌ △ACD (SAS ) ∴ BD = CD

反思:通过证明几次三角形全等才得到边、角相等的思路也是中考中等难度题型的常考思路。此种题型需要学生先针对条件分析、演绎推理,逐步找出解题的思路,再书写规范过程。 例3.如图,点C 、E 、B 、F 在同一直线上,AC ∥DF ,AC =DF ,BC =EF ,求

证:AB=DE.

【证明】∵AC ∥DF ,∴F C ∠=∠ 在中和DFE ACB ??

?和DFE ACB ??≌中和DFE ACB ??,∴

AB=DE.

17、如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形,点G 是BC 延长线

上一点,连结AG ,点E 、F 分别在AG 上,连接BE 、DF ,∠1=∠2 , ∠3=∠4. (1)证明:△ABE ≌△DAF ;

(2)若∠AGB=30°,求EF 的长. 【解析】(1)∵四边形ABCD 是正方形,

∴AB=AD , 在△ABE 和△DAF 中,

∴△ABE ≌△DAF.

(2)∵四边形ABCD 是正方形, ∴∠1+∠4=90o ∴∠1=∠AGB=30o

∵∠3=∠4, 在Rt △ADF 中,∠AFD=90o AD=2 , ∴∠1+∠3=90o ∴AF=3 , DF =1, ∴∠AFD=90o 由(1)得△ABE ≌△ADF,

?

??

??∠=∠=∠=∠341

2DA

AB

在正方形ABCD 中, AD ∥BC, ∴AE=DF=1

∴EF=AF-AE=13-.

例4如图, ,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F =⊥=∠于点,,平分交于点,请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明.

【解析】(1)ADB ADC △≌△、ABD ABE △≌△、AFD AFE △≌△、

BFD BFE △≌△、

ABE ACD △≌△(写出其中的三对即可).

(2)以△ADB ≌ADC 为例证明. 证明:

,90AD BC ADB ADC ⊥∴∠=∠=°.

在Rt ADB △和Rt ADC △中,

,,AB AC AD AD ==

∴ Rt ADB △≌Rt ADC △.

要点二、角平分线的性质与应用

例5、如图,OP 平分AOB ∠,PA OA ⊥,PB OB ⊥,垂足分别为A ,B .下列结论中不一定成立的是( )

A.PA PB =

B.PO 平分APB ∠

C.OA OB =

D.AB 垂直平分OP

【解析】选D.由OP 平分AOB ∠,PA OA ⊥,PB OB ⊥,可得PA PB =,由HL 可得Rt △AOP ≌Rt △BOP ,

所以可得PO 平分APB ∠,OA OB =.

例6如图,在ΔABC 中,∠C=90°,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,若BD=10厘米,BC=8厘米,则点D 到直线AB 的距离是_______厘

米。

【解析】过点D 作DE 垂直于AB 于E,由勾股定理得68102222=-=-=BC BD CD ,由角平分

线性质得6==CD DE 答案:6. 【实弹射击】

1、 如图,AB=AC ,AE=AD ,BD=CE ,求证:△AEB ≌ △ ADC 。

A

E

A

2、如图:AC 与BD 相交于O ,AC =BD ,AB =CD ,求证:∠C =∠B

3、如图,已知AB=CD ,AD=CB ,E 、F 分别是AB ,CD 的中点, 且DE=BF ,说出下列判断成立的理由 .①△ADE ≌△CBF ②∠A=∠C

4、已知:BECF 在同一直线上, AB ∥DE ,AC ∥DF ,并且BE=CF 。 求证:△ ABC ≌ △ DEF

如图,ΔABC 的两条高AD 、BE 相交于H ,且AD=BD ,试说明下列结论成立的理由。 (1)∠DBH=∠DAC ; (2)ΔBDH ≌ΔADC 。

如图,已知ABC ?为等边三角形,D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB ,且DEF ?也是等边三角形.

除已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等线段,并证明你的猜想是正确的; 你所证明相等的线段,可以通过怎样的变化相互得到?写出变化过程.

O

A

C

D

B

第2题图

A

D

B

C

F

E 第3题图

F

E D

B

A

第4题图

A B

C

D

E

H

已知等边三角形ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,求∠APE的大小。

如图所示,P 为∠AOB 的平分线上一点,PC ⊥OA 于C ,?∠OAP+∠OBP=180°,若OC=4cm ,求AO+BO 的值.

如图:四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=AD+BC ,E 是CD 的中点,求证:AE ⊥BE 。

如图,ABCD 是正方形,点G 是BC 上的任意一点,DE AG ⊥于E ,BF DE ∥,交AG 于F .求证:AF BF EF =+.

P

D

A C

B O

B

E

D

C

B

A E

F

全等三角形问题中常见的辅助线的作法

常见辅助线的作法有以下几种:

1、遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.

2、截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.

3、遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”.

4、角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.

5、过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答. 一、倍长中线(线段)造全等

例1.已知:如图3所示,AD 为 △ABC 的中线, 求证:AB+AC>2AD 。

证明:延长AD 至E ,使DE=AD ,连接BE ,CE 。

例3、如图,△ABC 中,BD=DC=AC ,E 是DC 的中点,求证:AD 平分∠BAE.

二、截长补短

例1.已知:如图1所示, AD 为△ABC 的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4。 求证:BE+CF>EF 。

证明:在DN 上截取DN=DB ,连接NE ,NF 。

A

E

F

N

A

B

C

D E

3

-图

C

C

B

A

延长FD 到G , 使DG=FD, 再连结EG,BG

1、如图,ABC ?中,AB=2AC ,AD 平分BAC ∠,且AD=BD ,求证:CD ⊥AC

2、如图,AC ∥BD ,EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ,CD 过点E ,求证;AB =AC+BD 在AB 上取点N ,使得AN=AC

3、如图,已知在ABC 内,0

60BAC ∠=,0

40C ∠=,P ,Q 分别在BC ,CA 上,并且AP ,BQ 分别是BAC ∠,ABC ∠的角平分线。求证:证明:做辅助线PM ‖BQ ,与QC 相交与M 。

C

D

B

A

C

B

A

4、角平分线如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分ABC

∠,求证:

180

=

+

∠C

A

5、如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC

三、平移变换

例1 AD为△ABC的角平分线,直线MN⊥AD于A.E为MN上一点,△ABC周长记为A

P

△EBC周长记为B

P.求证

B

P

>A

P.

例2 如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:AB+AC>AD+AE.

E

D C

B

A

D

C

B

A

A

F

E

D C

B

A

四、借助角平分线造全等

1、如图,已知在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O , 求证:OE=OD

2、如图△ABC 中,AD 平分∠BAC ,DG ⊥BC 且平分BC ,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F. (1)说明BE=CF 的理由;(2)如果AB=a ,AC=b ,求AE 、BE 的长. 五、旋转

1 、正方形ABCD 中E 为BC 上的一点,F 为CD 上的一点,BE+DF=EF ,求∠EAF 的度数.

例2 D 为等腰Rt ABC ?斜边AB 的中点,DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。当MDN ∠绕点D 转动时,求证DE=DF 。 若AB=2,求四边形DECF 的面积。

E D

G

F

C B

A

练习

1、如图,在△ ABC 中,AB=AC ,延长AB 到D ,使BD=AB ,取AB 的中点E ,连接CD 和CE. 求证:

CD=2CE

2、如图,已知C 为线段AB 上的一点,?ACM 和?CBN 都是等边三角形,AN 和CM 相交于F 点,BM 和CN 交于E 点。求证:?CEF 是等边三角形。

3、已知:如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,BC=DC ,CF 平分∠BCD ,DF ∥AB ,BF 的延长线交DC 于点E 。求证:(1)△BFC ≌△DFC ;(2)AD=DE

A

B

C

M

N

E F

1

2

4.如图所示,已知AE ⊥AB ,AF ⊥AC ,AE=AB ,AF=AC 。求证:(1)EC=BF ;(2)EC ⊥BF

5、)如图10,四边形ABCD 、DEFG 都是正方形,连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ,CG 与AD 相交于点N .

求证: CG AE ;

6. 如图,在等腰Rt △ABC 中,∠C =90°,D 是斜边上AB 上任一点,AE ⊥CD 于E ,BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ,CH ⊥AB 于H 点,交AE 于G . 求证:BD =CG .

A E

B

M C

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