直角三角形的性质1
直角三角形的性质
教学目标：
1、掌握直角三角形的两个性质定理，能运用直角三角形有关性质解决简单的数学问题。
2、进一步领会利用添加辅助线的方法来证明有关几何问题。
3、经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法。
4、通过图形的变换，引导学生进行类比联想，促进学生的四维想多层次方位发散。
5、在定理证明的过程中，体会交流的重要性，同时共同分享成功的喜悦。
教学要点：
1、教学重点：让学生掌握直角三角形的两个性质定理。
D
B
本课的主要任务是让学生掌握直角三角形的性质定理，尤其是学生经历探索直角三角性质的过程，体会研究图形性质的方法。新课标的基本理念是以学生发展为本，坚持全体学生的全面发展，关注学生个性的健康发展，所以我积极倡导让学生亲身经历猜想、探究为主的学习活动，培养学生的好奇性和探究欲，使他们学会探究解决问题的策略。教学设计上，引导学生动眼、动脑、动手、动嘴、主动探索、主动发现，主动获取新的知识，并在学生的自主活动中逐步培养和发展他们的创造能力和良好的个性品质。
直角三角形是人们日常生活中常见的一种几何图形，学生在前一节课已经学习了直角三角形的特殊判定定理，由此引起学生对性质的特殊性思考。对于性质定理1没有耗费太多的时间，由学生通过算一算直接得到。练习中的找一找让学生对于等腰直角三角形这一特殊情况引起大胆的猜想，借助几何画板去伪存真，得出直角三角形的中线性质。在这一过程中，让学生逐步体会从特殊到一般的研究问题的策略。接着就是命题的证明过程，对于证明思路的分析事先做好充分的准备，抓住中线的特点，运用几何画板演示旋转过程，引导学生得出辅助线的添加方法，再有学生独立完成证明过程。例题的选择上也源于教材，旨在让学生抓住图形的特点学会运用性质解决几何图形。
整个课堂设计，通过“算一算”、“找一找”、“想一想”、“猜一猜”、“证一证”、“练一练”、“变一变”等一系列活动的参与，让学生去想，去说，去做，去表达，去体会成功的喜悦。
教学反思：
传统的“学生被动听，老师一味灌”教学模式已经不适应这个重知识形成过程，重学生探索创造能力的时代。所以我通过提供适当的问题情境此事学生思考。引起学生的认知需求，从而让学生主动再发现，再创造，构建起新的认知结构。在整堂课的教学过程中，课堂气氛热烈和谐。在性质的证明，由于学生之前的认知水平，大部分同学都是利用中线倍长的辅助线添加方法，这是我没有预料到的。因此在这个环节上，我也没有过多的展开，让学生去探究更多的证明方法，这是这节课不太成功的地方。
总之，通过这节我的收获颇多，不但是自己的教学水平有所提高，教学观念有所更新，更让我从其他老师身上发现很多值得自己改进的地方。
直角三角形的性质与判定
A C B 直角三角形的性质与判定 学习目标： 1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”的定理。 2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法. 3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用. 学习重点及难点 1、直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法. 2、直角三角形斜边上的中线性质定理的应用. 学习过程 一 、预习与交流 1、什么叫直角三角形？ 2、直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质? 二、合作与探究 （1）研究直角三角形性质定理一 如图：∠A 与∠B 有何关系？为什么？ 归纳：定理1： （2）猜一猜 量一量 证一证 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半吗？ 命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 的中线. 求证：CD=2 1AB A C B D
C A B D 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 三。知识应用： 例：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。 四：巩固练习 （1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数为 ； （2）在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= ； （3）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD 是斜边AB 上的高，那么，与∠B 互余的角有 ，与∠A 互余的角有 ，与∠B 相等的角有 ，∠A 相等的角有 . 4、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________． 5、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________． 五：作业.93页A 组1题 六：学习反思： A C B D
(完整版)直角三角形的性质和判定
A C D C 直角三角形的性质和判定 一、知识要点 1、直角三角形的性质： （1）在直角三角形中，两锐角； （2）在直角三角形中，斜边上的中线等于__________的一半； （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 ___________； （4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于___________。 2、直角三角形的判定： （1）有一个角等于_________的三角形是直角三角形； （2）有两个角_____________的三角形是直角三角形； （3）如果三角形一边上的中线等于这条边的________，那么这个三角形是直角三角形。 二、知识运用典型例题 例1、在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， CD⊥AB， (1) 若BD=8，求AB的长； (2) 若AB=8，求BD的长。 例2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，CE⊥AB，已知AB=10cm，DE=2.5cm，求CD和∠DCE。例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=x°，∠B=2x°求x。 例4、如图，已知AB⊥BC，AE∥BC，∠1=45°，∠E=70°．求∠2，∠3，∠4的度数．
例5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°, ∠A=15°,AB=8cm，CD为AB的中线，求△ABC的面积。 C 例6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数。 三、知识运用课堂训练 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2cm，AC=BC，CD⊥AB于D点，则CD=_______cm； 2、如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 3、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：2：3，它的最大边长为6cm，那么它的最小边长为_________cm； 4、直角三角形中一个锐角为30°，斜边和较小的边的和为12cm，则斜边长为_____________; 5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=4cm，∠B=30°， 则AC=_____cm A D C B
直角三角形性质应用(讲义)
直角三角形性质应用 ? 课前预习 1. 根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长． 1 1 45° 30° 2 30° 45° 23 2. 下列是不完整的弦图结构，请补全弦图． ? 知识点睛 直角三角形性质梳理：
1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C B 45° 1 130° 2 3 4 2 1 1 C A B C A B C A 4. 垂直（多个） ①等面积法 a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A A B C A B C C B A 2m m A B C 30°
ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C B ②弦图结构 外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图） ? 精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作 BC ，AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A E D C B 第1题图 第2题图 2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC 与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=__________（用含m ，n 的式子表示）． 3. 如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，点D 是BC 上一点，AD =5，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点，AC =6.5，则AB 的长为______．
直角三角形的性质教案(完美版)
【知识与技能】 （1）掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用. （2）继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系.知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律. 【过程与方法】 （1）经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法. （2）培养在自主探索和合作交流中构建知识的能力. （3）培养识图的能力，提高分析和解决问题的能力，学会转化的数学思想 方法. 【情感态度】 使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识、综合意识. 【教学重点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的应用. 【教学难点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法. 一、情境导入，初步认识 复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？ 学生回答：（1）在直角三角形中，两个锐角互余； （2）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）. 二、思考探究，获取新知 除了刚才同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质？现在我们一起探索！ 1.实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片. （1）量一量边AB的长度； （2）找到斜边的中点，用字母D表示，画出斜边上的中线； （3）量一量斜边上的中线的长度. 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系.
网友可以在线阅读和下载这些文档地提升自我已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的 中线. 求证：CD=12AB. 【分析】可“倍长中线”,延长CD 至点E ，使DE=CD ，易证四 边形ACBE 是矩形，所以 CE=AB=2CD. 思考还有其他方法来证明吗？还可作如下的辅助线. 4.应用： 例 如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°,∠A=30°. 求证：BC=12AB 【分析】构造斜边上的中线，作斜边上的中线CD ，易证△BDC 为等边三角形，所以BC=BD=12AB. 【归纳结论】直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜 边的一半. 三、运用新知，深化理解 1.如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，CD=4，则AB=______. 2.三角形三个角度度数比为1∶2∶3，它的最大边长是 4cm ，那么它的最小边长为______cm. 3.如图，在△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE ，DG ⊥CE,G 为垂足. 求证：（1）G 是CE 的中点； （2）∠B=2∠BCE.
直角三角形的性质、判定习题
直角三角形习题 一、填空题 1、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为 . 2、等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 . 3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 . 4、已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______，BD=_______cm ，AD=________cm ； 5、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于____________； 6、在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 的平分线相交于O ，则∠AOB=_________； 7、等边三角形的高为2，则它的面积是 。 8、直角三角形两直角边分别为6cm 和８cm 9、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ， BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 折迭， 使E 它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 。 二、选择题 10、在△ABC 中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,CD ⊥AB 于D,AB=a ,则DB 等于( ) A.2a B.3a C.4 a D.以上结果都不对 11、 下列各组数为边长的三角形中,能构成直角三角形的有 组 (1)7,24,25 (2)2 2 2 3,4,5 (3)35,2,22 (4)8,15,17 (5)10,15,20 12、下列命题错误的是（ ） A ．有两个角互余的三角形一定是直角三角形； B ．三角形中，若一边等于另一边一半，则较小边对角为30° C ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； D ．△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：4：5，则这个三角形为直角三角形。 13、如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 14、将一张长方形纸片ABCD 如图所示折叠，使顶点C 落在C ′点. 已知AB=2,∠DEC ′ =30°, 则折痕DE 的长为（ ）A 、2 B 、32
直角三角形的性质习题
列举直角三角形有哪些性质？ 1两个锐角：2含30度角3斜边上的中线4面积 测试题： 1．在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，若CD=5cm,则AB=_____ 三角形ABC的面积=____________ 2. 在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，图中有__________等腰三 角形. 3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=6，求DE的长。 4.已知：四边形ABCD中，∠ABC= ∠ADC=90度，E、F分别是AC、BD的中点。 求证：EF⊥BD 5.如图，在△ABC中，∠B= 2∠C，点D在BC 边上，且AD ⊥AC. 求证：CD=2AB 再练习： 1、在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=10，则AB=________. 2、顶角为30度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高__________，三角形面积是 ________ 3、等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3，则腰长为_________ 4、三角形ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC边上的高AD=_______________ 5、Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线交AC于D,AB于E, 求证AD=2BC.
M F E D C B A 6、 已知：△ABC 中,AB=AC ，∠B=30°，AD ⊥AB ， 求证：2DC=BD 7.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=60 °，EF 是AB 的垂直平分线，判断CE 与BE 之间的关系 1.在直角三角形中，有一个锐角为52度，那么另一个锐角度数为 ； 2、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________． 3、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________． 4、已知：∠ABC=∠ADC=90度，E 是AC 中点。求证：（1）ED=EB （2）图中有哪些等腰三角形？ 5、如图，AB 、CD 交与点O,且BD=BO ，CA=CO ，E 、F 、M 分别是OD 、OA 、BC 的中点。求证：ME=MF. 6、在等边三角形ABC 中，点D 、EF 分别在AB 、AC 边上，AD=CE ，CD 与BE 交与F, DG ⊥BE 。 求证：（1）BE=CD;(2)DF=2GF C B A E F C B A G E F D C B A
直角三角形性质应用(讲义及答案).
直角三角形性质应用（讲义） 课前预习 1.根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三 角形的边长． 2.下列是不完整的弦图结构，请补全弦图．
知识点睛 直角三角形性质梳理： 1.从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2.添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于_____________． 3.特殊的直角三角形
4.垂直（多个）①等面积法 ②弦图结构 外弦图（赵爽弦图）内弦图（毕达哥拉斯图） 精讲精练 1.如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ， 分别过点C ，E 作BC ，AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． 第1题图 第2题图2.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ， BC =n ，且∠EBC 与∠DCB 互余，则BD 2+CE 2=__________（用含m ，n 的式子表示）．
直角三角形性质应用(直角 中点)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题 问题1：从边与角的角度来考虑直角三角形的性质都有哪些？ 问题2：遇到斜边上的中点怎么想？ 问题3：直角三角形斜边上的中线等于__________； 如果一个三角形__________________，那么这个三角形是直角三角形． 直角三角形性质应用（直角+中点） 一、单选题(共7道，每道12分) 1.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，斜边BC上的高AD=5cm，斜边BC上的中线AE=8cm，那么△ABC的面积为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，EF过点C且平行于AB． 若∠BCF=35°，则∠ACD的度数是( )
A.35° B.45° C.55° D.65° 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 3.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( ) A.20 B.14 C.13 D.10 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 4.如图，∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，若∠BCD=75°，则∠BDE=( ) A.25° B.20° C.15° D.10° 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半 5.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E，F分别是对角线AC，BD的中点，则下列结论成立的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：
直角三角形性质应用(讲义及答案)
直角三角形性质应用（讲义） ? 课前预习 1. 根据图中给出的边长及角度信息，在横线上补全下列直角三角形的边长． 1 1 45° 30° 2 30° 45° 23 2. 下列是不完整的弦图结构，请补全弦图．
? 知识点睛 直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C B 45° 1130° 2 3 4 2 1 1 B C A B C A B C A a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A A B C A B C C B A 2m m A B C 30°
4. 垂直（多个） ①等面积法 ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C B ②弦图结构 外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图） ? 精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作BC ， AE 的垂线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A E D C B 第1题图 第2题图 2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，若DE =m ，BC =n ，且∠EBC 与∠
直角三角形的性质习题
19.8 (1) 直角三角形的性质（一） 1．在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，若CD=5cm,则AB=_____ 三角形ABC的面积=____________ 2.在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，图中有__________等 腰三角形. 3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=6，求DE的长。 4. 已知：四边形ABCD中，∠ABC= ∠ADC=90度， E、F分别是AC、BD的中点。 求证：EF⊥BD 1、如图，在△ABC中，∠B= 2∠C，点D在BC 边上， 且AD ⊥AC. 求证：CD=2AB 19.8（2）直角三角形性质（二） E
1、 在直角三角形ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=10，则AB=________. 2、 顶角为30度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高__________，三角形面积是 ________ 3、 等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3，则腰长为_________ 4、 三角形ABC 中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC 边上的高AD=_______________ 5、 Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=15°，AB 的垂直平分线交AC 于D,AB 于E, 求证AD=2BC. 6、 已知：△ABC 中,AB=AC ，∠B=30°，AD ⊥AB ， 求证：2DC=BD 7.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=60 °，EF 是AB 的垂直平分线，判断CE 与BE 之间的关系 19.8（3）直角三角形的性质(三) D A C B A E F C B A
直角三角形性质综合应用(二)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题 问题1：看到直角，有哪些思考角度？ 问题2：特殊角30°、45°的用法是什么？ 直角三角形性质综合应用（二）（北师版） 一、单选题(共7道，每道14分) 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E， 若AC=12cm，则AD=( )cm． A.4 B.8 C.6 D.无法确定 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形 2.如图，等边△DEF的顶点分别在等边三角形ABC的各边上，且DE⊥BC于E．若AB=1，则BD的长为( )
A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形 3.已知△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，AB=4，D为直线BC上一点，且AD=2CD，则DB=( ) A. B.
C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含45°角的直角三角形 4.如图，在矩形ABCD中，AB>AD，AB=1，AN平分∠DAB，DM⊥AN，垂足为M，CN⊥AN，垂足为N，则DM+CN的值为( )
A.1 B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含45°角的直角三角形 5.已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④． 其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形 6.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F．已知BD=2，CD=1，∠ABC=30°，有下列结论： ①∠AED=∠ADC；②；③AC·BE=2；④BE=DE．其中正确的有( )
直角三角形性质应用(讲义及习题).
直角三角形性质应用（讲义） 知识点睛 直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑 ①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______． ②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形． 2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角） ①直角三角形斜边上的中线等于______________； 如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形． ②30°角所对的直角边是_____________________； 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________． 3. 特殊的直角三角形 A C B 45° 1 1 30° 2 3 42 1 1 A B A B C A 4. 垂直（多个） ①等面积法 ab=ch D h C B A c b a h h=h 1+h 2+h 3 h 3 h 2h 1 A C B ②弦图结构 a 2+ b 2=c 2 C B A C B A β α C A A B C A B C C B A 2m m A B C 30°
外弦图（赵爽弦图） 内弦图（毕达哥拉斯图） 精讲精练 1. 如图，在Rt △ABE 中，∠B =90°，延长BE 到C ，使EC =AB ，分别过点C ，E 作BC ，AE 的垂 线，两线相交于点D ，连接AD ．若AB =3，DC =4，则AD 的长为___________． E D C B A A B C D E 第1题图 第2题图 2. 如图，在△ABC 中，∠C =2∠B ，点D 是BC 上一点，AD =5，且AD ⊥AB ，点E 是BD 的中点， AC =6.5，则AB 的长为______． F E C B A 4 3 2 4 3 2 第3题图 第5题图 3. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 的中点，点D 在BC 上，且AD =BD ，AD ，CE 相 交于点F ．若∠B =20°，则∠DFE 等于（ ） A ．70° B ．60° C ．50° D ．40° 4. 已知△ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，MC =MA =5，则△ABC 的面积是__________． 5. 在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角 形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2，4，3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ） A ．10 B ．C ．10 或 D ．10 或 6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在AC 上，若 ∠CBD =30°，则AD DC =_________． 7. Rt △ABC 和Rt △DEF 按如图方式放置，A ，B ，D 在同一直线上，EF ∥AD ， ∠CAB =∠EDF =90°，∠C =45°，DE =8，EF =16，则BD =__________． D C B A
直角三角形的性质和判定
第1章 直角三角形 1.1 直角三角形的性质和判定 第1课时 直角三角形的性质和判定 学习目标 1、熟练掌握直角三角形的性质、判定和运用. 2、在实际的操作中去发现直角三角形的特性，并能自主探究证明方法. 一、自主学习 认真阅读教材P1-4页内容，掌握以下基础知识： 1、三角形的内角和是 . 2、在直角三角形中，两个锐角的和是 . 3、直角三角形的判定定理： . 4、动手操作：如图，画出直角三角形ABC 斜边的中线；猜一猜，量一量；这条中线与斜边在长度上有什么关系？ AB= CD= 探究得出：在直角三角形中，斜边上的中线等于 . 写出证明过程： B D C A 二．合作探究 1、如图，在三角形ABC 中，∠A+∠B=90°,求证：三角形ABC 是一个直角三角形. 2、如图，在直角三角形ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线. （1）若AB=6cm,求CD 的长；（2）若CD=6cm,求AB 的长. B D C A 3、如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形. B D C A 4、如图，AB//CD ,∠BAC 和∠ACD 的平分线相交于点H,E 为AC 的中点. A C B
求证：（1）△ACH 是Rt △;（2）AC=2EH. H E D B C A 四、巩固小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 五、当堂测评 1、直角三角形中，到三个顶点的距离相等的点是 . 2、如图，在直角三角形ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线. （1）若DB=5cm,则CD= ； （2）若CD=12cm,则AB= ; （3）若∠A=40°，则∠BDC= ; (4)若AB+CD=15cm,则AB= ,CD= . B D C A
直角三角形的性质1
直角三角形的性质 教学目标： 1、掌握直角三角形的两个性质定理，能运用直角三角形有关性质解决简单的数学问题。 2、进一步领会利用添加辅助线的方法来证明有关几何问题。 3、经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法。 4、通过图形的变换，引导学生进行类比联想，促进学生的四维想多层次方位发散。 5、在定理证明的过程中，体会交流的重要性，同时共同分享成功的喜悦。 教学要点： 1、教学重点：让学生掌握直角三角形的两个性质定理。
D
B
本课的主要任务是让学生掌握直角三角形的性质定理，尤其是学生经历探索直角三角性质的过程，体会研究图形性质的方法。新课标的基本理念是以学生发展为本，坚持全体学生的全面发展，关注学生个性的健康发展，所以我积极倡导让学生亲身经历猜想、探究为主的学习活动，培养学生的好奇性和探究欲，使他们学会探究解决问题的策略。教学设计上，引导学生动眼、动脑、动手、动嘴、主动探索、主动发现，主动获取新的知识，并在学生的自主活动中逐步培养和发展他们的创造能力和良好的个性品质。 直角三角形是人们日常生活中常见的一种几何图形，学生在前一节课已经学习了直角三角形的特殊判定定理，由此引起学生对性质的特殊性思考。对于性质定理1没有耗费太多的时间，由学生通过算一算直接得到。练习中的找一找让学生对于等腰直角三角形这一特殊情况引起大胆的猜想，借助几何画板去伪存真，得出直角三角形的中线性质。在这一过程中，让学生逐步体会从特殊到一般的研究问题的策略。接着就是命题的证明过程，对于证明思路的分析事先做好充分的准备，抓住中线的特点，运用几何画板演示旋转过程，引导学生得出辅助线的添加方法，再有学生独立完成证明过程。例题的选择上也源于教材，旨在让学生抓住图形的特点学会运用性质解决几何图形。 整个课堂设计，通过“算一算”、“找一找”、“想一想”、“猜一猜”、“证一证”、“练一练”、“变一变”等一系列活动的参与，让学生去想，去说，去做，去表达，去体会成功的喜悦。 教学反思： 传统的“学生被动听，老师一味灌”教学模式已经不适应这个重知识形成过程，重学生探索创造能力的时代。所以我通过提供适当的问题情境此事学生思考。引起学生的认知需求，从而让学生主动再发现，再创造，构建起新的认知结构。在整堂课的教学过程中，课堂气氛热烈和谐。在性质的证明，由于学生之前的认知水平，大部分同学都是利用中线倍长的辅助线添加方法，这是我没有预料到的。因此在这个环节上，我也没有过多的展开，让学生去探究更多的证明方法，这是这节课不太成功的地方。 总之，通过这节我的收获颇多，不但是自己的教学水平有所提高，教学观念有所更新，更让我从其他老师身上发现很多值得自己改进的地方。
《直角三角形的性质》导学案
24.2直角三角形的性质 一、知识回顾 如图，在△ABC中，∠C=90° （1）若∠A=40°,则∠B= （2）若AB=10,BC=6,则AC= 设计意图：通过题组引导，培养学生将直角三角形的性质不断提取再现与归纳，引导学生学会总结，学会数学地思维. 二、新知导学 1.若CD是中线,若AC=8,BC=6,则 CD= 2.若∠A=30°,BC=6,则AB= 三、例题讲解
四、当堂检测 1 如图，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D，∠A=30°,BC=4， 那么∠1=， BD= ，AD= 2、已知△ABC中, ∠A=900, ∠B=4 ∠C,则∠B= 3、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（） A、b2 = c2 - a2 B、∠C=∠A - ∠B C、∠A︰∠B︰∠ C=3︰4︰5 D、a︰b︰c=3︰4︰5 4、现有两根木棒长为4cm和3cm，若要钉成一个直角三角形木架，则所需的木棒长为多少_________cm. 5、如图，在Rt△ABC中， AB=10，BC=8 CD是斜边AB上的高线，则CD= 。 CE是斜边AB上的中线，则CE= 。 6、今年“莫拉克”台风严重影响了我们宝岛台湾，一棵树在离开地面6米A处折断倒下，与地面成30°，那么树折断之前是______米？ (A) 12 (B) 18 (C) 20 (D)24； 设计意图： 复习直角三角形有关角的特有性质：进行巩固并回忆。 设计意图：通过题组引导，培养学生将直角三角形的性质不断提取再现与归纳，引导学生学会总结，学会数学地思维. 四、综合应用 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的一点F处。已知 AB=8,BC=10,求 EC的长 并求出最小路程。 五、小结 设计意图：学生讲知识点、收获、一点遗憾，并强调数学思想方法.
直角三角形定义
?直角三角形定义： 有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC 写作Rt△ABC。 ?直角三角形性质： 直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1:直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。即。如图，∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理) 性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90° 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）。 性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。 性质5: 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： （1）（AD)2=BD·DC。 （2）（AB)2=BD·BC。 （3）（AC)2=CD·BC。 性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。 性质7:如图，1/AB2+1/AC2=1/AD2
性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 性质9：直角三角形直角上的角平分线与斜边的交点D 则BD:DC=AB:AC 直角三角形的判定方法： 判定1：定义，有一个角为90°的三角形是直角三角形。 判定2：判定定理：以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形。如果三角形的三边a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形。（勾股定理的逆定理）。 判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。 判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。 判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么 判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。 判定7：一个三角形30°角所对的边等于这个三角形斜边的一半，则这个三角形为直角三角形。（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。）
直角三角形的性质习题
直角三角形的性质 （一） 1．在 直角三角形ABC 中，∠ACB=90度，CD 是AB 边上中线， 若CD=5cm,则AB=_____三角形ABC 的面积=____________ 2. 在 直角三角形ABC 中，∠ACB=90度，CD 是AB 边上中线， 图中有__________等腰三角形. 3．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 、E 分别是BC 、AC 的中点， AB=6，求DE 的长。 4、E 、F 分别是AC 、BD 的中点。 求证：EF ⊥BD 直角三角形性质（二） 1、 等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3，则腰长为_________ 2、 三角形ABC 中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC 边上的高AD=_______________ 3、 Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=15°，AB 的垂直平分线交AC 于D,AB 于E, 求证AD=2BC. 4、 5、 已知：△ABC 中,AB=AC ，∠B=30°，AD ⊥AB ， 求证：2DC=BD D A C B A
5.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=60 °，EF 是AB 的垂直平分线，判断CE 与BE 之间的关系 直角三角形的性质(三) 1.在直角三角形中，有一个锐角为52度，那么另一个锐角度数为 ； 2、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________． 3、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________． 4、已知：∠ABC=∠ADC=90 度，E 是AC 中点。 求证：（1）ED=EB （2）图中有哪些等腰三角形？ 5、如图，AB 、CD 交与点O,且BD=BO ，CA=CO ，E 、F 、M 分别是OD 、OA 、BC 的中点。求证：ME=MF. 6、在等边三角形ABC 中，点D 、EF 分别在AB 、AC 边上，AD=CE ，CD 与BE 交与F, DG ⊥BE 。 求证：（1）BE=CD;(2)DF=2GF E F C B A M F E D C B A G E F D C B A
直角三角形的性质教案
直角三角形的性质教案 【知识与技能】 （1）通过动手操作-探索-发现-猜想-证明得出直角三角形的性质3，体会合情推理与演绎推理的相互依赖于相互补充。. （2）理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”。 (3)会运用直角三角形的性质进行有关的计算与证明。 【过程与方法】 （1）经历探索直角三角形性质的过程，体会研究图形性质的方法. （2）培养在自主探索和合作交流中构建知识的能力. （3）培养识图的能力，提高分析和解决问题的能力，学会转化的数学思想方法. 【情感态度】 使学生对逻辑思维产生兴趣，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识、综合意识. 【教学重点】 直角三角形斜边上的中线性质定理及应用.
【教学难点】 直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法. 一、情境导入，初步认识 复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？ 学生回答：（1）在直角三角形中，两个锐角互余； （2）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）. 二、思考探究，获取新知 除了刚才同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质？现在我们一起探索！ 1.实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片. （1）量一量边AB的长度； （2）找到斜边的中点，用字母D表示，画出斜边上的中线； （3）量一量斜边上的中线的长度. 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系. 2.提出命题：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3.证明命题： 你能否用演绎推理证明这一猜想？ 已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是 斜边AB上的中线. AB. 求证：CD=1 2 【分析】可“倍长中线”,延长CD至点E，使DE=CD，易证四边形ACBE是矩形，所以 CE=AB=2CD. 思考还有其他方法来证明吗？还可作如下的辅助线.
最新-初中数学直角三角形性质应用综合题(含答案) 精品
初中数学直角三角形性质应用综合题 一、单选题(共6道，每道16分) 1.如图,△ABC中,AB=AC,D为BC中点,连接AD,G为BC上一点,过点G做GE⊥AB于点E,GF⊥AC 于点F,AD与GF相交于点H,则∠BAD的余角个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余 2.如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13,小正方形的面积是1,直角三角形的短直 角边为a,较长的直角边为b,那么(a+b)2的值为() A.169 B.25 C.19 D.13 答案：B 试题难度：三颗星知识点：勾股定理及其逆定理 3.如图,∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点,则() A.∠1>∠2 B.∠1=∠2 C.∠1<∠2 D.∠1与∠2大小关系不能确定 答案：B 试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边一半
4.如图所示,已知∠1=∠2,AD=BD=4,CE⊥AD,2CE=AC,那么CE的长是 () A. B.2 C. D.4 答案：C 试题难度：三颗星知识点：含30°的直角三角形 5.直角三角形的一个角是45°,最长的边长是10,这个三角形的面积是(). A.50 B.12.5 C.25 D. 答案：C 试题难度：三颗星知识点：常用直角三角形的三边关系 6.如右下图,等边△ABC外一点P到三边距离分别为h1,h2,h3,且h3+h2-h1=3,其中 PD=h3,PE=h2,PF=h1.则△ABC的面积S△ABC=() A. B. C. D.9 答案：B 试题难度：三颗星知识点：勾股定理之等面积法
八年级下册数学直角三角形的性质
直角三角形判定的教学设计 教学目标：1.掌握直角三角形的判别条件。 2.熟记一些勾股数。能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用。 教学重点：直角三角形的判别条件及其应用；它可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形。 教学难点：直角三角形的判别条件判断一个三角形是否是直角三角形及综合应用直角三角形的知识解题。 教学过程： 一 .复习引入： 1、复习直角三角形的性质： 角的性质、边的性质。 2、我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？ 二、讲述新课： 1、古代埃及人作直角： 古埃及人曾用下面的方法得到直角：
他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形。其直角在第4个结处。 他们真的能够得到直角三角形吗？ 2、做一做 下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c： 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17。 （1）这三组数都满足a2+b2=c2 吗？ （2）分别以这三组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 3、从做一做中，你能猜想到什么结论？ 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形.a2+b2=c2 例1 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形： （1） 7， 24， 25；（2） 12， 35， 37；（3） 13， 11， 9．
解因为 252 = 242 + 72 372 = 352+122 132 ≠112+92 所以根据的判定方法可知，以（1）、（2）两组数为边长的三角形是直角三角形，而以组（3）的数为边长的三角形不是直角三角形 4、勾股数： 能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数）。请你与你的同伴合作，看看可以找出多少组勾股数。 练习：在一根长为180个单位的绳子上，分别标出A，B，C，D四个点，它们将绳子分为长为60个单位、45个单位和75个单位的三段线段。 自己握住绳子的两个端点（A点和D点），两名同伴分别握住B点和C点，一起将绳子拉直，会得到一根什么形状？为什么？ 记住常用的勾股数 能成为直角三角形三边的三个正整数叫做勾股数， ∵32+42=52∴3、4、5是一组勾股数 同理 6、8、10是一组勾股数，5、12、13也是一组勾股数；