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第6章数理统计的基本概念习题及答案

第六章数理统计的基本概念

一.填空题

1.若n ξξξ,,,21 是取自正态总体),(2σμN 的样本，

则∑==n

i i n 11ξξ服从分布 )n

,(N 2

σμ .

2.样本),,,(n X X X 21来自总体),(~2

σμN X 则~)(22

S n σ- )(1χ2-n ； ~)(n

S n X μ- _)(1-n t __。其中X 为样本均值，∑=--=n i n X X n S 122

11)(。

3.设4321X X X X ,,,是来自正态总体).(220N 的简单随机样本，

=a X

1(,y U

5. 设X 为X

6. 令T =, 则2~T F (1,n ) 分布.

解：由T =, 得22

X T Y n =. 因为随机变量~(0,1)X N , 所以22~(1).X χ

再由随机变量X 与Y 相互独立, 根据F 分布的构造, 得22

~(1,).X T F n Y n

7. 设12,,,n X X X 是总体(0,1)N 的样本, 则统计量2

11n k k X n X =-∑服从的分布为

(1,1)F n - (需写出分布的自由度).

解：由~(0,1),1,2,,i X N i n = 知22

221

~(1),~(1)n

k k X X n χχ=-∑, 于是

221

22211

(1)

1~(1,1)./1

n k k k X

n X F n X n X ==-=--∑∑

8. 总体2

1234~(1,2),,,,X N X X X X 为总体X 的一个样本,

设

从

9. 对”)

(1) 在，则样本对 )

(2) 若 0≠-θθ)?(E 则称 θ为 θ 的渐近无偏估计量 .( 错 )

(3) 设总体X 的期望E(X)，方差D(X)均存在，21x x , 是X 的一个样本，

则统计量213

31x x +是 E(X) 的无偏估计量。 ( 对 )

(4) 若 θθθ

==)?()?(2

E E 且 )?()?(2

θθD D <则以 θ2估计 θ 较以 θ1估计 θ 有效。 ( 错 )

(5) 设θn 为θ 的估计量，对任意ε > 0，如果0=≥-∞

→}|?{|lim εθθn

n P 则称 θn 是θ 的一致估计量。 ( 对 )

（6）样本方差()

∑=--=n

i i

n X X n D 1

211是总体),(~2σμN X 中σ2 的无偏估计量。()

1∑=-=n

i i X X n D *

是总体X 中σ2的有偏估计。（对）

10.设321X X X ,,是取自总体X 的一个样本，则下面三个均值估计量

332123211?,1254131?,2110351?X u

X X X u X X X ++=++=μ都

是总体均值的无偏估计，其中方差越小越有效，则

1、ξA C

2、=-n

i i 12)(ξξ，=i n S 2211-n 的A 3A 、)1,0(~2N

B 、)1.0(~4

C 、

)1,0(~/21

N n -ξ

D 、

)1,0(~/21

N n

-ξ

4、设n ξξξ ,,21是总体)1,0(~N ξ的样本，S ,ξ分别是样本的均值和样本标准差，

则有( C )

A 、)1,0(~N n ξ

B 、)1,0(~N ξ

C 、

∑=n

i i

n x 1

22)(~ξ

D 、)1(~/-n t S ξ

5.. 简单随机样本 (X X X n 12,,

,) 来自某正态总体，X 为样本平均值，则下述结论不成立的是 ( C )。

( A ) X 与 (?)X

X i

i n

-=∑21

独立

( B )X i 与X j 独立 ( 当 j i

≠ ) ( C )

i i n

=∑1

与

i i n

=∑ 独立

( D )X i 与X j 2 独立 ( 当 j i

≠)

6. 设 1n 21X , ,X ,X ，来自总体2n 212

11Y ,,Y ,Y ),,(N ~X

,X σμ 来自总

体Y ￡, ),(N ~Y

222

σμ

，且 X 与 Y 独立。∑∑====2

1n 1

i ,i 2

n 1i ,i 1,Y n 1

Y ,X n 1X

∑∑==-=-=21

n 1

i 2,i 2

n 2n 1i 2,i 12

n 1,)Y Y (n 1S ,)X X (n 1S

则如下结论中错误的是 ( D )。 ( A ) )1,0(N ~n n )]

()Y X [(222

121σ+σμ-μ--=ξ

7. 2的无偏估计量是A 、∑=-n

i i X n 111 8. 33212

103X X ++，2?μ

列说法正确的是A 、321,,都是)(X E =的无偏估计且有效性顺序为321??μμ>> B 、321?,?,?μμμ

都是)(X E =μ的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为312???μμμ

>> C 、321?,?,?μμμ

都是)(X E =μ的无偏估计，且有效性从大到小的顺序为123???μμμ

>> D 、321?,?,?μμμ不全是)(X E =μ的无偏估计，无法比

三. 计算题

1、在总体)2,30(~2N X 中随机地抽取一个容量为16的样本，求样本均值X 在 29到31之间取值的概率.

解：因)2,30(~2

N X ，故)16

2,30(~2N X ，即))21(,30(~2N X

)22

2()3120(<-<-=<<∴X P X P 9544.01)2(2)2()2(=-Φ=-Φ-Φ=

2、设某厂生产的灯泡的使用寿命),1000(~2σN X (单位：小时)，抽取一容量为9的样本，其均方差100=S ，问)940(

解：因2

σ未知，不能用),1000

N X σ=来解题，

而T ∴

∴)8.1(>T 3、设X >2)4i X .

解：X ∑=∴

2(i ≈025.0)16

4、设总体)1,0(~N X ，从此总体中取一个容量为6的样本654321,,,,,X X X X X X ，设26542321)()(X X X X X X Y +++++=，试决定常数C ，使随机变量CY 服从2x 分布.

解：)3,0(~321N X X X ++，)3,0(~654N X X X ++

)1,0(~3

321N X X X ++∴

，)1,0(~36

54N X X X ++

)2(~)3

(

226

5423

21x X X X X X X +++++∴

即)2(~)(3

)(31226542

321x X X X X X X +++

++ 3

∴C 时，)2(~2x CY

5、设随机变量T 服从)(n t 分布，求2T 的分布.

解：因为n

Y X

T /=，其中)1,0(~N X ，)(~2n x Y ，

Y X n Y X T /1//222

== )1(~22x X ),1(~2n F T ∴

6. 利用 t 分布性质计算分位数 t 0.975( 50 ) 的近似值。

( 已知 ξ ~ N ( 0， 1 ) ， p ( ξ < 1.96 ) = 0.975 )

解

。

而 ≈ 2

7. 设心矩 μr 的总

体r 阶

证 r μ

上相等 , 说明样

本的

r 估计。

8. 设总体2~(0,2)X N , 1210,,,X X X 为来自总体X 的样本. 令

16i j i j Y X X ==????=+ ? ?????

∑∑.

试确定常数C , 使CY 服从2χ分布, 并指出其自由度.

解：由2~(0,2)X N , 得

~(0,1),1,2,,10.2

X N i = 又1210,,,X X X 互相独立,

故

510

11~(0,5),~(0,5),22i j i j X N X N ==∑∑

~(0,1),

~(0,1),j

N N ∑∑

且二者独立.

从而有

510

2161~(2),20i j i j X X χ==??

??????+ ? ????????

∑∑ 得21

,20

C χ=

分布的自由度为2.

9. 设124125,,,,,,X X X Y Y Y 与分别是来自正态(0,1)N 的总体X 与Y 的样本,

Z =

解:

47+=.

10.设X 两个相互独立、Y n 的均值，

试 σ 的概率大解：由于 X 及 Y 均服从 ???? ?

?n N ,σμ则 ??? ??-22,0~σn N Y X 要 (

)(

)

01.02)2(≈>-=>-n n Y X P Y X P σσ

即

(

)

99.02)2(≈<-n n Y X P σ

即 (

)99.0122=-Φ

n 即 (

)

995.02=Φ

n 2258=..

∴ 取 n = 14

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习题一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。解（1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。（ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

《数理统计》试卷及答案

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－说明：本试卷总计100分，全试卷共 5 页，完成答卷时间2小时。－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－一、填空题（本大题共8小题，每题4分，共32分） 1、随机事件A 、B 互不相容，且A ＝B ；则()P A = 2、已知,10/1)/(,5/1)(,5/2)(===B A P B P A P 则=+)(B A P 3、同时掷三枚均匀硬币，则恰有两枚正面向上的概率为。 4、若随机变量)2.0,20(~B X ，则X 的最可能值是。 5、若n X X X ,...,,21为来自泊松分布)(λP 的一个样本，2,S X 分别为样本均值和样本方差，则 =)(X E ，=)(2S E 。 6、样本0,5,10,-3样本均数为，样本方差为。 7、2σ已知时检验假设0100:;:μμμμ≠=H H ，应构造统计量为，拒绝域为。 8、考查4个3水平的因子A,B,C,D 及其交互作用A ×B 与A ×C ，则做正交实验设计时，可选用的行数最少的正交表为。二、单项选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分） 1、设随机事件A 、B 互不相容，且()0,()0,P A P B >>则下列结论只有（）成立。 A 、A 、 B 是对立事件； B 、A 、B 互不相容； C 、A 、B 不独立； D 、 A 、 B 相互独立。 2、射击三次，事件i A 表示第i 次命中目标（i =1，2，3），下列说法正确的是（）。 A 、321A A A 表示三次都没击中目标； B 、313221A A A A A A ++表示恰有两次击中目标； C 、313221A A A A A A ++表示至多一次没击中目标；D 、321A A A 表示至少有一次没击中目标。 3、随机变量),(~2σμN X ，则随着σ的减小，)|(|σμ<-X P 应（）。 A 、单调增大； B 、单调减少； C 、保持不变； D 、增减不能确定

数理统计课后答案.doc

数理统计一、填空题 1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样，如果),,(21n X X X g ，则称),,(21n X X X g 为统计量。不含任何未知参数 2、设母体 ),,(~2 N X 已知，则在求均值的区间估计时，使用的随机变量为 n X 3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为。 025.010 1 5u 4、假设检验的统计思想是。小概率事件在一次试验中不会发生 5、某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%，此问题的原假设为。 0H ：05.0 p 6、某地区的年降雨量),(~2 N X ，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则2 的矩估计值为。 1430.8 7、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N ， 2 *2 2*1,S S 分别是两个子样的方差，令2*2222*121)(,S b a aS ，已知)4(~),20(~22 2221 ，则__________, b a 。用 )1(~)1(22 2 * n S n ，1,5 b a 8、假设随机变量)(~n t X ，则 2 1 X 服从分布。)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 X P ，则____ 。用),1(~2 n F X 得),1(95.0n F

数理统计试题及答案

数理统计考试试卷一、填空题(本题15分,每题3分) 1、总体得容量分别为10,15得两独立样本均值差________; 2、设为取自总体得一个样本,若已知,则=________; 3、设总体,若与均未知,为样本容量,总体均值得置信水平为得置信区间为,则得值为________; 4、设为取自总体得一个样本,对于给定得显著性水平,已知关于检验得拒绝域为2≤,则相应得备择假设为________; 5、设总体,已知,在显著性水平0、05下,检验假设,,拒绝域就是________。 1、; 2、0、01; 3、; 4、; 5、。二、选择题(本题15分,每题3分) 1、设就是取自总体得一个样本,就是未知参数,以下函数就是统计量得为( )。 (A) (B) (C) (D) 2、设为取自总体得样本,为样本均值,,则服从自由度为得分布得统计量为( )。 (A) (B) (C) (D) 3、设就是来自总体得样本,存在, , 则( )。 (A)就是得矩估计(B)就是得极大似然估计 (C)就是得无偏估计与相合估计(D)作为得估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立,样本容量分别为,样本方差分别为,在显著性水平下,检验得拒绝域为( )。 (A) (B) (C) (D) 5、设总体,已知,未知,就是来自总体得样本观察值,已知得置信水平为0、95得置信区间为(4、71,5、69),则取显著性水平时,检验假设得结果就是( )。 (A)不能确定(B)接受(C)拒绝(D)条件不足无法检验 1、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B、三、(本题14分) 设随机变量X得概率密度为:,其中未知参数,就是来自得样本,求(1)得矩估计;(2)得极大似然估计。解:(1) , 令,得为参数得矩估计量。 (2)似然函数为:, 而就是得单调减少函数,所以得极大似然估计量为。四、(本题14分)设总体,且就是样本观察值,样本方差,

概率论与数理统计期末考试题及答案

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* 模拟试题一一、填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：；没有任何人的生日在同一个月份的概率； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??

8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为：。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间：；二、计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<??

数理统计教程课后重要答案习题

第一章:统计量及其分布 19.设母体ξ服从正态分布N (),,2 σμξ 和2 n S 分别为子样均值和子样方差,又设 ()21,~σμξN n +且与n ξξξ,,,21 独立, 试求统计量 1 1 1+--+n n S n n ξ ξ的抽样分布. 解: 因为ξξ-+1n 服从??? ??+21, 0σn n N 分布. 所以 ()1,0~12 1N n n n σξ ξ+-+ 而 ()1~22 2 -n nS n χσ 且2 n S 与ξξ-+1n 独立,, 所以 ()1~1111--÷+--+n t S n n n n S n n n σ ξ ξ分布. 即 1 1 1+--+n n S n n ε ε服从()1-n t 分布. 20. (),,,1,,n i i i =ηξ是取自二元正态分布 N () ρσσ μμ2 2212 1 ,,,的子样,设 ()∑∑∑===-===n i i i n i n i i n S n n 12 111, 1,1ξξηηξξξ 2 ,()2 1 21∑=-=n i i n S ηηη和 ()() () ()∑∑∑===----= n i i n i i i n i i r 1 2 21 1 ηηξξ ηηξξ 试求统计量 () 122 2 21--+---n S rS S S η ξηξμμηξ的分布. 解: 由于() .21μμηξ-=-E ()() = -+=-ηξηξηξ,c o v 2D D D n n n n 2 12 22 12σσρ σσ-+ . 所以 ()() n 2 12 22 121 2σρσσσμμ ηξ-+---服从()1,0N 分布 . () ()()()() ()()[] 2 1 1 2 1 2 1 212 22 122ηξηξ ηηξξηηξξ---=----+-=-+∑ ∑∑∑====i i n i i i n i i n i i n i S rS S S n

数理统计习题答案

100 11 ==∑ =n i i x n x 34 11222 =-=∑ =n i i x x n s 第一章 1.在五块条件基本相同的田地上种植某种作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求子样平均数和子样方差。解： 2.从母体中抽取容量为60的子样，它的频数分布求子样平均数与子样方差，并求子样标准差。解： 411 *==∑=l i i i x m n x 67.181122*2 =-=∑=l i i i x x m n s 32.467.18==s 3.子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值n x x x ,,,21?的平均数为x 和方差为2x ε。作变换c a x y i i -= ，得到n y y y ,,,21?，它的平均数为y 和方差为2 y s 。试证：222 ,y x s c s y c a x =+=。解：由变换c a x y i i -= ，即i i cy a x += ()y cn na x n cy a x n i i n i i +=+=∑∑==,1 1 y c a x +=∴ 而()() () ∑∑∑====-= --+=-=n i y i n i i n i i x s c y y n c y c a cy a n x x n s 1 222 2 1212211

4.对某种混凝土的抗压强度进行研究，得到它的子样的下列观测数据（单位：磅/英寸2）： 1939, 1697， 3030, 2424, 2020, 2909， 1815, 2020, 2310 采用下面简化计算法计算子样平均数和方差。先作变换2000-=i i x y ，再计算y 与2y s ，然后利用第3题中的公式获得x 和2x s 的数值。解：作变换2000-=i i x y ，2000=a 44.24021649 1 11=?==∑=n i i y n y 444.2240=+=y a x 247.1970321122 22=-==∑=n i i y x y y n s s 5.在冰的溶解热研究中，测量从℃72.0-的冰变成0℃的水所需热量，取13块冰分别作试验得到热量数据如下： 79.98， 80.04， 80.02, 80.04, 80.03, 80.03, 80.04， 79.97， 80.05， 80.03， 80.02， 80.00， 80.02 试用变换()80100-=i i x y 简化计算法计算子样平均数和子样方差。解：作变换()80100-=i i x y ，1001,80==c a 229131 11=?==∑=n i i y n y 02.80100280=+=+=y c a x 41 2 2 2222103.5-=?=-= =∑n i i y x y y n c s c s 6.容量为10的子样频数分布为试用变换()2710-=i i x y 作简化计算，求x 与2 x s 的数值。解：作变换()2710-=i i x y ，10/1,27==c a ()5.11510 1 11*-=-?==∑=l i i i y m n y

医药数理统计习题及答案汇编

学习好资料第一套试卷及参考答案一、选择题 ( 40 分) 1、根据某医院对急性白血病患者构成调查所获得的资料应绘制 ( B ) A 条图B 百分条图或圆图C 线图D 直方图 2、均数和标准差可全面描述D 资料的特征 A 所有分布形式E负偏态分布C正偏态分布D正态分布和近似正态分布 3、要评价某市一名5岁男孩的身高是否偏高或偏矮，其统计方法是( A ) A 用该市五岁男孩的身高的95%或99%正常值范围来评价 B 用身高差别的假设检验来评价 C 用身高均数的95%或99%的可信区间来评价 D 不能作评价 4、比较身高与体重两组数据变异大小宜采用( A ) A 变异系数 B 方差 C 标准差 D 四分位间距 5、产生均数有抽样误差的根本原因是( A ) A. 个体差异 B. 群体差异 C. 样本均数不同 D. 总体均数不同 6、男性吸烟率是女性的10 倍，该指标为( A ) (A)相对比(B)构成比(C)定基比(D )率 7、统计推断的内容为( D ) A.用样本指标估计相应的总体指标 B.检验统计上的“检验假设” C. A和B均不是 D. A和B均是 8、两样本均数比较用t 检验，其目的是检验( C ) A两样本均数是否不同B两总体均数是否不同 C 两个总体均数是否相同 D 两个样本均数是否相同 9、有两个独立随机的样本，样本含量分别为n i和住，在进行成组设计资料的t 检验时，自由度是( D ) (A) n i+ n2 (B) n i+ n2 - C) n1+ n2 +1 D) n1+ n2 -2 10、标准误反映( A ) A 抽样误差的大小 B 总体参数的波动大小 C 重复实验准确度的高低 D 数据的离散程度 11、最小二乘法是指各实测点到回归直线的(C) A垂直距离的平方和最小E垂直距离最小 C纵向距离的平方和最小D纵向距离最小 12、对含有两个随机变量的同一批资料, 既作直线回归分析, 又作直线相关分析。令对相关系数检验的t值为t r，对回归系数检验的t值为t b, 二者之间具有什么关系？( C) A t r >t b B t r

概率论与数理统计试题与答案

概率论与数理统计试题与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9 5 )1(= ≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本，则统计量∑==n 1 i i X Y 服从分布。 6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。（按下侧分位数）二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、若A 与自身独立，则（） (A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0<