①当两点A和B在直线l同侧时,若求直线l上点P.使PA+PB最小值
作点B关于直线l的对称点B’,连结AB’交直线l于点P,此时
PA+PB=PA+PB’=AB’
取除此之外的任意一点P’,根据三角形两边之和大于第三边,
P’A+P’B=P’A+P’B’>AB’,所以点P满足PA+PB最小值
②当两点A和B在直线l异侧时,作直线AB与直线l的交点为点P
③当两点A和B在直线l同侧时,作直线AB与直线l的交点为点M
此时|AM-BM|是最大值
取除此之外的任意一点N,根据三角形两边之差小于第三边,|NA-NB|﹤AB,而|MA-MB|=AB,所以这时|AM-BM|是最大值
④当两点A和B在直线l异侧时,作点B关于直线l的对称点B’,连结AB’交直线l于点M,此时, |AM-BM|是最大值
送你几道题
(2012福建莆田4分)点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上,建立平
-的值最大的点,Q是y轴上使得面直角坐标系如图所示.若P是x轴上使得PA PB
?=▲.
QA十QB的值最小的点,则OP OQ
【答案】5。
【考点】轴对称(最短路线问题),坐标与图形性质,三角形三边关系,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】连接AB 并延长交x 轴于点P ,作A 点关于y 轴的对称点A′连接A′B 交y 轴于点Q ,求出点Q 与y 轴的交点坐标即可得出结论:
连接AB 并延长交x 轴于点P ,
由三角形的三边关系可知,点P 即为x 轴上使得|PA -PB|的值最大的点。
∵点B 是正方形ADPC 的中点,
∴P(3,0)即OP=3。
作A 点关于y 轴的对称点A′连接A′B 交y 轴于点Q ,则A′B 即为QA+QB 的最小
值。
∵A′(-1,2),B (2,1),
设过A′B 的直线为:y=kx+b ,
则 2k b 12k b =-+??=+?,解得1k 35
b 3?=-????=??
。∴Q(0,53 ),即OQ=53。 ∴OP?OQ=3×53
=5。 (2012四川攀枝花4分)如图,正方形ABCD 中,AB=4,E 是BC 的中点,点P 是对角线AC 上一动点,则PE+PB 的最小值为 ▲ .
【答案】
【考点】轴对称(最短路线问题),正方形的性质,勾股定理。
【分析】连接DE ,交BD 于点P ,连接BD 。
∵点B 与点D 关于AC 对称,∴DE 的长即为PE+PB 的最小值。
∵AB=4,E 是BC 的中点,∴CE=2。
在Rt△CDE
中,==
例5. (2012广西贵港2分)如图,MN 为⊙O 的直径,A 、B 是O 上的两点,过A 作AC⊥MN
于点C ,
过B作BD⊥MN于点D,P为DC上的任意一点,若MN=20,AC=8,BD=6,则PA+PB的最小值是
▲。
【答案】142。
【考点】轴对称(最短路线问题),勾股定理,垂径定理。
【分析】∵MN=20,∴⊙O的半径=10。
连接OA、OB,
在Rt△OBD中,OB=10,BD=6,
∴OD=OB2-BD2=102-62=8。
同理,在Rt△AOC中,OA=10,AC=8,
∴OC=OA2-AC2=102-82=6。
∴CD=8+6=14。
作点B关于MN的对称点B′,连接AB′,则AB′即为PA+PB的最小值,B′D=
BD=6,过点B′
作AC的垂线,交AC的延长线于点E。
在Rt△AB′E中,∵AE=AC+CE=8+6=14,B′E=CD=14,
∴AB′=AE2+B′E2=142+142=142。
例6. (2012湖北十堰6分)阅读材料:
例:说明代数式
解:,如图,建立平面直角坐标系,
点P(x,0)是x轴上一点,可以看成点P与点A(0,1)
可以看成点P与点B(3,2)的距离,所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和,它的最小值就是PA+PB的最小值.
设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,因此,求PA+PB的最小值,只需求PA′+
PB的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长
度.为此,构造直角三角形A′CB,因为A′C=3,CB=3,所以,即原式的最小值
为。
根据以上阅读材料,解答下列问题:
(1的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(1,1)、点B 的距离之和.(填写点B的坐标)
(2)代数式的最小值为.
【答案】解:(1)(2,3)。
(2)10。
【考点】坐标与图形性质,轴对称(最短路线问题)。
【分析】(1
的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A
(1,1)、点B(2,3)的距离之和。
(2
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(0,7)、点B(6,1)
的距离之和。
如图所示:设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,
∴求PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而点A′、B
间的直线段距离最短。
∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度。
∵A(0,7),B(6,1),∴A′(0,-7),A′C=6,BC=8。
∴A B'==。
例7. (2012四川凉山8分)在学习轴对称的时候,老师让同学们思考课本中的探究题。
如图(1),要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
你可以在l上找几个点试一试,能发现什么规律?你可以在l上找几个点试一试,能发现什么规律?
聪明的小华通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线(图(2)),问题就转化为,要在直线l上找一点P,使AP与BP的和最小.他的做法是这样的:
①作点B关于直线l的对称点B′.
②连接AB′交直线l于点P,则点P为所求.
请你参考小华的做法解决下列问题.如图在△ABC中,点D、E分别是AB、AC边的中点,BC=6,BC边上的高为4,请你在BC边上确定一点P,使△PDE得周长最小.
(1)在图中作出点P(保留作图痕迹,不写作法).
(2)请直接写出△PDE周长的最小值:
.
【答案】解:(1)作D点关于BC的对称点D′,连接D′E,与BC交于点P,P点即为所求。
(2)8.
【考点】轴对称(最短路线问题),三角形三边关系,三角形中位线定理,勾股定理。【分析】(1)根据提供材料DE不变,只要求出DP+PE的最小值即可,作D点关于BC的对称点D′,连接D′E,与BC交于点P,P点即为所求。
(2)利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值,即可得出答案:
∵点D、E分别是AB、AC边的中点,∴DE为△ABC中位线。
∵BC=6,BC边上的高为4,∴DE=3,DD′=4。
'==。
∴D E5
∴△PDE周长的最小值为:DE+D′E=3+5=8。
练习题:
1. (2011黑龙江大庆3分)如图,已知点A(1,1)、B(3,2),且P为x轴上一动点,则
△ABP的周长的
最小值为▲ .
2. (2011辽宁营口3分)如图,在平面直角坐标系中,有A(1,2),B(3,3)两点,现另取一点C(a,1),当a=▲ 时,AC+BC的值最小.
3.(2011山东济宁8分)去冬今春,济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题,要在某河道建一座水泵站,分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后,工程人员设计图纸时,以河道上的大桥O为坐标原点,以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系(如图)。两村的坐标分别为A(2,3),B(12,7)。
(1) 若从节约经费考虑,水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短?
(2) 水泵站建在距离大桥O多远的地方,可使它到张村、李村的距离相等?
4.(2011辽宁本溪3分)如图,正方形ABCD的边长是4,∠DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值【】
A、2
B、4
C、、
5.(2011辽宁阜新3分)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC中点,点F是
边CD上的
任意一点,当△AEF的周长最小时,则DF的长为【】
A.1 B.2 C.3 D.4
6.(2011贵州六盘水3分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,点E、F分别是边
AB、BC的
中点,点P在AC上运动,在运动过程中,存在PE+PF的最小值,则这个最小值是【】
A.3 B.4 C.5 D.6
7.(2011甘肃天水4分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=6,对角线AC 平分∠BAD,点E在AB上,且AE=2(AE<AD),点P是AC上的动点,则PE+PB的最小值是▲ .