北京市海淀区2013届高三第二学期期中练习数学理试题2013.4

海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学 （理科） 2013.4

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.集合2

{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B =

A.{3,4,5}

B.{4,5,6}

C.{|36}x x <≤

D.{|36}x x ≤< 2.在极坐标系中, 曲线4cos ρθ=围成的图形面积为 Ａ.π B.4 Ｃ.4π Ｄ.16

3.某程序的框图如图所示，执行该程序， 若输入的x 值为5，则输出的y 值为 Ａ.2- B. 1- C.

12

D.2

4.不等式组1,40,0x x y kx y ≥??

+-≤??-≤?

表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为

Ａ.2- B. 1- C. 0 D.1 5. 若向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ，则?a b 的值为 A.12

-

B.

12

C.1-

D. 1

6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有 A.12种 B. 15种 C. 17种 D.19种

7. 抛物线2

4y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则

||||

PF PA 的

最 小值是 A.

12

B.

22

C.

32

D.

223

8. 设123,,l l l 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：

开始

输出y

结束

输入x

2-=x x

0≤x

x

y 2=

是

否

①i i A l ?∈(1,2,3)i =，使得123A A A ?是直角三角形； ②i i A l ?∈(1,2,3)i =，使得123A A A ?是等边三角形；

③三条直线上存在四点(1,2,3,4)i A i =，使得四面体1234A A A A 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体. 其中，所有正确结论的序号是

A. ①

B.①②

C. ①③

D. ②③

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.在复平面上，若复数+ i a b （,a b ∈R ）对应的点恰好在实轴上，则b =_______. 10.等差数列{}n a 中,34259,18a a a a +==, 则16_____.a a =

11.如图，AP 与O 切于点A ，交弦D B 的延长线于点P ，

过点B 作圆O 的切线交AP 于点C . 若90ACB ∠=?，3,4B C C P ==，

则弦D B 的长为_______.

12.在ABC ?中，若4,2,a b ==1cos 4

A =-

，则_____,sin ____.c C ==

13.已知函数22, 0,

()3, 0

x

a x f x x ax a x ?-≤?=?-+>??有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是

_____.

14.已知函数π()sin

2

f x x =，任取t ∈R ，定义集合：

{|t A y =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x 满足||2}PQ ≤

.

设, t t M m 分别表示集合t A 中元素的最大值和最小值，记()t t h t M m =-. 则 （1）函数()h t 的最大值是_____；

（2）函数()h t 的单调递增区间为________.

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15.（本小题满分13分）

已知函数2()2(3sin cos )f x x x =--.

D

C

B

P

A

O

（Ⅰ）求π

()4

f 的值和()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63

ππ

-上的最大值和最小值.

16.（本小题满分13分）

在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. （I ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数； （II ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分. （i ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10

人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.

0.375等级

频率0.200

0.075

科目：数学与逻辑

0.025

频率等级

0.150

0.375

科目：阅读与表达

17.（本小题满分14分）

在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC D ，ABC ?是正三角形，

A C 与

B D 的交点M 恰好是A

C 中点，又4PA AB ==，120CDA ∠=

，

点N 在线段PB 上，且2PN =．

（Ⅰ）求证：BD PC ⊥；

（Ⅱ）求证：//M N 平面PD C ;

M

D

C

B

A

P

N

（Ⅲ）求二面角A PC B --的余弦值．

18.（本小题满分13分）

已知函数2()ln f x x ax bx =++(其中,a b 为常数且0a ≠)在1x =处取得极值. (I) 当1a =时，求()f x 的单调区间；

(II) 若()f x 在(]0,e 上的最大值为1，求a 的值.

19.（本小题满分14分）

已知圆M ：2

2

2

(2)x y r -+=（0r >）.若椭圆C ：222

2

1x y a

b

+

=（0a b >>）的右顶

点为圆M 的圆心，离心率为

22

.

（I ）求椭圆C 的方程；

（II ）若存在直线l ：y kx =，使得直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H 两点，点G 在线段AB 上，且AG BH =，求圆M 半径r 的取值范围.

20.（本小题满分13分）

设(,),(,)A A B B A x y B x y 为平面直角坐标系上的两点，其中,,,A A B B x y x y ∈Z .令

B A x x x ?=-，B A y y y ?=-，若x ?+=3y ?,且||||0x y ???≠，则称点B 为点A 的“相关

点”，记作：()B A τ=. 已知0P 0000(,)(,)x y x y ∈ Z 为平面上一个定点，平面上点列{}i P 满足：1()i i P P τ-=，且点i P 的坐标为(,)i i x y ，其中1,2,3,...,i n =.

（Ⅰ）请问：点0P 的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；

（Ⅱ）求证：若0P 与n P 重合，n 一定为偶数；

（Ⅲ）若0(1,0)P ，且100n y =，记0

n

i

i T x

==∑，求T 的最大值.

海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 （理）

参考答案及评分标准2013．4

说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案

B

C

C

D

A

D

B

B

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）

三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）

解：（I ）因为2()2(3sin cos )f x x x =--

22

= 2(3sin cos 23sin cos )x x x x -+-2

2(12sin 3sin 2)x x =-+-

………………2分

2

= 12sin 3sin 2x x -+

cos 23sin 2x x =+

………………4分

π= 2sin(2)6

x +

………………6分所以

9．0 10．14 11.

245

12．33,

1516

13．

49

1a <≤ 14．2,(21,2), Z k k k -∈

πππ2π()2sin(2)2sin 34463

f =?+==………………7分

所以 ()f x 的周期为2π2π= π||

2

T ω=

=

………………9分

（II ）当ππ[,]63x ∈-

时，π2π2[,]33x ∈-，ππ5π

(2)[,]666

x +∈- 所以当π6

x =-

时，函数取得最小值π()16

f -=-………………11分

当π

6x =

时，函数取得最大值π

()26

f =………………13分 16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人………………1分

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为

40(10.3750.3750.150.025)400.0753?----=?=………………3分

(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)

2.940

??+??+??+??+??=

………………7分

（Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20………………8分

2

6

2

10

15(16)45

C P C ξ==

=

， 11

622

10

12(17)45C C P C ξ==

=

1

1

2

622

2

2

101013(18)45

C C C P C C ξ==

+

=

， 11

222

10

4(19)45

C C P C ξ==

=

22

2

10

1

(20)45

C P C ξ==

=

所以ξ的分布列为

X 16

17

18

19

20

P

1545

1245

1345

445

145

………………11分 所以151213418616171819204545454545

5

E ξ=?

+?

+?

+?

+?

=

所以ξ的数学期望为

865

………………13分

17.证明：(I) 因为A B C ?是正三角形，M 是A C 中点， 所以B M A C ⊥,即B D A C ⊥………………1分

又因为PA ABCD ⊥平面，BD ?平面A B C D ，PA BD ⊥………………2分 又PA AC A = ，所以B D ⊥平面P A C ………………3分

又P C ?平面P A C ，所以B D P C ⊥………………4分（Ⅱ）在正三角形A B C 中，

23BM =………………5分

在A C D ?中，因为M 为A C 中点，D M A C ⊥，所以A D C D =

120CDA ∠=

，所以233

D M =

，所以:3:1B M M D =………………6分

在等腰直角三角形PAB 中，4PA AB ==，42PB =，

所以:3:1B N N P =，::BN NP BM M D =，所以//M N P D ………………8分 又M N ?平面P D C ，PD ?平面P D C ，所以//M N 平面P D C ………………9分 （Ⅲ）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠= ，

所以AB AD ⊥，分别以,AB AD AP , 为x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系， 所以43(4,0,0),(2,23,0),(0,,0),(0,0,4)3

B C D P

由（Ⅱ）可知，

43(4,,0)3D B =- 为平面P A C 的法向量………………10分

(2,23,4)P C =- ，(4,0,4)PB =-

设平面P B C 的一个法向量为(,,)n x y z =

,

z y

x

M

A

D B C

P

N

则00n P C n

P B ??=???=??

，即22340440x y z x z ?+-=??-=??

， 令3,z =则平面P B C 的一个法向量为(3,3,3)n =

………………12分

设二面角A P C B --的大小为θ， 则7

cos 7n D B n D B

θ?==?

所以二面角A P C B --余弦值为

77

………………14分

18. 解：（I ）因为2()ln ,f x x ax bx =++所以1()2f x ax b x

'=

++………………2分

因为函数2()ln f x x ax bx =++在1x =处取得极值 (1)120f a b '=++=………………3分

当1a =时，3b =-，2

231

()x x f x x

-+'=，

'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：

x

1

(0,)2

12

1

(,1)2

1

1+∞（，）

'()f x +

0 -

0 +

()f x

极大值

极小值

………………5分

所以()f x 的单调递增区间为1

(0,)2

,1+∞（，） 单调递减区间为1

(,1)2

………………6分

(II)因为2

22(1)1

(21)(1)

()ax a x ax x f x x x

-++--'=

=

令()0f x '=,1211,2x x a

==

………………7分

因为()f x 在 1x =处取得极值，所以21112x x a

=≠=

当

102a

<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减

所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-………………9分

当0a >，2102x a

=

>

当112a

<时，()f x 在1(0,

)2a 上单调递增，1(

,1)2a

上单调递减，(1,e)上单调递增

所以最大值1可能在1

2x a

=

或e x =处取得

而2

111111(

)ln

(

)(21)

ln

10222224f a a a

a

a

a

a

a

=+-+=-

-<

所以2(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=，解得1e 2

a =

-………………11分

当11e 2a

≤

<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,

)2a

上单调递减，1(

,e)2a

上单调递增

所以最大值1可能在1x =或e x =处取得 而(1)ln 1(21)0f a a =+-+< 所以2

(e)ln e+e (21)e 1f a a =-+=，

解得1e 2a =

-，与211e 2x a

<=

<矛盾………………12分

当21 e 2x a

=

≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减，

所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln 1(21)0f a a =+-+<，矛盾

综上所述，12

a e =-或2a =-. ………………13分

1９.（本小题满分14分） 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，

A

B

G

H 因为2a =，

22

c a

=

，所以1c =，所以1b =.

所以椭圆C ：

2

2

12

x

y +=………………4分

（II ）设A （1x ，1y ），B (2x ，2y ) 由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则2

2

220

y kx

x y =??

+-=?

所以22(12)20k x +-= ，则120x x +=，122

212x x k

=-

+………………6分

所以2

2

2

2

88(1)(1)

1212k A B k k

k

+=

+=

++………………7分

点M （2，0）到直线l 的距离2

21k d k

=

+

则22

2

221k

G H r k

=-

+………………9分

显然，若点H 也在线段A B 上，则由对称性可知，直线y kx =就是y 轴，矛盾，

所以要使AG BH =，只要AB G H =

所以

2

22

22

8(1)24()121k k

r k

k

+=-

++

22

42

4

2

2

2

4

2

4

2

22(1)2(331)2(1)112231

231

k

k k k k

r k

k

k k k k +++=

+

=

=+

++++++………………11分

当0k =时，2r =

………………12分

当0k ≠时，

2

4

2

112(1)2(1)3

132

2

r k

k

=+

<+=+

+

又显然

2

4

2

12(1)2132

r k

k

=+

>+

+, 所以23r <<

综上，23r ≤<………………14分

20.解：（Ⅰ）因为x ?+=3(,y x y ???为非零整数）

故1,2x y ?=?=或2,1x x ?=?=，所以点0P 的相关点有8个………………2分 又因为22()()5x y ?+?=，即2

2

1010()()5x x y y -+-=

所以这些可能值对应的点在以0P 为圆心，5为半径的圆上………………4分 （Ⅱ）依题意(,)n n n P x y 与000(,)P x y 重合

则1-12211000()()...()()n n n n n x x x x x x x x x x x --=-+-++-+-+=，

1-12211000()()...()()n n n n n y y y y y y y y y y y --=-+-++-+-+=

即1-122110()+()+...+()+()=0n n n n x x x x x x x x ------，

1-122110()+()+...+()+()=0n n n n y y y y y y y y ------

两式相加得

1112-121010[()+()]+[()+()]+...+[()+()]=0n n n n n n n n x x y y x x y y x x y y -----------（*）

因为11,3(1,2,3,...,)Z i i i i i i x y x x y y i n --∈-+-==， 故11()+()(=1,2,3,...,)i i i i x x y y i n ----为奇数，

于是（*）的左边就是n 个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数， 所以n 一定为偶数………………8分

（Ⅲ）令11,,i i i i i i x x x y y y --?=-?=-(1,2,3,...,)i n =， 依题意11210()()...()100n n n n y y y y y y ----+-++-=，

因为0

n

i

i T x

==

=∑012n x x x x ++++

112121(1)(1)(1)n x x x x x x =++?++?+?+++?+?++? 121(1)n n n x n x x =++?+-?++? ………………10分

因为有3i i x y ??=+，且i i x y ??，

为非零整数， 所以当2i x ?=的个数越多，则T 的值越大，

而且在123,,,..,n x x x x ????这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T 的值越大

而当i y ?取值为1或1-的次数最多时，i x ?取2的次数才能最多，T 的值才能最大. 当100n =时，令所有的i y ?都为1，i x ?都取2， 则1012(12100)10201T =++++= . 当100n >时，

若*2(50,)n k k k =>∈N ，

此时，i y ?可取50k +个1，50k -个1-，此时i x ?可都取2，()S n 达到最大 此时T =212((1)1)21n n n n n +++-++=++ .

若*21(50,)n k k k =+≥∈N ,令2n y ?=,其余的i y ?中有49k -个1-，49k +个1. 相应的，对于i x ?，有1n x ?=,其余的都为2， 则212((1)1)12T n n n n n =+++-++-=+

当50100n ≤<时，令1,2100,2,2100,i i y i n y n i n ?=≤-?=-<≤ 则相应的取2,2100,1,2100,i i x i n y n i n ?=≤-?=-<≤

则T =1n ++2((1)(101))n n n +-+- ((100)(99)1)n n +-+-+

2

20510098

2

n n +-=

综上，22

2

20510098

, 50100,2

(1), 100+2, 100n n n T n n n n n ?+-≤

??=+≥??≥???

且为偶数，且为奇数.………………13分

2019-2020第二学期海淀高三期中数学试卷

数学 第1页（共6页） 海淀区高三年级第二学期阶段性测试 数 学 2020春 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （2）已知集合{ |0 3 }A x x =<<，A B =I { 1 }，则集合B 可以是 （3）已知双曲线2 2 21(0)y x b b -=>的离心率为5，则b 的值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是 （A ）b a c a -<+ （B ）2c ab < （C ） c c b a > （D ）||||b c a c < （5）在61 (2)x x -的展开式中，常数项为 （A ）120- （B ）120 （C ）160- （D ）160 （6）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M ' （A ）{ 1 2 }， （B ）{ 1 3 }， （C ）{ 0 1 2 }， ， （D ）{ 1 2 3 }， ，

数学 第2页（共6页） 俯视图 左视图 主视图 1 1 2 2 时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π 2 ，则点M '到直线BA '的距离为 （A ）1 （B ）32 （C ） （D ） （7）已知函数 与函数 的图象关于 轴对称.若 在区间(1,2)内单调 递减，则m 的取值范围为 （A ）[1,)-+∞ （B ）(,1]-∞- （C ）[2,)-+∞ （D ） （8）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为 （A ） （B ） （C ） （D ） （9）若数列 满足 ，则“ ， ， ” 是“为等 比数列”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （10）形如 （是非负整数）的数称为费马数，记为n F .数学家费马根据0F ,1F ,2F , 3F ,4F 都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出5F 不是质数，那么5F 的位数是 （参考数据：lg20.3010≈） （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 第二部分（非选择题 共110分）

2010届海淀区高三年级数学(理科)第一学期期末试题及答案

海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 （理科） 2010.1 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1． 函数1(0)y x x x =+ >的值域为 A ．[)2,+∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,)+∞ D ．(][),22,-∞-+∞ 2．如图，PAB 、PC 分别是圆O 的割线和切线（C 为切点），若3PA AB ==，则PC 的长为 A ． B ．6 C ． D ．3 3．已知双曲线2 2 13 y x - =，那么它的焦点到渐近线的距离为 A ．1 B ． C ．3 D ．4 4．已知,m n 为两条不同直线，,αβ为两个不同平面，那么使//m α成立的一个充分条件是 A ．//,//m βαβ B ．,m βαβ⊥⊥ C ．,,m n n m αα⊥⊥? D ．m 上有不同的两个点到α的距离相等 5．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为 A ． 16 B ． 15 C ．1 3 D ． 25 6．如图，向量-a b 等于 A ．1224--e e B ．1242--e e C ．123-e e D ．123-+e e

7．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班.选课结束后，有四名同学要求改修数 学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有 A ．72种 B ．54种 C ．36种 D ．18种 8．点P 在曲线C ： 2 2 14 x y +=上，若存在过P 的直线交曲线C 于A 点，交直线l ：4x = 于B 点，满足PA PB =或PA AB =，则称点P 为“H 点”，那么下列结论正确的是 A ．曲线.C .上的所有点都是“H 点” B ．曲线C 上仅有有限个点是“H 点” C ．曲线C 上的所有点都不是“H 点” D ．曲线C 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H 点” 第II 卷（共110分） 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. 9．若直线l 的参数方程为1 23x t t y t =+?? =-?， （为参数） ， ，则直线l 的斜率为_______________. 10．阅读右图所示的程序框图，若运行该程序后输出的y 值为 1 ， 则输入的实数x 值为________________. 11．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何 体的表面积为__________________. 12．设关于x 的不等式2* 2()x x nx n -<∈N 的解集中整数的个数为n a ，数列{}n a 的前n 项和 为n S ，则100S 的值为_______________________. 正视图侧视图 俯视图

广东省华南师范大学附中2013届高三5月综合测试--数学(理)

广东省华南师范大学附中 2013届高三5月综合测试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的 1. 已知i 是虚数单位，则复数3 2 32i i i z ++=所对应的点落在 A. 第一象限； B. 第二象限； C. 第三象限； D. 第四象限 2. 已知全集R U =，}21|{<<-=x x A ，}0|{≥=x x B ，则=)(B A C U A. }20|{<≤x x ； B. }0|{≥x x ； C. 1|{->x x ； D. }1|{-≤x x 3. 公比为2的等比数列}{n a 的各项都是正数，且16122=a a ，则=92log a A. 4； B. 5； C. 6； D. 7 4. 若y x 、满足约束条件?? ?≤+≥+1 02 2 y x y x ，则y x +2的取值范围是 A. ??? ? ??5,22 ； B. ?? ? ???-22,22； C. [ ] 5,5-； D. ?? ????-5, 2 2 5. N M 、分别是正方体1AC 的棱1111D A B A 、的中点，如图是过A N M 、、和1C N D 、、的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为 6. 若将函数5 2)(x x f =表示为5 52 210)1()1()1()(x a x a x a a x f +++++++= ，其中0a ，1a ，2a ， ，5a 为实数，则=3a A. 10； B. 20； C. 20-； D. 10- 7. 在ABC ?中，已知向量)72cos ,18(cos ??=，)27cos 2,63cos 2(??=，则ABC ?的面积为 A. 22； B. 42； C. 2 3 ； D. 2 A C B D A C D B N M 1 B 1 C

北京市海淀区2019-2020学年第一学期高三期末数学试题及答案

北京市海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 2020. 01 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合U A B 是 （A ）{1,3,5,6} （B ）{1,3,5} （C ）{1,3} （D ）{1,5} （2）抛物线2 4y x =的焦点坐标为 （A ）(0,1) （B ）(10，) （C ）(0,1-) （D ）(1,0)- （3）下列直线与圆22 (1)(1)2x y -+-=相切的是 （A ）y x =- （B ）y x = （C ）2y x =- （D ）2y x = （4）已知,a b R ，且a b ，则 （A ） 11a b （B ）sin sin a b （C ）1 1() ()3 3 a b （D ）22a b （5）在5 1()x x -的展开式中，3 x 的系数为 （A ）5 （B ）5 （C ）10 （D ）10 （6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则?a b 的值为 （A ） 12 （B ） 12 （C ） 32 （D 2 （7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγ，=n βγ，则“m n ∥”是“αβ∥” 的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （8）已知等边△ABC 边长为3.点D 在BC 边上，且BD CD >，AD =下列结论中错误 的是

启恩中学2013届高三数学(理)综合训练题(四)

启恩中学2013届高三数学（理）综合训练题(四) 一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若集合}1 |{2x y y M = =,{|1}P y y x ==-, 那么=P M A ．[0, )+∞ B ． (0, )+∞ C ．(1, )+∞ D ．[1, )+∞ 2．在等比数列{}n a 中，已知 13118a a a =，那么28a a = A ．4 B ．6 C ．12 D ．16 3．在△ABC 中，90, (, 1), (2, 3)C AB k AC ∠=?== ，则k 的值是 A ． 2 3 B ．－5 C ．5 D ．2 3 - 4．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第 一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图． 设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为 x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为 y ，则从频率分布直方图中可分析出 x 和y 分别为 A ．0.935， B ．0.945， C ．0.135， D ．0.145， 5．设βα,为互不重合的平面，n m ,为互不重合的直线，给出下列四个命题： ① 若αα?⊥n m ,, 则n m ⊥；② 若, , //, //m n m n ααββ??，则 βα//； ③ 若, , , m n n m αβαβα⊥=?⊥ ，则β⊥n ；④ 若, , //m m n ααβ⊥⊥，则β//n ． 其中所有正确命题的序号是 ： A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．③④ 6．已知α∈( 2π，π)，sin α=53 ， 则)4 2tan(πα+等于：

北京四中高考数学总复习 对数与对数函数知识梳理教案

【考纲要求】 1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数； 2.掌握对数函数的概念、图象和性质. 3.正确使用对数的运算性质；底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、对数概念及其运算 我们在学习过程遇到2x =4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x =3时，我们就 无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算. (一)对数概念: 1.如果()01b a N a a =>≠，且，那么数 b 叫做以a 为底N 的对数， 记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数恒等式：log log a b N a a N a N N b ?=?=?=? 3.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即0N >； (2)1的对数为0，即log 10a =； (3)底的对数等于1，即log 1a a =. (二)常用对数与自然对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作. 对数与对数函数 图象与性质 对数运算性 质 对数函数的图 像 与 对 数 的 概 念 指对互化 运 算

以e 为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作. (三)对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示. 由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. (四)积、商、幂的对数 已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 (1)()log log log a a a MN M N =+； 推广：()()12 1212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、 (2)log log log a a a M M N N =-； (3)log log a a M M αα=. (五)换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有: (1) )(log log R n M M n a a n ∈= 令 log a M=b ， 则有a b =M ， (a b )n =M n ，即n b n M a =)(， 即n a M b n log =，即:n a a M M n log log =. (2) )1,0(log log log ≠>= c c a M M c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c b c 即M a b c c log log =?， 即a M b c c log log =， 即)1,0(log log log ≠>=c c a M M c c a

海淀区2019届高三期中数学(理)试题及答案

海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学（理科） 2018.11 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1. 已知集合{}|0A x x a =-≤，{}1,2,3B =，若A B φ= ，则a 的取值范围为 A. (,1]-∞ B. [1,)+∞ C. (,3]-∞ D. [3,)+∞ 2. 下列函数中，是偶函数且在(0,)+∞上单调递增的是 A. 2()f x x x =- B. 21()f x x = Ｃ. ()ln f x x = D.()x f x e = 3. 11e dx x =? A. 1- B. 0 C. 1 D.e 4.在等差数列{}n a 中，1=1a ,65 2a a =，则公差d 的值为 A. 13- B. 13 C. 14- D. 14 5.角θ的终边经过点(4,)P y ，且sin θ=35 -，则n ta θ= A. 43- B. 43 C. 34- D. 34 6.已知数列{}n a 的通项公式为n a a n n =+，则“21a a ”是“数列{}n a 单调递增”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.已知向量a,b,c 满足a +b +c =0，且222 a b c ，则 a b 、 b c 、 c a 中最小的值是 A. a b B. b c C. c a D. 不能确定的

2013届江苏高三数学试题分类汇编： 复数

广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编 复数 1、（潮州市2013届高三上学期期末）12i i += A ．i --2 B ．i +-2 C ．i -2 D ．i +2 答案：C 2、（东莞市2013届高三上学期期末）若复数z 满足(12)2i z i +=+，则z = ． 答案：i 5 354- 3、（佛山市2013届高三上学期期末）设i 为虚数单位，则复数i 2i +等于 A ．12i 55+ B ． 12i 55-+ C ．12i 55- D ．12i 55 -- 答案：A 4、（广州市2013届高三上学期期末）复数1+i （i 为虚数单位）的模等于 A ．2 B ．1 C ． 22 D ．12 答案：A 5、（惠州市2013届高三上学期期末）i 是虚数单位，若(i 1)i z +=，则z 等于（ ） A ．1 B ．32 C. 22 D. 12 答案：C 6、（江门市2013届高三上学期期末）若) )( 2(i b i ++是实数（i 是虚数单位，b 是实数）， 则=b A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 答案：D 7、（茂名市2013届高三上学期期末）计算：2 (1)i i +=( ) A ．-2 B ．2 C ．2i D ．-2i 答案：A 8、（汕头市2013届高三上学期期末）如图在复平面内，复数21,z z 对应的向量分别是OB OA ,，则复数21z z -的值是( )． A ．i 21+- B ．i 22-- C ．i 21+ D ．i 21- 答案：B

9、（增城市2013届高三上学期期末）复数5-2+i = A ． 2+i B ． 2i -+ C ． 2i -- D ． 2i - 答案：C 10、（湛江市2013届高三上学期期末）复数z 满足z ＋1＝2＋i （i 为虚数单位），则z （1－i ）＝ A 、2 B 、0 C 、1＋i D 、i 答案：A 11、（肇庆市2013届高三上学期期末）设i 为虚数单位，则复数11i i +=-（ ） A ． i B ．i - C ．1i + D ．1i - 答案：A 12、（珠海市2013届高三上学期期末）已知是虚数单位，复数i i +3＝ A ．i 103101+ B ．i 103101+- C ．i 8 381+- D ．i 8381-- 答案：A

北京四中高考数学总复习 三角函数的图象和性质(基础)知识梳理教案

【考纲要求】 1、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图；熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性及其最值；理解周期函数和最小正周期的意义. 2、理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]π的性质（如单调性、最大和最小值、与x 轴交点等）,理解正切函数在区间(,)22 ππ -的单调性. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、“五点法”作图 在确定正弦函数sin y x =在[0,2]π上的图象形状时，最其关键作用的五个点是(0,0)， (,1)2π，(,0)π，3(,-1)2 π ，(2,0)π 考点二、三角函数的图象和性质 名称 sin y x = cos y x = tan y x = 定义域 x R ∈ x R ∈ {|,} 2 x x k k Z π π≠+ ∈ 值 域 [1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞ 图象 奇偶 奇函数 偶函数 奇函数 应用 三角函数的图象与性质 正弦函数的图象与性质 余弦函数的 图象与性质 正切函数的 图象与性质

要点诠释： ①三角函数性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大值和最小值、对称性等，要结合图象记忆性质，反过来，再利用性质巩固图象．三角函数的性质的讨论仍要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函数的定义域． ②研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题. 考点三、周期 一般地，对于函数()f x ，如果存在一个不为0的常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时，都有(+)=()f x T f x ，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）.

2018北京市海淀区高三(上)期末数学(理)

2018北京市海淀区高三（上）期末 数学（理科） 2018. 1 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）复数12+=i i （A ）2-i （B ）2+i （C ）2--i （D ）2-+i （2）在极坐标系Ox 中，方程2sin ρθ=表示的圆为 （A ） （B ） （C ） （D ） （3）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 （A ） 4 （B ） 5 （C ） 6 （D ） 7 （4）设m 是不为零的实数，则“0m >”是“方程 22 1x y m m -=表示双曲线”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （5）已知直线0x y m -+=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，且OAB ?为正三角形，则实数m 的值为 （A （B （C 或 （D （6）从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号 相邻的概率为 （A ）15 （B ） 25 （C ） 35 （D ） 45

（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中： ① 三棱锥的体积为 16 ② 三棱锥的四个面全是直角三角形 ③ 所有正确的说法是 （A ）① （B ）①② （C ）②③ （D ）①③ （8）已知点F 为抛物线C ：()2 20y px p =>的焦点，点K 为点F 关于原点的对称点，点M 在抛物线C 上， 则下列说法错误．． 的是 （A ）使得MFK ?为等腰三角形的点M 有且仅有4个 （B ）使得MFK ?为直角三角形的点M 有且仅有4个 （C ）使得4MKF π ∠= 的点M 有且仅有4个 （D ）使得6 MKF π ∠=的点M 有且仅有4个 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）点(2,0)到双曲线2 214 x y -=的渐近线的距离是______________ . （10）已知公差为1的等差数列{}n a 中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项的和 为 ． （11）设抛物线C ：24y x =的顶点为O ，经过抛物线C 的焦点且垂直于x 轴的直线和抛物线C 交于A ，B 两点， 则OA OB += ． （12）已知()51n x -展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64：1， 则=n ． （13）已知正方体1111ABCD A B C D - 的棱长为M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11AC 上.若 1PM =，则PQ 长度的最小值为 ． （14）对任意实数k ，定义集合20 (,) 20,,0k x y D x y x y x y kx y ? ?-+≥?? ?? =+-≤∈??????-≤?? ? R . ① 若集合k D 表示的平面区域是一个三角形，则实数k 的取值范围是 ； 主视图左视图 俯视图

2013届高三最新数学(精选试题26套)分类汇编1：集合

江苏省2013届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编1：集合 一、填空题 1 ．（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7}, 集合2{|650}M x x x =∈-+Z ≤,则集合U M eu =______. 【答案】{6,7} 2 ．（江苏省南通市海门中学2013届高三下学期5月月考数学试卷）已知集合 {} 0322<-+=x x x A ,{}21<-=x x B ,则=?B A __________. 【答案】)1,1(- 3 ．（江苏省西亭高级中学2013届高三数学终考卷）设A ,B 是两个非空的有限集合，全集U =A ∪B , 且U 中含有m 个元素.若()()A B U U C C 中含有n 个元素，则A ∩B 中所含有元素的个数为 ▲ . 【答案】m -n 4 ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））已知全集{12345}U =，，，，,集合 2 {|320}A x x x =-+=,{|2}B x x a a A ==∈，,则集合()U A B e=__. 【答案】{3,5}; 5 ．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）已知全集U =R ,集合 2{|log 1}A x x =>,则U A e=____. 【答案】(-∞,2] 6 ．（武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）集合{}1,0,1A =-,A 的子集中,含有元素0的 子集共有__________个 【答案】解析:子集中的元素为来自集合{}1,1-,所以子集的个数为2 24=. 7 ．（江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）集合 {}1,0,1A =-,{}2 |1,B x x m m R ==+∈,则A B = ________. 【答案】{ }1; 8 ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）在整数集Z 中,被5除所得余数为k 的所有整数 组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2011∈[1]; ②-3 ∈ [3]; ③z=[0]∪[1] ∪[2] ∪[3] ∪[4]; ④“整数a,b 属于同一‘类”的充要条件是“a -b∈[0]” 其中,正确结论的个数是________个 【答案】3 9 ．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）已知集合

北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案

北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案

北京四中数学高考总复习：数列的应用之知识讲解、经典例题及答案 知识网络： 目标认知 考试大纲要求： 1.等差数列、等比数列公式、性质的综合及实际应用； 2.掌握常见的求数列通项的一般方法； 3.能综合应用等差、等比数列的公式和性质，并能解决简单的实际问题. 4.用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题. 重点： 1.掌握常见的求数列通项的一般方法； 3.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题 难点：

用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题. 知识要点梳理 知识点一：通项与前n项和的关系 任意数列的前n项和； 注意：由前n项和求数列通项时，要分三步进行： （1）求， （2）求出当n≥2时的， （3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有 成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式. 知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法1.迭加累加法： ， 则，，…， 2.迭乘累乘法：

， 则，，…， 知识点三：数列应用问题 1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型. 2.建立数学模型的一般方法步骤. ①认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ⑴明确问题属于哪类应用问题； ⑵弄清题目中的主要已知事项； ⑶明确所求的结论是什么. ②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达. ③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如

北京市海淀区2021届高三第一学期期中练习数学试卷【含答案】

北京市海淀区2021届高三第一学期期中练习数学试卷 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{|30}A x x =-≤，{0,2,4}B =，则A B =（ ） A. {0，2} B. {0，2，4} C. {} 3x x ≤ D. {}03x x ≤≤ 【答案】A 【解析】 【分析】 利用交集的定义运算求解即可． 【详解】集合{|30}{|3 }A x x x x =-≤=≤，{0,2,4}B =，则A B ={}0,2 故选：A 2. 已知向量(,2)a m =，(2,1)b =-. 若//a b ，则m 的值为（ ） A. 4 B. 1 C. -4 D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量平行的坐标运算公式即可得到答案. 【详解】因为//a b ，所以40m --=，解得4m =- 故选：C 3. 命题“0x ?>，使得21x ≥”的否定为（ ） A. 0x ?>，使得21x < B. 0x ?≤，使得21x ≥ C. 0x ?>，都有21x < D. 0x ?≤，都有21x <

【解析】 【分析】 利用含有一个量词的命题的否定定义得出选项． 【详解】命题“0x ?>，使得21x ≥”的否定为“0x ?>，都有21x <” 故选：C 4. 设a ，b R ∈，且0a b <<，则（ ） A. 11a b < B. b a a b > C. 2 a b ab +> D. 2b a a b +> 【答案】D 【解析】 【分析】 由0a b <<，可得 11 a b >，A 错；利用作差法判断B 错；由02 a b +<0ab >，可得C 错；利用基本不等式可得D 正确． 【详解】 0a b <<，11 a b ∴>，故A 错； 0a b <<，2 2 a b ∴>，即2 2 0,0b a ab -<>，可得22 0b a b a a b ab --= <，b a a b ∴<，故B 错； 0a b <<，02 a b +∴ <0ab >，则2a b ab +>，22b a b a a b a b +>?=，等号取不到，故D 正确； 故选：D 5. 下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） A. 2ln y x = B. 3||y x = C. 1 y x x =- D. cos y x = 【答案】B

广东省广州市2013届高三毕业班综合测试数学理试题(一)2013广州一模 Word版含答案

试卷类型：A 2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（理科） 2013.3 本试卷共4页，21小题， 满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏 涂、错涂、多涂的，答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式： 如果事件A B ,相互独立,那么()()()P A B P A P B ?=?. 线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式 1 2 1 n i i i n i i x x y y b a y b x x x ()() ,() ==--∑= =--∑ ， 其中y x ,表示样本均值. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,= ，则 A ．U A B = B ．U =()U A eB C ．U A = ()U B e D ．U =()U A e()U B e 2. 已知11a bi i =+-，其中a b ,是实数，i 是虚数单位，则a b +i = A ．12+i B ．2+i C ．2-i D ．12-i

2013届高三理科数学解答题训练⑴

2012届高考备考理科数学解答题训练⑴ 1.（本小题满分12分） 已知在ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a b B A =c o s c o s 且A C cos sin =。 （Ⅰ）求角A 、B 、C 的大小； （Ⅱ）设函数)2 2cos()2sin()(C x A x x f -++=，求函数)(x f 的单调递增．．区间，并指出 它相邻两对称轴间的距离。 2.（本小题满分12分） 在2008年北京奥运会某项目的选拔比赛中,A 、B 两个代表队进行对抗赛,每队三名队员,A 队队员是1 23,A A A 、、B 队队员是123,B B B 、、按以往多次比赛的统计,对阵队 员之间胜负概率如右表,现按表中对阵方式出场进行三场比赛, 每场胜队得1分, 负队得0分,设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ、η,且 3ξη+=. （Ⅰ）求A 队得分为1分的概率； （Ⅱ）求ξ的分布列，并用统计学的知识说明哪个队实力较强.

3.（本小题满分14分） 在正三角形A BC ?中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足 2:1:::===PB CP FA CF EB AE （如图1）。将AEF ?沿EF 折起到EF A 1?的位置，使二 面角B EF A --1成直二面角，连结B A 1、P A （如图2） （Ⅰ）求证：⊥E A 1平面BEP ； （Ⅱ）求直线E A 1与平面BP A 1所成角的大小； （Ⅲ）求二面角F P A B --1的余弦值。

2012届高考备考理科数学解答题训练⑴参考答案 1.（Ⅰ）由题设及正弦定理知: cos sin cos sin A B B A =,得sin 2sin 2A B =，∴22A B =或22A B π+= ,即A B =或2A B π+=。当A B =时,有sin(2)cos A A π-=,即1 sin 2A =,得 6A B π==,23C π=；当2A B π+=时,有sin()cos 2A π π-=,即cos 1A =，不符题设。 ∴6 A B π ==,23C π=。 （Ⅱ）由（Ⅰ）及题设知:()sin(2)cos(2)2sin(2)636 f x x x x π ππ =+ +-=+， 当2[2,2]()6 22x k k k Z π π πππ+ ∈- +∈时, ()2sin(2)6 f x x π =+为增函数 即()2sin(2)6 f x x π =+ 的单调递增区间为[,]()36 k k k Z π π ππ- +∈. 它的相邻两对称轴间的距离为 2 π . 2.（Ⅰ）设A 队得分为1分的事件为0A ,∴023*********()3 5 7 3 5 7 3 5 7 105 P A =??+??+??=.…4分 （Ⅱ）ξ的可能取值为3,2,1,0，且022312(3)()357105 P P A ξ=== ??=, 22412323340 (2)357357357105 P ξ==??+??+??= ，23412413341(1)357357357105P ξ==??+??+??=, 13412(0)357105 P ξ== ??= , ∴ξ的分布列为: ……………… 9分 于是 12414012157 0123105105105105105 E ξ=?+?+?+?= ,……………………………10分 ∵3ξη+=, ∴158 3105 E E ηξ=-+=.……………………………………………………………… 11分 由于E E ηξ>, 故B 队比A 队实力较强. ……………………………………… 12分 3．不妨设正三角形ABC 的边长为3。 （解法一）（Ⅰ）在图1中，取BE 的中点D ，连结DF ．∵AE :EB=CF :FA=1:2，∴AF=AD=2， 而∠A=600，∴△ADF 是正三角形，又AE=DE=1，∴EF ⊥AD ．…………………2分 在图2中，A 1E ⊥EF ，BE ⊥EF ，∴∠A 1EB 为A 1-EF-B 的平面角．由题设知此二面角 为直二面角，∴A 1E ⊥BE ．又BE∩EF=E ，∴A 1E ⊥面BEF ，即A 1E ⊥面BEP ．…………4分

北京四中高考数学总复习 函数的基本性质(提高)知识梳理教案

【考纲要求】 1. 了解函数的定义域、值域，并能简单求解． 2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【知识网络】 【考点梳理】 1．单调性 （1）一般地，设函数()f x 的定义域为I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，若都有12()()f x f x <，那么就说函数在区间D 上单调递增，若都有12()()f x f x >，那么就说函数在区间D 上单调递减。 （2）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。 （3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 定义法： 用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差 )()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的 正负符号；⑤根据定义下结论。 复合函数分析法 设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表： 函数的基本性质 奇 偶 性 单 调 性 周 期 性

()u g x = ()y f u = [()]y f g x = 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 导数证明法： 设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数'()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有'()0('()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数） ，则'()0('()0)f x f x ≥≤。 图像法： 一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。 2、奇偶性 (1)定义: 如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数. 理解： (Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x 必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x 在x 轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件. (Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤: ①考察函数定义域; ②考察f(-x)与f(x)的关系; ③根据定义作出判断. (Ⅲ)定义中条件的等价转化 ①f(-x)=-f(x)?f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) ? ) () (x f x f -=-1 (f(x)≠0) ②f(-x)= f(x) ?f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) ? ) () (x f x f -=1 (f(x)≠0)

天津市2013届高三数学总复习之综合专题：数学归纳法在数列综合题中的应用举例(教师版)

数学归纳法在数列综合题中的应用举例 1、在数列{}n a 和{}n b 中，3,121==a a ， 且1,,+n n n a b a 成等差数列，11,,++n n n b a b 成等比数列，*N n ∈。 （1）求出43,a a 和4321,,,b b b b 的值； （2）归纳出数列{}n a 和{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明。 全解103P 2、设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且???? ??+= n n n a a S 121，*N n ∈，猜想出数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明。 全解104P 3、设0a 为常数，且1123---=n n n a a ，*N n ∈。 （1）证明对任意的()[] ()012121351,1a a n n n n n n n ?-+?-+=≥-； （2）假设对任意的1≥n ，有1->n n a a ，求0a 的取值范围。 全解108P 4、设数列{}n a 满足12 1+-=+n n n na a a ，*N n ∈。 （1）当21=a 时，求432,,a a a ，并由此猜想出n a 的一个通项公式；

（2）当31≥a 时，证明对所有的1≥n ，有 ①2+≥n a n ； ②2 1111≤+∑=n i i a 。 全解110P 5、已知{}n a 是由非负整数组成的数列，满足()()22,3,021121++===--+n n n n a a a a a a ， 其中*N n ∈且3≥n 。 （1）求3a ； （2）证明22+=-n n a a ，3≥n ； （3）求{}n a 的通项公式及其前n 项和n S 。 全解111P

2019年北京四中高考数学模拟试卷(文科)(二)(4月份)-解析版

2019年北京四中高考数学模拟试卷（文科）（二）（4月份） 一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1.已知全集U=R，A={x|x＞1}，B={x|x2＞1}，那么（?U A）∩B等于（） A. B. C. D. 2.在复平面内，复数z=对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知曲线C1：y=sin x，C2：，则下面结论正确的是（） A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得 到曲线 B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得 到曲线 C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到 曲线 D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到 曲线 4.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较 两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是（） A. 第一种生产方式的工人中，有的工人完成生产任务所需要的时间至少 80分钟 B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高 C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80 D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟． 5.一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示， 则截去部分与剩余部分体积的比为（） A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：6 6.若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知 直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（） A. B. C. D. 8.若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2| 的最大值为0，则称f（x）为“柯西函数”，则下列函数：①f（x）=x+（x＞0）；②f （x）=ln x（0＜x＜e）；③f（x）=cos x；④f（x）=x2-1．其中为“柯西函数”的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 9.曲线f（x）=xe x+2在点（0，f（0））处的切线方程为______． 10.若变量x，y满足则目标函数 ， ， ， 则目标函数z=x+4y的最大值为______． 11.将数列3，6，9，……按照如下规律排列， 记第m行的第n个数为a m，n，如a3，2，如a3，2=15，若a m，n=2019，则m+n=______． 12.已知函数f（x）=|ln x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大 值是2，则的值为______． 13.设D为△ABC所在平面内一点，=-+，若=λ（λ∈R），则λ=______． 14.若圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x-8y-m=0相切，则m的值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15.若数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0且2S n=+a n（n∈N*）． （1）求数列{a n}的通项公式； （2）若a n＞0（n∈N*），令b n=，求数列{b n}的前n项和T n． 16.设函数＞，＜＜的图象的一个对称中心为，，且图象上最高点 与相邻最低点的距离为． （1）求ω和?的值；