行列式习题精解
第二章 行 列 式 习题精解
1. 求以下9级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性
1) 1 3 4 7 8 2 6 9 5; 2) 2 1 7 9 8 6 3 5 4; 3)
9 8 7 6 5 4 3 2 1;
解:1) 所求排列的逆序数为:
()1011033110134782695=+++++++=τ 所以此排列为偶排列.
2) 所求排列的逆序数为:
()1810345401217986354
=+++++++=τ 所以此排列为偶排列. 3) 所求排列的逆序数为:
()()362
19912345678987654321=-=+++++++=τ 所以此排列为偶排列. 2.选择i 与k 使
1) 1274i 56k 9成偶排列; 2) 1i 25k 4897成奇排列.
解: 1) 当3,8==k i 时, 所求排列的逆序数为:
()()10
01131400127485639
9561274=+++++++==ττk i
故当3,8==k i 时的排列为偶排列.
2)当6,3==k i 时, 所求排列的逆序数为:
()()5
11011010132564897
4897251=+++++++==ττk i
故当6,3==k i 时的排列为奇排列.
3.写出把排列12345变成排列25341的那些对换.
解: 12345()()()
2534125431214354,35,22,1??→???→???→?.
4.决定排列()211 -n n 的逆序数,并讨论它的奇偶性.
(行列式第 1页 )
解: 因为1与其它数构成1-n 个逆序,2与其它数构成2-n 个逆序, ……n n 与1-构成1个逆序,所以排列()211 -n n 的逆序数为
()[]()()()
时排列为奇排列。
当时，排列为偶排列；
故当34,2414,42
11
221211++=+=-=
+++-+-=-k k n k k n n n n n n n τ
5.如果排列n n x x x x 121- 的逆序数为k ,排列121x x x x n n -的逆序数是多 少?
解: 因为比i x 大的数有i x n -个,所以在
121x x x x n n -与n n x x x x 121- 这两个排列中,由i x 与比它的 各数构成的逆序数的和为i x n -.因而,由i x 构成的逆序总数 恰为
()()2
1121-=
-+++n n n 而排列n n x x x x 121- 的逆序数为k ,故排列121x x x x n n -的逆序数 为
()k n n --2
1. 6.在6阶行列式中,651456423123a a a a a a , 256651144332a a a a a a 这两项应带有 什么符号?
解: 在6阶行列式中,项651456423123a a a a a a 前面的符号为 ()()()
11)1(4
4312645234516=-=-++ττ .
同理项256651144332a a a a a a 前面的符号为 ()
()()
()
1114
6234165341562=-=-++ττ .
所以这两项都带有正号.
7．写出4阶行列式中所有带有负号并且因子23a 的项。 解： 所求的各项应是
44322311a a a a - ， 41342312a a a a - ， 42312314a a a a - .
（行列式第2页）
8．按定义计算行列式：
1）000001002001000
n n - 2）.0
0010000
200
0010
n
n -
3）n
n 0000
0010
020
0100
- .
解：1）所给行列式的展开式中只含有一个非零项11,21n n n a a a -， 它前面的符号应为 ()
[]
()
2
)1(21)1(11---=-n n n n τ .
所以原行列式=()
()!12
1n n n -- .
2）所给行列式的展开式中只含有一个非零项1,12312n n n a a a a - ， 它前面的符号应为 ()
()
()1
12311--=-n n τ .
所以原行列式=()
n n 1
1--！.
3）所给行列式的展开式中只含有一个非零项 nn n n n a a a a 1,12,21,1--- ， 它前面的符号应为 ()
()()[]
()
()()
2
21212111-----=-n n n n n τ .
所以原行列式=()()()
n n n 2
211---！.
9．由行列式定义证明：
00
000000
02121215
4
32154321=e e d d c c b b b b b a a a a a .
（行列式第3页）
解：行列式展开的一般项可表示为5432154321j j j j j a a a a a ，列标 543j j j 只可以在1，2，3，4，5中取不同的值，故三个下标中至 少有一个要取3，4，5列中之一数，从而任何一个展开式中至少 要包含一个0元素，故所给行列式展开式中每一项的乘积必为0， 因此原行列式值为0. 10． 由行列式定义计算
()x x x x x x f 1111231
11212-= .
中4x 与3x 的系数，并说明理由。
解：含有4x 的展开项只能是44332211a a a a ，所以4x 的系数为2； 同理，含有3x 的展开项只能是44332112a a a a ，所以3x 的系 数为-1. 11.由
01
111
11
111= 证明：奇偶排列各半.
证：由题设，所给行列式的展开式中的每一项的绝对值等于1. 而行列式的值为0，这说明带正号与带负号的项的项数相 等.根据行列式的定义，其展开式中的每一项的符号是由该 乘积中各因子下标排列的逆序数所决定的，即当该乘积中各 因子的第一个下标排成自然顺序，且第二个下标所成排列
为偶排列时， 该项前面所带的符号为正，否则为负号.
所以，由带正号的项与带 负号的项数相等即说明奇偶 排列各半.
12．设
()1
1
21
11
2
2
22112111211
1
1-------=n n n n n n n a a a a a a a a a x x x x P
（行列式第4页）
其中121,,,-n a a a 是互不相同的数.
1）由行列式定义，说明()x P 是一个1-n 次多项式； 2）由行列式性质，求()x P 的根.
解：1）因为所给行列式的展开式中只有第一行含有x ， 所以若该行列式的第一行展开时，含有1-n x 的对应项的 系数恰为()
1
1+-n 乘一个范德蒙行列式
2
1
21
12
3
233
2
2
22
2
2
1
2
111111-------n n n n n n n a a a a a a a a a a a a
于是，由121,,,-n a a a 为互不相同的的数即知含有1-n x 的 对应项的系数不为0，因而()x P 为一个1-n 次的多项式. 3）若用121,,,-n a a a 分代替x 时，则由行列式的性质知 所给行列式的值为0，即()0=i a P .故()x P 至少有1-n 个 根121,,,-n a a a .又因为()x P 是一个1-n 次的多项式，所 以121,,-n a a a 必是()x P 的全部根.
13．计算下面的行列式：
1）6217213424435431014327
427246
- 2）y
x
y
x x y x y
y x y x
+++
3）
311113111131
1113 4）3
21421431432432
1
（行列式第5页）
5）y y x x -+-+1111111111111111 6）()()()()()()()()()()()()2
222
2222
2222
222
2321321321321++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a
解：1） 原式=621
1144312327
111062172110004435432000327
42710005=
=55
510294621
1327
110621
1044311327
1010?-=-= . 2）原式=x
y
x y x
y x y
y x y
x
y x x y x y
x y x y y
x ---++=+++++001
)(2222222 =()
332)
(2y x x
y x y
x y x +-=---+ .
3）原式=
48862
00002000
02011116311613161136
1116=?== . 4） 原式=
1
11022203
110432110
32
1
102141014310
43210------= =201604
22
20
4
002203
1
1
=--=--- .
5）原式=y y x x y y y x x x --=
--1010000
11000111100111100
（行列式第6页）
6）原式=2
21222122
21222125
23212523
2125232125232122
2
2
2
2
2
2
2
++++=++++++++++++d d c c
b b a a d d d d
c c c c
b b b b a a a a
=0 .
14.证明
2
2
2
111222
22211111
12c b a c b a c b a
b a a
c c b b a a c c b b
a a c c
b =+++++++++ 证明：由行列式的性质，有
左边=222222
22111
11
11b a a c c b a b a a c c b a b a a c c
b a ++++++++++++ =22
2
2
22111
11c b c b a c b c b a c b c
b a --++--++--++ =2=2
2
2111
c b a c b a c
b a
右边 . 即证.
15．算出下列行列式的全部代数余子式：
1）
3
0001
2001
21
04
121- 2）4
101232
11- 解：1）
（行列式第7页）
611-=A ， 012=A ， 013=A ，014=A 1221-=A ， 622=A ，023=A ，024=A
2
,1,0,70,3,6,154443424134333231-=====-=-==A A A A A A A A .
2）3,12,7131211=-==A A A 1,4,6232221-===A A A 5,5,5333231==-=A A A . 16．计算下面的行列式：
1）
1
23
452213
112
1111- 2）2
10
1
1
211
1311
2
13
1
11211
----
3）5
3
12
12133215
311
21
024
1210-- 4）2
10
3
1
2
2101102
1
1
23
21
10
2110211
--- 解：1）原式=210010005
11011113210411051101111---
=------ （行列式第8页）
=
11
00021005
110
1111=-- .
2）原式=
1
0231121406130
3412110
23
11212221
2113121--=
--- =-
1
234613
34
12
1
- =-
()12
133235436624121
-=--+-+ . 3）原式=142211
55310
41112121
4
2
02
11
55031041
11
21
24
1210------=-------
=-3
86031250
3019386615139613
8066
150139
601
1
212=--=--
=3
4831
630
19-= .
4）原式=13
6
21621011430
410211
02220
1
2
81
10
624210110124
621102220
1
2
8
1
---=--- （行列式第9页）
=
17
2012
030312
502
2
212811362
162111434
10221281--=
--
=-
17
01001012
07
83
1701001012
07
83172
12
0331252
81-=-=-
=-
8
3171012783= .
17．计算下列n 阶行列式：
1）x y
x y x y x 000
0000000000000
2）
n
n n n n
n
b a b a b a b a b a b a b a b a b a --------- 21
2221
212
11
1
3）
m
x x x x m x x x x m
x n n
n ---
2
1
212
1 4）n
222232222222221
5）
n
n n
n n ------110
2000002200001
11321
解：1）按第一列展开，原式=()n n n y x 1
1+-+.
2）从第2列起各列减去第1列 （行列式第10页）
原式=
n
n n
n b b b b b a b b b b b a b b b b b a ---------1211
1211
21211
1
当3≥n 时，原式=0；
当2=n 时，原式=()()1212b b a a --； 当1=n 时，原式=11b a -.
3）原式=m
x x x m x x x m x n n n
n i i --??? ??-∑=
222
1111
()112
000
01
-==-??
? ??-=--?
?? ??-=∑∑n n i i n
n n i i m m x m m x x m x
.
4）原式=1
2001
2010
0110
00122001
0101
00012
221---=-n n n
=()()22--n ！ 5）各列加到第1列得到
（行列式第11页）
原式=
()()()
11
020000
022000
1
013221--------+n n n n n n n
=()
()12
1
11
+--n n . 18.证明：
1）???
?
??-=∑=n
i i n n
a
a a a a a a a a 1021210
10
1
001
001
1
11
.
2）
01111
2
21010
000010
00
1
000a x a x a x a x a x
a x a x
a x n n n n n +++=+-------
.
3）
β
αβαβ
ααββ
αβααββ
ααββ
α--=+++++++111
0000010001000n n
.
（行列式第12页）
4）
αα
α
αααcos cos 21
1cos 200000cos 210001cos 210001cos =
.
5）
???
? ?
?+=+++++∑=-n
i i n n
n a
a a a a a a a a 1211
32
1
1
111
1
1
1
1111111111
111
11
11111
. 证明：4）分别将第)1,,2(+=n i i 行乘以-
1
1
-i a 加到第1行，得 左边=
n
n
i i
a a a a a
1
00100
10001211
0∑
=-
=)1
(1
021∑
=-n
i i
n a a a a a = 右边. 4）从最后一行起，分别将每一行都乘以x 后加到其前一行，得
左边=
1
2
122
33121221101111
00
0000001000010000-----------+-++++++-++++-++++n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x
（行列式第13页）
()()
()()
()0
1111
011111
01111
1111
1
1a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n n n n n n n n n n ++++=-++++-=---++++-=-----+---+
=右边.
4）将所给行列式记为n D ，按第1列展开得
()21---+=n n n D D D αββα
即()211----=-n n n n D D D D αβα 此式对一切n 都成立.故递推得
()
()()()()[]
n
n n n n n n n n D D D D D D D D ββαααββαβαβαβαβα=+--+=-==-=-=--------2
21224333221
在n D 中βα,的地位是一样的，故同理可得 n n n D D αβ=--1 所以 ()n n D αβα=-
从而 β
αβα--=++1
1n n n D =右边.
4）对2阶行列式，有
ααα
α2cos 1cos 2cos 211
cos 22=-==
D
（行列式第14页）
此时结论成立.
假设对阶数小于n 的行列式结论皆成立，则对n 阶行列式n D 按 最后一行展开，得
21cos 2---=n n n D D D α 因为
()()[]()()α
αααααα
sin 1sin cos 1cos 1cos 2cos 2-+-=--=-=-n n n n D n
代入n D 可得
()()()()()()[]α
ααα
αααα
αααααn n n n n n n D n cos 1cos sin 1sin cos 1cos sin 1sin cos 1cos 1cos cos 2=+-=---=-----=
故对一切n 结论成立，即证.
4）左边=
n
n a a a a ++++-11
1
1
1
1111011110111
10111111
21
=
n
n
i i
n
n a a a a a a a a
00000
0111110
1
00010001
000
111111
211
1
21
∑
=-+=----
（行列式第15页）
=???
?
??+∑=n
i i n a
a a a 12111 =右边. 19．用克拉默法则解下列方程：
1）???????=-+-=+--=++-=++-4333235233362324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 2）???????-=++-=+-+=---=-++8
232422383226232432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x
3）?????????-=-+---=++++-=++-+=+-+--=-+-+33222243422238243214225432154321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 4）?????
????=+=++=++=++=+1
50650650
651655454343232121x x x x x x x x x x x x x
解：1）70,70,70,70,704321-=-=-=-=-=d d d d d . 所以方程组有唯一解：
1,1,1,144332211========
d
d
x d d x d d x d d x . 2）648,324,648,324,3244321-=-====d d d d d . 所以方程组有唯一解：
2,1,2,144332211-========
d
d
x d d x d d x d d x . 3）312,168,96,336,96,2454321==-=-===d d d d d d . 所以方程组有唯一解：
13,7,4,14,45544332211====-==-====
d
d x d d
x d d x d d x d d x . （行列式第16页）
4）212,395,703,1145,1507,66554321=-==-===d d d d d d . 所以方程组有唯一解： 665
212
,13379,3537,133229,665150754321=-==-==
x x x x x . 20．设n a a a ,,,21 是数域P 中互不相同的数，n b b b ,,,21 是数域 P 中任一组给定的数，用克拉默法则证明：有唯一的数域P 上 的多项式
()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使
()i i b a f = ()n i ,,2,1 = 证明：由()i i b a f =得
??
?????=++++=++++=++++------n n n n n n
n n n n b
a c a c a c c
b a
c a c a c c b a c a c a c c 1122102
1
212222101
111212110.............................................
这是一个关于110,,,-n c c c 的线性方程组，且它的系数行列式 为一个范得蒙行列式.由已知该行列式不为0，故线性方程组 只有唯一解，即所求多项式是唯一的. 21．设水银密度h 与温度t 的关系为 332210t a t a t a a h +++= 由实验测定得以下数据：
（行列式第17页）
求15=t ，40时的水银密度（准确到两位数）. 解：将h t ,的实验数据代入关系式
332210t a t a t a a h +++= 得60.130=a ，且
??
?
??-++-=++-=++08.0270009003005.080004002008.0100010010321321321a a a a a a a a a
因为系数行列式
40
,1800,500000
101227000
900308000400
201000
100
103216-==-=≠?==d d d d
由克拉默法则可求得
0000033.0,00015.0,0042.0321-==-=a a a 故所求关系式为
320000033.000015.00042
.060.13t t t h -+-= 再将40,15==t t 分别代入上式，其水银密度分别为
,56.1315==t h 48.1340==t h （行列式第18页）
上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练：复数与行列式
上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 复数与行列式 一、复数 1、（2018上海高考）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 2、（2017上海高考）已知复数z 满足3 0z z +=，则||z = 3、（2016上海高考）设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =__________________ 4、（宝山区2018高三上期末）若i z i 23-+= （其中i 为虚数单位），则Imz = ． 5、（崇明区2018高三上期末（一模））若复数z 满足iz=1+i （i 为虚数单位），则z= ． 6、（奉贤区2018高三上期末）复数 i +12 的虚部是________. 7、（静安区2018高三二模）若复数z 满足(1)2z i i -=（i 是虚数单位），则||z = 8、（普陀区2018高三二模）已知i 为虚数单位，若复数2(i)i a +为正实数，则实数a 的值为……………………………（ ） )A (2 ()B 1 ()C 0 ()D 1- 9、（青浦区2018高三二模）若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________． 10、（青浦区2018高三上期末）已知复数i 2i z =+（i 为虚数单位），则z z ?= ． 11、（松江、闵行区2018高三二模）设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴 上，则m = ． 12、（松江区2018高三上期末）若i -2是关于x 的方程02 =++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q p ∈,），则q 的值为 A. 5- B. 5 C. 3- D. 3 13、（杨浦区2018高三上期末）在复平面内，复数2i z i -= 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14、（浦东新区2018高三二模）已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ，若12||1x x -=，则实数p 的值为（ ） A. 3± B. 5± C. 3，5 D. 3±，5± 15、（浦东新区2018高三二模）在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212||||||z z z z +≤+；（2）1212||||||z z z z ?=?；（3）123123()()z z z z z z ??=??，相应的在向量运算中，下列式子：（1）
行列式练习题及答案资料
一、填空题 1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题 1.由定义计算行列式n n 0 0000010 020 001000Λ ΛΛΛΛΛΛ ΛΛΛ -= （ ）. （A ）!n （B ）!)1(2 ) 1(n n n -- （C ）!) 1(2) 2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n -- 2．在函数x x x x x x f 2 1 1 232 3 21 01)(= 中，3x 的系数是（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）3 3．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8. 三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列； 2． 各项以列标为标准顺序排列； 3． 各项行列标均以任意顺序排列. 四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.
一、填空题 1．若D=._____324324324,133 32 3131 232221211312111113332 31 232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则 2．方程 2 2 913 2 5 1 3 232213211x x --=0的根为___________ . 二、计算题 1． 817116045153016 9144 3 1 2 ----- 2．d c b a 100 1100 11001--- 3．a b b b a b b b a D n Λ ΛΛΛΛΛΛ=
行列式经典例题及计算方法
行列式的例题 1.已知方程 01125208 42111111154115 21211111154113 21111113 23232=+ + -x x x x x x x x x ，求x 。 解：由行列式的加法性质，原方程可化为 32321 12520842111111154118 4211111x x x x x x + 3 232 2781941321111112793184 211111x x x x x x = = =(2-1)(3-1)(3-2)(x-1)(x-2)(x-3)=0 得x=1或x=2或x=3。 2.计算：（化三角形法） 3.拆行列法 42031 2852 51873 121D =
行列式的计算 （四）升级法（加边法） 112122 1212 ,0 n n n n n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++= ≠+ 1 21121221 21 1000n n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++ 解：1) 1 21121 1 00(2,31)10010 0n i n a a a b r r i n b b --=+-- 121 (1).n i n i i a b b b b ==+∑ 111 11100 (1,21)00 n i n i i i i n a a a b c b c i n b b =+++ =+∑ 行列式的计算 （二）箭形行列式 0121112 2,0,1,2,3. n n i n n a b b b c a D a i n c a c a +=≠= 解：把所有的第列的倍加到(1,,)i n = i i c a -1i +第1列，得： 11201()n i i n n i i b c D a a a a a +==-∑
(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
第一章行列式练习题目及答案
第一章 行列式 一、单项选择题 1．=0 001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 2. =0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3. 若2 1 33 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 4．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 5． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 6. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 7. 若2 23 5 00 1 011110403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0
8. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 1. 行列式=0 100111010100111. 2．行列式 = -0 10000200 0010 n n . 3．行列式 =--0 01) 1(2211)1(111 n n n n a a a a a a . 4．如果M a a a a a a a a a D ==3332 31 232221131211 ，则=---=32 323331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D . 5．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为 . 6．行列式 = --+---+---111 1 111111111111 x x x x . 7．n 阶行列式=+++λλλ 111 1 11111 . 8．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3, 2, 1，则该行列式的值为 .
行列式习题答案
行列式习题答案
2 线性代数练习题 第一章 行 列 式 系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 阶 行 列 式 一．选择题 1．若行列式x 5 22 31521- = 0，则 = x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3- 2．线性方程组? ? ?=+=+4 733 22 1 21 x x x x ，则方程组的解),(2 1 x x = [ C ] （A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13， 5 -） （D ）（5,13--） 3 ． 方 程 09 3 142112 =x x 根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A ] （A ）665144322315 a a a a a a （B ）6553443226 11a a a a a a （C ） 34 6542165321a a a a a a （D ） 26 654413 3251a a a a a a 5．若55 443211) 541() 1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的 值及该项的符号为[ B ] （A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负 6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ BD ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1 2 21 --k k 0 ≠的充分必要条件是 3,1 k k ≠≠- 2．排列36715284的逆序数是 13 3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s
行列式检验测试题(有规范标准答案)
第九讲 行列式单元测试题点评 一、填空题（每小题2分，满分20分） 1．全体3阶排列一共有 6 个，它们是123,132,213,231,312,321； 2. 奇排列经过奇数次对换变为偶排列，奇排列经过偶数次 对换变为奇排列； 3. 行列式D和它的转置行列式D'有关系式D D' =； 4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号； 5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这 个行列式等于零； 6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到 行列式符号的外边； 7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列） 的对应元素上，行列式的值不变； 8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的 代数余子式的乘积之和等于零； 9. 11121 222 1122 ; 00 n n nn nn a a a a a a a a a = L L K M M M M L
10.当 k=22 ±时，542k k k =。 二、判断题（每小题3分，满分24分） 1.1)(,)(31221±==k i i i i k i i i n n ΛΛππ则若 （∨） 的符号 的一般项则设n n j i j i j i nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛ M M M M ΛΛ2211D ,.221 2222111211= .)1() (21n j j j Λπ-是 （×） 3. 若n(n>2)阶行列式D=0,则D 有两行（列）元素相同. (×) 4．若n 阶行列式D 恰有n 个元素非0，则D ≠0. (×) 5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法则求解。 （×） 6．若行列式D 的相同元素多于2n n -个，则D=0. (×) 7. 11 121313233321222312 222331 32 33 11 21 31 a a a a a a a a a a a a a a a a a a = (×) 8.n 阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。 （×） 三、单项选择题（每小题4分，满分20分） 1．位于n 级排列12111k k n i i i i i -+L L 中的数1与其余数形成的反序个数为（ A ）
行列式典型例题
第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 11 a a O 解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - L O =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --O 1n c c += 1 1 1 a a a +-O =n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -O +1 1 001 0(1) 0n n a a +--L O O 而 1 1 01 0(1) 0n n a a +--L O O 最后列展开 =21 (1)n +-2 n a a -O =2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ． 将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．
n D =2(2) (1)n --11a a a O = 11a a 2 n a a -O =n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ． 例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= +L L M M M L (120n b b b ≠L ) 解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 121121 221 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L 升阶 213111 n r r r r r r +---= L 12121100100100n n a a a b b b ---L L L M M M M L 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= L 111211 1 2100 00000 n n a a a a a b b b b b + ++L L L L M M M M L =1121(1)n n n a a b b b b b + ++L L 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +L L M M M L =1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来． 例2.3 计算n 阶行列式：
行列式经典例题
大学-----行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:
= 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++
行列式-矩阵练习题
行列式 矩阵练习题 一、单项选择题 1. 设行列式D=a 522315 21-=0，则a =( B ). A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 2. 设A 是k ×l 矩阵，B 是m ×n 矩阵，如果AC T B 有意义，则矩阵C 的为( B ). A. k ×m B. k ×n C. m ×l D. l ×m 3. 设A 、B 均为n 阶矩阵，下列各式恒成立的是( B ). A. AB=BA B. (AB)T =B T A T C. (A+B)2=A 2+2AB+B 2 D. (A+B)(A-B)=A 2-B 2 4. A 为n 阶方阵，下面各项正确的是( C ). A. |-A|=-|A| B. 若|A|≠0,则AX=0有非零解 C. 若A 2=A,则A=E D. 若秩(A)
行列式典型例题
第二讲 行列式综合训练 第一部分 例2.1 计算行列式，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是零． n D = 1 1 a a 解 这道题可以用多种方法进行求解，充分应用了行列式的各种性质． 方法1 利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D 11c n c a -?= 101 a a a a - =11()n a a a -- =n a -2n a - 方法2 仍然是利用性质，将行列式化为上三角行列式． n D n 1 r r -= 111 a a a --1n c c += 1 1 1 a a a +-=n a -2 n a - 方法3 利用展开定理，将行列式化成对角行列式． n D 1c 展开 =1 n a a a -+1 1 001 (1) 0n n a a +-- 而 1 1 001 (1) 0n n a a +--最后列展开 = 21 (1)n +-2 n a a -=2 n a -- n D =1n a a -?-2n a -=n a -2n a - 方法4 利用公式 A O O B =A B ． 将最后一行逐行换到第2行，共换了2n -次；将最后一列逐列换到第2列，也共换了2n -次．
n D =2(2) (1)n --11a a a = 11a a 2 n a a -=n a -2 n a - 方法5 利用公式 A O O B =A B ． 例2.2 计算n 阶行列式： 1121221 2 n n n n n a b a a a a b a D a a a b ++= + (120n b b b ≠) 解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a ，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素． 12112122 1 2 1000 n n n n n n a a a a b a a D a a b a a a a b +=++升阶 213111 n r r r r r r +---= 12121100 1001 n n a a a b b b --- 11 12,,1 j j c c b j n -+ =+= 1 1121 1 12100000000 n n a a a a a b b b b b + ++ =1 12 1 (1)n n n a a b b b b b + ++ 这个题的特殊情形是 12121 2 n n n n a x a a a a x a D a a a x ++= +=1 1 ()n n i i x x a -=+∑ 可作为公式记下来． 例2.3 计算n 阶行列式： 12111 1111 1 1n n a a D a ++= +
线性代数习题册行列式-习题详解.doc
行列式的概念 一、选择题 1． 下列选项中错误的是 ( ) a b c d (B) a b d b (A) d a b ； c d c ； c a a 3c b 3d a b a b a b (C) c d c ； (D) c d c . d d 答案： D 2．行列式 D n 不为零，利用行列式的性质对 D n 进行变换后，行 列式的值（ ）． (A) 保持不变； (B) 可以变成任何值； (C) 保持不为零； (D) 保持相同的正负号． 答案： C 二、填空题 1. log a b 1 =. 1 log b a 解析： log a b 1 log a b log b a 1 1 1 0 . 1 log b a cos sin 2. 3 6 =. sin cos 3 6 cos sin 解析： 3 6 cos cos sin sin cos0 sin cos 3 6 3 6 2 3 6 2x 1 3 3. 函数 f (x) x x 1 中， x 3 的系数为 ； 2 1 x 2x 1 1 g( x) x x x 中， x 3 的系数为. 1 2 x 答案： -2 ； -2.
阶行列式 D n中的n最小值是. 答案： 1. 1 2 3 5.三阶行列式0 2 4 中第2行第1列元素的代数余子式 3 1 1 等于. 答案： 5. 6.若 2x 8 0 ，则x= . 1 2 答案： 2. 7. 在n 阶行列式 D a ij 中，当 i 2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表 ?? ?? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ?=)( 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下） 三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(; )(== 若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ===，则称A 与B 相等，记为A=B 。 2.1.2 矩阵的运算 1．加法 （1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)(==，则mn ij ij b a B A C )(+=+= （2）运算规律 ① A+B=B+A ； ②（A+B ）+C =A +（B+C ） ③ A+O=A ④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 （1）定义：设,)(mn ij a A =k 为常数，则mn ij ka kA )(= （2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3．矩阵的乘法 （1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A ==则 ,)(mp ij C C AB ==其中∑== n k kj ik ij b a C 1 （2）运算规律 ①)()(BC A C AB =；②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( （3）方阵的幂 ①定义：A n ij a )(=，则K k A A A = ②运算规律：n m n m A A A +=?；mn n m A A =)( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ①BA AB ≠ ②;00,0===B A AB 或不能推出 ③k k k B A AB ?≠)( 4．矩阵的转置 线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）德蒙德行列式 数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解 （2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） 高等代数 《行列式》测 验 一 填空题（2'612'?=） 1. 六阶行列式的展开式共有（ ）项. （A ）120 （B ）60 (C) 720 (D) 240 2. 排列1 2345a a a a a 的逆序数为a ，则排列5 4321a a a a a 的逆序数为（ ）. (A) a - (B) 10a - (C) 10a - (D) 2 a -或a +2 3. 0001002003004 =( ). (A) 24 (B) -24 (C) 0 (D) 12 4. 已知11 121311111212132122232121222223313233313132323341 42 43 4141 42 42 43 , ,a a a b a a b a a a a b a a b a m n a a a b a a b a a a a b a a b a == 则行列式 11121311122122232122313233313241 4243 4142a a a b b a a a b b a a a b b a a a b b ++= ++（ ）. (A) m n + (B) n m - (C) m n - (D) () m n -+ 5. 已知2 31421,1 1 1 D =- i j A 为D 的元素ij a 的代数余子式，则（ ）. (A) 1112130 A A A ++= (B) 1121310 A A A ++= (C) (A),(B)都成立 (D) (A),(B)都不成立 6. 0001 00002000 10 n n =- ( ). (A) 1 (1) !n n +- (B) (1) 2 (1) !n n n -- (C) (1) 2 (1) !n n n +- (D)!n 二 填空题（2'816'?=） 1. 2011阶反对称行列式的值为 . 2. 13234425k l a a a a a 为五阶行列式ij D a =中带负号的项，则k = ， l = . 3. 排列(1)321n n - 的逆序数为 , 13(21)24(2) n n - 的逆序 数为 . 4. 线性方程组 1212040 x x x x λλ+=?? +=?有唯一解，则λ满足 . 5. 若n 阶行列式D 中等于0的元素个数大于2 n n -，则D = . 6. 2 1 1203101311 112 x x ----的展开式中2 x 的系数为 . 7. 1 1111234149161 8 27 64 = . 8. 已知四阶行列式D 的第3行元素为3,3,1,1--, 其对应的余子式的值 为1,2,5,4, 则行列式D = . 线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式: = 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++ 《线性代数》 (工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵 A 为 4 阶方阵，且 | A| =5，则 | A* | =__125____，| 2A| =__80___， | A1 |= 1/5 bx ay 0 、若方程组cx az b 有唯一解，则 abc≠ 2 cy bz a 3 、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式0 . x1 x2 x3 0 4 、当 a 为 1 or 2 时，方程组x1 2x2 ax3 0 有非零解. x1 4x2 a2 x3 0 3 1 2 5 、设 D 2 3 1 , 则2 A11 A21 4 A31 .0 01 4 二、单项选择题 a 11 a 12 a 13 4a11 2a11 3a12 a 13 1．设 D a 21 a 22 a 23 1, 则D 4a21 2a21 3a22 a 23 （ B ）a 31 a 32 a 33 4a31 2a31 3a32 a 33 （A)0 ；（B)―12 ；（C）12 ；（D）1 kx ky z 0 （ A ．设齐次线性方程组2x z 0 有非零解，则k = ）2 kx 2 y z 0 （A）2 （B）0 （C）-1 （D）- 2 2 0 8 3．设 A= 3 1 5 ，则代数余子式A 12 ( B ) 2 9 7 (A) 31 (B) 31 (C) 0 (D) 11 4．已知四阶行列式 D中第三列元素依次为 -1 ，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4 ，则 D= ( A ) （ A） -15 （B） 15 （C） 0 （D） 1 三、计算行列式 1 第一章 行列式试题及答案 一 选择题 (每小题3分，共30分) ⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换，变为i n … i 2 i 1，则相邻对换的次数为( ) (A) n (B) n /2 (C) 2n (D) n (n -1)/2 ⑵ 在函数()x x x x x x f 21421 12---=中，x 3的系数是( ) (A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4 ⑶ 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( ) (A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D) (-1)n(n -1)/2 ⑷ 设 n n λλλλλλN O 21 2 1 = ，则n 不可取下面的值是( ) (A)7 (B) 2k +1(k ≥2) (C) 2k (k ≥2) (D) 17 ⑸ 下列行列式等于零的是( ) (A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010- (D) 2614226 13- ⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺ =+++1 11 22 2c bc ac bc b ab ac ab a ( ) (A) 1 000100 01222 +c bc ac bc b ab ac ab a (B) 1111122222 +++++c bc ac bc b ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a (C) 101011122 22 2 +++++c bc bc b ac ab c bc ac bc b ab ac ab a (D) 1 1122 2 bc ac bc ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a + ⑻ 设a ,b ,c 两两不同，则02 22=+++c b a c b a b a a c c b 的充要条件是( ) (A) abc =0 (B) a+b+c =0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2=b 2, c =0 ⑼ 四阶行列式 =4 4 3 322 1 1 a b a b b a b a ( ) (A) (a 1a 2- b 1b 2) (a 3a 4- b 3b 4) (B) (a 1a 4- b 1b 4) (a 2a 3- b 2b 3) (C) (a 1b 2- a 2b 1) (a 3b 4- a 4b 3) (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3- a 3b 2) ⑽ 齐次线性方程组??? ??=-+=+-=-+03020 223 21321321x x x x x x x x x λ只有零解，则λ应满足的条 件是( ) (A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ≠1 二 填空 (每小题3分，共15分) ⑴ 在五阶行列式中，3524415312a a a a a 的符号是_________。 ⑵ 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 ⑶ 设7 3 4 369 02 111 1875 1----= D ，则5A 14+A 24+A 44=_______。 ⑷ 若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 ⑸ 设x 1,x 2,x 3是方程x 3+px +q =0的根，则行列式=1 32213 3 21 x x x x x x x x x __。 三 计算行列式 (每小题6分，共30分) ⑴ 0 1 1 2 2 1032101132 221 13 132 11----- ⑵ ()()()()()()()()()()()()2 22 2 222222222222321321321321++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ⑶ y y x x -+-+11 1 1 111111111111 ⑷ a c b a c b a c b a c b a ⑸ x b b b a x b b a a x b a a a x D n Λ ΛM M O M M Λ Λ =(a ≠b ) 四 证明题 (每小题10分，共20分) ⑴ 用归纳法证明: 任意一个由自然数1,2,…,n 构成的n 元排列，一定可以经过不超过n 次对换变成标准排列12…n ⑵ 设平面上三条不同的直线为 000 =++=++=++b ay cx a cy bx c by ax ， 证明: 三条直线交于一点的充分必要条件是0=++c b a矩阵典型习题解析
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