1.1.2 瞬时速度与导数
1.1.2 瞬时速度与导数（1）
学习目标：
1.会求瞬时速度
2.培养学生的分析能力解决问题能力
3.认识导数的工具性
重点：瞬时变化率，导数的概念
难点：对导数的理解及利用导数解决实际问题的能力
预习案
一． 知识点
1、 函数的瞬时变化率
2、 函数在0x x =处的导数
3、导函数
．
4、利用导数定义求函数()f x 在0x x =处的导数的一般步骤
如果质点A 按规律2s t =运动，求它在3t =时的瞬时速度
三．我的疑惑（请你将预习中未能解决的问题和疑惑的问题写下来，待课堂上与老师同学探究解决）
探究案
例题1火箭竖直向上发射，熄火时向上速度达到100m/s ,试问熄火后多长时间火箭向上速度为0？
例题2一正方形在0C 时，边长为10cm 。加热后铁板会膨胀。当温度为t C 时，边长变为10(1),at cm a +为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率。
当堂检测
1. 在0000()()()lim x f x x f x f x x
?→+?-'=?中，x ?（ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不等于0
2．函数y ＝x 2
在x ＝1处的导数为 ( )
A ．2x
B ．2＋Δx
C ．2
D ．1 3．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度
4.求函数y ax b =+的导数
5.如果一个函数的导数处处为0，这个函数是什么函数？
我的收获（反思静悟、体验成功）
作业：教材第10页A 1、2
导数的概念2—瞬时速度
课 题： 3．1导数的概念（二）—瞬时速度 教学目的： 1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义. 2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 3.理解足够小、足够短的含义 教学重点：知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度. 教学难点：理解物体的瞬时速度的意义 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 我们物理中学习直线运动的速度时，已经学习了物体的瞬时速度的有关知识，现在我们从数学的角度重新来认识一下瞬时速度 教学过程： 一、复习引入： １．曲线的切线 如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线 2.确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法： 因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α,即
tan α=0lim →?x =??x y 0lim →?x 0x ? 二、讲解新课： 1.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 2. 确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法： 要确定物体在某一点A 处的瞬时速度，从A 点起取一小段位移AA 1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度. 当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度了. 我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s =s (t )，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t 0，t 0+Δt ，现在问从t 0到t 0+Δt 这段时间内，物体的位移、平均速度各是： 位移为Δs =s (t 0+Δt )－s (t 0)(Δt 称时间增量) 平均速度t t s t t s t s v ?-?+=??=)()(00 根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t 来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度. 现在是从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0. 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度 瞬时速度t t s t t s v v t t ?-?+==→?→?)()(lim lim 0000 所以当Δt →0时，平均速度的极限就是瞬时速度三、讲解范例： 例1物体自由落体的运动方程s =s (t )= 21gt 2，其中位移单位m ，时间单位s ，g =9.8 m/s 2. 求t =3这一时段的速度. 解：取一小段时间［3，3+Δt ］，位置改变量Δs =21g (3+Δt )2－21g ·32=2 g (6+Δt )Δt ，平均速度2 1=??=t s v g (6+Δt )
苏教版数学高二- 选修2-2学案《瞬时变化率—导数—瞬时速度与瞬时加速度》(二)
1.1.3 瞬时变化率导数瞬时速度与瞬时加速度学案（二） 一、学习目标 （1）理解瞬时速度与瞬时加速度的定义，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近” 瞬时速度与瞬时加速度的过程.理解平均变化率的几何意义；理解△x无限趋近于0的含义； （2）运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度. 二、学习重点、难点 重点：瞬时速度和瞬时加速的定义 难点：求瞬时速度和瞬时加速的的方法. 三、学习过程 【复习回顾】 1. 曲线上一点处的切线斜率：设曲线C是函数y=f(x)的图象,在曲线C上取一点P(x,y) k= 及邻近的一点Q(x +?x, f(x+ ?x))，过P、Q两点作割线，,则割线PQ的斜率为 PQ . 当?x→0时，动点Q将沿曲线趋向于定点P，从而割线PQ也将随之变动而趋向于切线PT的斜率，当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，即K为.在△x→0时的极限值. 练习：曲线的方程为y=x2+1，求曲线在点P(1,2)处的切线方程.
【问题情境1】 平均速度：物体的运动位移与所用时间的比称为平均速度.平均速度反映物体在某一段时间段内运动的快慢程度.那么如何刻画物体在某一时刻运动的快慢程度？ 【问题情境2】 跳水运动员从10m 高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的.假设t 秒后运动员相对于水面的高度为()24.9 6.510H t t t =-++，那么我们就会计算任意一段的平均速度v ，通过平均速度v 来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？ 我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况. 问题：1.你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？ 关于这些数据，下面的判断对吗？ 2．当t ?趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是t 从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1s m /. 3． 靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段[]2,2t ?+上的平均速度； 4． 靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段[]t ?+2,2上的平均速度；
瞬时速度与导数
1．函数y＝x2在x＝1处的导数为() A．2x B．2＋Δx C．2 D．1 解析：y＝x2在x＝1处的导数为 f′(1)＝li m Δx→0(1＋Δx)2－1 Δx＝2. 答案：C 2．设函数y＝f(x)在x＝1处存在导数，则li m Δx→0f(1)－f(1－Δx) Δx＝() A．f′(1) B．－f′(1) C．f(1) D．－f(1) 解析：li m Δx→0f(1)－f(1－Δx) Δx＝li m Δx→0 f(1＋(－Δx))－f(1) (－Δx) ＝f′(1)． 答案：A 3．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为() A．6 B．18 C．54 D．81 解析：v＝li m Δt→0s(3＋Δt)－s(3) Δt＝li m Δt→0 3(3＋Δt)2－27 Δt ＝li m Δt→018Δt＋3(Δt)2 Δt＝18. 答案：B 4．物体的运动方程为：s(t)＝1 2gt 2，g＝9.8 m/s2，若v＝li m Δt→0 s(1＋Δt)－s(1) Δt＝9.8 m/s， 那么下列说法中正确的是() A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速度． B．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt) s这段时间内的速度． C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速度． D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt) s这段时间内的平均速度． 解析：因为s′(t)＝li m Δt→0s(1＋Δt)－s(1) Δt＝9.8 (m/s)，所以9.8 m/s是物体在t＝1 s这一 时刻的速度． 答案：C 5．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
(完整版)瞬时速度与导数 教案
授课题目 1.1.2 瞬时速度与导数 教学目标 知识与技能 了解导数概念的实际背景；理解函数在某点处导数及在某个区间的导函数的概念；会用定义求瞬时速度和函数在某点处的导数。 过程与方法 在直线运动研究过程中，从平均速度与瞬时速度关系类比获得函数的平均变化率到瞬时变化率概念的过程，体会从特殊到一般、局部到整体的研究方法。 情感态度与价值观 通过导数概念的形成过程体会导数思想及其内涵,激发学生兴趣；在从物理到数学，再用数学解决物理问题的过程中体验数学的应用价值。 教学重点 导数定义的形成过程和导数的内涵 教学难点 对导数定义的理解 教学策略 教师适时引导和学生自主探究发现相结合 教学创新点 发现与体验式的教学模式 教学过程 知识呈现 教师与学生双边活动 【问题情境】 设在10米跳台上，运动员跳离跳台时竖直向上的速度为6.5m/s 。运动员在时刻t 距离水面的高度 22 15.610)(gt t t h - += 其中g 为重力加速度，2 /8.9s m g ≈。于是， 29.45.610)(t t t h -+= 思考：运动员在t=2 s 时竖直向上的瞬时速度。 【新知探究】 问题1 求时刻t=2 s 时运动员的瞬时速度，面对这个问题该怎样入手？ 方法1.直接用平均速度公式0022)2()2(=--=??= h h t h v ，作变速运动的物体在任何时刻都存在速度，没有意义的情况出现说明，不能用已知的计算平均 速度的方法计算变速运动的瞬时速度。 方法2.计算一段时间内的平均速度是目前唯一能够做的事情。 探究平均速度及其变化趋势 （1）求从2=t 到 t t ?+=2之间质点的平均速度 解： [][] t t t t h t h v ??-?+-?+?-?+?+= ?-?+=2229.425.610)2(9.4)2(5.610)2()2( 教师提出疑问 学生探讨，得方法，教师引导
高中数学瞬时变化率--导数
瞬时变化率--导数 教学目标： (1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念 (2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想 一、复习引入 1、什么叫做平均变化率； 2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率 3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。 所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解 1、曲线上一点处的切线斜率 不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0 101)()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴x x f x x f k PQ ?-?+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当 △x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。 2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法： x x f x x f k ?-?+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。 3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2) 位移的平均变化率：t t s t t s ?-?+)()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，t t s t t s ?-?+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度 求瞬时速度的步骤： 1.先求时间改变量t ?和位置改变量)()(00t s t t s s -?+=? 2.再求平均速度t s v ??= 3.后求瞬时速度：当t ?无限趋近于0， t s ??无限趋近于常数v 为瞬时速度
1.1.2瞬时速度与导数
1.1.2 瞬时速度与导数导学案 （1）了解瞬时速度及瞬时变化率的精确定义. （2）会用瞬时速度计瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率. （3）初步理解导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法. （4）理解开区间内的导函数的概念，会求一个函数的导函数。 重点：函数的瞬时变化率、导数的概念。 难点：对导数的理解和利用导数解决实际问题。 问题1：物体运动的瞬时速度 问题2.函数的顺时变化率 问题3.函数)(x f 在0x x =处的导数怎么定义的 问题4.函数的导数如何求 1．设问题直线运动的位移为s(t),给出下面四个问题：①t s ??表示平均速度，②t s n ??∞→lim 表示瞬时速度，③t s ??的值不变，④t s n ??∞→lim 的值不变，其中正确命题的个数为（ ）个 A ．4 B.3 C.2 D. 1 2.已知函数)(x f y =，那么下列说法错误的是（ ） A.)()(00x f x x f y -?+=?叫做函数的增量 B.()()x x f x x f x y ?-?+=??00叫做函数在0x 到x x ?+0之间的平均变化率 C. ()()x x f x x f ?-?+00叫做函数()x f y =在0x 处的导数 D.()()0 0lim 0x x x f x f x x --→ 叫做函数()x f y =在0x 处的导数
题型一、通过此例使学生理解瞬时速度及瞬时变化率的精确定义，完成教学目标1 例1、 若(),20/=x f 求()()k x f k x f k 2000lim --→的值 变式： 1、 已知()20/=x f ，求函数()k x f k x f k 00021lim -??? ??-→的值。 题型二、通过此例使学生学会初步会求瞬时变化率，完成教学目标2 例2、已知()2x x f =，求()1/f 变式训练 1．已知()2+= x x f ，则()2/f 2. 变式：求函数x x y 1+ =在x=1处的导数。 3．质点M 按规律()12+=at t s 做直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ）。若质点M 在t=2时的瞬时速度为8m/s ，求常数a 的值。
高中数学第一章导数及其应用1.1.2瞬时速度与导数学案新人教B版选修
1.1.2 瞬时速度与导数 明目标、知重点 1.理解瞬时速度及瞬时变化率的定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数． 1．瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．设物体运动路程与时间的关系是s＝s(t)，物体在t0时刻的瞬时速度v就是运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均变化率 s t0＋Δt－s t0 Δt ，当Δt→0时的极限，即v＝lim Δt→0 Δs Δt ＝lim Δt→0 s t0＋Δt－s t0 Δt . 2．瞬时变化率 一般地，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率是lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0 f x0＋Δx－f x0 Δx . 3．导数的概念 一般地，函数y＝f(x)在x0处的瞬时变化率是lim Δx→0f x0＋Δx－f x0 Δx ，我们称它为函数 y＝f(x)在x＝x0处的导数，记为f′(x0)，即f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0 f x0＋Δx－f x0 Δx . 4．导函数 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称 f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为f′(x)或y′(或y′x)．导函数通常简称为导数． 探究点一瞬时速度 思考1 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.在某些时间段内如何粗略地描述其运动状态？平均速度能否精确反映它的运动状态？
瞬时速度与导数
§3.1.2 瞬时速度与导数 学习目标 1.会用极限给瞬时速度下精确的定义；并能说出导数的概念. 2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 3.大胆质疑，积极讨论，高效学习，勇于展示自己的观点与解法，以极度的热情投入到合作 . 学法指导 1.预习教材P78～P82，找出疑惑之处. 2.根据学案的提示，课前完成“问题导学”、“典型例题”及“深化提高”. 3.认真限时 ．．完成，规范分栏书写；课堂上积极进行小组合作探究，答疑解惑. 学习过程 一、课前准备 1、求函数平均变化率的步骤： 2、过曲线3 () f x x =上两点(1,1),(1,1) p Q x y +?+?做曲线的割线，求当x?=0.1时割线的斜率。 二、问题导学 探究（一）瞬时速度： 1. 已知物体作变速直线运动,其运动方程为s＝s(t)(ｓ表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻 的速度． 问题1：如图设该物体在时刻t0的位移是ｓ(t0)＝OA0,在时刻t0+Δt 的位移是s(t0+ Δt)=OA1,则从 t0到t0 +Δt 这段时间内,物体的位移是:_________________________. 问题2：在时间段（t0+△t）－t0内，物体的平均速度为: _____________________________________. 问题3：平均速度与瞬时速度分别反映了什么？ 平均速度：反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在 每一时刻运动的快慢程度,就需要通过瞬时速度来反映. 如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t+Δt这段 时间内，当Δt→0 时平均速度. ) ( ) ( 1 t s t t s OA OA s- ? + = - = ? t s t t t t s t t s v ? ? = - ? + - ? + = __ ) ( ) ( ) (