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第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

一、选择题

1.若直线l 的方向向量为a =(1,0,2),平面α的法向量为n =(-2,0,-4),则( )

A.l ∥α

B.l ⊥α

C.l ?α

D.l 与α相交

解析 ∵n =-2a ,∴a 与平面α的法向量平行,∴l ⊥α.

答案 B

2.若AB

→=λCD →+μCE →,则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( ) A.相交

B.平行

C.在平面内

D.平行或在平面内

解析 ∵AB

→=λCD →+μCE →,∴AB →,CD →,CE →共面. 则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内.

答案 D

3.已知平面α内有一点M (1,-1,2),平面α的一个法向量为n =(6,-3,6),则下列点P 中,在平面α内的是( )

A.P (2,3,3)

B.P (-2,0,1)

C.P (-4,4,0)

D.P (3,-3,4)

解析 逐一验证法,对于选项A ,MP

→=(1,4,1), ∴MP

→·n =6-12+6=0,∴MP →⊥n , ∴点P 在平面α内,同理可验证其他三个点不在平面α内.

答案 A

4.(2017·西安月考)如图,F 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CD

的中点.E 是BB 1上一点,若D 1F ⊥DE ,则有( )

A.B 1E =EB

B.B 1E =2EB

C.B 1E =12EB

D.E 与B 重合

解析 分别以DA ,DC ,DD 1为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设正方形的

边长为2,则D (0,0,0),F (0,1,0),D 1(0,0,2),设E (2,2,z ),D 1F →=

(0,1,-2),DE →=(2,2,z ),∵D 1F →·DE →=0×2+1×2-2z =0,∴z =1,∴B 1E

=EB .

答案 A

5.如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点M ,P ,

Q 分别为棱AB ,CD ,BC 的中点,若平行六面体的各棱长均

相等,则:

①A 1M ∥D 1P ;

②A 1M ∥B 1Q ;

③A 1M ∥平面DCC 1D 1;

④A 1M ∥平面D 1PQB 1.

以上说法正确的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析 A 1M →=A 1A →+AM →=A 1A →+12AB →,D 1P →=D 1D →+DP →=A 1A →+12

AB →,∴A 1M →∥D 1P →,所以A 1M ∥D 1P ,由线面平行的判定定理可知,A 1M ∥面DCC 1D 1,A 1M ∥面D 1PQB 1.①③④正确.

答案 C

二、填空题

6.(2017·武汉调研)已知平面α内的三点A (0,0,1),B (0,1,0),C (1,0,0),平面β的一个法向量n =(-1,-1,-1),则不重合的两个平面α与β的位置关系是________.

解析 设平面α的法向量为m =(x ,y ,z ),

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量:在直线上任取一非零向量作为它的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出:设a ,b 是平面α两不共线向量,n 为平面α的法向量,则求法向量的方程组为???? ? n ·a =0,n ·b =0. 2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2,则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ,与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2,则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ,y ,使v =x v 1+y v 2. (3)设直线l 的方向向量为v ,平面α的法向量为u ,则l ∥α或l ?α?v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1,u 2,则α∥β?u 1 ∥u 2. 3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2,则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2=0. (2)设直线l 的方向向量为v ,平面α的法向量为u ,则l ⊥α?v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2,则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2=0. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( ) (3)若两平面的法向量平行,则两平面平行.( ) (4)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.( ) (5)若a ∥b ,则a 所在直线与b 所在直线平行.( ) (6)若空间向量a 平行于平面α,则a 所在直线与平面α平行.( ) 1.下列各组向量中不平行的是( )

立体几何中的向量方法

立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 1. 空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l 1,l 2的方向向量分别为m 1,m 2,则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ=|cos 〈m 1,m 2〉|. (2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ,n ,则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ=|cos 〈m ,n 〉|. (3)求二面角的大小 1°如图①,AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ=〈AB →,CD →〉. 2°如图②③,n 1,n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cos θ=cos 〈n 1,n 2〉或-cos 〈n 1,n 2〉. 2. 点面距的求法 如图,设AB 为平面α的一条斜线段,n 为平面α的法向量,则B 到 平面α的距离d =|AB → ·n | |n | . 1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角. ( × ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角. ( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角. ( × ) (4)两异面直线夹角的范围是(0,π2],直线与平面所成角的范围是[0,π 2],二面角的 范围是[0,π]. ( √ ) (5)直线l 的方向向量与平面α的法向量夹角为120°,则l 和α所成角为30°. ( √ ) (6)若二面角α-a -β的两个半平面α、β的法向量n 1,n 2所成角为θ,则二面角α- a -β的大小是π-θ. ( × ) 2. 已知二面角α-l -β的大小是π 3 ,m ,n 是异面直线,且m ⊥α,n ⊥β,则m ,n 所成 的角为 ( ) A.2π3 B.π 3 C.π 2 D. π6 答案 B 解析 ∵m ⊥α,n ⊥β, ∴异面直线m ,n 所成的角的补角与二面角α-l -β互补. 又∵异面直线所成角的范围为(0,π 2], ∴m ,n 所成的角为π 3 . 3. 在空间直角坐标系Oxyz 中,平面OAB 的一个法向量为n =(2,-2,1),已知点P (-1,3,2),

6.2 立体几何中的向量方法(A卷提升篇)【解析版】

专题6.2 立体几何中的向量方法(A 卷基础篇)(浙江专用) 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题(共10小题,满分50分,每小题5分) 1.(2020·全国高二课时练习)已知(1,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,1)C ,则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A .(1,1,1)- B .(1,1,1)- C .? ? ? ??? D .?? ? ??? 【答案】C 【解析】 (1,1,0),(1,0,1)AB AC =-=-, 设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量, 则00n AB n AC ??=??=? ,化简得00x y x z -+=??-+=?, ∴x y z ==,故选C. 2.(2020·全国高二课时练习)空间直角坐标中A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A .平行 B .垂直 C .相交但不垂直 D .无法确定 【答案】A 【解析】 ∵空间直角坐标系中, A (1,2,3), B (﹣1,0,5), C (3,0,4), D (4,1,3), ∴AB =(﹣2,﹣2,2),CD =(1,1,﹣1), ∴AB =﹣2CD , ∴直线AB 与CD 平行. 故选A .

3.(2020·全国高二课时练习)已知平面α的法向量为(2,2,1)n =--,点(,3,0)A x 在平面α内,则点(2,1,4)P -到平面α的距离为 103,则x =( ) A .-1 B .-11 C .-1或-11 D .-21 【答案】C 【解析】 (2,2,4)PA x =+-,而103n d n PA ?= =, 103=,解得1x =-或-11. 故选:C 4.(2020·全国高二课时练习)已知向量,m n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量,若 1cos ,2 m n =-,则l 与α所成的角为( ) A .030 B .060 C .0120 D .0150 【答案】A 【解析】 设线面角为θ,则1sin cos ,,302 m n θθ=??==. 5.(2020·全国高二课时练习)设直线l 与平面α相交,且l 的方向向量为a ,α的法向量为n ,若2,3a n π= ,则l 与α所成的角为( ) A .23π B .3π C .6π D .56 π 【答案】C 【解析】 结合题意,作出图形如下:

(完整版)空间向量与立体几何题型归纳

空间向量与立体几何 1, 如图,在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD (1)证明AB⊥平面VAD; (2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=, BC=1,PA=2,E为PD的中点. (1)求直线AC与PB所成角的余弦值; (2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面PAC,并求出N点到AB和AP的距离.(易错点,建系后,关于N点的坐标的设法,也是自己的弱项)

3. 如图,在长方体ABCD ―A 1B 1C 1D 1中,AD=AA 1=1,AB=2,点E 在棱AB 上移动. (1)证明:D 1E ⊥A 1D ; (2)当E 为AB 的中点时,求点A 到面ECD 1的距离; (3)AE 等于何值时,二面角 D 1―EC ―D 的大小为(易错点:在找平面DEC 的法向量的时候,本来法向量就己经存在了,就不必要再去找,但是我认为去找应该没有错吧,但法向量找出来了 ,和那个己经存在的法向量有很大的差别,而且,计算结果很得杂,到底问题出在哪里 ?) 4.如图,直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是等腰梯形,AB ∥CD ,AB =2DC =2,E 为BD 1的中点,F 为AB 的中点,∠DAB =60°. (1)求证:EF ∥平面ADD 1A 1; (2)若2 21BB ,求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值.

N:5题到11题都是运用基底思想解题 5.空间四边形ABCD中,AB=BC=CD,AB⊥BC,BC⊥CD,AB与CD成60度角,求AD与BC所成角的大小。 6.三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,∠A1AB=45°, ∠A1AC=60°,求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。 7.如图,60°的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内, 且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长 8.如图,已知空间四边形OABC中,OB=0C, ∠AOB=∠AOC=Θ,求证OA⊥BC。 9.如图,空间四边形OABC各边以及AC,BO的长都是1,点D,E分别是边OA,BC的中点,连接DE。 (1)计算DE的长; (2)求点O到平面ABC的距离。 10.如图,线段AB在平面⊥α,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,且AB=7,AC=BD=24,CD=25,求线段BD与平面α所成的角。

立体几何中的向量方法总结

立体几何中的向量方法基础篇一(几何证明) 一.求直线方向向量 1.已知()()4,2,2,2,1,1B A -且),,6(y x a =为直线AB 的方向向量,求y x ,。 二.平面的法向量 2.在空间中,已知()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1C B A ,求平面ABC 的一个法向量。 3.如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为正方形, 2,==⊥DC PD ABCD PD 平面,E 为PC 中点 (1)分别写出平面PDC ABCD PAD ,,的一个法向量; (2)求平面EDB 的一个法向量; (3)求平面ADE 的一个法向量。 三.向量法证明空间平行与垂直 1.如图,已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,M AF AB ,1,2== 为EF 的中点,求 证:BDE AM 平面//

2. 如图,正方体''''D C B A ABCD -中,F E ,分别为CD BB ,'的中点,求证:ADE F D 平面⊥'。 3. 如图,在四棱锥ABCD E -中,BCE CD BCE AB 平面平面⊥⊥, 0120,22=∠====BCE CD CE BC AB ,求证:平面ABE ADE 平面⊥。 巩固练习: 1. 如图,在正方体''''D C B A ABCD -中,P 是'DD 的中点,O 是底面ABCD 的中心, (1)求证:O B '为平面PAC 的一个法向量;(2)求平面CD B A ''的一个法向量。

2. 如图,在直棱柱'''C B A ABC -中,4',5,4,3====AA AB BC AC (1)求证:'BC AC ⊥ (2)在AB 上是否存在点D ,使得'//'CDB AC 平面,若存在,确定D 点位置,若不存在,说明理由。 3. 如图,已知长方体''''D C B A ABCD -中,2==BC AB ,E AA ,4'=为'CC 的上的点,C B BE '⊥, 求证:BED C A 平面⊥' 4. 在三棱柱'''C B A ABC -中,1',2,,'===⊥⊥AA BC AB BC AB ABC AA 平面,E 为'BB 的中点,求证:C C AA AEC '''平面平面⊥

空间几何中的向量方法

第一讲:空间几何中的向量方法---------坐标运算与法向量 一、空间向量的坐标运算 1. 若123(,,)a a a a = ,123(,,)b b b b = ,则 (1)112233(,,)a b a b a b a b +=+++; (2)112233(,,)a b a b a b a b -=---; (3)123(,,),a a a a R λλλλλ=∈; (4)112233a b a b a b a b ?=++; (5)112233//,,,(0,)a b a b a b a b b R λλλλ?===≠∈; (6)1122330a b a b a b a b ⊥?++=; (7 )a == (8 )cos ,a b a b a b ?<>= = ?. 例1 已知(2,3,5),(3,1,4),a b =-=-- 求,,8,,a b a b a a b +-? 的坐标. 2.若111222(,,),(,,),A x y z B x y z 则212121(,,)AB x x y y z z =--- 练习1: 已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面,M 、N 分别是AB,PC 的中点,且PA=AD=1, 求向量MN 的坐标. 二、空间直角坐标系中平面法向量的求法 1、 方程法 利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组,由于有三个未知数,两个方程,要设定一个变量的值才能求解,这是一种基本的方法,容易接受,但运算稍繁,要使法向量简洁,设值可灵活,法向量有无数个,他们是共线向量,取一个就可以。 例1 已知(2,2,1),(4,5,3),AB AC == 求平面ABC 的法向量。 解:设(,,)n x y z = ,则由,,n AB n AC ⊥⊥ 得=0=0n AB n AC ??????? 即220453=0x y z x y z ++=?? ++? 不妨设1z =,得12 =-1 x y ?=? ???, 取1(,1,1)2n =-

用向量方法解立体几何题(老师用)

用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点.向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题. 1 求空间角问题 空间的角主要有:异面直线所成的角;直线和平面所成的角;二面角. (1)求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b (2)求线面角 设l 是斜线 l 的方向向量,n 是平面α的法向量, 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n (3)求二面角 法一、在α内a l ⊥,在β内b l ⊥,其方向如图,则二面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b

法二、设12,,n n 是二面角l αβ --的两个半平面的法向量, 其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角l α β --的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离,这里着重介绍点面距离的求法,象异面直线间的距离、线面距离;面面距离都可化为点面距离来求. (1)求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量,在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设A O α ⊥于O,利用A O α ⊥和点O 在α内 的向量表示,可确定点O 的位置,从而求出||A O . (2)求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β ,则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离,又转化为点A 到平面β的距离. 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别 为异面直线a 、b 的方向向量,求n (n a ⊥ ,n b ⊥ ),则 异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== (此方法移植 于点面距离的求法).

利用法向量解立体几何题

利用法向量解立体几何题 一、运用法向量求空间角 向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ,只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量 ''AA BB 和,则角<','AA BB >=θ或π-θ,因为θ是锐角,所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不需 要用法向量。 1、运用法向量求直线和平面所成角 设平面α的法向量为n =(x, y, 1),则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为 sin θ= cos( 2 π -θ) = |cos| = AB AB n n ?? 2、运用法向量求二面角 设二面角的两个面的法向量为12,n n ,则<12,n n >或π-<12,n n >是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角,来决定<12,n n >是所求,还是π-<12,n n >是所求角。 二、运用法向量求空间距离 1、求两条异面直线间的距离 设异面直线a 、b 的公共法向量为(,,)n x y z =,在a 、b 上任取一点A 、B ,则异面直线a 、b 的距离 d =AB ·cos ∠BAA ' = || || AB n n ? 略证:如图,EF 为a 、b 的公垂线段,a '为过F 与a 平行的直线, 在a 、b 上任取一点A 、B ,过A 作AA '// EF ,交a '于A ' , A

则?ˉ //AA n ,所以∠BAA ' =<,BA n >(或其补角) ∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA ' = || || AB n n ? * 其中,n 的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b (或图中的,AE BF ),及n 的定义得 0n a n a n b n b ??⊥?=?????⊥?=??? ? ① 解方程组可得n 。 2、求点到面的距离 求A 点到平面α的距离,设平面α的法向量法为(,,1)n x y =,在α内任取一点B ,则A 点到平面α的距离为 d = || || AB n n ?,n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系,得到方程组(类似于前面所述, 若方程组无解,则法向量与XOY 平面平行,此时可改设 (1,,0)n y =,下同)。 3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线a 到平面α的距离,设平面α的法向量法为(,,1)n x y =,在直线a 上任取一点A , 在平面α内任取一点B ,则直线a 到平面α的距离 d = || || AB n n ? 4、求两平行平面的距离 设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =,在平面α、β内各任取一点A 、 B ,则平面α到平面β的距离 d = || || AB n n ? 三、证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的直线a 和平面α、β,两个面α、β的法向量为12,n n ,则 1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥

高中数学向量法解立体几何总结

向量法解立体几何 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴.直线的方向向量:若A 、B 是直线l 上的任意两点,则AB 为直线l 的一个方向向量;与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵.平面的法向量:若向量n 所在直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作 n α⊥,如果n α⊥,那么向量n 叫做平面α的法向量. ⑶.平面的法向量的求法(待定系数法): ①建立适当的坐标系. ②设平面α的法向量为(,,)n x y z =. ③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==. ④根据法向量定义建立方程组0 n a n b ??=???=??. ⑤解方程组,取其中一组解,即得平面α的法向量. 2、用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行。设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、 ,则要证明1l ∥2l ,只需证明a ∥b ,即()a kb k R =∈.⑵线面平行。设直线l 的方向向量是a ,平面α的法向量是u ,则要证明l ∥ α,只需证明a u ⊥,即0a u ?=. ⑶面面平行。若平面α的法向量为u ,平面β的法向量为v ,要证α∥β,只需证u ∥v ,即证u v λ=. 3、用向量方法判定空间的垂直关系⑴线线垂直。设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、 ,则要证明12l l ⊥,只需证明a b ⊥,即0a b ?=.⑵线面垂直 ①(法一)设直线l 的方向向量是a ,平面α的法向量是u ,则要证明l α⊥,只需证明a ∥u ,即a u λ=. ②(法二)设直线l 的方向向量是a ,平面α内的两个相交向量分别为m n 、 ,若

用向量方法解立体几何的的题目

用向量方法求空间角和距离 前言: 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点.向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题. 1.求空间角问题 空间的角主要有:异面直线所成的角;直线和平面所成的角;(平面和平面所成的角)二面角. (1)求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b (2)求线面角 设l 是斜线l 的方向向量,n 是平面α的法向量, 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin | ||||| l n l n (3)求二面角 a l ⊥,在β内 b l ⊥,其方向如图,则二 方法一:在α内

面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b 方法二:设12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角l αβ--的平面角 α=12 12arccos |||| n n n n 2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离,这里着重介绍点面距离的求法,像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求. (1)求点面距离 方法一:设n 是平面α的法向量,在α内取一点B, 则 A 到 α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 方法二:设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示,可确定点O 的位置,从而求出||AO . (2)求异面直线的距离 方法一:找平面β使b β?且a β,则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离,又转化为点A 到平面β的距离. a 、 b 分别为异面直线a 、b 的方向 法二:在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设 向量,求n (n a ⊥,n b ⊥),则 异面直线a 、b 的距离

立体几何中的向量方法—证明平行和垂直

1、依据学习目标。课前认真预习,完成自主学习内容; 2、课上思考,积极讨论,大胆展示,充分发挥小组合作优势,解决疑难问题; 3、当堂完成课堂检测题目; 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘; 2.了解空间向量的基本定理; 3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积 的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;能用向量的数量积判断向量的共线与 垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念;掌握空间向量的运算方法 【教学难点】理解空间向量的概念;掌握空间向量的运算方法 在四棱锥 设直线,则 v

的正方体 I 2. 如图,在棱长为a (1) 试证:A1、G、C三点共线; (2) 试证:A1C⊥平面 3.【改编自高考题】如图所示,四棱柱 的正方形,侧棱A (1)证明:AC⊥A1B; (2)是否在棱A1A上存在一点P,使得C1【学后反思】 本节课我学会了 掌握了那些? 还有哪些疑问? 2017届高二数学导学案编写邓兴明审核邓兴明审批

1、依据学习目标。课前认真预习,完成自主学习内容; 2、课上思考,积极讨论,大胆展示,充分发挥小组合作优势,解决疑难问题; 3、当堂完成课堂检测题目; 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1.掌握各种空间角的定义,弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角,二面角的平面角,直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想,熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角. 【教学重点】灵活地运用各种方法求空间角 【教学难点】灵活地运用各种方法求空间角 —l—β的两个面α,β的法向量,则向量 的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③). 【课堂合作探究】 利用向量法求异面直线所成的角 B1C1,∠ACB=90°,CA=CB=CC1,D 的正方体ABCD—A1B1C1D1中,求异面直线

空间向量与立体几何知识点汇总

立体几何空间向量知识点总结 知识网络: 知识点拨: 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似,向量加、减法的平行四边形法则,三角形法则以及相关的运算律仍然成立.空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广,空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广. 2、当a 、b 为非零向量时.0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一,这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键,通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题. 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础,用这个公式可以求两异面直线所成的角(但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别),再结合平面的法向量,可以求直线与平面所成的角和二面角等. 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念,通过研究方向向量与法向量之间的关系,可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题. 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 (1)线线平行 证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量. (2)线线垂直 证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直,即0a b a b ?=?⊥.

(3)线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有: ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直; ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量; ③利用共面向量定理,即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量.(4)线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有: ①证明直线方向向量与平面法向量平行; ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题. (5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量); ②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直; ②转化为线面垂直、线线垂直问题. 6、运用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? , 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???, 故实质上应有:cos cos,a b θ=<> . (2)求线面角 求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角;另一种方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ,即可求出直线与平面所成的角θ,其关系是sinθ=| cosφ|.(3)求二面角 用向量法求二面角也有两种方法:一种方法是利用平面角的定义,在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角,由此可求出二面角的大小;另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等或互补.7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离. (1)点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度,因此也就是这两点对应向量的模. (2)点与面的距离 点面距离的求解步骤是: ①求出该平面的一个法向量; ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量; ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即得要求的点面距离. 备考建议:

立体几何中的向量方法

立体几何中的向量方法 Prepared on 22 November 2020

教学过程 一、课堂导入 空间平行垂直问题 1.两条直线平行与垂直; 2.直线与平面平行与垂直; 3.两个平面平行与垂直;空间夹角问题 1.两直线所成角; 2.直线和平面所成角; 3.二面角的概念;

空间距离问题 二、复习预习 (1)空间向量的直角坐标运算律:设231(,,)a a a a =,231(,,)b b b b =,则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++,112233(,,)a b a b a b a b -=---, 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈, 112233a b a b a b a b ?=++, 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈, 1122330a b a b a b a b ⊥?++=. (2)若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则212121(,,)AB x x y y z z =---. 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去 起点的坐标. (3)模长公式:若231(,,)a a a a =, 则 21||a a a a =?=+ (4)夹角公式: 2 1cos |||| a b a b a b a ? ?= = ?+ (5)两点间的距离公式:若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则 221221221)()()(z z y y x x -+-+-== . 三、知识讲解 考点1 平面法向量的求法 在空间平面法向量的算法中,普遍采用的算法是设(,,)n x y z =,它和平面内的两个不共线的向量垂直,数量积为0,建立两个关于x ,y ,z 的方程,再对其中一个变量根据需要取特殊值,即可得到法向量.还有几种求平面法向量的办法也比较简便. 求法一:先来看一个引理: 若平面ABC 与空间直角坐标系x 轴、y 轴、z 轴的交点分别为A (a ,0,0)、B (0,b ,0)、C (0,0,c ),定义三点分别在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标值x A = a , y B = b , z C = c

向量法解立体几何

中山二中2011届空间向量解立体几何 一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示 (1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底 叫单位正交基底,用{,,}i j k 表示; (2)在空间选定一点O 和一个单位正交基底 {,,}i j k ,以点O 为原点,分别以,,i j k 的方向为正 方向建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -, 点O 叫原点,向量,,i j k 都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为 xOy 平面,yOz 平面,zOx 平面。 (3)作空间直角坐标系O xyz -时,一般使135xOy ∠=(或45),90yOz ∠=; (4)在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x 轴的正方向,食指指向y 轴的正方向,如果中指指向z 轴的正方向,称这个坐标系为右手直角坐标系规 定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系 (5)空间直角坐标系中的坐标:如图给定空间直角坐 标系和向量 a ,设,,i j k 123(,,)a a a ,使123a a i a j a k =++,有序实数组123(,,)a a a 作向量a 在空间直角坐标系O xyz -123(,,)a a a a =.在空间直角坐标系O xyz -中,对空间任 一点A ,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使 OA xi yj zk =++,有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的 坐标,记作(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标,z 叫竖坐标. 二、空间向量的直角坐标运算律 (1)若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =, 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++, 112233(,,) a b a b a b a b -=---, 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈, 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈, (2)若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则212121(,,)AB x x y y z z =---. 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 (3)//a b b a λ?=11 223 3()b a b a R b a λλλλ=?? ?=∈??=? 三、空间向量直角坐标的数量积 1、设,是空间两个非零向量,我们把数量><,cos |||| 规定:零向量与任一向量的数量积为0。 2、模长公式 2| |a a a x =?=+3、两点间的距离公式:若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z , 则2 ||(AB AB = =, 或,A B d = 4、夹角:cos |||| a b a b a b ??= ?. 注:①0(,a b a b a b ⊥??=是两个非零向量); ②2 2||a a a a =?=。 5、 空间向量数量积的性质: ①||cos ,a e a a e ?=<>.②0a b a b ⊥??=.③2||a a a =?.

专题:运用向量法证明立体几何问题

专题:运用向量法证明立体几何问题 一、知识点: 1、若向量m 与直线l 平行,则向量叫做直线l 的方向向量。 2、若⊥α,则叫做平面α的法向量。 (1)要证m 为平面α的法向量,只须让m 与平面α内的两条相交直线垂直。 (2)若χ轴与平面的法向量,可设为=(1,0,0) (3)若 y 轴为平面的法向量,可设为=(0,1,0) (4)若Z 轴为平面的法向量,可设为m =(0,0,1) 3、证明线面平行与线面垂直 若为平面α的法向量,n 为直线l 的方向向量,则 (1)l ⊥α?m ∥n ?m =λn (2)l ∥α ?m ⊥n ?m ·n =0 4、运用向量求角 (1)若两条异面直线l 1,l 2所成的角为 θ,为l 1 的方向向量, n 为l 2 的方向向量,则 cos (090)m n m n θθ=<≤ , (2)若两个平面12αα,所成的二面角的平面角为 θ,为1α的法向

量,为2α的法向量,则 cos (090)m n m n θθ=<≤ , 当二面角为锐时为θ;当二面角为钝角时为 π-θ。 (3)直线l 与平面α所成的角为θ,n 为直线l 的方向向量,m 为平面α 的法向量,则 sin (090)m n m n θθ=<≤ , 5、点P 到平面α的距离为d,若为平面α的法向量,A 为平面α内任 一点,则PA m d m = 例1.如图在四棱锥P-ABCD 中,底面AB 、CD 是正方形且边长为1,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD=DC ,点E 是PC 的中点,且F 的坐标是(31,31,3 2 )。 (1)求证:PA ∥平面EDB (2)求证:PB ⊥平面EFD 解:如图建立空间直角坐标系D xyz -。 设底面正方形的边长为1,则PD=1 D (0,0,0),P (0,0,1),A (1,0,0), B (1,1,0), C (0,1,0),E (0,21,2 1 ) (1)设(x,y,z)m = 为平面EDB 的法向量 则00m DB m DE ?=??=?? , 而(1,1,0)11(0,,)22 DB DE ?=??=?? ∴011022 x y y z +=?? ?+=?? , 即 x y z y =-??=-? 故m =(1,-1,1)(取Y=-1)

13—立体几何中的向量方法

13—立体几何中的向量方法 【基础巩固】 1.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a ∥b,则λ与μ的值可以是( ) (A)2, (B)-, (C)-3,2 (D)2,2 2.如图所示,PD 垂直于正方形ABCD 所在平面,AB=2,E 为PB 的中点,cos< , >=,若以DA,DC,DP 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则点 E 的坐标为( ) (A)(1,1,1) (B)(1,1,) (C)(1,1,) (D)(1,1,2) 3.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a,点M 在AC 1上且= ,N 为B 1B 的中点,则| |为( ) (A) a (B) a (C) a (D) a 4.如图所示,已知PA ⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则| |等于( ) 5.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为,则λ= . 6.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(x,-1,3)在平面ABC 内,则x= . 【空间三种角】 1.异面直线所成角 设异面直线a ,b 所成的角为θ,则cos θ=|a ·b | |a ||b |, 其中a ,b 分别是直线a ,b 的方向向量. 2.直线与平面所成角 如图所示,设l 为平面α的斜线,l ∩α=A ,a 为l 的方向向量,n 为平面α的法向量,φ为l 与α所成的角,则sin φ=|cos 〈a ,n 〉|=|a·n | |a ||n |. 3.二面角 (1)若AB ,CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线,则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角,如图(1). 平面α与β相交于直线l ,平面α的法向量为n 1,平面β的法向量为n 2,〈n 1,n 2〉=θ,则二面角α -l -β为θ或π-θ.设二面角大小为φ,则|cos φ|=|cos θ|=|n 1·n 2||n 1||n 2 |,如图(2)(3). 考点一 异面直线所成角 [典例引领] (2015·全国卷Ⅰ)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC =120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE =2DF ,AE ⊥EC .(1)证明:

立体几何中的向量方法复习

姓 名 年级 性 别 学 校 学 科 教师 上课日期 上课时间 课题 立体几何中的向量方法复习 一、选择题 1.若直线l 的方向向量为a =(1,-1,2),平面α的法向量为u =(-2,2,-4),则( ) A. l ∥α B. l ⊥α C. l ?α D. l 与α斜交 答案:B 解析:因为直线l 的方向向量为a =(1,-1,2),平面α的法向量为u =(-2,2,-4)共线,则说明了直线与平面垂直,选择B. 2. 如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别在A 1D ,AC 上,且A 1E =23A 1D ,AF =1 3AC ,则( ) A. EF 至多与A 1D ,AC 之一垂直 B. EF ⊥A 1D ,EF ⊥AC C. EF 与BD 1相交 D. EF 与BD 1异面 答案:B 解析:以D 点为坐标原点,以DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A 1(1,0,1),D (0,0,0),A (1,0,0),C (0,1,0),E (13,0,13),F (23,1 3 ,0),B (1,1,0),D 1(0,0,1), A 1D →=(-1,0,-1),AC →=(-1,1,0),EF →=(13,13,-13),BD 1→ =(-1,-1,1), EF →=-13BD 1→,A 1D →·EF →=AC →·E F → =0,从而EF ∥BD 1,EF ⊥A 1D ,EF ⊥AC .故选B. 3. 若a =(2,-2,-2),b =(2,0,4),则a 与b 的夹角的余弦值为( ) A. 48585 B. 6985 C. -15 15 D. 0 答案:C 解析:cos 〈a ,b 〉=a ·b |a |·|b |=2×2-823×25=-1515 . 4.在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,已知AB =1,D 在棱BB 1上,且BD =1,则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角的正弦值为( ) A. 64 B. -64 C. 104 D. -10 4 答案:A

立体几何中的向量方法(一)

3.2立体几何中的向量方法(一) 学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义;会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题. 知识点一直线的方向向量与平面的法向量 思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置? 答案(1)点:在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP → 来表示.我们把向量OP → 称为点P的位置向量. (2)直线:①直线的方向向量:和这条直线平行或共线的非零向量. ②对于直线l上的任一点P,存在实数t,使得AP → =tAB → ,此方程称为直线的向量参数方程.(3)平面:①空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定.对于平面α上的任一点P,a,b是平面α内两个不共线向量,则存在有序实数对(x,y),使得OP → =x a+y b. ②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示. 梳理(1)直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量 能平移到直线上的非零向量,叫做直线的一个方 向向量 平面的法向量 直线l⊥α,取直线l的方向向量n,叫做平面α 的法向量 设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为μ,v,则 线线平行l∥m?a∥b?a=k b (k∈R) 线面平行l∥α?a⊥μ?a·μ=0 面面平行α∥β?μ∥v?μ=k v (k∈R) 线线垂直l⊥m?a⊥b?a·b=0 线面垂直l⊥α?a∥μ?a=kμ(k∈R) 面面垂直α⊥β?μ⊥v?μ·v=0 知识点二 思考(1)设v1=(a1,b1,c1),v2=(a2,b2,c2)分别是直线l1,l2的方向向量.若直线l1∥l2,则向量v1,v2应满足什么关系.

利用空间向量解立体几何(完整版)

向量法解立体几何 基本思路与方法 一、基本工具 1.数量积: cos a b a b θ?= 2.射影公式:向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ,方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量(略) 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直(共面与异面)?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+- 2.点线距离 求点(),P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离:

方法:在直线上取一点(),Q x y , 则向量PQ 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n ?= 0022 Ax By C A B +++ 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离: 方法:在平面α上去一点(),Q x y ,得向量PQ , 计算平面α的法向量n , 计算PQ 在α上的射影,即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角(共面与异面) 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤: ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角,若为锐角角即可,若为钝角,则取其补角; ②再求其余角,即是线面的夹角. 3.面面夹角(二面角) 若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向量的夹角;法向量同进同出,则二面角等于法向量的夹角的补角. 实例分析

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