2012届高考数学第一轮专题复习测试卷第六讲 函数的单调性与最大(小)值

第六讲 函数的单调性与最大(小)值

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )

A ．y ＝2x ＋1

B ．y ＝3x 2＋1

C ．y ＝2x

D ．y ＝|x |

解析：由函数单调性定义知选C.

答案：C

2．定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是( )

A ．y ＝x 2＋1

B ．y ＝|x |＋1

C ．y ＝?

???? 2x ＋1，x ≥0，x 3＋1，x <0 D ．y ＝?????

e x ，x ≥0，e －x ，x <0 解析：利用偶函数的对称性知

f (x )在(－2,0)上为减函数．又y ＝x 2＋1在(－2,0)上为减函数；y ＝|x |＋1

在(－2,0)上为减函数；y ＝????? 2x ＋1，x ≥0，x 3＋1，x <0在(－2,0)上为增函数，y ＝?????

e x ，x ≥0，e －x ，x <0在(－2,0)上为减函数．故选C.

答案：C

3．(2010·北京)给定函数①y ＝x 12；②y ＝log 12

(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

解析：①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中的函数是由函数y ＝log 12

x 向

左平移1个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)上为减函数，故此项符合题意；③中的函数图象是函数y ＝x －1的图象保留x 轴上方的部分，下方的图象翻折到x 轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题意；④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R 上单调递增，不符合题意，综上可知选择B.

答案：B

4．已知函数f (x )＝?????

x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0.若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B ．(－1,2)

C ．(－2,1)

D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

解析：f (x )＝?????

x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4，x ≥0，4x －x 2＝－(x －2)2＋4，x <0，由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2

答案：C

5．(2010·抚顺六校第二次模拟)f (x )＝

????? a x (x >1)???

?4－a 2x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．[4,8)

C ．(4,8)

D ．(1,8)

解析：因为f (x )是R 上的单调递增函数，所以可得????? a >1，4－a 2

>0，a ≥4－a 2

＋2.解得4≤a <8，故选B.

答案：B 6．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，当x >2时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )

A ．恒小于0

B ．恒大于0

C ．可能为0

D ．可正可负

解析：因为(x 1－2)(x 2－2)<0，若x 12时，f (x )单调递增且f (－

x )＝－f (x ＋4)，所以有f (x 2)

答案：A

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．若函数f (x )＝|log a x |(0

解析：由于f (x )＝|log a x |在(0,1]上递减，在(1，＋∞)上递增，所以0

，此即为a 的取值范围．

答案：12

8．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为a ，则a ＝________.

解析：先判断函数的单调性，然后利用单调性可得最值．由于a 是底数，要注意分情况讨论． 若a >1，则f (x )为增函数，所以f (x )max ＝a ＋log a 2，f (x )min ＝1，依题意得a ＋log a 2＋1＝a ，

即log a 2＝－1，解得a ＝12

(舍去)． 若0

，故填12

. 答案：12

9．已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，对于满足0

①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1；

②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)；

③f (x 1)＋f (x 2)2

其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)

解析：由f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1，可得f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1

>1，即两点(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))连线的斜率大于1，显然

①不正确；由x 2f (x 1)>x 1f (x 2)得f (x 1)x 1>f (x 2)x 2

，即表示两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断③的结论是正确的．

答案：②③

10．已知函数f (x )＝3－ax a －1

(a ≠1)． (1)若a >0，则f (x )的定义域是________；

(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．

解析：(1)当a >0且a ≠1时，由3－ax ≥0得x ≤3a

，即此时函数f (x )的定义域是????－∞，3a ； (2)当a －1>0，即a >1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需3－a ×1≥0，此时1

当a －1<0，即a <1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需－a >0，此时a <0.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．

答案：(1)?

???－∞，3a (2)(－∞，0)∪(1,3] 三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．函数f (x )＝ax ＋1x ＋2

在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a 的取值范围． 解：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2a x ＋2

＋a . 任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1

则f (x 1)－f (x 2)＝

1－2a x 1＋2－1－2a x 2＋2 ＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2)

. ∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2

在区间(－2，＋∞)上为增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)<0.

∵x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，

∴1－2a <0，a >12

. 即实数a 的取值范围是???

?12，＋∞. 评析：对于函数单调性的理解，应从文字语言、图形语言和符号语言三个方面进行辨析，做好定性刻画、图形刻画和定量刻画．逆用函数单调性的定义，根据x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)是同号还是异号构造不等式，

通过分离参数来求其取值范围．

12．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23

. (1)求证：f (x )在R 上是减函数；

(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．

解：(1)解法一：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，

∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0.

再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )．

在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，

f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)

＝f (x 1－x 2)．

又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，

∴f (x 1－x 2)<0，

即f (x 1)

因此f (x )在R 上是减函数．

解法二：设x 1>x 2，

则f (x 1)－f (x 2)

＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)

＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)

＝f (x 1－x 2)．

又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，

∴f (x 1－x 2)<0，

即f (x 1)

∴f (x )在R 上为减函数．

(2)∵f (x )在R 上是减函数，

∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，

∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．

而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2.

∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.

13．已知定义域为[0,1]的函数f (x )同时满足：①对于任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)．

(1)求f (0)的值；

(2)求f (x )的最大值；

(3)若对于任意x ∈[0,1)，总有4f 2(x )－4(2－a )f (x )＋5－4a ≥0，求实数a 的取值范围．

解：(1)对于条件③，令x 1＝x 2＝0得f (0)≤0，

又由条件①知f (0)≥0，故f (0)＝0.

(2)设0≤x 1

∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)≥f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)≥0.

即f (x 2)≥f (x 1)，故f (x )在[0,1]上递增，从而f (x )的最大值是f (1)＝1.

(3)因f (x )在[0,1]上是增函数，则f (x )∈[0,1]，又4f 2

(x )－4(2－a )f (x )＋5－4a ≥0?a ≤4f 2(x )－8f (x )＋54－4f (x )对x ∈[0,1)恒成立，

设y ＝4f 2(x )－8f (x )＋54－4f (x )

＝1－f (x )＋14[1－f (x )]

≥1， 则a ≤1.