2019届普通高等学校招生全国统一考试数学试题(上海卷,含答案)

2019年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)

数 学

一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.(4分)已知集合{1A =,2,3,4,5},{3B =,5,6},则A

B = .

2.(4分)计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ .

3.(4分)不等式|1|5x +<的解集为 . 4.(4分)函数2()(0)f x x x =>的反函数为 .

5.(4分)设i 为虚数单位,365z i i -=+,则||z 的值为 6.(4分)已知2

2214x y x a y a +=-??+=?

,当方程有无穷多解时,a 的值为 . 7.(5分)在6(x

+

的展开式中,常数项等于 .

8.(5分)在ABC ?中,3AC =,3sin 2sin A B =,且1

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cos 4

C =

,则AB = . 9.(5分)首届中国国际进口博览会在上海举行,某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动,其中甲连续参加2天,其他人各参加1天,则不同的安排方法有 种(结果用数值表示)

10.(5分)如图,已知正方形OABC ,其中(1)OA a a =>,函数23y x =交BC 于点P ,函数

1

2

y x -=交AB 于点Q ,当||||AQ CP +最小时,则a 的值为 .

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11.(5分)在椭圆22

142x y +=上任意一点P ,Q 与P 关于x 轴对称,

若有121F P F P …,则1F P 与2F Q 的夹角范围为 .

12.(5分)已知集合[A t =,1][4t t ++,9]t +,0A ?,存在正数λ,使得对任意a A ∈,

都有

A a

λ

∈,则t 的值是 .

二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分) 13.(5分)下列函数中,值域为[0,)+∞的是( ) A .2x

y =

B .1

2

y x =

C .tan y x =

D .cos y x =

14.(5分)已知a 、b R ∈,则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件

D .既非充分又非必要条件

15.(5分)已知平面α、β、γ两两垂直,直线a 、b 、c 满足:a α?,b β?,c γ?,则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( ) A .两两垂直

B .两两平行

C .两两相交

D .两两异面

16.(5分)以1(a ,0),2(a ,0)为圆心的两圆均过(1,0),与y 轴正半轴分别交于1(y ,0),2(y ,0),且满足120lny lny +=,则点12

11

(

,)a a 的轨迹是( ) A .直线 B .圆 C .椭圆 D .双曲线

三、解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)

17.(14分)如图,在正三棱锥P ABC -

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中,2,PA PB PC AB BC AC ======. (1)若PB 的中点为M ,BC 的中点为N ,求AC 与MN 的夹角; (2)求P ABC -的体积.

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18.(14分)已知数列{}n a ,13a =,前n 项和为n S . (1)若{}n a 为等差数列,且415a =,求n S ;

(2)若{}n a 为等比数列,且lim 12n n S →∞

<,求公比q 的取值范围.

19.(14分)改革开放40年,我国卫生事业取得巨大成就,卫生总费用增长了数十倍.卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出,如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用(单位:亿元)和在卫生总费用中的占

比.

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(数据来源于国家统计年鉴)

(1)指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势:

(2)设1t =表示1978年,第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053

()1t

f t e -=

+研

究函数()f t 的单调性,并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份.

20.(16分)已知抛物线方程24y x =,F 为焦点,P 为抛物线准线上一点,Q 为线段PF 与抛物线的交点,定义:||

()||

PF d P FQ =

. (1)当8

(1,)3

P --时,求()d P ;

(2)证明:存在常数a ,使得2()||d P PF a =+;

(3)1P ,2P ,3P 为抛物线准线上三点,且1223||||PP P P =,判断13()()d P d P +与22()d P 的关系.

21.(18分)已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈,]π,数列{}n b 满足sin()n n b a =,集合

{}*|,n S x x b n N ==∈.

(1)若120,3

a d π

==,求集合S ; (2)若12

a π

=

,求d 使得集合S 恰好有两个元素;

(3)若集合S 恰好有三个元素:n T n b b +=,T 是不超过7的正整数,求T 的所有可能的值.

2019年上海市春季高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.(4分)已知集合{1A =,2,3,4,5},{3B =,5,6},则A B = {3,5} .

【解答】解:集合{1A =,2,3,4,5}, {3B =,5,6}, {3A

B ∴=,5}.

故答案为:{3,5}.

2.(4分)计算22231lim 41

n n n n n →∞-+=-+ 2 .

【解答】解:2

2

2

2

312231lim lim 241

411n n n n n n n n n n

→∞→∞-

+-+==-+-+. 故答案为:2.

3.(4分)不等式|1|5x +<的解集为 (6,4)- . 【解答】解:由|1|5x +<得515x -<+<,即64x -<< 故答案为:{6-,4).

4.(4分)函数2()(0)f x x x =>的反函数为

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1()0)f x x -=> . 【解答】解:由2(0)y x x =>

解得x =,

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1()0)f x x -∴=>

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故答案为1f -

()0)x x =>

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5.(4分)设i 为虚数单位,365z i i -=+,则||z 的值为

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【解答】解:由365z i i -=+,得366z i =+,即22z i =+,

||||z z ∴==

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故答案为:

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6.(4分)已知2

2214x y x a y a +=-??+=?

,当方程有无穷多解时,a 的值为 2- .

【解答】解:由题意,可知: 方程有无穷多解,

∴可对①2?,得:442x y +=-.

再与②式比较,可得:2a =-. 故答案为:2-. 7.(5分)在6(x

+

的展开式中,常数项等于 15 .

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【解答】解:6

(x

+

展开式的通项为36

2

16

r r r T C x

-+=令

39

02

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r -=得2r =, 故展开式的常数项为第3项:2615C =. 故答案为:15.

8.(5分)在ABC ?中,3AC =,3sin 2sin A B =,且1

cos 4

C =,则AB

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【解答】解:3sin 2sin A B =,

∴由正弦定理可得:32BC AC =, ∴由3AC =,可得:2BC =,

1cos 4

C =

, ∴由余弦定理可得:222

1324232

AB +--=??,

∴解得:AB =

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9.(5分)首届中国国际进口博览会在上海举行,某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动,其中甲连续参加2天,其他人各参加1天,则不同的安排方法有 24 种(结果用数值表示)

【解答】解:在五天里,连续的2天,一共有4种,剩下的3人排列,故有3

3

424A =种, 故答案为:24.

10.(5分)如图,已知正方形OABC ,其中(1)OA a a =>,函数23y x =交BC 于点P ,函数

1

2

y x -=交AB 于点Q ,当||||AQ CP +最小时,则a

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【解答】解:由题意得:P

点坐标为,)a ,Q

点坐标为(a ,

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||||AQ CP +=,

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当且仅当a =

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11.(5分)在椭圆22

142

x y +=上任意一点P ,Q 与P 关于x 轴对称,

若有121F P F P …,则1F P 与2F Q 的夹角范围为 1

[arccos 3π-,]π .

【解答】解:设(,)P x y ,则Q 点(,)x y -,

椭圆22

142x y +=

的焦点坐标为(,0)

,0),

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121F P F P …,

2221x y ∴-+…,

结合22

142x y +=

可得:2[1y ∈,2]

故1F P 与2F Q 的夹角θ满足:

22

2122212238cos 3[122(F P F Q

y y y F P F Q x θ-====-+∈-++,1]3-

故1

[arccos 3θπ∈-,]π

故答案为:1

[arccos 3

π-,]π

12.(5分)已知集合[A t =,1][4t t ++,9]t +,0A ?,存在正数λ,使得对任意a A ∈,

都有

A a

λ

∈,则t 的值是 1或3- .

【解答】解:当0t >时,当[a t ∈,1]t +时,则[4t a

λ

∈+,9]t +,

当[4a t ∈+,9]t +时,则

[t a

λ

∈,1]t +,

即当a t =时,9t a

λ

+…;当9a t =+时,t a λ…,即(9)t t λ=+;

当1a t =+时,4t a λ+…,当4a t =+时,1t a

λ

+…,即(1)(4)t t λ=++,

(9)(1)(4)t t t t ∴+=++,解得1t =.

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当104t t +<<+时,当[a t ∈,1]t +时,则[t a

λ

∈,1]t +.

当[4a t ∈+,9]t +,则

[4t a

λ

∈+,9]t +,

即当a t =时,1t a

λ

+…,当1a t =+时,t a λ…,即(1)t t λ=+,

即当4a t =+时,9t a λ+…,当9a t =+时,4t a λ

+…,即(4)(9)t t λ=++,

(1)(4)(9)t t t t ∴+=++,解得3t =-.

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当90t +<时,同理可得无解. 综上,t 的值为1或3-. 故答案为:1或3-.

二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分) 13.(5分)下列函数中,值域为[0,)+∞的是( ) A .2x

y =

B .1

2

y x =

C .tan y x =

D .cos y x =

【解答】解:A ,2x y =的值域为(0,)+∞,故A 错

B ,y =的定义域为[0,)+∞,值域也是[0,)+∞,故B 正确.

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C ,tan y x =的值域为(,)-∞+∞,故C 错

D ,cos y x =的值域为[1-,1]+,故D 错. 故选:B .

14.(5分)已知a 、b R ∈,则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件

D .既非充分又非必要条件

【解答】解:22a b >等价,22||||a b >,得“||||a b >”,

∴ “22a b >”是“||||a b >”的充要条件,

故选:C .

15.(5分)已知平面α、β、γ两两垂直,直线a 、b 、c 满足:a α?,b β?,c γ?,则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( ) A .两两垂直

B .两两平行

C .两两相交

D .两两异面

【解答】解:如图1,可得a 、b 、c 可能两两垂直; 如图2,可得a 、b 、c 可能两两相交; 如图3,可得a 、b 、c 可能两两异面;

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故选:B .

16.(5分)以1(a ,0),2(a ,0)为圆心的两圆均过(1,0),与y 轴正半轴分别交于1(y ,0),2(y ,0),且满足120lny lny +=,则点12

11

(

,)a a 的轨迹是( ) A .直线 B .圆 C .椭圆 D .双曲线

【解答】

解:因为11|1|r a =-=21112y a =-,

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同理可得2

2

212y a =-, 又因为120lny lny +=, 所以121y y =, 则12(12)(12)1a a --=, 即12122a a a a =+, 则

12

11

2a a +=,

设1211x a y a ?=????=??

,则2x y +=为直线,

故选:A .

三、解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)

17.(14分)如图,在正三棱锥P ABC -

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中,2,PA PB PC AB BC AC ======. (1)若PB 的中点为M ,BC 的中点为N ,求AC 与MN 的夹角; (2)求P ABC -的体积.

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【解答】解:(1)M ,N 分别为PB ,BC 的中点,//MN PC ∴, 则PCA ∠为AC 与MN 所成角,

在PAC ?中,由2PA PC ==

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,AC =,

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可得222cos 2PC AC PA PCA PC AC +-∠==,

AC ∴与MN

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的夹角为; (2)过P 作底面垂线,垂直为O ,则O 为底面三角形的中心, 连接AO 并延长,交BC 于N ,则32AN =

,2

13

AO AN ==.

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PO ∴=

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∴11

333224

P ABC V -=?=

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18.(14分)已知数列{}n a ,13a =,前n 项和为n S . (1)若{}n a 为等差数列,且415a =,求n S ;

(2)若{}n a 为等比数列,且lim 12n n S →∞

<,求公比q 的取值范围.

【解答】解:(1)4133315a a d d =+=+=,4d ∴=, 2(1)

3422n n n S n n n -∴=+

?=+; (2)3(1)

1n n q S q -=-,lim n n S →∞存在,11q ∴-<<,

∴lim n n S →∞存在,11q ∴-<<且0q ≠,∴3(1)3

lim lim 11n n n n q S q q

→∞→∞-==

--, ∴

3121q <-,34q ∴<,10q ∴-<<或3

04

q <<, ∴公比q 的取值范围为(1-,0)(0?,3

)4

19.(14分)改革开放40年,我国卫生事业取得巨大成就,卫生总费用增长了数十倍.卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出,如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用(单位:亿元)和在卫生总费用中的占比.

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(数据来源于国家统计年鉴)

(1)指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势:

(2)设1t =表示1978年,第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053

()1t

f t e

-=

+研究函数()f t 的单调性,并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份.

【解答】解:(1)由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少,社会支出占比逐渐增多. (2) 6.44200.1136t y e -=是减函数,且 6.44200.11360t y e -=>, 6.44200.1136357876.6053

()1t

f t e

-∴=

+在N 上单调递增, 令

6.44200.1136357876.6053

1200001t

e ->+,解得50.68t >,

∴当51t …时,我国卫生总费用超过12万亿,

∴预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿.

20.(16分)已知抛物线方程24y x =,F 为焦点,P 为抛物线准线上一点,Q 为线段PF 与抛物线的交点,定义:||

()||

PF d P FQ =

. (1)当8

(1,)3

P --时,求()d P ;

(2)证明:存在常数a ,使得2()||d P PF a =+;

(3)1P ,2P ,3P 为抛物线准线上三点,且1223||||PP P P =,判断13()()d P d P +与22()d P 的关系.

【解答】解:(1)抛物线方程24y x =的焦点(1,0)F ,8(1,)3P --,

8

4323PF

k ==,PF 的方程为4(1)3y x =-,代入抛物线的方程,解得14

Q x =, 抛物线的准线方程为1x =-

,可得10

||3

PF ==

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, 15

||144

QF =

+=,||8()||3PF d P QF ==; (2)证明:当(1,0)P -时,2()||2222a d P PF =-=?-=, 设(1,)P P y -,0P y >,:1PF x my =+,则2P my =-,

联立1x my =+和2

4y x =,可得2

440y my --=

,2Q y m =

=+

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2()||22(22P P Q y d P PF y m m -==+

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2122m +-=-=,

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则存在常数a ,使得2()||d P PF a =+; (3)设11(1,)P y -,22(1,)P y -,33(1,)P y -,则

1321322[()()]4()||||2||d P d p d P PF P F P F +-=+-=

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2019届普通高等学校招生全国统一考试数学试题(上海卷,含答案)

=,

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由221313[()16]28y y y y -++=-,

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22222

21313131313(4)(4(4)4()84()0y y y y y y y y y y ++-+=+-=->,

则132()()2()d P d P d P +>.

21.(18分)已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈,]π,数列{}n b 满足sin()n n b a =,集合

{}*|,n S x x b n N ==∈.

(1)若120,3

a d π

==,求集合S ; (2)若12

a π

=

,求d 使得集合S 恰好有两个元素;

(3)若集合S 恰好有三个元素:n T n b b +=,T 是不超过7的正整数,求T 的所有可能的值. 【解答】解:(1)

等差数列{}n a 的公差(0d ∈,]π,数列{}n b 满足sin()n n b a =,集合

{}*|,n S x x b n N ==∈.

∴当120,3

a d π

==

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2019届普通高等学校招生全国统一考试数学试题(上海卷,含答案)

集合{S =,0. (2)12

a π

=,数列{}n b 满足sin()n n b a =,集合{}

*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素,如

图:

根据三角函数线,①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时,集合S 恰好有两个元素,此时d π=,

②1a 终边落在OA 上,要使得集合S 恰好有两个元素,可以使2a ,3a 的终边关于y 轴对称,

如图OB ,OC ,此时23

d π=

, 综上,2

3

d π=或者d π=.

(3)①当3T =时,3n n b b +=,集合1{S b =,2b ,3}b ,符合题意.

②当4T =时,4n n b b +=,sin(4)sin n n a d a +=,42n n a d a k π+=+,或者42n n a d k a π+=-,

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等差数列{}n a 的公差(0d ∈,]π,故42n n a d a k π+=+,2

k d π

=,又1k ∴=,2 当1k =时满足条件,此时{S =-,1,1}-.

③当5T =时,5n n b b +=,sin(5)sin n n a d a +=,52n n a d a k π+=+,或者52n n a d k a π+=-,因为(0d ∈,]π,故1k =,2. 当1k =时,{sin

10

S π

=,1,sin

}10

π

-满足题意. ④当6T =时,6n n b b +=,sin(6)sin n n a d a +=,

所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-,(0d ∈,]π,故1k =,2,3.

2019届普通高等学校招生全国统一考试数学试题(上海卷,含答案)

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当1k =时,S =,满足题意. ⑤当7T =时,7n n b b +=,sin(7)sin sin n n n a d a a +==,所以72n n a d a k π+=+,或者72n n a d k a π+=-,(0d ∈,]π,故1k =,2,3

当1k =时,因为17~b b 对应着3个正弦值,故必有一个正弦值对应着3个点,必然有2m n a a π-=,227

d m n ππ

=

=

-,7m n -=,7m >,不符合条件. 当2k =时,因为17~b b 对应着3个正弦值,故必有一个正弦值对应着3个点,必然有2m n a a π-=,247

d m n ππ

=

=

-,m n -不是整数,不符合条件. 当3k =时,因为17~b b 对应着3个正弦值,故必有一个正弦值对应着3个点,必然有

2m n a a π-=或者4π,267d m n ππ=

=-,或者467

d m n ππ

==

-,此时,m n -均不是整数,不符合题意.

综上,3T =,4,5,6.

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