数学归纳法练习题
一、选择题
1. 用数学归纳法证明12
1
*11(,1)1n n a a a a
n N a a
++-+++
+=∈≠-,在验证1n =成立时,左边所得的项为( )
A. 1
B. 1+a
C. 2
1a a ++ D. 2
3
1a a a +++ 2. 用数学归纳法证明1111111
11234
21212
2n n n n n
-
+-++
-=+++
-++ *()n N ∈,则从k 到k+1时,左边所要添加的项是( )
A.
121k + B. 112224k k -++ C. 121k -+ D. 11
2122
k k -++
3. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时,n n x y +能被x y +整除”第二步的归纳假设应写
成( )
A. 假设*21()n k k N =+∈正确,再推23n k =+正确;
B. 假设*
21()n k k N =-∈正确,再推21n k =+正确; C. 假设*
()n k k N =∈正确,再推1n k =+正确;
D. 假设(1)n k k =≥正确,再推2n k =+正确.
二、填空题
4. 数列{}n a 中,111
,21
n n n a a a a +=
=+,则数列的前5项为 , 猜想它的通项公式是
5. 猜想1=1, 1-4=-(1+2), 1-4+9=1+2+3, ……的第n 个式子为
6. 用数学归纳法证明“当*
2
3
51,12222n n N -∈++++
+时是31的倍数”时,1n =时
的原式是 ,从k 到1k +时需添加的项是
三、解答题
7. 求证:对于整数0n ≥时,221
1112n n +++能被133整除.
8. 若*
n N ∈,求证:2
3
sin cos
cos
cos
cos
2
2222sin
2n
n n
α
α
α
α
αα
=
.
9. 若*
n N ∈,且2n ≥,求证:
1111312
224
n n n +++
>++. 10. 数列{}n a 满足,2n n S n a =-*
n N ∈,先计算前4项后,猜想n a 的表达式,并用数学归纳
法证明.
11. 是否存在自然数m ,使得 ()(27)39n f n n =+?+ 对于任意*
n N ∈都能被m 整除,
若存在,求出m ;若不存在,请说明理由. 12. 正数数列{}n a 中,11
()2n n n
S a a =
+.⑴ 求123a a a 、、;⑵ 猜想n a 的表达式并证明. 13. 设*
n N ∈,试比较 3(1)!n n +和 的大小.
【答案】
一、选择题
1. C
2. D
3. B 二、填空题
4. 11111,,,,23456. 11
n a n =+(*n N ∈)
5. 12114916(1)(1)(1234)n n n n ++-+-+
+-=-++++
+
6. 2
3
4
12222++++, 55152535422222k
k k k k ++++++++.
三、解答题(略解)
7. ① 0n =时,原式=2
1112133+=能被133整除;
② 设n k =时,221
1112k k +++ 能被133整除
1n k =+时,原式=3232212123111211(1112)111212k k k k k k +++++++=+-?+ =2212111(1112)12133k k k +++++?能被133整除. 8. ① 1n =时,左=cos
2
α
, 右=
sin cos
2
2sin
2
αα
α
=,左=右
② 设n k =时, 2
3
sin cos
cos
cos
cos
2
2
2
2
2sin
2k
k k
α
α
α
α
αα
=
1n k =+时, 2
3
1
1
sin (cos
cos
cos
cos
)cos cos
2
222
222sin
2k
k k k
k
α
α
α
α
α
αα
α
++?=
?
=
1
111
1
1
sin sin cos
22sin
cos
2sin
2
2
2k k k k k k αα
αα
α
α
++++++?=
9. ① 2n =时,左=
11713
341224+=> ② 设n k =时, 1111312224
k k k +++>++ 1n k =+时, 左=1111
222122k k k k +++++++ =111111()12212122k k k k k k +++-+++++++ ∵111110*********k k k k k -++=->+++++,∴左>1324
.
10. 计算得: 123437151,,,248a a a a ====.猜想 121
2
n n n a --=
① 1n =时,计算得11a =,结论成立;
② 设n k =时, 121
2
k k k a --=, 则
1n k =+时, 11
111121
[2(1)](2)2
k k k k k k k k a S S k a k a a +++++--=-=+---=-
∴11
212
k k k
a ++-=. 11. (1)36,(2)108,(3)360f f f ===.猜想m 的值应为其最大公约数36. ① 1n =显然正确.
② 设n k =正确即 ()(27)39k f k k =+?+ 能被36整除. 则1n k =+时 ,
11(1)[2(1)7]393[(27)39]27239k k k f k k k +++=++?+=+?+-+?+
13[(27)39]18(31)k k k -=+?++-能被36整除.
12. ⑴ 11a =, 221a =-, 332a =- ⑵ 猜想: 1n a n n =
--
① 1n =显然正确. ② 设n k =正确即 1n a k k =
-- 则 1n k =+ 时
1111111
[()(1)]21
k k k k k a S S a k k a k k ++++=-=+---+--
2
11210k k a ka ++?+-=,解得(取正值) 11k a k k +=+-.
13. 3=31>(1+1)!=2, 9=32>(2+1)!=6, 27=33>(3+1)!=24, 81=34<(4+1)!=120, ……
猜想: 1,2,3n = 时,3(1)!n n >+; 当 4n ≥ 时, 3(1)!n
n <+
① 4n = 时,
显然成立;
② 设n k =时,结论成立, 即 3(1)!k
k <+ 则 1n k =+ 时
1333(1)!3(1)!(2)(2)!k k k k k k +=?<+?<+?+=+ (∵4,32k k ≥∴<+ )
即 1
3
(11)!k k +<++