直线与圆锥曲线问题的处理方法

解析几何专题二:直线与圆锥曲线问题

方法策略

1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法

2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍 典型题例示范讲解

例1已知双曲线C 2x 2－y 2=2与点P (1，2)

(1)求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点

(2)若Q (1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在 解 (1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =1,与曲线C

有一个交点 当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k (x －

1),代入C 的方程，并整理得

(2－k 2)x 2+2(k 2－2k )x －k 2+4k －6=0 (*)

(ⅰ)当2－k 2=0,即k =±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点

(ⅱ)当2－k 2≠0,即k ≠±2时

Δ=［2(k 2－2k )］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k ) ①当Δ=0,即3－2k =0,k =2

3

时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点 ②当Δ＞0,即k ＜

23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜2

3时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点

③当Δ＜0，即k ＞

2

3

时，方程(*)无解，l 与C 无交点 综上知 当k =±2,或k =2

3

，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点；

当2＜k ＜23

,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点；

当k ＞2

3

时，l 与C 没有交点

(2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2x 12－y 12=2,2x 22－

y 22=2两式相减得 2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2)

又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1

即k AB =

2

12

1x x y y --=2

但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在

例2如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为

4

π

的直

线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积

解法一 由题意，可设l 的方程为y =x +m ,其中－5＜m ＜0 由方程组???=+=x

y m

x y 42,消去y ,得x 2+(2m －4)x +m 2=0 ①

∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，

∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0) 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2, ∴|MN |=4)1(2m -

点A 到直线l 的距离为d

∴S △=2(5+m )m -1,从而S △2=4(1－m )(5+m )2 =2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(

3

5522m m m ++++-)3

=128

∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号

故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为

解法二 由题意，可设l 与x 轴相交于B （m,0）, l 的方程为x = y +m ,其中0＜m ＜5

由方程组2

4x y m

y x

=+??

=?,消去x ,得y 2－4 y －4m =0 ①

∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，

∴方程①的判别式Δ=(－4)2+16m =16(1+m )＞0必成立, 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则y 1+ y 2=4，y 1·y 2=－4m , ∴S △

=1211(5)||(522m y y m --=- ＝451()

2

2

m

-

≤=∴S △≤82,当且仅当5

1

()(1)22

m m -

=+即m =1时取等号 故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为

例3：已知椭圆C 中心在坐标原点，与双曲线x 2-3y 2＝1有相同的焦点，直线y ＝x+1与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ ，求椭圆C 的方程．

解法1：双曲线x 2-3y 2＝1的焦点为

设椭圆C 的方程为

。

由椭圆C 与双曲线x 2-3y 2＝l 同焦点，知

，即

。

由题意，点P 、Q 的坐标满足方程组

将(2)代入(1)，整理，得2(3b 2+2)x 2+2(3b 2+4)x+(3b 2+4)(1-b 2)=0 (3)

设方程(3)的两根为x 1，x 2，则直线y ＝x+1与椭圆C 的交点为P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)． 由OP ⊥OQ ，得, 即,

也即 x 1+x 2+2x 1x 2+1=0. 由韦达定理及方程(3)，得,

即

3b 4+b 2-2=0, ∴

.

故所求椭圆方程为.

上述方法中利用了条件，由此可以看出，若能够构造相应的一元二次方程，使其两根

为

与

就可以了，这就要利用椭圆C 与直线y ＝x+1得到相应的关于

的一元二次方程．

解法2：易知椭圆C 的方程为 ，

即3b 2x 2+(3b 2+4)y 2=b 2(3b 2+4)

将其与直线方程y ＝x+l 联立，得

(2)2×b 2(3b 2+4)-(1)，得

(3b 4+b 2)x 2-2b 2(3b 2+4)xy+(3b 2+4)(b 2-1)y 2=0.两边同除以x 2，得

(3)

设P(x l ，y 1)，Q(x 2，y 2)，则是方程(3)的两根．

又OP ⊥OQ, ∴

,

由(3)和韦达定理，得 ,

即3b 4+b 2-2=0,

∴

,

所求椭圆C 的方程为 (3)

练习1已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=

2

10

，求椭圆方程 解 设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)， P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)

由???=++=1

12

2ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0,

Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0,

由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0, ∴

n

m n

n m n --

+-2)1(2+1=0, ∴m +n =2

①

又2

)2

10()(4=+-+n m mn n m 2

,

将m +n =2,代入得

m ·n =

4

3 ②

由①、②式得m =

21,n =23或m =23,n =21 故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+2

1y 2

=1

练习2已知直线l 过定点A(4,0)且与抛物线2:2(0)C y px p = >交于P 、Q 两点，若以PQ 为直径的圆恒过原点O ，求p 的值

解 可设直线l 的方程为4x my =+代入2

2y px =

得 2

280y pmy p --=

设1122(,),(,)P x y Q x y ，

则222

121212122

()8,224y y y y y y p x x p p p

=-=== 由题意知，OP ⊥OQ ，则0OP OQ =

即 12121680x x y y p +=-= ∴2p =

此时，抛物线的方程为2

4y x =

练习3：如图，抛物线方程为y 2

＝p(x+1)(p ＞0)，直线x+y ＝m 与x 轴的交点在抛物线的准线的右边．

(1)求证：直线与抛物线总有两个交点；

(2)设直线与抛物线的交点为Q 、R ，OQ ⊥OR ，求p 关于m 的函数f(m)的表达式， (3)在(2)的条件下，若抛物线焦点F 到直线x+y ＝m 的距离为，求此直线的方程．

分析：(1)由抛物线方程知准线方程为.

直线x+y ＝m 与x 轴的交点为(m ，0)． 由交点在准线右边，知，即 4m+p+4＞0．

为考察直线x+y ＝m 与抛物线的交点，可将x+y ＝m 代入抛物线方程，得

x 2

-(2m+p)x+m 2

-p=0,

∵ Δ=(2m+p)2

-4(m 2

-p)=p(4m+p+4)>0, ∴ 直线与抛物线总有两个交点． (2)设R(x l ，y 1)，Q(x 2，y 2)．

由OR ⊥OQ ，得x 1x 2+y 1y 2=0, 即 x 1x 2+(m-x 1)(m-x 2)=0. 2x 1x 2-(x 1+x 2)m+m 2

=0, 又∵ x 1+x 2=2m+p, x 1x 2=m 2

-p ∴ 2(m 2

-p)-m(2m+p)+m 2

=0.

∴ .

由p ＞0，得m ＞-2．

又当m ＝0时，直线为x+y ＝0，经过原点，与OR ⊥OQ 矛盾． 所以(m>-2, 且m≠0)。

(3)由点到直线距离公式即可得所求直线方程为3x+3y+4＝0．

例题4： 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点A （1，0）、B （0，2），点C 满足=

α +β，其中α ，R ∈β，且.122=+βα

（Ⅰ）求点C 的轨迹方程；

（Ⅱ）过点D （2，0）的直线l 和点C 的轨迹交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之

间，且λ=的取值范围求λ,。

策略一：（Ⅰ）设点),(y x C ，由OB OA OC βα+= 即 )2,0()0,1(),(βα+=y x

∴???==βα2y x 即??

???==2y x βα 代入12

2=+βα得点C 的轨迹方程为1422=+y x 。 （Ⅱ）由已知，直线l 的斜率存在，因此，设直线l 的方程为)2(-=x k y 。

由??

?

??=+-=14)

2(22y x x k y 消去y 并整理得：0444)4(2222=-+-+k x k x k 。

由判别式△＞0可得)44)(4(416224-+-k k k ＞0。 ∴2

0k ≤＜

3

4

设),(),,(2211y x N y x M ，则4

422

21+=+k k x x ，4442221+-=k k x x （韦达定理） ①

由条件λ=，得???=-=-.

2121),

2(2y y x x λλ （几何条件坐标化），

现紧紧抓住条件②为入手点求解。由已知0＜λ＜1且1≠λ 由①知，4

16

)2()2(2

21+-=-+-k x x ，④ （整体化思想，减少运算量）

4

12

4)(2)2)(2(2212121+=++-=--k x x x x x x 。⑤

将)2(221-=-x x λ整体代入④⑤得 （416)2)(122+-=-+k x λ ⑥ 4

12)2(2

2

2+=-k x λ ⑦ ⑦/⑥2

得：

64123)

1(22

+=+k λλ

。（消元法）

又∵2

0k ≤＜34，∴64

1231632+≤

k ＜41， ∴2)1(163+≤λλ＜41，即???????

<

+≥+4

1)

1(163

)1(2

2λλλλ ????>+-≤+-0120310322λλλλ ② ③

??????

≠≤≤1

33

1

λλ 又∵0＜λ＜1，∴λ≤3

1

＜1。 点评：本策略视和)2(1-x )2(2-x 为一个整体然后消元尤其重要。注意整体思想的培养。 策略二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）当直线l 与x 轴重合时，易得3

1

=λ ，当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为

)0(2≠+=m my x ，由

??

???=++=14222y x m y x 消去

x 并整理得：

01216)14(22=+++my y m ，

由判别式△＞0，可得m 2＞4

3

， 设),(),,(2211y x N y x M 则1416221+-=

+m m y y ，1

412

2

21+=m y y （韦达定理） ① 由条件λ=，得???=-=-.2121),2(2y y x x λλ （几何条件坐标化）

现紧紧抓住条件③为切入点求解。由已知0＜λ＜1且1≠λ ，将21y y λ=代入①得： （1416)122+-

=+m m y λ ④ 1

4122

2

2+=m y λ ⑤ ④2

/⑤得：.3

126421

2

2

+=++m m λλ 由<>4 :432

得m ,3

16

312642

2<+m m ∴4.31012,31621<+<∴<++<λλλλ即??

???

<+>+310121λλλλ ∴???<+->+-0310301222λλλλ

??????<<≠33

1

1

λλ 又<01<λ，所以.131<<λ 综上所述， 13

1

<≤λ

②

③

点评：设直线l 的方程为)0(2≠+=m my x 代入消元简化了运算，注意应用。 策略三： （Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）由已知得10<<λ设M(x 1，y 1)，N （x 2，y 2），

则由???=-=--=-=21

212211)2(2),,2(),2(,y y x x y x y x λλλλ故可得

即?

?

?=+-=21212

2y y x x λλλ 现紧紧抓住N M ,两点在椭圆上即“坐标化思想”巧

用椭圆的性质（范围）求解。

∵M 、N 在椭圆上

1)1()22(,1414)()22(2222222

2222222=-++-???

????=+=++-∴x x y y x y x λλλλλλ得消去（∵消去2y 运算更简单）

即2

2

22

2

21)22(λλλλ-=-+-x x （整理的这一步很关键，不能盲目展开，注意深思）

利用

)1(43

52≠-=

λλ

λx 1,33

1

,1|435|

,1||2≠≤≤≤-∴≤λλλλ且解得x . 又10<<λ 综合可得λ的取值范围是[3

1

，1）

例5如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件 |F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列

(1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标；

(3)设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx +m ，求m 的取值范围

解 (1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3

故椭圆方程为9

252

2y x +=1 (2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B 59 因为椭圆右准线方程为x =4

25,离心率为54，根据椭圆定义，有|F 2A |=54(425－x 1),|F 2C |=54(425－x 2)， 由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得

54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×5

9,由此得出 x 1+x 2=8 设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=2

2

1x x +=4

(3)解法一 由A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)在椭圆上

得221122

22

925925 925925 x y x y ?+=? ??+=???①②

①－②得9(x 12－x 22)+25(y 12－y 22)=0, 即9×)()2(25)2(

2

12

12121x x y y y y x x --?+++=0(x 1≠x 2) 将

k

x x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ (k ≠0) 代入上式，得9×4+25y 0(－k

1

)=0 (k ≠0) 即k =

36

25

y 0(当k =0时也成立) 由点P (4，y 0)在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m , 所以m =y 0－4k =y 0－

925y 0=－9

16y 0 由点P (4，y 0)在线段BB ′(B ′与B 关于x 轴对称)的内部， 得－

59＜y 0＜59,所以－516＜m ＜5

16 解法二 因为弦AC 的中点为P (4,y 0)，所以直线AC 的方程为

y －y 0=－

k

1

(x －4)(k ≠0) ③

将③代入椭圆方程9

252

2y x +=1,得 (9k 2+25)x 2－50(ky 0+4)x +25(ky 0+4)2－25×9k 2=0

所以x 1+x 2=

259)4(502

0++k k =8,解得k =36

25

y 0 (当k =0时也成立) (以下同解法一)

例6若抛物线21y ax =-上总存在关于直线0x y +=对称的两点，求a 的范围

解法一 （对称曲线相交法）

曲线21y ax =-关于直线0x y +=对称的曲线方程为21x ay -=-

如果抛物线21y ax =-上总存在关于直线0x y +=对称的两点，则两曲线

21y ax =-与21x ay -=-必有不在直线0x y +=上的两个不同的交点(如图所示)，从

而可由

2

2

11

y ax x ay ?=-?-=-?22

()y x a x y ?+=- ∵ 0,x y +≠ ∴ 1y x a

=-

代入2

1y ax =-得 2

1

10ax x a

-+

-=有两个不同的解， ∴ 2

13(1)4(1)04

a a a ?=--->?>

解法二 （对称点法）

设抛物线2

1y ax =-上存在异于于直线0x y +=的交

点的点00(,)A x y ，且00(,)A x y 关于直线0x y +=的对称点00(,)A y x '--也在抛物线2

1y ax =-上

则

20020

0(1)1(2)

()1y ax x a y ?=-?-=--? 必有两组解

(1)-(2)得

2

2

0000()y x a x y +=- 必有两个不同解

∵000y x +≠， ∴00()1a x y -=有解

从而有 200[(1)]1a x ax --=有两个不等的实数解

即 220010a x ax a --+=有两个不等的实数解

∴ 22()4(1)a a a ?=---+>

∵ 0a ≠， ∴ 4

a >

解法三 （点差法）

设抛物线2

1y ax =-上以1122(,),(,)A x y A x y '为端点的弦关于直线0x y +=对称，且以

00(,)M x y 为中点是抛物线21y ax =-（即21

(1)x y a

=

+）内的点 从而有 1201202,2x x x y y y +=+=

由211222

(1)1(2)

1

y ax y ax ?=-?

=-? (1)-(2)得 221212()y y a x x -=- ∴ 12

12012

()2AA y y k a x x ax x x '-=

=+=-

由0001111121,(,)2222AA k ax x y M a a a a

'=?=?=

=-?- 从而有 21113

()(1)224

a a a a <-

+?> 练习1 试确定m 的取值范围，使得椭圆22

143x y +=上有不同两点关于直线4y x m =+对称

解 设椭圆22

143

x y +=上以1122(,),(,)A x y A x y '为端点的弦关于直线4y x m =+对称，且以00(,)M x y 为中点是椭圆

22

143

x y +=内的点 从而有 1201202,2x x x y y y +=+=

由22112

2

22(1)3412(2)

3412

x y x y ?+=?+=?

(1)-(2)得 222212124()3()y y x x -=-- ∴ 012121212033()

4()4AA x y y x x k x x y y y '-+=

=-=--+

由0000311

3444

AA x k y x y '=-

?-=-?= 由00(,)M x y 在直线4y x m =+上00,3(,3)x m y m M m m ?=-=-?--

从而有

222()(3)41(4313m m m m --+

直线与圆锥曲线的综合问题专题二

专题二 直线与圆锥曲线的综合问题 第一课时 一.知识体系小结 22 2222222222 222222 cos 1(0)()sin 11(0)1(00)1(00)2(0)2(0213x a x y x a b y b a b y x y a b a b x y y x x a b y a b a b a b y px p y px p 圆锥曲线的标准方程 椭圆：焦点在轴上时参数方程，其中为参数； 焦点在轴上时． 双曲线：焦点在轴上：，；焦点在轴上：，． 抛物线：开口向右时，，开口向左时，．22)2(0)2(0)x py p x py p ，开口向上时，开口向下时． 2222 2222 2222 222222 222222 221111 1(0)123142x y x y a b a b x y x y a b a b x y x y a b a b mx ny 常用曲线方程设法技巧 共焦点的设法：与椭圆有公共焦点的椭圆方程为；与双曲线有公共焦点的双曲线方程为；与双曲线共渐近线的双曲线方程为；中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆、双曲线方程可设为；不清楚开口方向的抛．物线设法：焦22(0)(0)x y mx m y x my m 点在轴上，； 焦点在轴上，． 3．解决直线与圆锥曲线问题的通法: (1)设方程及点的坐标； (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程； (3)应用韦达定理及判别式； (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． 1212|||| |.AB AB x x y y (5)直线与圆锥曲线相交的弦长公式或 222 0002220 222 0002220 2000 1()1()2(0)(). b x x y P x y k a b a y b x x y P x y k a b a y p y px p P x y k y 圆锥曲线中点弦斜率公式 在椭圆中，以，为中点的弦所在直线的斜率； 在双曲线中，以，为中点的弦所在直线的斜率； 在抛物线中，以，为中点的弦所在直线的斜率以上公式均可由点4．差法可得．

圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，

直线与圆锥曲线的位置关系综合应用(附详细答案)【打印讲义】

二轮专题——直线与圆锥曲线的位置关系综合应用 【目标】掌握直线与圆锥曲线的位置关系，并会综合应用知识处理相关问题。 【重点】直线与圆锥曲线中的最值、值域、参数范围问题，定点、定值以及探究性问题。 【难点】圆锥曲线与三角、函数与方程、不等式、数列、平面向量等知识的的综合应用. 【知识与方法】 圆锥曲线中的定点、定值、最值问题是圆锥曲线的综合问题，解决此类问题需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整. 解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的. 1.在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的。如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值或值域. 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解. 【基础训练】 1、若实数x 、y 满足x 2+y 2-2x+4y=0，则x-2y 的最大值是（ ） A 、5 B 、10 C 、9 D 、5+25 2、若关于x 的方程)2(12 -=-x k x 有两个不等实根，则实数k 的取值范围是（ ） A 、)3 3,3 3(-B 、) 3,3(-C 、??? ? ?-0,33D 、??????????? ??--33, 2121,33 3、已知P 、Q 分别在射线y=x(x>0)和y=-x(x>0)上，且△POQ 的面积为1，（0为原点），则线段PQ 中点M 的轨迹为（ ） A 、双曲线x 2 -y 2 =1 B 、双曲线x 2 -y 2 =1的右支 C 、半圆x 2 +y 2 =1(x<0) D 、一段圆弧x 2 +y 2 =1(x> 2 2) 4、一个等边三角形有两个顶点在抛物线y 2=20x 上，第三个顶点在原点，则这个三角形的面积为 5、椭圆 19 16 2 2 =+ y x 在第一象限上一动点P ，若A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，则APBO S 四边形 的最大 值为 题型一、最值及值域问题 例1.【广东省梅州市2013届高三总复习质检】已知F 1，F 2分别是椭圆C ：222 2 1(0)y x a b a b + =>>的 上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 1：2 4x y =的焦点， 点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且15||3 MF =。 （1）求椭圆C 1的方程； （2）已知A （b ，0），B （0，a ），直线y ＝kx （k ＞0）与AB 相交于点D ，与椭圆C 1相交于点E ，F 两点，求四边形AEBF 面积的最大值。 【跟踪训练1】 【广东省肇庆市2013届高三一模】已知椭圆2212 2 : 1(0)x y C a b a b + =>> 的离心率为3 e = ，直线 :2l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切. （1）求椭圆C 1的方程； （2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F ，且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l ，垂足为点P ，线段2P F 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程； （3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点R 、S 在2C 上，且满足0=?RS QR ，求||Q S 的取值范围.

直线和椭圆(圆锥曲线)常考的题目型

直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v = 2、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 3、中点坐标公式：1212 ,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB = 或者AB = 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2(1)y k x y x =+??=?消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得 2 2 4 2 (21)4410k k k ?=--=-+> 即2 1 04 k << ② 由韦达定理，得：2122 21 ,k x x k -+=-121x x =。 则线段AB 的中点为22 211 (,)22k k k --。

直线与圆锥曲线的综合问题

第32练 直线与圆锥曲线的综合问题 [题型分析·高考展望] 本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题，从近几年的高考试题来看，除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外，在填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高，但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.预测在今后高考中，主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题，有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来；对于方程的求解，不要忽视轨迹的求解形式，后面的设问将是对最值、定值、定点、参数围的考查，探索类和存在性问题考查的概率也很高. 常考题型精析 题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用 例1 (1)(2015·改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45 ，则椭圆E 的离心率的取值围是________________. (2)设焦点在x 轴上的椭圆M 的方程为x 24＋y 2b 2＝1 (b >0)，其离心率为22 . ①求椭圆M 的方程； ②若直线l 过点P (0,4)，则直线l 何时与椭圆M 相交？ 点评 对于求过定点的直线与圆锥曲线的位置关系问题，一是利用方程的根的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零；二是利用图形来处理和理解；三是直线过定点位置不同，导致直线与圆锥曲线的位置关系也不同.

变式训练1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点P (2，3). (1)求椭圆C 的方程； (2)设Q (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A (0,22)，连结AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 题型二 直线与圆锥曲线的弦的问题 例2 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为6，点P 是椭圆短轴的一个端点，△PF 1F 2的周长为16. (1)求椭圆C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45 的直线l 被椭圆C 所截得的线段中点的坐标. 点评 直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程，弦长，弦的位置确定，弦中点坐标轨迹等问题，解决这些问题的总体思路是设相关量，找等量关系，利用几何性质列方程(组)，不等式(组)或利用一元二次方程根与系数的关系，使问题解决.

专题直线与圆、圆锥曲线知识点

专题 直线与圆、圆锥曲线 一、直线与方程 1、倾斜角与斜率：1 21 2tan x x y y k --= =α 2、直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y += ⑶两点式： 121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax 3、对于直线： 222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴???≠=?21 2 121//b b k k l l ； ⑵1l 和2l 相交12k k ?≠；⑶1l 和2l 重合???==?2 12 1b b k k ；⑷12121-=?⊥k k l l . 4、对于直线： 0:, 0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⑴???≠=?122 11 22121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠?； ⑶1l 和2l 重合?? ?==?1 2211 221C B C B B A B A ；⑷0212121=+?⊥B B A A l l . 5、两点间距离公式： ()()21221221y y x x P P -+-= 6、点到直线距离公式： 2 2 00B A C By Ax d +++= 7、两平行线间的距离公式： 1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2 2 21B A C C d +-= 二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()2 2 2 r b y a x =-+-其中圆心为(,)a b ，半径为r . ⑵一般方程：02 2=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22 D E - - ，半径为r = 2、直线与圆的位置关系 直线0=++C By Ax 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

高考数学-直线和椭圆(圆锥曲线)常考题型

高考数学 直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =r r g 2、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 3、中点坐标公式：1212,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB = 或者AB = 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 解： 14m m ≤≠且。 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2 (1)y k x y x =+?? =?消y 整理，得2222 (21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得 2242(21)4410k k k ?=--=-+> 即2 1 04 k << ② 由韦达定理，得：212221 ,k x x k -+=-121x x =。 则线段AB 的中点为22211 (,)22k k k -- 。 线段的垂直平分线方程为：2 21112()22k y x k k k --=--

直线和圆锥曲线的位置关系

聚焦考点直线和圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的热点；试题具有一定的综合性，覆盖面大，不仅考查“三基”掌握的情况，而且重点考查学生的作图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算，以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力。在近几年的高考中，每年风格都在变换，考查思维的敏捷性，在探索中求创新。 具体来说，这些问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题，垂直问题，对称问题。与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向。 纵观近几年高考和各类型考试，可以发现： 1．研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系。 2．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便。 3．充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用。灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题。 热点透析 题型1：直线与圆锥曲线的交点个数问题

例1已知双曲线C:2x2－y2=2与点P(1，2) (1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点. (2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在. 解:(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 .(*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点. ②当Δ＞0,即k＜,又k≠±, 故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点. ③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点.

直线与圆锥曲线的综合问题

第３2练 直线与圆锥曲线得综合问题 ［题型分析·高考展望］ 本部分重点考查直线与圆锥曲线得综合性问题,从近几年得高考试题来瞧,除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线得联立外,在填空题中出现得圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分得主要特点就是运算量大、思维难度较高,但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍得效果。预测在今后高考中,主要围绕着直线与椭圆得位置关系进行命题,有时会与向量得共线、模与数量积等联系起来;对于方程得求解,不要忽视轨迹得求解形式,后面得设问将就是对最值、定值、定点、参数范围得考查,探索类与存在性问题考查得概率也很高. 常考题型精析 题型一 直线与圆锥曲线位置关系得判断及应用 例1 (１)(2０15·福建改编)已知椭圆E :x 2a 2＋y ２ b 2＝１(a ＞b ＞０)得右焦点为F ,短轴得一个端点为M ,直线l :3ｘ—4y =0交椭圆Ｅ于A ,Ｂ两点。若ＡF ＋BF =4,点M 到直线l 得距离不小于＼f(4,5),则椭圆E 得离心率得取值范围就是_＿__＿_＿____＿__＿_。 (２)设焦点在x 轴上得椭圆M 得方程为错误!＋错误!＝１ (b >0),其离心率为错误!. ①求椭圆Ｍ得方程; ②若直线l 过点Ｐ(0,4),则直线l 何时与椭圆M 相交? 点评 对于求过定点得直线与圆锥曲线得位置关系问题,一就是利用方程得根得判别式来确定,但一定要注意,利用判别式得前提就是二次项系数不为零;二就是利用图形来处理与理解;三就是直线过定点位置不同,导致直线与圆锥曲线得位置关系也不同. 变式训练1 已知椭圆C :ｘ2ａ2+y 2 b 2＝1(ａ＞b >0)得焦距为4,且过点P (２,＼r(3))。 (１)求椭圆Ｃ得方程; (2)设Q (x ０,ｙ0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点,过点Q 作x 轴得垂线,垂足为E 、取点A (0,2＼r(２)),连结AE ,过点A 作AE 得垂线交x 轴于点D 。点G 就是点D 关于ｙ轴得对称点,作直线Q Ｇ,问这样作出得直线ＱＧ就是否与椭圆Ｃ一定有唯一得公共点?并说明理由、 题型二 直线与圆锥曲线得弦得问题 例２ 设椭圆C :x ２ a 2+错误!＝1 (ａ>ｂ>0)得左,右焦点分别为Ｆ1,F 2,且焦距为6,点Ｐ就是椭圆短

(全国通用版)201X版高考数学一轮复习 高考达标检测(三十八)圆锥曲线的综合问题——直线与圆锥曲线

高考达标检测（三十八） 圆锥曲线的综合问题——直线与圆锥曲线 的位置关系 一、选择题 1．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且点A 在第一象限，若|AF |＝3，则直线l 的斜率为( ) A ．1 B.2 C. 3 D ．22 解析：选D 由题意可知焦点F (1,0)，设A (x A ，y A )， 由|AF |＝3＝x A ＋1，得x A ＝2，又点A 在第一象限， 故A (2,22)，故直线l 的斜率为2 2. 2．若直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝x 有一个公共点，则实数k 的值为( ) A. 1 8 B ．0 C. 1 8 或0 D ．8或0 解析：选C 由??? y ＝kx ＋2， y 2＝x ， 得ky 2－y ＋2＝0， 若k ＝0，直线与抛物线有一个交点，则y ＝2， 若k ≠0，则Δ＝1－8k ＝0，∴k ＝1 8， 综上可知k ＝0或 1 8 . 3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)，过点P (3,6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点， 且AB 的中点为N (12,15)，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2 B.32 C.355 D.52 解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AB 的中点为N (12,15)，得x 1＋x 2＝24，y 1＋y 2＝30，

由????? x 21a 2－y 21 b 2＝1，x 2 2 a 2 －y 22b 2 ＝1， 两式相减得： x 1＋x 2 x 1－x 2 a 2 ＝ y 1＋y 2 y 1－y 2 b 2 ， 则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝4b 2 5a 2.

2021新高考数学二轮总复习专题突破练25直线与圆及圆锥曲线含解析

专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线 1.(2020全国Ⅱ,理19)已知椭圆C 1: x 2a + y 2b =1(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合,C 1的中心 与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ,B 两点,交C 2于C ,D 两点,且|CD|=4 3|AB|. (1)求C 1的离心率; (2)设M 是C 1与C 2的公共点.若|MF|=5,求C 1与C 2的标准方程. 2. 已知圆O :x 2+y 2=4,点A (√3,0),以线段AB 为直径的圆内切于圆O ,记点B 的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程; (2)直线AB 交圆O 于C ,D 两点,当B 为CD 的中点时,求直线AB 的方程. 3.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为3 2的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP ????? =3PB ????? ,求|AB|.

4.(2020山东威海一模,20)已知椭圆x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(-1,3 2 )是椭圆上 一点,|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项. (1)求椭圆的标准方程; (2)若A为椭圆的右顶点,直线AP与y轴交于点H,过点H的另一条直线与椭圆交于M,N两点,且S△HMA =6S△PHN,求直线MN的方程. 5.(2020重庆名校联盟高三二诊,19)已知椭圆C:x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0),F1,F2为椭圆的左、右焦点,P(1,√2 2 ) 为椭圆上一点,且|PF1|=3√2 2 . (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线l:x=-2,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l、直线AB于M,N两点,当∠MAN最小时,求直线AB的方程.

2020年普通高考数学一轮复习第34讲直线与圆锥曲线的位置关系精品学案

2020年普通高考数学科一轮复习精品学案 第34讲直线与圆锥曲线的位置关系 一?课标要求： 1 ?通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想； 2 ?掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题。 二.命题走向 近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等。 预测2020年高考： 1 ?会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题； 2 ?与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现。 三?要点精讲 1 .点M(x0, y0)与圆锥曲线C: f(x , y)=0的位置关系 2 ?直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。

9 直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为 方程组解的个数与交点的个数是一样的。 直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离?对于抛物线来说，平行于对称 轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双 曲线只有一个交点，但并不相切?这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为： i 殳直线；血+By+c=o,圆ft 曲线C ：虬爲y)=0, 消去y （或消古丈）得匕 az a -bbzH-c=0, A=b 2 -4ac, a^0_ ⑴相交： (2)A<0 ? 相离; ⑶A=0?相切. 注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件， 但不是充分条件. 3 ?直线与圆锥曲线相交的弦长公式 设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线:F(x,y)=0，它们的交点为 P i (x i ,y 1) , P 2 (x 2,y 2), 且由 F (X ，y) 0 ，消去 厂ax 2+bx+c=0 (0) , △ =b 2 — 4ac 。 y kx n 则弦长公式为： d=J (x , X 2)2 (% y 2)2=" k 2)% x ?)2 = 。 | PF | 焦点弦长： e (点P 是圆锥曲线上的任意一点， F 是焦点，d 是P 到相应于焦 d 点F 的准线的距离，e 是离心率)。 四?典例解析 r j\x+By + C=0 由/ 琳 y ）=0

高中数学复习指导：直线与圆锥曲线问题之设而不求与设而求.doc

“设而不求”与“设而求” 一般地，我们解答直线与圆锥曲线问题，已经形成一种习惯，利用一元二次方程的判别式 研 究范围，利用根与系数的关系研究有关参数的关系，还美其名曰“设而不求”，事实上，“设而 求”也可能比“设而不求”更加简单，避开了一元二次方程的判别式与根与系数的关系研究有关 参数的关系，也许另有一种更好的解法等待着你去探究，不信请看下面的例题： 丫2 例1、己知椭圆方程为y+/=l,过定点P(0,2)的直线交椭圆于不同的两点A 、B (在 A 、P 之间)，且满足西=2顾，求的取值范围. 解析1：设AB 的方程为)=尬+ 2, A3」)，Ba ，%)，贝9 PA = (x },y }-2), PB = (x 2,y 2 -2),由 PB = ZPA ,得 X 2 1 3 由 Q + * '得(1 + 2比2)严+池+6二0.又△二64疋一24(1 + 2/)= 0>0,得k 2>~. y = kx + 2, Sk 6 由根与系数关系，坷+禺=一 ，= - 1+2F - 1 + 2亡 把七=2西代入坷+召=_] + 2加 有西(1+2) = _] +朮，(1) 6 0 6 把x 2=^代入“2=仃乔有彷=匚乔，(2) 由(1)、(2)可以消去西得到含有入比的关系式，这个过程比较复杂，这个关系式是 32k 2 (1+A)2 3 1 3(1+2/) 2 八 3 _― =—■—, 或者变为__+?7 =—石刁—= — ， 由* >二，可以求得 召=2坷， y 2-2 = A(y l -2).

3(1+2Q A 32k「 16 32k~(1 + 久)「2

初于是建立了关于2的不等式 '2 v￡,又0vQvl,解得￡v2vl. 32K I O O (1+A ) O 3 当初没有斜率时，宀亍所以扫＜「 解析2：构造2 + ]=玉+玉=(召+兀T ,如此可以直接把年+召=一￡「 / x } x 2 x }x 2 l + 2k 6 1 ao&2 3 也=砲代入得到'+君茹莎r"込百-2,由解法1知：宀亍可以 求得2＜丐＜罟,又061,解得打＜1?当仙殳有斜率时，4,所以押＜1. 解析3：设人(西,刃),8也,％)，则 力4 =(兀[,刃一2), PB = (X 2,>2-2),由 PB = APA ,得v 4+^=i, 2 O 1 又人(召,刃)，3(%,%)在二+b=l 上，所以]2 2 - + ^=1. 〔2 - 事实上仅用以上这四个等式就可以求出2与西,必,兀2，%中任意一个的关系. j 吕+*=1,⑴ F 字+(勿 _2Q +2)2=[.(2) (l)x A 2 _(2)得：(Ay.)2 -(心 -22 + 2)2 = / 一 1, (22-2)(22^ -2A + 2) = -1,注意到0<2<1,所以4仇开 一2 + 1) = 2 + 1,解得 气J) _ 3 斥彳一3 1 ”=—,注意到—1S)[S1，所以—is — <1,解得一5/153,又0V/lvl, 1 4A 1 4 2 3 所以-<2<1. 3 解法评价：解法1与解法2都是利用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，是解析 几何常用的方法，但是用这种方法必须对直线方程进行讨论，还应注意，有些时候仅仅使用其中 的根与系数的关系而没有用根的判别式,但是由于根与系数的关系是从整体上建立有关系数的关 系的，所以无法保证实数根的存在性，因此一定要检验判别式大于零.解法3 32k 1 冷=岔， y 2-2 = /l(y l -2).

直线与圆锥曲线的综合问题

教学过程 一、复习预习 圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整. 二、知识讲解 考点1范围问题 求范围和最值的方法： 几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题 代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值． 考点2对称问题 要抓住对称包含的三个条件： (1)中点在对称轴上 (2)两个对称点的连线与轴垂直

(3)两点连线与曲线有两个交点(0>?),通过该不等式求范围 考点/易错点3定点、定值、最值等问题 定点与定值问题的处理一般有两种方法： （1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关; （2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）． 三、例题精析 【例题1】 【题干】已知椭圆1:22221=+b y a x C （0>>b a ）与直线01=-+y x 相交于两点A 、B ．当 椭圆的离心率e 满足2 223≤≤e ，且0=?OB OA （O 为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围． 【答案】 []6,5 【解析】由???=-+=+0 12 22222y x b a y a x b ，得()()012222222=-+-+b a x a x b a 由( ) 0122222>-+=?b a b a ，得12 2 >+b a 此时222212b a a x x +=+，() 2 22 2211b a b a x x +-= 由0=?OB OA ，得02121=+y y x x ，∴()0122121=++-x x x x 即022 2 2 2 =-+b a b a ，故1 222 2 -=a a b 由2 22222 a b a a c e -==，得2 222e a a b -= ∴2 2 11 12e a -+ = 由 2 223≤≤e 得23452 ≤≤a ，∴625≤≤a 所以椭圆长轴长的取值范围为 []6,5 【例题2】

[高中数学]圆锥曲线专题-理科

圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式. 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用解 析法解决相应的几何问题. 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD 与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 , F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O

二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例 5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D （0,-1）为圆心 的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB 是矩形？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由

直线与圆锥曲线的位置关系详解

直线与圆锥曲线的位置关系 ●知识梳理 本节主要内容是直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用.解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题.对相交弦长问题及中点弦问题要正确运用“设而不求”.涉及焦点弦的问题还可以利用圆锥曲线的焦半径公式. ●点击双基 1.过点（2，4）作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：数形结合法，同时注意点在曲线上的情况. 答案：B 2.已知双曲线C ：x 2－4 2y =1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：数形结合法，与渐近线平行、相切. 答案：D 3.双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是 A.（－∞，0） B.（1，＋∞） C.（－∞，0）∪（1，+∞） D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）

解析：数形结合法，与渐近线斜率比较. 答案：C 4.过抛物线y 2=4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB |=8，O 为坐标原点，则 △OAB 的重心的横坐标为____________. 解析：由题意知抛物线焦点F （1，0）.设过焦点F （1，0）的直线为y =k （x －1）（k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）. 代入抛物线方程消去y 得k 2x 2－2（k 2+2）x +k 2=0. ∵k 2≠0，∴x 1+x 2=2 2)2(2k k +，x 1x 2=1. ∵|AB |=2212))(1(x x k -+ =]4))[(1(212212x x x x k -++ =]4)2(4)[1(42 22 -++k k k =8， ∴k 2=1. ∴△OAB 的重心的横坐标为x = 3 021x x ++=2. 答案：2 5.已知（4，2）是直线l 被椭圆362x +9 2y =1所截得的线段的中点，则l 的方程是____________. 解析：设直线l 与椭圆交于P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）， 将P 1、P 2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l 斜率k =2121x x y y --=－) (42121y y x x ++=

第1讲 直线与圆、圆锥曲线的方程与性质

第1讲直线与圆、圆锥曲线的方程与性质 [选题明细表] 知识点、方法题号 直线与圆2,3,13 圆锥曲线的定义与标准方程的应用1,7,8,9,14 圆锥曲线的几何性质5,10,11,16 圆锥曲线的离心率4,6,12,15 一、选择题 1.(2019·武汉模拟)已知F1(-3,0),F2(3,0),若点P(x,y)满足|PF1|- |PF2|=6,则P点的轨迹为( D ) (A)椭圆(B)双曲线 (C)双曲线的一支(D)一条射线 解析:F1(-3,0),F2(3,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=6, 因为|F1F2|=6,则点P的轨迹是一条射线.故选D. 2.过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短时,直线l 的斜率为( A ) (A)1 (B)-1 (C) (D)- 解析:点(0,1)在圆(x-1)2+y2=4内,要使得过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短,则该弦以(0,1)为中点,与圆心和(0,1)

的连线垂直,而圆心和(0,1)连线的斜率为=-1,所以所求直线斜率为1,故选A. 3.(2019·合肥三模)已知直线l:x-y-a=0与圆C:(x-3)2+(y+)2=4交于点M,N,点P在圆C上,且∠MPN=,则实数a的值等于( B ) (A)2或10 (B)4或8 (C)6±2(D)6±2 解析:由∠MPN=可得∠MCN=2∠MPN=. 在△MCN中,CM=CN=2,∠CMN=∠CNM=, 可得点C(3,-)到直线MN,即直线l:x-y-a=0的距离为2sin=1. 所以=1,解得a=4或8.故选B. 4.(2019·临沂三模)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+(y-2)2=2所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为( B ) (A) (B)2 (C)(D)2 解析:双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x, 由对称性,不妨取y=x,即bx-ay=0. 圆x2+(y-2)2=2的圆心坐标为(0,2),半径为, 则圆心到渐近线的距离d==1,

直线与圆锥曲线的位置关系一教学设计

北京市北纬路中学徐学军 《直线与圆锥曲线的位置关系（一）》教学设计 一、教材分析及学生情况分析 本节课是平面解析几何的核心内容之一。在此之前，学生已学习了直线的基本知识，圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，直线与圆的位置关系及判定，这为本节课的学习起着铺垫作用。本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》的第一节课，着重是教会学生如何判断直线与椭圆的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。所以是承上启下的一节课。这节课还是培养学生数学能力的良好题材，所以说是解析几何的核心内容之一。 数学思想方法分析：作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。因此本节课在教学中力图让学生动手操作，自主探究、发现共性、类比归纳、总结解题规律。 学生情况分析：对于直线和圆，学生已经非常熟悉，并且知道直线与圆有三种位置关系：相离，相切和相交，会从代数、几何两个方面进行判断。本节课，学生将类比挖掘直线与椭圆圆的位置关系，学会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础。本班为理科班，学生整体思维能力较强，勤于动脑，喜欢想问题，但不愿动手实践，特别是进行相关计算，另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识及反思总结等方面有待加强。 二、教学目标 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知心理特征和实际，制定如下教学目标： 知识与技能：①理解直线与椭圆的位置关系； ②会进行位置关系的判断，计算弦长。 过程与方法：根据本节课的内容和学生的实际水平，通过回忆画图让学生理解直线与椭圆的位置关系；观察类比直线与圆的位置关系的判定，归纳总结出直线与椭圆的位置关系的判定，掌握代数方法， 学会解决相关的问题。 情感、态度、价值观：使得学生在学习知识的同时，培养学生自主探究和数形结合解决问题的能力。 三、教学重点、难点、关键 本着课程标准，在吃透教材基础上，我觉得这节课是解决直线与圆锥曲线综合问题的基础。对解决综合问题，我觉得只有先定性分析画出图形并观察图形，以形助数，才能定量分析解决综合问题。如：解决圆锥