1.22实际问题与反比例函数(提高)知识讲解

1.22实际问题与反比例函数（提高）

【学习目标】

1. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，并能结合图象加深对问题的理解.

2．根据条件求出函数解析式，运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识. 【要点梳理】

要点一、利用反比例函数解决实际问题

1. 基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题.

2. 一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的

系数用字母表示.

（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.

要点二、反比例函数在其他学科中的应用

1. 当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；

2. 当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；

3. 在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；

4. 电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 【典型例题】

类型一、反比例函数实际问题与图象

1、 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图所示．设小矩形的长、宽分别为x y ，，剪去部分的面积为20，若210x ≤≤，则y 与x 的函数图象是（ ）

【答案】A ；

【解析】根据题意求出函数的解析式)102(10

≤≤=x x

y ，应该是反比例函数的一部分. 【总结升华】对于函数图象的判断题，应首先求出函数解析式，分清函数的类型，然后再选择对应的图象，同时在实际问题中应注意自变量的取值范围. 举一反三：

【变式】在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m 的某种气体，当改变容积V 时，气体的密度也随之改变．与V 在一定范围内满足m

v

ρ=

，它的图象如图所示，则该气体的质量m 为（ ）

.

A. 1.4kg

B. 5kg

C. 6.4kg

D. 7kg 【答案】D ；

提示：由题意知，当V ＝5时，

∴1.45

m

=

，故7m =. 类型二、利用反比例函数解决实际问题

2、病人按规定的剂量服用某种药物．测得服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为4毫克：已知服药后，2小时前每毫升血液中的含药量y (毫克)与时间x (小时)成正比例；2小时后y 与x 成反比例(如图所示)，根据以上信息解答下列问题：

(1)求当0≤x ≤2时，y 与x 的函数关系式； (2)求当x ＞2时，y 与x 的函数关系式；

(3)若每毫升血液中的含药量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长?

【思路点拨】(1)用待定系数法求出y 与x 的函数关系式．(2)结合图象分别求出y ＝2时的x 值，这两个值之间的时间即所求时间． 【答案与解析】

解：(1)当0≤x ≤2时，设函数解析式为1y k x =．

由题意得4＝21k ．

解得1k ＝2，所以当0≤x ≤2时，函数解析式为2y x =． (2)当x ＞2时，设函数解析式为2

k y x

=， 由题意得2

42

k =

．解得28k =．

所以当x ＞2时，函数解析式为8y x

=

． (3)把y ＝2代入2y x =中，得x ＝1．把y ＝2代入8

y x

=

，得x ＝4． 所以4－1＝3．

答：服药一次，治疗疾病的有效时间是3小时．

【总结升华】本题主要考查图象的识别能力和待定系数法求函数解形式，是近年中考的热点之一． 举一反三：

【变式】为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间x (分钟)成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例(如图所示)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克. 请根据题中所提供的信息解答下列问题：

①药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为__________ ___，自变量x 的取值范围是____________ ___；药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为_________________.

②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室；

③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

【答案】①药物燃烧时， y 是x 的正比例函数，药物燃烧后，y 与x 成反比例，

利用待定系数法即可求出函数的解析式:x y 43=

，0≤x ≤8，x

y 48

=

，8x ＞； ②当空气中每立方米的含药量等于1.6毫克时，求出所对应的时间:把y ＝1.6代人到x

y 48

=中，得x ＝30，则至少经过30分钟后，学生才能回到教室； ③把y ＝3分别代人到x y 43=

和x

y 48

=

中，得x ＝4和x ＝16， 16－4＝12，12＞10，所以此次消毒有效.

3、（2012?南宁）南宁市某生态示范村种植基地计划用90亩～120亩的土地种植一批葡萄，原计划总产

量要达到36万斤．

（1）列出原计划种植亩数y （亩）与平均每亩产量x （万斤）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计

划增加了9万斤，种植亩数减少了20亩，原计划和改良后的平均每亩产量各是多少万斤？

【思路点拨】（1）直接根据亩产量、亩数及总产量之间的关系得到函数关系式即可；（2）根据题意列出

36x

－369

1.5x

+＝20后求解即可． 【答案与解析】

解：（1）由题意知：xy ＝36，故36y x =

（310≤x ≤25

） （2）根据题意得：

36x

－369

1.5x +＝20

解得：x ＝0.3

经检验，x=0.3是原方程的解.

1.5x ＝0.45（万斤）

答：改良前亩产0.3万斤，改良后亩产0.45万斤．

【总结升华】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从复杂的实际问题中整理出反比例函数模型，并利用其解决实际问题．

4、心理学家研究发现，一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力指数y 随时间x (分)的变化规律如图所示(其中AB 、BC 分别为线段，CD 为双曲线的一部分

).

(1)分别求出线段AB 和双曲线CD 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)开始上课后第5分钟时与第30分钟时比较，何时学生的注意力更集中?

(3)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?并说明理由． 【答案与解析】

解：(1)由图可知，A 、B 、C 的坐标分别为(0，20)、(10，40)、(25，40)．设线段AB 的关系式为(0)y kx b k =+≠，

所以204010b k b

=??

=+?，解得2

20k b =??=?．

所以线段AB 的关系式为y ＝2x ＋20且0≤x ≤10，

设双曲线CD 的关系式为(0)k y k x =

≠，所以4025k

=， 所以双曲线CD 的关系式为1000

y x

=且25≤x ≤40．

(2)依题意，当x ＝5时，y ＝2×5＋20＝30； 当x ＝30时，1000100

30303

y =

=>， 所以第30分钟时的学生的注意力更集中．

(3)当0≤x ≤10时，y ≥36，即2x ＋20≥36，此时x ≥8； 当10≤x ≤25时，y ＝40≥36；

当25≤x ≤40时，y ≥36，

即

100036x ≥．∴ 7

279

x ≤． 综上所述：当8≤x ≤7

279

时，y ≥36．

又∵ 77

278191999

-=>，∴ 老师能讲完这道题目．

【总结升华】(1)根据图中信息．用待定系数法求解；(2)把x ＝5和x ＝30代入对应的函数关系式，比较y 值

的大小；(3)找出当y ≥36时，对应的x 的范围，求出对应的时间与19分钟比较． 【巩固练习】 一.选择题

1．下列各选项中，两个变量之间是反比例函数关系的有( )

(1)小张用10元钱去买铅笔，购买的铅笔数量y (支)与铅笔单价x (元/支)之间的关系 (2)一个长方体的体积为503

cm ，宽为2cm ，它的长y (cm )与高x (cm )之间的关系 (3)某村有耕地1000亩，该村人均占有耕地面积y (亩/人)与该村人口数量x (人)之间的关系 (4)一个圆柱体，体积为1003cm ，它的高h(cm )与底面半径R(cm )之间的关系 A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2. 现有一水塔，水塔内装有水320m ，如果每小时从排水管中放水3

xm ,则要经过y 小时求可以把水放完.该函

数的图象应是如图所示中的（ ）

3．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体

A.y ＝3000x

B. y ＝6000x

C.x

y 3000

=

D.x

y 6000

=

4．某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为2002

cm 的矩形学具进行展示．设矩形的宽为()x cm ，长

为()y cm ，那么这些同学所制作的矩形的长(

)y cm 与宽()x cm 之间的函数关系的图象大致是( )

5．下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是( )

A.小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v(/m s )之间的关系

B.长方形的面积为24，它的长y 与宽x 之间的关系

C.压力为600N 时，压强P(Pa)与受力面积S(2

m )之间的关系

D.一个容积为25L 的容器中，所盛水的质量()m kg 与所盛水的体积V(L)之间的关系

6. 某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kpa )是气体体积V(3

m )的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kpa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）

A ．不小于

35m 4 B ．小于35m 4 C ．不小于34m 5 D ．大于34

m 5

二.填空题

7．甲、乙两地间的公路长为300km ，一辆汽车从甲地去乙地，汽车在途中的平均速度为v(/km h )，到达时所用的时间为t(h)，那么t 是v 的______函数，v 关于t 的函数关系式为______．

8．农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房(如图所示)，则需要塑料布()

2

y m 与半径R(m )的函

数关系式是(不考虑塑料埋在土里的部分)__________________．

9. 某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与可变电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示，当用电器的电流为10A 时，用电器的可变电阻为________Ω．

10．如图所示的是一蓄水池每小时的排水量V （3

/m h ）与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数图象．

(1)根据图象可知此蓄水池的蓄水量为______3

m ； (2)此函数的解析式为____________；

(3)若要在6h 内排完水池中的水，那么每小时的排水量至少应该是______3

m ； (4)如果每小时的排水量是53

m ，那么水池中的水需要______h 排完．

11.某电子商城推出分期付款买电脑的活动，一台电脑售价1.2万元，前期付款4千元，后期每个月付一定数目，则每个月的付款y （万元）与付款月数x 之间的函数关系式是____. 12.一定质量的二氧化碳，当体积为53

m 时，密度为 1.983/kg m ，要使体积增加43

m ，则它的密度为

______3

/kg m .

三.解答题

13.某课外小组在做气体实验时，获得压强P(pa )与体积V(3

cm )之间有下列对应数据：

根据表中提供的信息，回答下列问题：

(1)猜想P 与V 之间的关系，并求出函数关系式；

(2)当气体的体积是123

cm 时，压强是多少?

14. 你吃过拉面吗？实际上做拉面的过程中，渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度()

y m 是面条粗细(横截面积)()

2

S m )的反比例函数，其图象如图所示．

(1)写出y 与S 的函数关系式；

(2)求当面条粗1.6 2

m 时面条的总长度．

15.小王骑自行车以15千米/时的平均速度从甲地到乙地用了4小时．

（1）他坐在出租车从原路返回，出租车的平均速度v 与时间t 有怎样的函数关系？ （2）如果小王必须在40分钟之内赶回，则返程时的速度至少为多少？

【答案与解析】 一.选择题 1．【答案】C ； 【解析】（1），（2）（3）为反比例函数关系式. 2.【答案】C ；

【解析】由题意知，20y x

=. 3.【答案】D ； 4.【答案】A ； 5.【答案】D ； 6.【答案】C ；

【解析】由题意求得反比例函数为96P V =，当P ＝120时，V ＝45

，故45V ≥. 二.填空题

7.【答案】反比例；300

V t

=

； 8．【答案】()2300y R R R ππ=+>．

9.【答案】3.6；

【解析】设电流I 与电阻R 的关系式为k

I R

=

，把(9，4)代入关系式得：k ＝36． 所以关系式为36

I R =

，当I ＝10时，R ＝3.6(Ω)． 10.【答案】(1)48； (2))0(48

>=t t

V ； (3)8； (4)9.6． 11.【答案】0.8

y x

=；

12.【答案】1.1；

【解析】二氧化碳的质量为1.98×5＝9.9，9.9

1.145

ρ=

=+. 三.解答题 13.【解析】

解：(1)表中P 增大V 减小，且P 与V 的积是一个常数，所以P 与V 成反比例关系．

设p 与V 的关系式为(0)k

p k V

=

≠，将P ＝1，V ＝6代入得 16

k

=

，即k ＝6． 所以P 与V 的函数关系式为6

(0)p V V =

>． (2)将V ＝123

cm 代入6V p =，得612

p =，即P ＝0.5pa ．

所以当气体的体积是123

cm 时，压强是0.5pa ．

14.【解析】

解：(1)因为拉面总长度()y m 与面条的粗细(横截面积) ()

2

S m 成反比例函数，故设其关系式为k

y S

=

，又由于图象过P(4，32)， 则324

k

=

，∴ 128k =， 所以y 与S 的函数关系式为128

y S

=． (2)当S ＝1.62

m 时，128

80()1.6

y m =

=， 故当面条粗1.6 2

m 时，面条的总长度是80 m . 15.【解析】

解：（1）设甲、乙两地的距离为s 千米，由题意，得

s ＝15×4＝60（千米）．所以v 与t 的函数解析式为60v t

=

． （2）40＝

2

3小时， 把23t =代入60v t

=，得609023

v ==（千米/时）

． 从结果可以看出，如果40分钟正好赶回，则速度为90千米/时，若少于40分钟赶回，则速度要超过90千米/时，即小王在40分钟之内赶回，速度至少为90千米/时．