两例“殊途同归”的垂足问题

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两例“殊途同归”的垂足问题

作者:施哲明

来源:《理科考试研究·高中》2015年第02期

在求解一些数学问题中,特别是涉及一些三角形的问题时,经常要通过作垂线来辅助解题.但在作垂线的过程中,垂足的位置却往往不能确定,也由此会产生对三角形是锐角或者是钝角的讨论.在《人教版》必修5第一章“解三角形”第1节对正弦定理的推导中就分锐角三角形和钝角三角形进行分类讨论,尽管垂足的位置不影响定理的成立,但它又恰恰能给解题者带来一些麻烦.那么,能不能仅通过一种情形的分析,就能解决问题呢?在此略举两例予以说明,并从

中体会垂足的“殊途同归”之感.

例1(2014年浙江高考理科17题)如图1,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面的射击线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小.若AB=15,AC=25,

∠BCM=30°,则tanθ的最大值是.

解1如图2,过P作BC的垂线,垂足为Q,连接AQ,

则tanθ=PQAQ.设QC=x,则PQ=33x,

AQ=(20-x)2+225=x2-40x+625.

故tanθ=PQAQ=33·xx2-40x+625

=33·1625x2-40x+1.

因此,当1x=402·625=4125,即x=1254时,tanθ取得最大值,且最大值为539.

上述解法求得最大值为539,与给出的标准答案是一致的.但可以发现取得最大值时的CQ 的长为1254,已经超过BC=20的长了,即Q应该在CB的延长线上,从数学的严谨性来说,这种情形是不符合题意的.下面考虑另一种情形:

解2如图3,设BQ=x,则PQ=33(x+20),AQ=x2+225.故tanθ=PQAQ=33·x+20x2+225.令y=x+20x2+225,则y2=x2+40x+400x2+225=1+5·8x+35x2+225.

令8x+35=t,则y2=1+320·1t+352+225·64t-70≤259,故tanθ≤539,当且仅当

t=352+225·64t,即t=125,x=454时取得最大值.

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