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2009年全国高考数学试题——全国卷2(文科)含答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试试卷题

文科数学

第Ⅰ卷（选择题）

本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：

如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式

()()()P A B P A P B +=+

24πS R =

如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径

()()()P A B P A P B =

球的体积公式

如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 3

4π3

V R =

n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率

其中R 表示球的半径

()(1)(01,2)k k n k

n n

P k C P P k n -=-=，，，

一．选择题

（1）已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则C u ( M

N )=

(A) {5，7} （B ） {2，4} （C ）{2.4.8} （D ）{1，3，5，6，7}

（2）函数≤0)的反函数是

（A ）2y x =（x ≥0）（B ）2y x =-（x ≥0）（B ）2y x =（x ≤0）（D ）2y x =-（x ≤0）（3）函数y=2

2log 2x

y x

-=+的图像（A ）关于原点对称（B ）关于主线y x =-对称（C ）关于y 轴对称（D ）关于直线y x =对称（4）已知△ABC 中，12

cot 5

A =-

，则cos A = (A) 1213 (B) 513 (C) 513- (D) 1213

（5）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA =

2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为

（A (B) 15 (C) (D)

（6）已知向量a = (2,1)， a ·b = 10，︱a + b ︱= b ︱=

（A （B （C ）5 （D ）25

（7

）设2lg ,(lg ),lg a e b e c ===

（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >>

（8）双曲线13

2=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r= （A ）3 （B ）2 （C ）3 （D ）6 （9）若将函数)0)(4

tan(>+=ωπ

ωx y 的图像向右平移

6π个单位长度后，与函数)6

tan(π

ω+=x y 的图像重合，则ω的最小值为 (A)

61 (B)41 (C)31 (D)2

（10）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（A ）6种（B ）12种（C ）24种（D ）30种

（11）已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。若FB FA 2=,则k= (A)

31 (B)3

2 (C)32 (D)322 （12）纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是（A ）南（B ）北（C ）西（D ）下 w.w.w..s.5.u.c.o.m

第Ⅱ卷（非选择题）

本卷共10小题，共90分。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡上相应位置的横线上. （13）设等比数列{n a }的前n 项和为n s 。若3614,1s s a ==，则4a = × （14）4)(x y y x -的展开式中3

y x 的系数为 ×

（15）已知圆O ：52

=+y x 和点A （1，2），则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 ×

（16）设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C 。若圆C 的面积等于

7π

，则球O 的表面积等于 × 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答过程写在答题卡

△ 上东

的相应位置。（17）（本小题满分10分）

已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .

（18）（本小题满分12分）

设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，2

3cos )cos(=+-B C A ,ac b =2

，求B.

（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1 （Ⅰ）证明：AB=AC

（Ⅱ）设二面角A-BD-C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小

（20）（本小题满分12分）

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。

（21）（本小题满分12分）

a ax x a x x f 24

4)1(31)(23

+++-= (Ⅰ)讨论f(x)的单调性;

A 1

B 1

C 1

设函数，其中常数a>1

(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围。

（22）（本小题满分12分）

)0(122

22>>=+b a b y a x 33

（Ⅰ）求a,b 的值；

（Ⅱ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有→

→→

+=OB OA OP

成立？

若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。

2009年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题参考答案和评分参考

一．选择题

（1）C （2）B （3）A （4）D （5）C （6）C （7）B （8）A （9）D （10）C （11）D （12）B 二．填空题

（13）3 （14）6 （15）25

（16）8π 三．解答题 17．解：

设{}n a 的公差为d ，则

()()11112616

350

a d a d a d a d ?++=-??

+++=?? 即

2211181216

4a da d a d

?++=-?

=-? 已知椭圆C: 的离心率为，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B

22两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为

解得

118,8

2,2

a a d d =-=???

?==-??或因此()()()()819819n n S n n n n n S n n n n n =-+-=-=--=--，或（18）解：

由 cos （A -C ）+cosB=

及B=π-（A+C ）得 cos （A -C ）-cos （A+C ）=3

，

cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=32

, sinAsinC=

. 又由2

b =a

c 及正弦定理得

s i n s i n

s i n ,

B A

C = 故 2

sin 4

B =

，

s i n B =

或 s i n B =（舍去），于是 B=

3π 或 B=23

. 又由 2

b a

c =知a b ≤或c b ≤

所以 B =

。

（19）解法一：（Ⅰ）取BC 中点F ，连接EF ，则EF

1B B ，从而EF DA 。

连接AF ，则ADEF 为平行四边形，从而AF//DE 。又D E ⊥平面1BCC ，故AF ⊥平面1BCC ，从而AF ⊥BC ，即AF 为BC 的垂直平分线，所以AB=AC 。

（Ⅱ）作AG ⊥BD ，垂足为G ，连接CG 。由三垂线定理知CG ⊥BD ，故∠AGC 为二面角A-BD-C 的平面角。由题设知，

∠AGC=600.

设AC=2，则

AB=2，BC=

由AB AD AG BD ?=?得

故AD=AF 。又AD ⊥AF ，所以四边形ADEF 为正方形。

因为BC ⊥AF ，BC ⊥AD ，AF ∩AD=A ，故BC ⊥平面DEF ，因此平面BCD ⊥平面DEF 。连接AE 、DF ，设AE ∩DF=H ，则EH ⊥DF ，EH ⊥平面BCD 。连接CH ，则∠ECH 为1B C 与平面BCD 所成的角。

因ADEF 为正方形，EH=1，又EC=

B C =2，所以∠ECH=300

，即1B C 与平面BCD 所成的角为300

解法二：

（Ⅰ）以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系

A —xyz 。

（

12，2

，c ）. 设B （1，0，0），C （0，b ，0），D （0，0，c ），则1B （1，0，2c ）,E

于是DE →

=（12，2

，0），BC →=（-1，b,0）.由D E ⊥平面1BCC 知DE ⊥BC ， DE BC →→?=0，求得b=1，所以 AB=AC 。

（Ⅱ）设平面BCD 的法向量(,,),AN x y z →=则0,0.AN BC AN BD →→→→?=?=又BC →

=（-1，1， 0=+-y x 0），BD →

=（-1，0，c ）,故

0=+-cz x

令x=1, 则y=1, z=1c ,AN →=(1,1, 1c

又平面ABD 的法向量AC =（0，1，0）

由二面角C BD A --为60°知，AC AN ，

=60°，故 60cos ??=?AC AN AC AN °，求得2

1c =

于是），，（211=AN ，）

，，211(1-=CB 2

cos 1

11=??=

CB AN CB AN CB AN ，， 601=CB AN ，

° 所以C B 1与平面BCD 所成的角为30°

（20）解：

（I ）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人。

（II ）记A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则

158

)(2

1614==C C C A P

（III ）i A 表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i 名男工人，210，，

=i j B 表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j 名男工人，210j ，，= B 表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。

i A 与j B 独立，210，，，=j i ，且021120B A B A B A B ?+?+?= 故

)()(021120B A B A B A P B P ?+?+?=

)()()()()()(021120B P A P B P A P B P A P ?+?+?=

26210262814162

1016142102

21024C C C C C C C C C C C C C C ?+?+?=

31= （21）解：

（I ）)2)(2(4)1(2)(2a x x a x a x x f --=++-='

由1>a 知，当2'x f ，故)(x f 在区间)2,(-∞是增函数；当a x 22<<时，0)(<'x f ，故)(x f 在区间)2,2(a 是减函数；当a x 2>时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间),2(+∞a 是增函数。

综上，当1>a 时，)(x f 在区间)2,(-∞和),2(+∞a 是增函数，在区间)2,2(a 是减函数。

（II ）由（I ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。

a a a a a a a f 2424)2)(1()2(31

)2(23+?++-= a a a 2443

3++-=

a f 24)0(= 由假设知

?????>>>,0)0(,0)2(1f a f a 即????

???>>-+->.024,0)6)(3(34,

1a a a a a 解得 1

故a 的取值范围是（1，6）

（22）解：

（Ⅰ）设(),0,c F 当l 的斜率为1时，其方程为O c y x ,0=--到l 的距离为

200c c

故

c ， 1=c 由 3

a c e 得 3=

a ，22c a

b -==2

（Ⅱ）C 上存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OB OA OP +=成立。由（Ⅰ）知C 的方程为2

2x +23y =6. 设).,(),,(2211y x B y x A (ⅰ) )1(-=x k y l x l 的方程为轴时，设不垂直当

C OB OA OP P +=使上的点成立的充要条件是）点的坐标为（2121,y y x x P ++，且

6)(3)(2221221=+++y y x x

整理得 664323221212

1=+++++y y x x y x y x

632,6322

2222

21=+=+y x y x C B A 上，即在、又

故 03322121=++y y x x ①

将并化简得代入,632)1(2

=+-=y x x k y

0636)32(2222=-+-+k x k x k

于是 2221326k k x x +=+, 21x x =22326

3k k +-,

212

21324)2)(1(k

k x x k y y +-=--=

代入①解得，22

=k ，此时2

321=

+x x 于是)2(2121-+=+x x k y y =2k -，即)2

,23(k P -

因此，当2-=k 时，)2

23(P ， 022=-+y x l 的方程为；当2=

k 时，)2

,23(-P ， 022=--y x l 的方程为。

（ⅱ）当l 垂直于x 轴时，由)0,2(=+OB OA 知，C 上不存在点P 使OB OA OP +=成立。

综上，C 上存在点)2

3(±

P 使OB OA OP +=成立，此时l 的方程为 0

22=-±y x