1.1 一元二次方程预习学案

1.1 一元二次方程预习学案

班级姓名时间

淮安市洪泽县新区中学孙开国

学习目标：

1．了解一元二次方程的一般形式，会写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项；

2．通过探索实际问题中的数量关系及其变化规律，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，感受方程是刻画现实世界的有效的数学模型；

3．通过观察，归纳一元二次方程的概念；

4.通过对问题的分析，培养学生对数学的兴趣，增进应用数学的信心．

重点：一元二次方程的概念．

难点：从具体问题抽象出一元二次方程的过程．

学习过程：

一．课前准备，提出问题。（静下心来哦，开始明天数学的起航！）

正方形桌面的面积是2m2，问：正方形的边长与面积之间有何数量关系？

用数学式子描述它们之间的关系：

二．合作交流，探索问题.（是一个人团结协作精神的具体体现......)

1.如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，花圃的面积是24m2．

问：矩形花圃的宽与面积之间有何关系？用什数

学式子来描述它们之间的关系：

设花圃的宽是x m，则花圃的长是 m，

可得：

2.某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到

9.8万册．

问：图书馆藏书年平均增长的百分率与藏书量之间有何关系？用什数学式子来描述它们之间的关系：

设图书馆藏书平均每年增长的百分率是x，图书馆藏书一年后为万册，两年后为万册，

可得：．

3.如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1m．设梯子的底端到墙面的距离是xm，怎样用方程来描述其中

的数量关系？

善于总结——才有更大进步！

1.方程x2＝2、x(19－2x)＝24、 5（1＋x）2＝9.8、x2＋（x－1）2 ＝25有哪些共同的特征？

它们都只含有个未知数，并且未知数的最高次数是。

2.观察所得到的方程（化简后），通过比较，找到它们的异同点．归纳得出一元二次方程的概念，

只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，像这样的方程叫做．

3.任何一个关于x的一元二次方程都可以化成（a、b、c是常数，a≠0）的一般形式．

其中ax2、bx、c分别叫做、和，

a、b分别叫做系数和系数．

4.你还能写一些与它们类似的方程吗？

．三．独立思考，解决问题。(是对一个人解决问题能力的充分展示......) 1.根据题意，列出方程：

（1）某学校图书馆去年年底有图书1万册，预计到明年年底增加到1.44万册。

求这两年图书的年平均增长率。

（2）一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。求这个正方形的边长。

2.判断下列关于x 的方程是否为一元二次方程：

⑴ 2（x 2－1）= 3y ⑵

3212=-x x

⑶（x －3）2=（x ＋5）2 ⑷ mx 2＋3x －2 = 0 ⑸ （a 2＋1）x 2＋（2a －1）x ＋5―a = 0

其中是一元二次方程的有： 。（填序号）

3.把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： ⑴ 2（x 2－1）= 3 x ⑵ 3（x －3）2=（x ＋2）2＋7

（3）y y =26 （4）（x-2）(x+3)=8

善于总结——才有更大进步！

．四．问题拓展，我最棒！（是一个人智慧与潜能的集中爆发......)

1.方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程?

2.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。

m +mx=7 是关于的一元二次方程，求m的值。

3. 若方程（m-2)x22

五．问题小结

①实际问题----------一元二次方程．

②一元二次方程的概念．

解一元二次方程--教学设计(张洁)

一、关联认知经验， 明确研究方向 问题（1）我们上节课已经学习了一元二次方程的概念，按照你以往的学习经验，接下来我们要研究什么呢？ 活动（1）请每组同学写出一些一元二次方程，为了方便观察，我们统一都写成一元二次方程的一般形式. 活动（2）虽然同学们写的都是一般形式，但是我们还是发现大家能够写出看起来是各式各样的一元二次方程.当我们要研究一个比较复杂的情形时可以怎么办呢？对，分类.那么请同学试着将这些一元二次方程分分类吧. 活动（3）请每组同学领一张任务纸，讨论呈现方式后，将自己小组同学写出的所有一元二次方程进行归类。学生预案： 根据已有的学习一元一次方程和分式 方程的经验，我们是按照方程的概念、解 法和应用的顺序展开研究，下面应该研究 一元二次方程的解法了. 学生预案： 分类方法可能有： （1）按等号左边多项式所含的项数分； （2）按系数是否为零分等情况； 教师预案： 根据学生的分类情况及时回应，如果 学生分类范围比较大，追问还能细分么？ 例子中若含有x2+1=0，x2+2x=0则引导学 生细分为两种情况，例子中若不含 x2+2x=0，教师不急于补充，在接下来的环 节中引导学生自主写出. 经过讨论，发现当a>0时，根据b、c 正、零、负的不同取值，一元二次方程共 有9种不同的类型；当a<0时，依据等式 的基本性质可将方程变为a>0的情形，因 此我们可以直接对b、c进行分类,对这9 类情形进行解法探究. 学生预案： 类别的呈现会出现直接罗列、树状 图、列表格等不同的形式。 教师预案： 用实物投影全班展示,比一比谁的呈 现方式更加直观简洁。 让学生有意识的 根据自己的学习经验， 总结代数学中研究方 程的一般顺序.自主提 出研究的内容和方向. 让学生自己写一 元二次方程，是对定义 的一次复习，同时也是 训练学生的发散思维， 提高同学的参与度和 研究兴趣的一种策略. 使学生在分类活 动中逐步认识一元二 次方程的各种形式，为 探究一元二次方程的 解法布好局，学生在接 下来的学习中探究每 个不同形式的方程解 法，也就完成了整个单 元中解法探索的整合 教学.使学生的学习是 连贯的、系统的，知识 的建构是完整的. “列表格”是数学中 常用的分析问题的方 法，既有直观简洁的特 征，又能体现分类者的 思维顺序。这里，通过 填表加深学生对一元 二次方程各项系数的 认识，以及方程不同类 型的理解，并为后续研

初中数学 一元二次方程学案

初中数学 第一课时 一元二次方程 学习目标 1.理解一元二次方程的概念，根据一元二 次方程的一般 式，确定各项系数 2.灵活应用一元二次方程概念解决有关问题 3.理解一元二次方程解的概念，并能解决相关问题 一、回顾思考： 一元一次方程是只含有 未知数，并且未知数的最高次数为 的 方程。 它的一般形式是 。 二元一次方程是含有 未知数，并且含未知数的项的最高次数是 的 方程。 它的一般形式是 。 二、观察归纳： 观察课件上面的方程，思考它们与我们所学的一元一次方程、二元一次方程有什么异同？ 1、 。2 。3 。 猜想：只含有______未知数，且未知数的最高次数是______的______方程叫 。 注：认识一元二次方程需从以下几个方面去考虑： （1）只含有一个未知数；（2）未知数最高次数2；（3）方程是整式方程； 思考：怎么才能判断是否是一元二次方程？ 一元二次方程的定义：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数, a ≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 三、一元二次方程的一般形式 任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成c b a c bx ax 、、(02=++是常数0a ≠）的形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中c bx ax 、、2分别叫_________、________和______，b a 、分别叫做_________和_________。 练习：把下列关于x 的一元二次方程化为一般形式，写出它的二次项系数、一次项系数及常数项538)1(2+=x x （2）)2(2)2(3-=-x x x 注意： （1）二次项系数0a ≠ （2）一元二次方程地一般形式不是唯一的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数。 （3）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般

九年级数学上册-解一元二次方程21.2.3因式分解法学案(无答案)(新版)新人教版

21.2.3 因式分解法 学习目标： 1．会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。2．能根据具体的一元二次方程的特征,灵活选择方程的解法,体会解决问题方法的多样性。重点、难点 1、重点：应用分解因式法解一元二次方程 2、难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程. 【课前预习】阅读教材P38 — 40 , 完成课前预习 1：知识准备 将下列各题因式分解 am+bm+cm= ; a2-b2= ; a2±2ab+b2= 因式分解的方法： 解下列方程． （1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法） 2：探究 仔细观察方程特征,除配方法或公式法,你能找到其它的解法吗？ 3、归纳： （1）对于一元二次方程,先因式分解使方程化为__________ _______的形式,再使 _________________________,从而实现_____ ____________,这种解法叫做 __________________。 （2）如果,那么或,这是因式分解法的根据。如：如果,那么或_______,即或________。 练习1、用因式分解法解下列方程： (1) x2-4x=0 (2) 4x2-49=0 (3) 5x2-10x+20=0 【课堂活动】 活动1：预习反馈 活动2：典型例题

活动3：随堂训练 1、用因式分解法解下列方程 （1）x2+x=0 （2）x2-2x=0 （3）3x2-6x=-3 （4）4x2-121=0 （5）3x(2x+1)=4x+2 （6）(x-4)2=(5-2x)2 2、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径。 活动4：课堂小结 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 （1）将方程右边化为 （2）将方程左边分解成两个一次因式的 （3）令每个因式分别为 ,得两个一元一次方程 （4）解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解 【课后巩固】

配方法解一元二次方程导学案[1]

配方法解一元二次方程. 学习目标：掌握用配方法解数字系数的一元二次方程； 重 点：用配方法解数字系数的一元二次方程； 难 点：配方的过程。 知识链接 a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 填空：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；（2）x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2； （3）x 2＋2 3x ＋（ ）＝（x ＋ ）2；(4) x 2＋x+( )=(x+ )2 从这些练习中你发现了什么特点? (1)________________________________________________ (2)________________________________________________ 例1、用配方法解下列方程： （1）x 2－6x －7＝0； （2）x 2＋3x ＋1＝0. 总结规律:用配方法解二次项系数是1的一元二次方程有哪些步骤？ 例2、 用配方法解下列方程： （1）011242=--x x （2）03232=-+x x 总结规律:用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程有哪些步骤？ 达标检测 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2 ⑤、4x 2－6x ＋（ ）＝4（x － ）2＝（2x － ）2.

2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 5．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 6．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 7. 用配方法解方程： （1）x 2＋8x －2＝0 （2）x 2－5x －6＝0. （3）2x 2-x=6 （4）x 2＋px ＋q ＝0(p 2－4q ≥0). （5）3x 2-5x=2． （6）x 2+8x=9 （7）x 2+12x-15=0 （8） 41 x 2-x-4=0 8. 用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。 （3） 已知代数式x 2-5x+7,先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？

一元二次方程导学案教案

2010-2011学年度 第一学期初三数学电子备课 第 四 章 导 学 案 （总计13教时） 备课人：

一元二次方程（1） 一 、学习目标 1 正确理解一元二次方程意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程； 2 知道一元二次方程的一般形式是c b a c bx ax 、、(02 =++是常数，0a ≠） ，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项； 3 理解并会用一元二次方程一般形式中a ≠0这一条件 4 通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣。 二 、知识准备： 1、只含有____________ 个未知数，且未知数的最高次数是___________的整式方程叫一元一次方程 2、方程2（x+1）=3的解是________________ 3、方程3x+2x=含有_______ 个未知数，含有未知数项的最高次数是_______________ ，它____________ （填“是”或“不是”）一元一次方程。 三 、学习内容 1、 根据题意列方程： ⑴正方形桌面的面积是2㎡，求它的边长。 设正方形桌面的边长是xm ，根据题意,得方程_______________，这个方程含有_____个未知数，未知数的最高次数是_____。 ⑵如图4-1，矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m ，如果花园的面积是24㎡，求花园的长和宽。 设花园的宽是xm,则花园的长是（19－2x ）m,根据题意，得：x(19－2x)=24，去括号，得:______________这个方程含有____________个未知数，含有未知数项的最高次数是________。 ⑶如图，长5m 距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。（3＋x ）＋设梯子滑动的距离是xm ，根据勾股定理，滑动的梯子的顶端离地面4m ，则滑动后梯子的顶端离地面（4－x ）m ，梯子的底端与墙的距离是（3＋x ）m 。 根据题意，得： 25x 342 2=++-）（）（x 去括号，得：_____________________ 移项，合并同类项，得： -_________________此方程含有_____________个未知数，含有未知数项的最高次数是______。 2、概括归纳与知识提升： ⑴像0241922 =+-x x ，02 =-x x ，22 =x 这样的方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫一元二次方程。 〖思考感悟〗判断下列方程是否是一元二次方程并说明理由。

2020-2021学年九年级数学(学案)一元二次方程的解

2020-2021学年 一元二次方程的解 数学 课题 一元二次方程的解 学 习 目 标 1、会用估算的方法探索一元二次方程的解或近似解．。 2、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。 重点：探索一元二次方程的解或近似解 难点：培养学生的估算意识和能力 【学习过程】 一、温故而知新 1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是：_________________________. 2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。 (1)2x 2―x+1=0 (2)―x 2+1=0 (3)x 2―x=0 (4)- 3 x 2=0 问题探究： 探索1：上节我们列出了与地毯的花边宽度有关的方程。 地毯花边的宽x(m)，满足方程 (8―2x)(5―2x)=18 也就是：2x 2 ―13x+11=0 你能估算出地毯花边的宽度x 吗？ （1）x 可能小于0吗？说说你的理由；_____________________________. （2）x 可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？ （3）完成下表 （4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。 探索2：梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x+6)2 +72 =102 ，也就是x 2 +12x ―15=0 （1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？ （2）x 的整数部分是_____？十分位是_______？ x x 0.5 1 1.5 2 2.5 2x 2-13x+11 备注（教师复备栏及学 生笔记）

x2+12x-15 所以 ___

一元二次方程的解法教学设计

一元二次方程的解法教学设计Teaching design of solving quadratic equation of one variable

一元二次方程的解法教学设计 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是初中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 教学目标 1．初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如的方程； 2．初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程； 3．掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程； 4．会用因式分解法解某些一元二次方程。 5．通过对一元二次方程解法的教学，使学生进一步理解“降次”的数学方法，进一步获得对事物可以转化的认识。 教学重点和难点 重点：一元二次方程的四种解法。

难点：选择恰当的方法解一元二次方程。 教学建议： 一、教材分析： 1．知识结构： 2．重点、难点分析 （1）熟练掌握开平方法解一元二次方程 用开平方法解一元二次方程，一种是直接开平方法，另一种是配方法。 如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程，和方程就可以直接开平方法求解，在开平方时注意取正、负两个平方根。 配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，转化为的形式来求解。配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤。 （2）熟记求根公式（）和公式中字母的意义在使用求根公式时要注意以下三点：

二次函数与一元二次方程经典教学案+典型例题

二次函数与一元二次方程教学案 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ， ，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离 21AB x x =-= . ② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 例：二次函数ｙ＝ｘ2－3ｘ＋2与x 轴有无交点?若有，请说出交点坐标；若没有，请说明理由: ⑵ 根据图象的位置判断二次函数中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ， c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑶ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑴一元二次方程02=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数

c bx ax y ++=2与 x 轴交点的 . ⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为 21x x 、） ⑶二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是 . 【例1】 已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式； ②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，，且在实数范 围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求

因式分解法解一元二次方程导学案(教师版)

24、2因式分解法解一元二次方程导学案 学习目标： 1、会用因式分解法解一元二次方程 2、会灵活选择合适的方法求解一元二次方程 学习重点： 1、会用因式分解法解一元二次方程 学习难点： 1、会用因式分解法解一元二次方程 2、根据方程特征选择适当的方法解一元二次方程 温故而知新 1、什么叫因式分解？ 2、你所知道的因式分解的方法有哪些？ 3、将下列各式因式分解 (1) x2-x (2) x2-4 (3) x2-2x+1 (4) x2+x-12 4、回想乘法法则：几个数相乘，有一个因式为零，则积为零。反之，若ab=0，那么________ 运用这一结论，快速求解下列方程 （1）x(x-1)=0 （2）(x-3)(x-5)=0 （3） (x+1)(x-4)=0 5、思考：试试这个吧！（要求群学） 解方程：x2=3x

闪亮登场 1、试一试 （群学）试着用上面的方法求解一元二次方程 x 2 =3x （请一名同学上台演示，必须说明理论依据和步骤） 2、总结因式分解法解一元二次方程的定义（投影) 先将一元二次方程通过（ ）化为两个一次式的乘积等于（ ）的形式，再使这两个一次式分别等于（ ），从而实现（ ），这种解法叫做因式分解法。 3、总结因式分解的步骤 （学生总结） （投影展示）【右化零，左分解，两因式，各求解】 4、把关练习（师傅把关） (1)x(x-2)+x-2=0 (2)(x －1)(x ＋2)=2(x ＋2) (3)5x 2-2x-41=x 2-2x+4 3 (4)x 2-12x+35=0 5、找找茬 （对学） 有一个很爱动脑筋的同学，又发现了一种更简洁的解法，大家看一看，这样行吗？ x 2 =4x 解：方程同除以x ，得 x=4

一元二次方程优质课教学设计

《一元二次方程》 2.1一元二次方程教学设计 一、内容和内容解析 （1）内容：一元二次方程的概念, 一元二次方程的一般形式 （2）内容解析：一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数以及高次方程等知识的基础。初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。 二、目标和目标解析 （1）目标：理解一元二次方程的概念；了解一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。（2）目标解析： 1．通过实际问题的解决，让学生体会到未知数相乘（或因面积问题）导致方程的次数升高，从而说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性． 2．将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念。学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件． 三、学情分析 教学对象是九年级学生，他们有强烈的好奇心和求知欲，当他们在解决实际问题时，发现列出的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想需要进一步研究和探索有关方程的问题。而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了一元一次方程及相关概念、整式、分式、二次根式。这就为我们继续研究一元二次方程奠定了基础。 四、教学问题诊断分析

解一元二次方程(直接开平方法)教学设计

解一元二次方程(直接开平方法)教学设计 一、教学目标： 1、掌握用开平方法解形如ax2+c=0（缺一次项）的方程。 2、掌握用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程。 二、重难点： 重点：运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程． 难点：通过平方根的意义解形如x2=a的方程，再迁移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。 三、设计思路：通用复习平方根的意义，为运用开平方法解一元二次方程作铺垫；通过问题引出运用开平方法解方程的必要性；通过习题的练习和讲解，由浅入深迁移到解可化为形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。 四、教学过程： （一）复习引入 1、复习平方根的意义。 2、练习：求出下列各式中x的值。 （1）x2=16 （2）x2=7 4（3）x2=a（a>0） （3）x2= 25 （二）探索 问题:一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为 dm2，列方程， 整理，得

对照上述练习解方程的过程，你能解下列方程吗？ （老师）解出完整的过程。 小结：方程x2=P，①当P﹥0时，x1=-P，x2=P；②当P=0时，x1= x2=0；③当P﹤0时，方程无实数根。 练习：解方程下列方程。 （1）x2-9=0 （2）3x2=15（3）2x2-8=0 （三）解讲例题：解方程 （1）（x-3）2=5 （2）3（x+2）2-9=0 （学生）归纳：应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p。（四）课堂练习： 1、若3x2-15=0，则x的值是_________。 2、方程2（x-3）2=36的根是________。 3、方程2x2+8=0的根为（）． A．2 B．-2 C．±2 D．无实数根 4、解下列方程 （1）x2-5=0 （2）3x2-12=0 （1）4x2-1=0 （4）（2x-3）2-4=0 五、课外练习：P6练习 六、课外作业：P16复习巩固第1题

3.4用因式分解法解一元二次方程导学案

3.4用因式分解法解一元二次方程导学案 学习目标 掌握用因式分解法解一元二次方程． 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重难点关键 1．重点：用因式分解法解一元二次方程． 2．?难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便． 学习过程 一、课前预习： （学生活动）解下列方程． （1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法） 老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解． 二、课内探究 1、自主学习： 思考下面各题． （1）上面两个方程中有没有常数项？ （2）等式左边的各项有没有共同因式？ 上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2） 因此，上面两个方程都可以写成： （1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0 因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-． （2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2． 结论：因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法． 2、合作交流： 先自己完成，后小组对照答案，改正错误 例1．解方程 （1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，?另一边为0的形式 解：（1） （2）移项，得

十字相乘法解一元二次方程学案

补充：十字相乘法解一元二次方程（林） 第一部分：用十字相乘法因式分解 一、复习导入 1、计算 （1）(x+2)(x+1)=_____________________________________ （2）(x+2)(x-1)=_____________________________________ （3）(x-2)(x+1)= _____________________________________ （4）(x-2)(x-1)= _____________________________________ （5）（x+a ）(x+b)= _____________________________________ 2、观察以上结果回答： （1）x 2+3x +2=_____________________________________ (2)x 2+x -2=_____________________________________ (3)x 2-x -2=_____________________________________ (4)x 2-3x +2=_____________________________________ (5)2()=x a b x ab +++ _____________________________________ 也就是说，对于二次三项式q px x ++2，如果常数项q 可以分解成__________________________，并且一次项 系数p ___________________________时,我们就可以用上面的方法分解因式。 二、典例分析 例1：分解因式 （1）267x x +- （2）232x x ++ 利用十字交叉线来分解系数，把___________分解因式的方法叫做十字相乘法。“十字相乘法”是乘法公式(x+a)(x+b)=x 2 +(a+b)x+ab 的反向运算，它适用于分解__________。 十字相乘法因式分解解题步骤 ① _____________________________________ 口诀： ② _____________________________________ ③ _____________________________________

九年级数学导学案：22.2.5解一元二次方程

22.2.5解一元二次方程 学习目标： 1、理解并掌握用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程的方法 2、选择合适的方法解一元二次方程 重点、难点 1、 重点：用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元一次方程 2、 难点：选择合适的方法解一元二次方程 【课前预习】 一、梳理知识 1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次 2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表： 方法名称 理论根据 适用方程的形式 直接开平方法 平方根的定义 2x p =或2()mx n p +=(0)p ≥ 配方法 完全平方公式 所有的一元二次方程 公式法 配方法 所有的一元二次方程 因式分解法 两个因式的积等于0，那么这两个因式至少 有一个等于0 一边是0，另一边易于分解成两 个一次因式的乘积的一元二次 方程 3、一般考虑选择方法的顺序是： 直接开平方法、分解因式法、配方法或公式法 二、用适当的方法解下列方程： 1. 270x x -= 2. 2 1227x x += 3、X （x-2）+X-2=0 4. 2 24x x +-= 5、5x 2 -2X-4 1 =x 2 -2X+43 6. 2 24(2) 9(21)x x +=-

【课堂活动】 活动1：预习反馈 活动2：典型例题 1．用直接开方法解方程： ⑴ 01362=-x ⑵8142=x ⑶ ()1652 =+x ⑷4122=+-x x 2．用因式分解法解方程： ⑴02=+x x ⑵012142 =-x ⑶()()012123=---x x x ⑷ ()()02542 2=---x x 3．用配方法解方程： ⑴016102 =++x x ⑵04 32 =--x x ⑶ 05632=-+x x ⑷0942 =--x x

公式法解一元二次方程导学案

公式法解一元二次方程导学案 主备人： 组长： 包科领导： 学习目标： 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式， 通过判别式判断根的情况. 3.学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程 学习重点： 求根公式的推导，公式的正确使用 学习难点： 求根公式的推导 预 习 案 1、用配方法解下列方程 （1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52 2、如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能 否用上面配方法的步骤求出它们的两根？ 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c ? 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解： 移项，得： ， 二次项系数化为1，得 配方，得： 即 ∵a ≠0，∴4a 2>0，式子b 2-4ac 的值有以下三种情况： （1） b 2 -4ac ＞0，则2244b ac a -＞0 直接开平方，得： 即x=2b a -± ∴x 1= ，x 2= （2） b 2 -4ac=0，则2244b ac a -=0此时方程的跟为 即一元二次程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个 的实根。 （3） b 2 -4ac ＜0，则2244b ac a -＜0，此时（x+2b a ）2 ＜0，而x 取

任何实数都不能使（x+2b a ）2 ＜0，因此方程 实数根。 探 究 案 一、由预习可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定， （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0， 当b 2 -4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x=2b a -±就得到方程的根，当b 2-4ac ＜0，方程没有实数根。 （2）ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式． （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有 实数根。 当b 2-4a c ＞0时，一元二次方程有 的实数根； 当b 2-4ac=0时，一元二次方程有 的实数根； 当b 2-4ac ＜0，一元二次方程 实数根。 （4） 一般地，式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的 判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ= b 2-4ac 二、使用公式法解一元二次方程的一般步骤： ○ 1把方程整理成一般形式，确定a,b,c 的值，注意符号 ○ 2求出b 2-4ac 的值 ○ 3当b 2-4ac ≥0时，把a ，b ，c 及b 2-4ac 的值带入求根公式 x 1，x 2；当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根 三、用公式法解方程（参考课本65页例题书写） （1）x 2-4x-7=0 （2）4x 2-3x+1=0 四、当堂训练 1.用公式法解下列方程：

21.1一元二次方程(教学设计)

第1课时 21.1一元二次方程(教学设计) 课型：新授课 编制：张媚 九年级（ ）班 姓名 学习目标： 1、知识与技能： 了解一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)，应用一元二次方程概念解决一些简单问题。 2、过程与方法： 通过独立思考，小组交流，探究一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式。 3、情感与态度： 培养学生自学能力与小组合作的意识。 重点： 一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0) 难点：一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)转化。 学情分析：本节课以实际问题为例，通过自主学习，小组探究交流讨论，引出一元二次方程的概念，有利于学生感受和理解，对每个知识点，进行归纳整理，设计适当练习，加深对知识理解，发展学生的能力，突破重点，降低难点。但现有 学生运算能力较差，将一元二次方程的化为一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一定困 难，对实际问题列一元二次方程也会出现困难。 导学过程： 一、自学指导： 阅读教材第1至4页，并完成预习内容.. 问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积 为3 600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为 ，宽为 .得方程 ， 整理得 化简，得 .① 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为 设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他 个队各赛1场，所以全部比赛共 ____ 场. 列方程_ ____ = . 化简整理得 .② 知识探究 (1)方程①②中未知数的个数各是多少？ 个 (2)它们最高次数分别是几次？ 次 方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是整式，只含有 未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 的整式方程. 自学反馈 1.一元二次方程的概念. 2.一元二次方程的一般形式: 自学检测： 下列方程中哪些是一元二次方程？（看课件） 二、合作探究（例题学习） 活动1小组讨论 例1将方程3x （x －1）＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. 05212 =+-x x )(

一元二次方程复习导学案教案｜学案｜教学设计[人教版初三九年级]

《一元二次方程复习》导学案 5. 一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下 一、填空题： 1、在下列方程①2x+1=0;②y2+x=1;③x2+1=0;④ +x2=1中，是一元一次方程的是_____。 2、已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的一个解，则m=______。 3、若关于x 的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的常项为0，则m=________。 4、关于x 的一元二次方程x2-mx+m-2=0的根的情况是__________。 5、写出两个一元二次方程，使每个方程都有一根为0，并且二次项系数都为1：________；______________。 6、三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长是___________。 7、解方程5（x- ）2=2(x- )最适当的方法是_____________。二、填空题：（每题3分，共24分） 8．一元二次方程02=-x x 的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ； 9. 方程042=-x x 的解为

10．已知关于x 一元二次方程02=++c bx ax 有一个根为1，则 =++c b a 11．当代数式532++x x 的值等于7时，代数式2932-+x x 的值是 ； 12．关于0132=+-x x 实数根（注：填“有”或“没有”）。 13．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两 位数为 ； 14．已知一元二次方程032=++px x 的一个根为3-，则_____=p ． 15. 阅读材料：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下 关系：12b x x a +=-，a c x x =?21．根据该材料填空：已知1x ， 2x 是方程2630x x ++=的两 二、选择题：（每题3分，共30分） 1、关于x 的方程0232=+-x ax 是一元二次方程，则（ ） A 、a ＞0 B 、a ≠0 C 、a ＝0 D 、a ≥0 2．用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是

21.2.1 解 一元二次方程(2)导学案

万全区第三初级中学九年级(上)数学学案 姓名_______ 年级_____ 班级_____教师________ 课题 21.2.1 解 一元二次方程（2） 课时 授课时间 月 日 节 主备人 学习 目标 1、熟练掌握完全平方公式，会将一个二次三项式配成一个完全平方 2、理解配方法的根据就是直接开平方。 3、会用配方法解一元二次方程。注意变形形式的求解 重点 会用配方法解一元二次方程。 难点 变形形式的求解 学习过程及内容 学教记录 自主学习 1、若x 2 =a (a ≥0)，则x =_______. 若（x +1）2 =a (a ≥0)，则x =_______，即 x 1＝_______，x 2＝________. 直接开平方法解一元二次方程要求方程左边是一个含有未知数的 ，右边是一个 。 2、解方程：（1）、2 3270x -= （2）、2 (3)25x += 3、思考下面方程如何求解，并思考它们之间的联系 （1）、26925x x ++= （2）、2 616x x += 合作探究： 1、 象上面的方程求解，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法； 配方法是为了 ，把一个一元二次方程转化为两个 来解。 2、配方法是将方程左边变成含有未知数的 ，右边是 ， 再用直接开平方法求解。 3、例1、在空格处填上适当的数字，使式子成为完全平方。 （1）、2 6x x -+ =(x - ）2； （2）、2 x + +25=(x + ）2 （3）、2 36x x -+ =3(x - ）2 （4）、2 23x x -+ =2(x - ）2 代数式 写成22 2x xy y ±+形式 x y 写成2 ()x y ±形式 28x x -+ 22244x x -??+ x 4 2(4)x - 23b b -+ 25x x ++ 23 2m m -+ 22 3 y y -+ 2x ax ++

用配方法解一元二次方程(1)导学案

3.2用配方法解一元二次方程（1）导学案 一、学习目标 知识与技能： 1、会用直接开平方法解形如（a≠0,a≥0）的方程； 2、会用因式分解法解简单的一元二次方程。 3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用。 4、使学生经历探索解一元二次方程的过程。 过程与方法： 在具体问题中感受方程作为刻画现实世界的有效模型的意义。 感情态度与价值观： 在共同探究问题中学会学习，树立自信心。 二、学习重点 掌握直接开平方法，渗透转化思想。 三、学习难点 是怎样的一元二次方程适用于直接开平方法，并理解一元二次方程有两个实数根，也可能无实数根。 四、学习过程 （一）复习练习： 1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及其系数。 （1）（2） （3） 2、要求学生复述平方根的意义。 （1）文字语言表示：如果一个数的平方等于，这个数叫的平方根。 （2）用式子表示：若，则叫做的平方根。 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 零的平方根是零； 负数没有平方根。 （3） 4 的平方根是，81的平方根是， 100的算术平方根是。 （二）学习过程

活动一：自主探究，合作交流 试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. （1）x2＝4；（2）x2－1＝0; 活动二：探索新知 概括 对于第（1）个方程，有这样的解法： 方程x2＝4， 意味着x是4的平方根，所以 , 即x= 2. 这种方法叫做直接开平方法. 对于第（2）个方程，有这样的解法： 将方程左边用平方差公式分解因式，得 （x－1）（x＋1）＝0， 必有x－1＝0，或x＋1＝0, 分别解这两个一元一次方程，得 x1＝1，x2＝－1. 这种方法叫做因式分解法. 思考 （1）方程x2＝4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？ （2）方程x2－1＝0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？ 活动三：运用新知解决问题 做一做： 试用两种方法解方程x2－900＝0. 活动四、挑战自我 解下列方程： （1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0 ; （3）x2＝169；（4）45－x2＝0； （5）12y2－25＝0；（6）4x2+16＝0 五、归纳总结，形成知识网络 通过这节课的学习你有哪些收获？ 六、作业布置 课本81页练习题1、2

一元二次方程教学案例及反思

一元二次方程教学案例及反思 一、案例背景 1、教材分析： 一元二次方程在初中代数学习中，具有重要的地位，起着承前启后的作用。一方面对以前学习过的各种知识进行综合地应用，比如说整式、开平方、一元一次方程、一次方程组以及不等式的知识在这一章里都有应用，另一方面，一元二次方程又是前面所学知识的继续和发展，它还是以后学习其他方程以及数学知识的基础，比如说，二次函数、高中要学习的指数方程、对数方程等等都与一元二次方程有关。这节课是人教版第22章的第一节课时，主要学习一元二次方程的定义、一般形式及其根的概念。本节在引言方程的基础上，首先通过两个实际问题——面积问题和比赛问题，进一步引出一元二次方程的具体例子，然后再引导学生观察列出这三个具体方程，并发现它们在形式上的共同点，给出一元二次方程的定义。 2、学生分析 在前面学生已经学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程等等，已经初步地感受了方程的模型作用，并且积累了一些利用方程解决实际问题的一些经验，解决了一些实际问题。教师要在这基础上，通过实际问题，引导学生认识一元二次方程的定义、一般形式及其根的概念。 3、教学目标： （1）理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的；掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式；理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根。 （2）经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念及其一般形式和其它三种特殊形式。 （3）通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。 4、教学重点： 一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念。 5、教学难点： 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。 6、教学思路： 以实际问题为背景，引出一元二次方程及其有关概念，通过学生分组讨论，得到一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程根的概念，组织学生分析一元二次方程的根的不唯一性。 二、课堂实录： （一）复习引入 师：我们已经学习了一元一次方程及其解法、可化为一元一次方程的分式方程，知道运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。今天我们来学习一种新的方程——一元二次方程。 师：在学习之前，同学们回忆一下，什么叫一元一次方程？ 生1：含有一个未知数，并且未知数的次数是1的式子是一元一次方程。 生2：不是“式子”应该是整式方程。 师：对了，一定是整式方程才行，要不然有可能是分式方程，大家要记住哦。