《微积分(下)》习题选解
习题6.2(P10)
2.估计下列定积分的值: (4)
∫
33
1d arctan x x x .
解 设,x x x f arctan )(=]3,3
1
[
∈x . 因为01arctan )(2>++=′x x
x x f ,]3,31[∈x ,故x x x f arctan )(=在]3,3
1[上单调增加,
其最大值与最小值分别为π33)3(==f M ,3
6)31
(π==f m .由估值定理得:
∫=??≤
≤?
=
33
132)3
1
3(33d arctan )3
1
3(3
69
πππ
π
x x x . 6.设在上可导,且满足)(x f ]1,0[∫
=21
d )(2
)1(x x xf f ,试证:存在)1,0(∈c ,使得
)(c f ′=c
c f )
(?
. 证明 设,则在上可导,又
)()(x xf x F =)(x F ]1,0[)()()02
1()(2d )(2)1()1(210
ξξξξξF f f x
x xf f F ==???==∫积分中值定理
,)21
,0(∈ξ.
对在)()(x xf x F =]1,[ξ上应用罗尔定理:)1,0()1,(?∈?ξc ,使得0)(=′c F ,即=)(c f ′c
c f )
(?.
7.设函数,在上连续,且,利用闭区间上连续函数性质,证明存在一点)(x f )(x g ],[b a 0)(>x g ],[b a ∈ξ,使
∫∫
=b
a
b a
x x g f x x g x f d )()(d )()(ξ.
证明 因为在上连续,则在上必可取得最大值)(x f ],[b a )(x f ],[b a M 和最小值,所以有
m )()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤, ],[b a x ∈.
由定积分性质1及性质5推论1:
∫∫∫≤≤b
a
b a
b a
x x g M x x g x f x x g m d )(d )()(d )(,
由及习题6.2 4.题的结论:
0)(>x g ∫
>b a
x x g 0d )(,
所以,
M x
x g x
x g x f m a
b a
≤≤
∫
∫d )(d )()(,
由介值定理:],[b a ∈?ξ,使得
)(d )(d )()(ξf x
x g x
x g x f b a
b a
=∫
∫
即
.
∫∫
=b
a
b a
x x g f x x g x f d )()(d )()(ξ习题6.4(P18)
1. 试求下列函数的导数: (2)
∫
20
d sin x t t
t
. 解 x x x x x t t t x 22
20sin 2)(sin d sin 2
=′?=′??
????∫. (4)
∫
.
022
d cos x
t t x 解 = ′????
??∫0
22d cos x t t x x x x t t t t x x x 2))cos((d cos d cos 22020222
??+=′?????
?∫∫=
.
4202cos 2d cos 2
x x t t x
?∫
2. 设是连续函数,且,求.
)(x f x t t f x =∫
?10
3d )()7(f 解 等式
两边对x t t f x =∫
?10
3d )(x 求导:
131)(23=??x x f ,
上式中令2=x :12
1
)7(=f . 3. 求由
所决定的隐函数0d cos d e 0
=+∫∫
x
y t
t t t y 对x 的导数
y d . 解 方程两边对x 求导:
0cos e =+′?x y y ,
解得
y x y x y e
cos d d ?=′=. 4. 求下列各极限:
(1)x
t t x
t
x ∫+→0
1
d )2sin 1(lim
.
解 原式=22sin lim
2sin 2sin 101
0e e
)2sin 1(lim 1)
2sin 1(lim
0==???
????
?+=+→→→x x x
x
x
x x
x x x x .
(3)d sin lim
2
22
π?∫
π
π
→
x t
t x x .
解 原式=11sin lim
22
=→
x
x π. 5. 计算下列各定积分: (1)
∫
;
+?10
2d )13(x x x 解 原式=211|)2
1(10
2
3=+?
x x x . (3)
∫
+2
1
2d )1
(x x
x ;
解 原式=
654|)123
1(d )12(213
2
1
2
2=?+=+
+∫
x x x x x x .
(5)
∫+3
1)1(d x x x ;
解 原式=[]23ln |)1ln(ln d 1113
131=+?=??
????+?∫x x x x x . (7)∫?+++01224d 1
1
33x x x x ;
解 原式=41|)arctan (d 113d 11)1(30130122
01222π+=+=??
????++=+++???∫∫x x x x x x x x x . (9)
∫
4
2d tan π
θθ;
解 原式=4
1|)(tan d )1(sec 40
4
2
π
θθθθπ
π
?=?=?∫.
(11)
∫
;
?π
θθ0
3d )sin 1( 解 原式=34|)cos 3
1
(cos dcos )cos 1(d 03020
?=?+=?+∫∫πθθπθθθπππ
. (13)
∫
; π20
d |sin |x x 解 原式=.
4|cos |cos d )sin (d sin 2020
=+?=?+∫
∫
π
πππ
π
π
x x x x x x (15)
∫e
e 1d |
ln |x x x ;
解 原式=∫∫∫∫+?=+?e 11e 1e 11e 1dln ln dln ln d ln d ln x x x x x x x x x x =1|ln 21|ln 21
e 121e
1
2=+?x x . (17)
,其中∫
20
d )(x x f ???
??>≤+=1 ,11
,1)(2x x x x x f .
解
=∫
20
d )(x x f ∫
∫∫∫++=+21
2
1
2
1
1
d 21d )1(d )(d )(x x x x x x f x x f =38|61|)2
1(213102=+
+x x x . 6. 设?????π
><π
≤≤=x x x x x f 或0 ,00 ,sin 1)(,求在∫=Φx t t f x 0
d )()(),(∞+?∞上的表达式. 解 当0 0d 0)(0==Φ∫x t x 当π≤≤x 0时,)cos 1(2 1|cos 21d sin 21)(00x t t t x x x ?=?== Φ∫; 当π>x 时, 1d 0d sin 21 d )(d )()(00=+=+=Φ∫∫∫∫x x t t t t t f t t f x π πππ. 习题6.5(P24) 1. 计算下列定积分: (1) ∫?9 4d 1x x x ; 解 原式2ln 27|)1ln(212d 1112d 213 223232+=?? ?????++=???????++=??=∫∫t t t t t t t t t t t x . (3) ∫ ??1 1 d 45x x x ; 解 设t x =?45,则)5(412t x ?= ,t t x d 2 1 d ?=,且当1?=x 时,3=t ;当1=x 时,1=t ,于是 原式=6 1|311081d )5(81)d 21()5(41313312132 =???????=?=???∫∫t t t t t t t . (5) ∫ ?12 1 2 d 1x x x ; 解 原式41)42(|cot d )1(csc d cos sin cos sin 24 24 22 42ππππ πππππ?=???=?=?=∫∫t t t t t t t t x . (7) ∫ +3 1 2 2 1d x x x ; 解 原式 3 3 22sin 1d sin cos d sec sec tan 1tan 3 4 3423 4 22? =?==?=∫∫π π π ππ π t t t t t t t t t x . (9) ∫ ?+5ln 0 d 1 e 3 e e x x x x ; 解 设t x =?1e ,则,,21e t x +=)1ln(2t x +=t t t x d 12d +=,且当0=x 时,;当0=t x =时,.于是 5ln 2=t 原式=∫∫?=?? ???? ??=??????+?=+?+++2020222 02224|2arctan 21422d 2412d 123)1()1(πt t t t t t t t t . (9) ∫?22 2d 1 1 x x x . 解 原式1243d d tan sec |tan |sec 1sec 3434ππππ πππ=?==?=∫∫t t t t t t t x . 2.计算下列定积分: (1) ∫; ππ ?x x x d sin 4 解 因为被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,所以原式=0. (2) ∫ ??212 12 2 1)(arcsin x x x ; 解 原式=324 |)(arcsin 32)arcsin d()(arcsin 21)(arcsin 232 1 03210 2 210 2 2 π===?∫ ∫ x x x x x x . (3) ∫ π π?+2d )cos (sin x x x ; 解 原式=2|sin 2d cos 20d cos d sin 2020 22 22 ==+=+∫ ∫∫? ?π π π ππ πx x x x x x x . (4) ∫ ??++11 2 3d 1252x x x x ; 解 原式=π2|arcsin 41140d 12d 1521010 2 1 1 2 1 1 2 3==?+=?+?+∫ ∫ ∫ ??x x x x x x x x x . (5) ∫ ; ?++1 1 2d )1||2(x x x 解 原式= 3 22|)13(91|)1(31d )12(d )12(1 0301310 20 12=+++=++++???∫∫x x x x x x x x . (6)∫π π??+4d e 1cos x x x . 解 , ∵ ∫∫ ?+=?a a a x x f x f x x f 0 d )]()([d )( ∴22|sin d cos d e 1)cos(e 1cos d e 1cos 404040)(44 ===??????+?++=+∫∫∫????π ππππx x x x x x x x x x . 3. 设???? ?≥+<+=0 ,110 ,e 11 )(x x x x f x ,求. ∫?2 0d )1(x x f 解 ∫?20 d )1(x x f ∫∫∫+++==???10011111d e 11 d )(1t t t t t f t x t ==1 001|)1ln(|)]e 1ln([t t t +++??)e 1ln(+. 4. 设,求 . 0)(d )(210=?+∫ x x f x x f ∫ 10 d )(x x f 解 设 ,则A x x f =∫ 10 d )(A x x f 2)(?=,于是 A A x x A x x x f A 22 1 2|21d )2(d )(1021 1 ?=?= ?==∫∫, 解得6 1 d )(10 = = ∫ x x f A . 5. 证明:∫∫+=+x x x x x x 1 121 2 d 11d 11 (). 0>x 证明 ∫∫∫∫+=+=??+=+x x x x x x t t t t t t x x x 1 1211211212 d 1111)1(1111d 11. 6. 证明: . ∫∫ ?=?1 10 d )1(d )1(x x x x x x m n n m 证明 ∫∫∫ ∫ ?=?=??=??1 1 1 10 d )1(d )1()d ()1(1d )1(x x x t t t t t t t x x x x m n m n n m n m . 7. 证明: ∫∫=2 02 3 d )(21d )(a a x x xf x x f x . 证明 ∫∫∫∫===220 02 0222023d )(21d )(21)d()(21d )(a a a a x x f x t t f t t x x x f x x x f x . 8. 设是)(x f ),(∞+?∞内连续函数,证明: )()2(2d )(d d 0 x f x f t t x f x x ?=+∫. 证明 ∫ ∫ =++x x x u u f u t x t t x f 20 d )(d )(, )()2(2)(2)2(d )(d d d )(d d 20x f x f x f x f u u f x t t x f x x x x ?=??==+∫∫. 9. 设函数连续,且 ,求极限)(x f 0)0(≠f ∫∫??→x x x t t x f x t t f t x 0 d )(d )()(lim . 解 , ∫∫ ∫?=?x x x t t tf t t f x t t f t x 0 d )(d )(d )()( ∫∫∫ ∫ ==?=??x x x x t t f u u f u u f u t x t t x f 0 d )(d )()d ()(d )(, ∫∫??→x x x t t x f x t t f t x 0 d )(d )()(lim =∫∫∫?→x x x x t t f x t t tf t t f x 0 d )(d )(d )(lim =) (d )() ()(d )(lim x xf t t f x xf x xf t t f x x x +?+∫ ∫→ =) (d )(d )(lim x xf u u f t t f x x x +∫ ∫→=∫ + →x x t t f x xf 0 d )() (11 lim , 而1) 0(1 )0()(1lim )0(d )(lim )(lim d )() (lim =?=?=?=→→→→∫ ∫ f f x f f t t f x x f t t f x xf x x x x x x , ∴ 21d )(d )()(lim =??∫∫→x x x t t x f x t t f t x . 10. 设是以l 为周期的连续函数,证明的值与的选择无关. )(x f ∫ +l a a x x f d )(a 证明 , ∫ ∫∫∫ ++++=l a l l a l a a x x f x x f x x f x x f d )(d )(d )(d )(0 0而 ∫∫∫ ∫ ?=?=++=+0 d )(d )(d )(d )(a a a l a l x x f t t f t l t f l t x x x f , ,即∫ 的值与的选择无关. ∴ ∫∫ =+l l a a x x f x x f 0 d )(d )(+l a a x x f d )(a 11. 设在内连续,且,证明: )(x f ),(∞+?∞∫ =x t t f x F 0 d )()( (1) 若为奇函数,则为偶函数; )(x f )(x F (2) 若为偶函数,则为奇函数; )(x f )(x F (3) 奇函数的原函数均为偶函数;偶函数的原函数中只有一个奇函数. 证明 (1))(d )()d ()]([)d ()(d )()(0 x F t t f u u f u u f u t t t f x F x x x x ==??=???== ?∫∫∫ ∫ ?,说明 为偶函数. )(x F (2))(d )()d ()()d ()(d )()(0 x F t t f u u f u u f u t t t f x F x x x x ?=?=?=???==?∫∫∫ ∫ ?,说明为奇函数. ) (x F (3)由于的原函数可表示为,则由(1)、(2)可知: 奇函数的原函数 均为偶函数;偶函数的原函数中只有一个奇函数. )(x f C t t f C x F x +=+∫ d )()(习题6.5(P28) 计算下列定积分: 1. ∫210 d arcsin x x ; 解 原式=12 3 12 |112 d 1|arcsin 210 2210 2 210 ?+ = ?+= ??∫ π π x x x x x x . 3. ; ∫ 10 d arctan x x x 解 原式=∫∫+?=1021 02102d 121|arctan 21)d(arctan 21x x x x x x x =2 14|)arctan (218d 1112142110 102?=??=??????+???∫πππx x x x . 5. ∫π +4 0d 2cos 1x x x ; 解 原式=∫∫∫?==40 404040d tan 21 |tan 21)d(tan 21cos 2π πππx x x x x x x x x =42ln 8|cos ln 2184 ?=+πππ x . 7.∫?+102 )2() 1ln(x x x ; 解 原式=∫∫+????+=?? ?????+101 01 0d 11212) 1ln(21d )1ln(x x x x x x x =∫???????++?10d 2111312ln x x x =∫∫??+++?1010)2131)d(111312ln x x x x =2ln 3 1|)2ln(31|)1ln(312ln 1 010=?++?x x . 9. ∫ 10 d e x x ; 解 原式2|e )1(2d 2e 1010 =?=?=∫ t t t t t t x . 11. ∫ 10 d ) (x x x f ,其中∫?=x t t x f 1 d e )(2. 解 原式=∫ ∫ ′??=10 10 10 d )(2|)(2)d()(2 x x f x x f x x x f =∫∫ ???=? ??1 10 )( d e d 21e 2 02 x x x x x x =1e 1 |e 10?= ?x . 12. 设连续,证明:. )(x f ∫∫∫ ??????=?x t x t x x f t t x t f 000 d d )(d ))(( 证明 =∫∫??????x t t x x f 00d d )(∫∫∫?? ???????????x t x t x x f t x x f t 0000d )(d d )(= ∫∫?x x t t tf x x f x 00d )(d )(===. ∫∫ ?x x t t tf t t f x d )(d )(∫∫?x x t t tf t t xf 0 d )(d )(∫?x t t f t x 0 d )()( x y O (3,2) (2,4)1 l 2 l () y f x =4 13. 如图,曲线的方程为,点是它的一个拐点,直线与分别是曲线在点与处的切线,其交点为.设函数具有三阶连续导数,计算定积分 . C )(x f y =)2,3(1l 2l C )0,0()2,3()4,2()(x f ∫ ′′′+30 2d )()(x x f x x 解 由题设知,0)0(=f ,;2)0(=′f 2)3(=f ,0)3(,2)3(=′′?=′f f . 原式= =( ∫′′+3 2)(d )(x f x x ∫+′′?′′+3 30 2 d )12)((|)()x x x f x f x x x f x 30 30d )(2|)()12(x x f x f x =0=? ∫ ′+? 3 )(d )12(∫′+′+ ==1630|)(2)214(x f +???.20)]0()3([2?=+f f 习题6.7(P45) 1. 求由下列各曲线所围成图形的面积: (1) x y = 与直线x y =. 解 平面图形如图所示.求出1x y = 和x y =的交点的横坐标为0=x 及.于是,所求面 积为=1=x S ∫?1 0d )(x x x =10223|)2 132(x x ?=61 . 图 图 12 (2) 与直线x y e =e =y 及轴. y 解 平面图形如图所示.求出和2x y e =e =y 的交点横坐标为1=x .于是,所求面积为 S ===1. ∫?1 d ) e e (x x 10|)e e (x x ? (3) 与直线. 23x y ?=x y 2= 解 平面图形所示.解方程组 3?? ?=?=x y x y 232 , 得交点为和,于是,所求图形面积为 )6,3(??)2,1(S ==∫???1 32d ]2)3[(x x x 13 23|)313(???x x x =3 32 . y =? 图 图 34 (4) 与直线2x y =32+=x y . 解 平面图形如图所示.解出抛物线和直线42x y =32+=x y 的横坐标为和1?=x 3=x .于是,所求面积为 S ==∫??+312d ])32[(x x x 31 32|)313(??+x x x =3 32. (5) x y 1 = 与直线x y =及. 2=x 解 平面图形如图所示.于是,所求面积为= 5S ∫ ?2 1 d )1(x x x =2 12|)ln 21(x x ?=2ln 2 3?. x y O 1x y e =x y ?=e x y O 12x y 1= x y = 图 图 56 (6) ,与直线. x y e =x y ?=e 1=x 解 平面图形如图所示.于是,所求面积为 6S ===∫??1 0d )e e (x x x 10 |)e e (x x ?+2e 1 e ?+. (7) x x y 1 + =与直线,; 2=x 2=y 解 平面图形如图所示,所求面积为 7S =∫?? ?????+21d 21x x x =212ln 22142ln 2|)2ln 21(2 12?=+??+=?+x x x . 图 图 78 )1(2=?y (8) 与直线1)1(2+=?x y x y =. 解 平面图形如图所示.选作积分变量,所求面积为 8y S ===∫???302d ]}1)1[({y y y ∫?302d )3(y y y 3032|)3 1 23(y y ?=29. 2. 在曲线x y 2=上点作切线,求此切线与该曲线及直线)2,2(0=y 所围平面图形的面积. 解 根据导数的几何意义知,切线斜率为 21|21|22== ′===x x x y k , 于是,所求切线方程为 )2(212?= ?x y 即 12 1 +=x y . 平面图形如图所示,所求面积为 9S =∫?××20d 22421x x =2 03|3224x ??=3 4. y ? 图 图 910 3. 求抛物线342?+?=x x y 及其在点)3,0(?和处的切线所围成的图形面积. )0,3( 解 抛物线342?+?=x x y 在点)3,0(?和处的切线斜率分别为 )0,3(4|)42(|001=+?=′===x x x y k 和2|)42(|332?=+?=′===x x x y k . 所以,抛物线在和点的切线方程分别为 )3,0(?)0,3(34?=x y 即 62+?=x y . 平面图形如图所示,两条切线的交点为106?)3,3 (.于是,所求面积为 = S ∫∫?+??+?+?+???3 2 322302d )]34()62[(d )]34()34[(x x x x x x x x = ∫∫ ?+3 232 230 2 d )3(d x x x x =32 3 3303|)3(1|1?+x x =9. 4. 求曲线和它的右极值点处的切线所围区域的面积. 233+?=x x y 解 令得驻点0332 =?=′x y 1±=x .又 06|6)1(1==′′=x x y . 所以,是曲线的右极值点(极大值点),求得此点处曲线的切线方程为1=x 0=y ,即x 轴. 曲线与233 +?=x x y x 轴交点的横坐标为2?=x 和1=x .于是,所求面积为 S ==∫?+?123d )23(x x x 12 24|)22 3 41(?+?x x x =436. 5. 由,,所围成的图形,分别绕3 x y =2=x 0=y x 轴及轴旋转 . y 解 平面图形如图所示.因此 11 == x V ∫ 2 23d )(x x π 2 7|7 x π =π7 128 . =y V ∫???8 02 31 2 d )(82y y ππ=8 035 |5332y ππ?=π5 64. 或 ==y V ∫?2 3 d 2x x x π 205|5 12x ?π=π564. 图 11 6. 求下列已知曲线所围成的图形,按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积: (3) 在区间2 , 0[π 上,由与x y sin =2 π = x ,0=y ,绕y 轴; 解 平面图形如图所示.因此 12 =x V ∫202 d )(sin π πx x =∫?20d )2cos 1(2π π x x =2 0|)2sin 2 1(2ππ x x ?=42 π. =y V ∫??1 22d )(arcsin 1)2 ( y y ππ π = ∫?? ?+?1 2 1023 d 11arcsin 2|)(arcsin 4 y y y y y y πππ = ∫??? 1 023 3 )1d(arcsin 24 4 y y πππ =∫ ?? ?+??10 2 21 2 d 1112|arcsin 12y y y y y π π=π2. 或 =y V ∫ 20 d sin 2π π x x x =∫?20 )d(cos 2π πx x =)d cos |cos (220 20 ∫??π π πx x x x =)|sin 0(22 0π πx ??=π2. y 2 图 图 1213 (4) 由与12 2 =+y x x y 3 2 = 所围成的两个图形中较小的一块,绕轴. y 解 平面图形如图所示.求出13122=+y x 与x y 2 32=的交点坐标为23,21(和)23,21 (?.因 此 =x V ∫∫ ?+1212 21 d )1(d 23x x x x ππ =121321 02|)31(|2123x x x ?+?ππ=ππ24516 3+=π4819. =y V ∫ ∫ ????232 32223 2 32 d )3 2(d )1(y y y y ππ =∫∫??23042 3 02d 942d )1(2y y y y ππ =23052303|5198|)31(2y y y ???ππ= π10 3 7. 7. 已知某产品总产量的变化率是时间(单位:年)的函数52)(+=t t f ,.求第一个和第二个五年的总产量各为多少? 0≥t 解 第一个五年的总产量为 = ===50. )0()5(F F ?∫ 50 d )(t t f ∫+5 d )52(t t 502|)5(t t + 第二个五年的总产量为 = ===100. )5()10(F F ?∫ 10 5 d )(t t f ∫+10 5 d )52(t t 1052|)5(t t + 8. 某商品的需求量为价格Q p 的函数,该商品的最大需求量为1000,已知需求量的变化率为 p p Q )3 1 (3ln 1000)(??=′,试求该商品的需求函数. 解 所求需求函数为 = =)(p Q )0(d )(0Q t t Q p +′∫1000d ))31(3ln 1000(0 +??∫p t t =1000|31(3 1ln 13ln 10000+??p t =p )31(1000. 9. 若边际消费倾向是收入的函数Y 2 12 3?Y 且当收入为零时总消费支出为,(1) 求消费 函数; (2) 求收入由100增加到196时消费支出的增量. 700=C )(Y C 解 (1) 消费函数为==)(Y C )0(d )(0C t t C Y +′∫70d 2 302 1 +∫?Y t t =70|30+Y t =703+Y . (2) 收入由100增加到196时消费支出的增量为12)100()196(=?C C . 10. 设某种商品每天生产x 单位时固定成本为20元,边际成本为)(x C ′=24.0+x (元/单位),如果这种商品规定的销售单价为18元,且商品可以全部售出,试求: (1) 总成本函数、总利润函数; )(x C )(x L (2) 每天生产多少单位时,总利润最大? 解 (1) 总成本函数为 )(x C ====. )0(d )(0C t t C x +′∫20d )24.0(0 ++∫x t t 20|)22.0(02++x t t 2022.02++x x 由于商品销售单价为元,且可全部售出,因此,生产18x 单位的总收益为,从而总利 润函数为 x x R 18)(=)(x L =)()(x C x R ?=. 20162.02?+?x x (2) 由0164.0)(=+?=′x x L 得40=x ,又04.0)40( 11. 某加工厂添置一台机器后在t 年内得到的附加赢利(附加收益减去附加成本)为 24 1 225)(t t L ?= (单位:万元/年). 除附加成本支付劳力和原材料费用外,还需支付维修成本,为(单位:万元/年).问机器何时报 废?到报废时赢利积累为多少? 22)(t t C = 解 当时,机器应报废,即 )()(t L t C ≥224 1 2252t t ?≥, 解得或(舍去).所以,机器应10年后报废. 10≥t 10?≤t 总赢利为 =∫ ?100 d )]()([t t C t L 1500|)43225(d )24 1 225(100310 022=?=??∫t t t t t (万元). 习题6.8(P53) 1. 判别下列各广义积分的收敛性,如果收敛,则计算广义积分的值. (1) ∫ ∞ +1 4 d 1 x x ; 解 ∫ ∞ +1 4d 1x x =∞+?1 3|31x =)10(31??=31 . (3) ∫ ; ∞ +?1 d e x x 解 原式=. 111 e )e 0(|e ??+∞ ?=??=?x (5) ∫∞ +∞?++x x x d 221 2; 解 原式=∫∞+∞?+++)1d(1)1(12x x ==+∞ ∞ ?+|)1arctan(x )2(2ππ??=π. (7)∫∞++12d ) 1(1 x x x ; 解 原式=∫∞++?1211(x x x x =∞++?12|)]1ln(21[ln x x =+∞+?12|]1ln [ln x x =∞ ++12|1ln x x =21ln 1ln lim 2?++∞→x x x =2ln 21 1lim ln 2+??????? ?++∞→x x x =2ln 21 111lim ln 2+???? ? ? ??????++∞→x x =2ln 211ln +=2ln 21. (9)∫?312d 4 1 x x ; 解 因为∞=?→4 1 lim 22x x ,所以,2=x 是被积函数的瑕点.于是 ∫∫∫?+?=?322212312d 41 d 41d 41x x x x x x . 而 ∫?2 12d 41 x x =2122ln 221+??x x =∞, 即∫?212d 41x x 发散,所以原广义积分∫?312d 4 1x x 发散. (10) ∫?21 2d 1 1 x x x . 解 因为+∞=?+→1 1 lim 21x x x ,所以,1=x 是被积函数的瑕点.于是 ∫?212d 1 1x x x ∫??=30d tan sec tan sec 1sec πt t t t t t x =∫30d π t =3π. (11) ∫ ?10 2 d 1x x x ; 解 因为+∞=??→2 1 1lim x x x ,所以,1=x 是被积函数的瑕点.于是 ∫ ?10 2 d 1x x x =∫??? 102 2)1d(1121x x =102|1x ??=1. (12) ∫+?2 02d 341 x x x . 解 ∞=+?→3 41 lim 21x x x ,所以1=x 是被积函数的瑕点.于是 ∫∫∫+?++?=+?212102202d 341 d 341d 341x x x x x x x x x . 而 ∫+?1 02d 341x x x =∫??1022d 1)2(1x x =101)2(1)2(ln 21+???x x =∞+, 即广义积分∫+?10d 3 41 x x x 发散,从而原广义积分发散. 2. 当为何值时,广义积分k ∫∞+2)(ln d k x x x 收敛?当为何值时,这广义积分发散? k 解 当时, 1=k ∫∞+2)(ln d k x x x =∫∞+2ln d x x x =∫∞+2ln )d(ln x x ==+∞2|)ln(ln x ∞+. 当时, 1≠k ∫∞ +2)(ln d x x x =∫∞+2)(ln )d(ln x x =k x k ??1)(ln 1=????? ≤∞+>??1 ,1 ,)2)(ln 1(11 k k k k . 因此,当时,原广义积分收敛,且收敛于1>k 1 ) 2)(ln 1(1 ??k k ;当1≤k 时,原广义积分发散. 3. 设∫∞?∞→=+a t ax x t t x x d e )1(lim ,求常数. a 解 ax x x x ??????+∞→1lim =a x x x ??? ???????????+∞→11lim =, a e ===∫ ∞ ?∞→a t x t t d e lim a t t ∞??|e )1(t t a t a e )1(lim e )1(????∞ →t t a t a ??∞→???e 1 lim e )1( =t t a a ??∞→????e 1 lim e )1(=. a a e )1(?由题设知,解得. a a a e )1(e ?=2=a 复习题六(P54) 二、填空题 15.?? ????π+++π ++π+∞→n n n n n n cos 12cos 1cos 11lim = . 解 原式=∑=∞→?+n k n n n k 1cos 1lim 1πππ=x x ∫ ?+π π d cos 11 = x x x ∫??π π0d cos 1sin 1 =)cos d(1cos 1110x x ∫???ππ=πππ 22|cos 120=?x . 18. 位于曲线()下方,x x y ?=e +∞<≤x 0x 轴上方的无界图形的面积是 . 解 = == S ∫ ∞ +?0 d e x x x ∫ ∞ +??0 )d(e x x ∫ ∞ +?∞ +?+?0 0d e |e x x x x =( ) +∞ ??+∞ →???0 |e 0e lim x x x x =)10(e lim ???+∞→x x x =1e 1 lim +?+∞→x x =1. 三、计算题 7. 设,试求: (1) 的极值; (2) 曲线∫ ?= 2 2 d e )(x t t x F )(x F )(x F y =拐点的横坐标; (3) 之值. ∫ ?′32 2d )(x x F x 解 (1) 令得驻点0e 22e )(4 2 2) (==?=′??x x x x x F 0=x .当0 0)(>′x F ,故在)(x F 0=x 处取得极小值0)0(=F . (2) 令得0e )41(2)(4 4=?=′′?x x x F 22± =x .因)(x F ′′在点2 2 ±=x 两侧变号,故曲线= y )(x F 的拐点横坐标为2 2 ± =x . (3) = ∫ ?′32 2d )(x x F x )e e (2 1|e 21)d(e 21d e 2811632324 32 2444 ?????????=?=?? =?∫∫ x x x x x x x . 10. 求函数∫+?=x t t t t x I e 2d 1 2ln )(在区间上的最大值. ]e ,e [2 解 由0)1(ln 12ln )(>?=+?=′x x x x x x I ,可知在上单调增加,故 ]e ,e [2∈x )(x I ]e ,e [2 =)(max 2e e x I x ≤≤∫?x t t t e d )1(ln =∫??x t t e )11d(ln =∫??+??22e e e e d 1111ln t t t t t = 2e e 21ln 1e 21e 1t t ?+???=e 1e ln 1e 1+++=e 1e )1e ln(+?+. 11. 计算 ∫ ?10 2d 1arctan x x x . 解 原式= ∫?102 2)d(1arctan 2 1x x =∫?????+???1022221022d )2(121 )1(1121|1arctan 21x x x x x x x =∫???+102 221)2(210x x x x x ∫??=102d 1)2(41t t t t t x ∫+?=?102d 11211u u u u t =∫∫?+1010d 21d 11u u u =21421|arctan 1 ?=?πu . 12. 计算 ∫ ∞+?1 2 1d x x x . 解 原式= 2)20(|1arcsin )1d(1 111 1 1d 1 1 2 1 2 2 ππ=??=?=??=?∞ +∞+∞+∫ ∫ x x x x x x . 13. 计算∫∞ +??+02d )e 1(e x x x x . 解 原式=∫∞++02d )e 1(e x x x x =∫∞+++02)e 1()e 1(x x x =∫∞+?? ????+?0e 11d x x =∫∞+∞++++?00d e 11|e 1x x x x =∫∞++∞→??? ? ????+?+++?0d e 1e 10e 1lim x x x x x x =[ ] +∞ +?+0 |)e 1ln(lne 0x x =∞++0|e 1e ln x x =111 ln e 1e ln lim +?++∞→x x x =2ln e 1e lim ln +??????? ?++∞→x x x ==. 2ln 1ln +2ln 四、应用题 1. 求由x y =,及x y ?=2x 轴所围成的平面图形的面积. 解 平面图形如图所示,所求面积为 14 = =S ∫∫?+21 1 02 d )2(d x x x x 102103|)212(|31x x x ?+=65. y 图 图 1415 2. 求由与所围成的平面图形的面积. 622+=x y x y ?=32 解 平面图形所示.求出曲线的交点为15)2,1(?和)2,1(??.选y 作积分变量,于是,所求面积为 =S ∫????2 222 d )26 3(y y y =223|)2 16(??y y =16. 3. 求由,和直线x y x 222=+x y x 422=+x y =,0=y 所围的平面图形的面积. 解 平面图形如图所示,所求面积为 16 =S 22 12 241d )2(??+??∫πx x x x =∫???+212 212d )1(1|2 1x x x π =∫?+202d cos 23ππt t =∫+?+20d )2cos 1(212 3π πt t =2 0|)2sin 2 1(2123ππt t +?+ =π4 323+ . x 4 图 图 1617 4. 求的值,使曲线与在第一象限所围成的平面图形的面积为1. c 2x y =2cy x = 解 平面图形如图所示.由 17 1=∫ ??? ??????3 10 2d c x x c x =310332|3132c x x c ?????????=c 31, 解得3 1 = c . 5. 计算由曲线和所围平面图形的面积,并求此平面图形绕2x y =3x y =y 轴旋转所形成的立体体积. 解 平面图形如图所示,于是 18 = =S ∫?1 3 2d )(x x x 1043|)4 131(x x ?=121. =y V ∫∫?1 2 1 2 3 d )(d )( y y y y ππ =1021 035|21|5 3y y ???ππ=10π. 图 18x y O 2 x y =3 x y =1 8. 设是抛物线和三条直线1D 24x y =1=x ,0=y ,a x =(10< 解 (1) ==1V ∫12 2d )4(a x x π15|516a x π=)1(5 165a ?π. x y O 2 4x y =1D 2 D a 1 (2) ===. 2V ∫ ?a x x x 0 2d 42π a x 04|2π42a π (3) 设45212)1(516 a a V V V ππ+?=+=,由 , 0)21(88163 34=?=+?=′a a a a V πππ得区间内的唯一驻点)1,0(2 1=a . 当210<′V 21>a 时,0<′V .因此,21 =a 是极大值点即最大值点.此时,21V V +取 得最大值,等于π40 129 . 五、证明题 7. 设函数在上连续,单调不减,且,证明函数 )(x f ),0[∞+0)0(≥f ??? ??=>=∫0 ,00 ,d )(1)(0 x x t t f t x x F x n 在上连续且单调不减(其中). ),0[∞+0>n 分析 先证在上连续.证单调不减只需证)(x F ),0[∞+)(x F 0>x 时. 0)(≥′x F 证明 当0>x 时,显然连续.由洛必达法则得 )(x F )0(0)(lim d )(lim )(lim 0 00F x f x x t t f t x F n x x n x x ====++ + →→→∫, 故在)(x F 0=x 处右连续,从而在)(x F ),0[∞+上连续. 当0>x 时,有 0d )]()([d )()()(0 1≥?= ?= ′∫ ∫+x t t f t x f x x t t f t x f x x F x n n x n n (由t x ≥及单调不减). )(x f 故在单调不减. )(x F 习题7.1(P68) 1. 求下列函数在给定点处值: (1) 已知221),(y x y x f ??=,求)0,0(f ,)0,1(f . 解 1001)0,0(22=??=f , 0011)0,1(22=??=f . (3) 已知y x xy y x f += ),(,求)1,(x y f 解 2221 )(1 )1,(y x xy x y x y x y f +=+?=. 2. 设)(),(xy g y x y x f ++=,且2)1,(x x f =,求),(y x f . 解 由2)1(1)1,(x x g x x f =?++=得1)(2??=x x x g . ∴1)(),(2??++=xy xy y x y x f . 4. 求下列函数的定义域: (3) 1) 2ln(12 22 2?++??= y x y x z . 解 要使函数由意义,必须 210112022 2222222<+ ???≥?+≠??>??y x y x y x y x , 故所求函数的定义域为:}21|),{(22<+ 5. 画出下列平面区域D (含边界),并分别用不等式表示之: (1) D 是由直线x y =,抛物线2x y =所围成的区域; D :10≤≤x ,x y x ≤≤2. D : 10≤≤y ,y x y ≤≤. (2) D 是由直线1=+y x ,1=?y x 及y 轴所围成的区域; D :10≤≤x ,x y x ?≤≤?11. 21D D D +=,其中 1D :01≤≤?y ,y x +≤≤10; 2D :10≤≤y ,y x ?≤≤10. (3) }2{(2x D ?=; D :12≤≤?x ,22x y x ?≤≤. 21D D D +=,其中 1D :12≤≤?y ,y x y ≤≤??2; 2D :21≤≤y ,y x y ?≤≤??22. 2 x ? (4) }0,1,1|),{(22≤≤?≤+=y y x y x y x D . D :01≤≤?y ,112+≤≤??y x y . 21D D D +=,其中 1D :01≤≤?x ,012≤≤??y x ; 2D :10≤≤x ,01≤≤?y x . 6. 对于二元函数),(y x f z =来说,当),(y x 沿任何直线趋向于),(00y x 时,极限存在且相等,问 极限),(lim 0 y x f y y x x →→是否一定存在?用?? ???≠+≠++=0 ,00 ,),(222 22 42y x y x y x y x y x f 来说明. 解 不一定存在.例如函数?? ???≠+≠++=0 ,00 ,),(22222 42y x y x y x y x y x f ,当点),(y x P 沿着抛物线2 kx y =趋于点)0,0(时,有 2424 220 )0,0(),(1lim ),(lim 2 2 k k x k x kx x y x f kx y x kx y y x +=+?==→=→, 显然它随k 的值的不同而改变,故),(lim ) 0,0(),(y x f y x →不存在. 8. 求下列极限: (1) y x y x xy +→→+e )1(lim 2 0. 解 原式=220e e )201(=×++. (2) x xy y x ) sin(lim 22 0→→. 解 原式=421)sin(lim 22 222 0=×=?→→y xy xy y x . (3) 13lim 220 0?+→→y x xy y x . 解 原式= 01000 0322=?+××. (4) 11lim 0 0?+→→xy xy y x . 解 原式=2)11(lim 1 )1()1(lim 20 0=++=?++→→→→xy xy xy xy y x y x . (5) xy y x xy 1 0) sin 1(lim +→→. 解 原式 ()e e sin 1lim )sin 1(lim sin lim sin sin 10100 ==?? ? ??? +=+→→→=t t t t t t t t t t t t xy . 第一章例题 例1.1试问函数二-把」平面上的下列曲线分别变成 ].；平面上的何种曲线? (1) 以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧； (2) 倾角 二的直线； (3) 双曲线''■='。 解 设Z = x + =r(cosfi + ι SiIl θ)7 = y + jv = Λ(cos 0 特别，取 - ，则由上面的不等式得 ∣∕(z)∣>l∕(z o )∣-^ = M>0 因此， f ② 在匚邻域 内就恒不为0。 例1.3 设 /⑵ 4C ri ) (3≠o) 试证一 在原点无极限，从而在原点不连续。 证令变点匚—…:弓仁门 1 F ,则 而沿第一象限的平分角线 故「匚在原点无确定的极限，从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1 北）= 匚在二平面上处处不可微 证易知该函数在二平面上处处连续。但 Δ/ _ z+?z -z _ ?z ?z ?z ?z 零时，其极限为一1。故匚处处不可微。 证因UaJ ）二倆，呛J ） = C I 。故 但 /(?) - /(0) _ λj?j ?z ? + i?y 从而 （沿正实轴。一 H ） 当I: 「时，极限不存在。因 二取实数趋于O 时，起极限为1 ,二取纯虚数而趋于 例2.2 在了 — 1满足定理 2.1的条件，但在_ I.不可微。 M (ΔJ 7O)-?(O,O) = 0 = v∕0,0) (O f O) = Ii(Q i Ly)-Ii(Ofi) Ay 药学院无机化学试题及参考答案 （无机化学试题部分） 一、填空题（每空1分，共20分） 1．NH3分子的空间构型是，中心原子N原子采取杂化。 2．原子轨道以方式重叠，轨道重叠部分是沿着键轴呈圆柱形对称而分布的共价键叫键。 3．BeCl2分子为型分子，中心原子采取杂化，分子的固有偶极矩μ（>0，=0）。 4．某反应的△H和△S皆为负值，当温度升高时，△G（增大，减小）。 5．具有ns2np1~6电子构型的是区元素，具有(n-1)d5ns2电子构型的是族元素。 6．酸碱质子理论认为， 是酸，是碱。 7．在含有AgCl固体的饱和溶液中加入盐酸，则AgCl的溶解度；如加入氨水，则其溶解度；若加入KNO3，则其溶解 度。 8．298K时，Mg(OH)2的K sp为1.2×10-11；Ag2CrO4的K sp为9×10-12，则溶解度较大的是 者。 9．产生渗透现象必须具备两个条件，一是，二 是。 10．将0.115g奎宁（M=329.12克/摩）溶解在1.36g樟脑中，其凝固点为442.6K(T f=452.8K，K f=39.70)则凝固点降低为，m 为。 二、选择题（请在备选答案中选择一个正确的答案，并用“√”符号表示。每小题1分，共 20分） 1．下列各组物质中，属于等电子体系的是：( ) A．NO和CN— B．CO和N2 C．O2和NO D．NO和O2 2．第二主族元素的+2价阳离子的碳酸盐（MCO3）中最稳定的是：( ) A．MgCO3 B．CaCO3 C．SrCO3 D．BaCO3 3．下列各分子或离子的稳定性按递增顺序排列的是：( ) A．NO+< NO < NO— B．NO—< NO < NO+ C．NO< NO—< NO+ D．NO< NO+ < NO— 4．下列各组量子数中，不合理的一组是：( ) A．3，0，0，+1/2 B．3，2，3，1/2 C．2，1，0，-1/2 D．4，2，0，1/2 5．298K和101.3kPa下，下列化学方程式所表示的化学反应中属于熵减少的是：( ) A．C（s）+ O2（g） = CO2（g） B．S（s）+ O2（g） = SO2（g） C．2Na（s）+ O2（g） = Na2O2（s） D．N2（g）+ O2（g） = 2NO（g） 6．已知NH3（g）的标准生成热，则反应N2（g）+3H2（g）=2NH3 （g）的热效应为（）： A．-46.2； B．46.2 C．-92.4 D．92.4 7．a，b，c三个电子具有的量子数（n，l，m）为a：3，2，0；b：3，1，0；c：3，1，-1。 三个电子的能量大小顺序为：( ) A．a>b>c； B．a> c > b； C．a>b=>c； D． c> a>b； 8．稀溶液依数性的本质是（） A、渗透压 B、沸点升高 C、蒸气压降低 D、凝固点降低 9．现有蔗糖(C12H22O11)、氯化钠、氯化钙三种溶液，它们的浓度均为0.1mol?L-1，则渗透压由低到高的顺序是（） A、CaCl2 四边形例题选讲 类型一、平行四边形的性质与判定 例1.如图，ABCD 为平行四边形，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，①求证：AECF 也是平行四边形；②连接BD ，分别交CE 、AF 于G 、H ，求证：BG =DH ；③连接CH 、AG ，则AGCH 也是平行四边形吗？ A B C D E F G H 例2. 如图，已知在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，若∠EAF ＝60 o ，CE =3cm ，FC =1cm ，求AB 、BC 的长及ABCD 面积. 60o A B C D E F 类型二、矩形、菱形的性质与判定 例3. 如图，在矩形ABCD 中，对角线交于点O ，DE 平分∠ADC ，∠AOB ＝60°，则∠COE ＝ ． A B C D E O 例4. 如图，矩形ABCD 中的长AB ＝8cm ，宽AD ＝5cm ，沿过BD 的中点O 的直线对折，使B 与D 点重合，求证：BEDF 为菱形，并求折痕EF 的长． O F E D C B A 类型三、正方形的性质与判定 例6. 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交于M 、N ，若∠EAF =50°，则∠CME +∠CNF = ． F E D C B A M N 类型四、与三角形中位线定理相关的问题 例7. 如图，BD =AC ，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，AC 、BD 交于E ，MN 与BD 、AC 分 别交于点F 、G ，求证：EF =EG . N M G F E D C B A 类型五、梯形、等腰梯形、直角梯形的相关问题 例8. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，E 为AB 上一点，且ED 平分∠ADC ，EC 平分∠BCD ，则你可得到哪些结论？ 4 3 2 1 F E D C B A 例9. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD =CD ，AB ＜CD ，且∠ABC 为锐角，若AD =4，BC =12，E 为BC 上一点.问：当CE 分别为何值时，四边形ABED 是等腰梯形？请说明理由. A B C D E 能力训练 1．在菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，DE ⊥BC 于点E ，且DE ＝OC ，OD ＝2，则AC ＝ ． 2．如图，正方形OMNP 的一个顶点与正方形ABCD 的对角线交点O 重合，且正方形ABCD 、OMNP 的边长都是acm ，则图中重合部分的面积是 cm 2． 第5题图 第4题图 第3题图第2题图 C' A B C D E M A B C D M N B 3.如图，设M 、N 分别是正方形ABCD 的边AB 、AD 的中点，MD 与NC 相交于点P ，若△PCD 的面积是S ，则四边形AMPN 的面积是 . 4.如图，M 为边长为2的正方形ABCD 对角线上一动点，E 为AD 中点，则AM +EM 的最小值为 . 5.边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30 o 到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为 . 6.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC ＝8cm ，BD ＝8cm ，则此梯形的高为 cm 第十章 曲线积分与曲面积分 (A) 1．计算()?+L dx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。 2．计算? +L ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。 3．计算()?+L ds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=， ()π20≤≤t 。 4．计算?+L y x ds e 2 2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一 角限内所围成的扇形的整个边界。 5．计算???? ? ??+L ds y x 34 34，其中L 为内摆线t a x 3cos =，t a y 3sin =??? ??≤≤20πt 在第一象限内的一段弧。 6．计算 ? +L ds y x z 2 22 ，其中L 为螺线t a x cos =，t a y sin =，at z =()π20≤≤t 。 7．计算?L xydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。 8．计算?-+L ydz x dy zy dx x 2233，其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线 段AB 。 9．计算()?-+++L dz y x ydy xdx 1，其中L 是从点()1,1,1到点()4,3,2的一段直 线。 10．计算()()?---L dy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，() t a y cos 1-=的一拱(对应于由t 从0变到π2的一段弧)： 11．计算()()?-++L dy x y dx y x ，其中L 是： 1）抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧； 2）曲线122++=t t x ，12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。 练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13 下列电子的量子数(n, l, m和m s)不合理的是 收藏 A. 3, 0, 0, +1/2 B. 3, 1 , 0, -1/2 C. 3, 0, 0, -1/2 D. 3, 3, 0, +1/2 回答错误！正确答案：D NaH2PO4的共轴酸是 收藏 A. Na2HPO4 B. Na3PO4 C. NaHCO3 D. H3PO4 回答错误！正确答案：D ■?…一 . . 、?…、...... 12 . . 一■.一.... 、一种元素的相对原子质量，是该元素的一定质量与核素6C的摩尔质量的1/12的比值，这 一质量是 收藏 A. 原子质量 B. 各核素原子质量的平均质量 C. 平均质量 D. 1mol原子平均质量 回答错误！正确答案：D 下列说法错误的是 收藏 A. 基元反应都是多分子反应。 B. 一步完成的反应是基元反应。 C. 由一个基元反应构成的化学反应称简单反应 D. 由两个或两个以上基元反应构成的化学反应称复杂反应。 回答错误！正确答案：A 需配制Ph=5的缓冲溶液，选用收藏 A. HAc-NaAc (pKa=4.75) B. NaH2PO4-Na2HPO4 (pKa2=7.2 ) C. Na2CO3-NaHCO3 ( pKa2=10.25 ) D. NH3.H2O-NH4Cl (pKb=4.75 ) 回答错误！正确答案：A 某元素的电子构型为［A门3d64s0的离子是收藏 A. Fe3+ B. Ni2+ C. Mn2+ D. Co3+ 回答错误！正确答案：D 配合离子［CuCl5］3-的中心离子收藏 A. sp2 B. dsp3 C. sp3 D. dsp2 回答错误！正确答案：B 以下平衡不属于化学平衡的是收藏 A. 沉淀溶解平衡和配位平衡 B. 常温下水的蒸发与凝结平衡 C. 酸碱电离平衡和氧化还原平衡 D. N2 + 3H2 == 2NH3 回答错误！正确答案：B 催化剂是通过改变反应进行的历程来加速反应速率，这一历程影响收藏 概率统计（理）典型例题选讲 (1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝) ()(I card A card ＝n m ; 等可能事件概率的计算步骤： ① 计算一次试验的基本事件总数n ; ② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; ③ 依公式()m P A n =求值; ④ 答，即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B ); 特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件. 第三步，运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 典型例题分析 1.有10张卡片，其中8张标有数字2，有2张标有数字5.从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字和为ξ，求E ξ与D ξ. 无机化学复习题 一、选择题（每题1分，共20分） （ ）1．已知H 2和He 的相对分子质量分别为2和4。2g H 2与2gHe 混合后体系的压力为3300kPa ，则混合气体中He 的分压为： A 、3300 kPa B 、2200 kPa C 、1100 kPa D 、1650 kPa （ ）2．关于氧的相对原子质量下列叙述正确的是： A 、 等于8O 16核素一个原子的质量 B 、等于氧的平均原子质量 C 、等于氧的平均原子质量与碳—12核素质量的121之比值 D 、等于一个氧原子的质量与碳—12核素质量的121之比值 （ ）3．下列关系式中错误的是： A 、H=U+PV B 、ΔU(体系)+ ΔU(环境)=0 C 、ΔG=ΔH-T ΔS D 、ΔG(正反应)×ΔG(逆反应)=1 （ ）4．反应 2NO 2(g)(红棕色)==N 2O 4(g)(无色) Δr H m <0 达平衡后，将体系的温度降低，则混合气体颜色： A 、变浅 B 、变深 C 、不变 D 、无法判断 （ ）5．反应 C(s)+O 2(g)===CO 2(g)，Δr H m <0 下列不能使正反应速度增大的措施是： A 、缩小体系的体积 B 、升高体系温度 C 、增大氧气的分压 D 、减小CO 2(g)的分压 （ ）6．在298K 的温度下石墨的标准生成自由能为： A 、等于零 B 、大于零 C 、小于零 D 、无法确定 （ ）7．NO(g)+CO(g)===2 1N 2(g)+CO 2(g) Δr H m = -373.4kJ ·mol -1 ，欲使有害气体NO 和CO 取得最高转化率，则应选择的操作是： A 、增大NO 浓度 B 、增大CO 浓度 C 、降低温度、增大压力 D 、使用高效催化剂 （ ）8．对于等温等压下进行的任一反应，下列叙述正确的是： A 、Δr S m 越小反应速度越快 B 、Δr H m 越小反应速度越快 C 、Δr G m 越小反应速度越快 D 、Ea 越小反应速度越快 （ ）9．下列四个量子数（依次为n ，l ，m ，m s ）不合理的一组是： A 、（3、1、0、+21） B 、（4、3、1、-2 1） C 、（4、0、0、+21） D 、（2、0、1、-2 1） （ ）10．下列四个量子数所描述的电子运动状态中，能量最高的电子是： A 、（4、1、0、+21） B 、（4、2、1、-2 1） C 、（4、0、0、+21） D 、（4、1、1、-2 1） （ ）11．下列分子中C 原子形成共价键时，原子轨道采取SP 3杂化的是： 第十一章 曲线积分与曲面积分 内容要点 一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质 性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα； 性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (), (βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ αd r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=?? 例5（E03）计算 ,||? L ds y 其中L 为双纽线（图10-1-4）)()(222222y x a y x -=+的 弧. 解 双纽线的极坐标方程为 .2cos 2 2θa r = 用隐函数求导得 ,2sin ,2sin 22 r a r a r r θ θ- ='-=' 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+= （2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- = 无机化学试题 一、选择题 1. 对于H2O2和N2H4，下列叙述正确的是…………………………………………（） (A) 都是二元弱酸(B) 都是二元弱碱 (C) 都具有氧化性和还原性(D) 都可与氧气作用 2. 下列含氧酸中属于三元酸的是…………………………………………………（） (A) H3BO3(B) H3PO2(C) H3PO3(D) H3AsO4 3. 下列各对含氧酸盐热稳定性的大小顺序，正确的是……………………………（） (A) BaCO3 > K2CO3(B) CaCO3 < CdCO3 (C) BeCO3 > MgCO3(D) Na2SO3 > NaHSO3 4. 铝在空气中燃烧时，生成…………………………………………………………（） (A) 单一化合物Al2O3(B) Al2O3和Al2N3 (C) 单一化合物Al2N3(D) Al2O3和AlN 5. 下列含氧酸根中，属于环状结构的是…………………………………………（） (A) (B) (C) (D) 6. 下列化合物与水反应放出HCl 的是……………………………………………（） (A) CCl4(B) NCl3(C) POCl3(D) Cl2O7 7. InCl2为逆磁性化合物，其中In的化合价为……………………………………（） (A) +1 (B) +2 (C) +3 (D) +1和+3 8. 鉴别Sn4+和Sn2+离子，应加的试剂为……………………………………………（） (A) 盐酸(B) 硝酸(C) 硫酸钠(D) 硫化钠(过量) 9. 下列各组化合物中，都有颜色的一组化合物是………………………………（） (A) SiCl4，SnCl4，PbO (B) CCl4，NO2，HgI2 (C) SiC，B2H6，N2O4 (D) PbO2，PbI2，SnS 10. 将过量SiF4通入NaOH溶液中，主要产物是……………………………………（） (A) H4SiO4，NaF (B) Na2SiO3，NaF (C) Na2SiO3，Na2SiF6(D) SiO2，HF 11. 将NCl3通入碱性溶液，其水解产物是…………………………………………（） (A) NH3和ClO-(B) NH3和Cl- (C)和Cl-(D)和Cl- 12. PCl3和水反应的产物是…………………………………………………………（） (A) POCl3和HCl (B) H3PO3和HCl 微分方程例题选解 1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2 x e x xdy y x dx y =+-==。 解：原方程化为 x y x x dx dy 1ln 1=+， 通解为 ?+? ?=-]1[ln 1ln 1C dx e x e y dx x x dx x x ?+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 21[ln 12C x x += 由e x =，23=y ，得1=C ，所求特解为 11 ln ln 2 y x x = +。 2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。 解：令ux y =，u x u y '+='，原方程化为 2 u u u x u -='+， 分离变量得 dx x u du 1 2 =-， 积分得 C x u +=ln 1 ， 原方程的通解为 ln x y x C = +。 3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。 解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。 原方程化为 03 2 2 3 =---dy y ydy x dx xy dx x ， 由 dy y ydy x dx xy dx x 3 2 2 3 --- 42222441 )(2141dy dy x dx y dx -+-= )2(41 4224y y x x d --=， 得 0)2(4 224=--y y x x d ， 原方程的通解为 C y y x x =--4 2 2 4 2。 注：此题也为齐次方程。 4. 求解微分方程2''1(')y y =+。 解：设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为 21p dx dp +=， 分离变量得 dx p dp =+2 1，积分得 1arctan C x p +=， 于是 )tan(1C x p y +=='， 积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。 5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。 解：特征方程为 0222 =--r r ，特征根为 i r ±=1， 通解为12(cos sin )x y e C x C x =+。 复变函数卷答案与评分标准 一、填空题： 1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。 定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件： （1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续， （2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。（3分） 定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =? 。 （3分） 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。（3分） 2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。（3分） 3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222 i k i π++，其中k 为整数。（3分） 4、设()2010sin z f z z +=，则()0Re z s f z ==2010。（3分） 二、验证计算题（共16分）。 1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。（8分） 解：（1）22u x x ?=+?，222u x ?=?；2u y y ?=-?，222u y ?=-?。 由于22220u u y x ??+=??，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。（4分） （2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有 22v u x y x ??==+??，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++? 2,v u y x y ??=-=??又2()v y C x x ?'=+? ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。 大学无机化学试题集及答案 第一章气体、液体和溶液的性质 1. 敞口烧瓶在7℃所盛的气体，必须加热到什么温度，才能使1/3气体逸出烧瓶？ 2. 已知一气筒在27℃，30.0atm时，含480g的氧气。若此筒被加热到100℃，然后启开 阀门（温度保持在100℃），一直到气体压力降到 1.00atm时，共放出多少克氧气？ 3. 在30℃时，把8.0gCO2、6.0gO2和未知量的N2放入10dm3的容器中，总压力达800 mmHg。试求： (1) 容器中气体的总摩尔数为多少？(2) 每种气体的摩尔分数为多少？ (3) 每种气体的分压为多少？(4) 容器中氮气为多少克？ 4. CO和CO2的混合密度为 1.82g dm－3(在STP下）。问CO的重量百分数为多少？ 5. 已知某混合气体组成为：20份氦气，20份氮气，50份一氧化氮，50份二氧化氮。问：在0℃，760mmHg下200dm3此混合气体中，氮气为多少克？ 6. S2F10的沸点为29℃，问：在此温度和1atm下，该气体的密度为多少？ 7. 体积为8.2dm3的长颈瓶中，含有 4.0g氢气，0.50mol氧气和分压为2atm 的氩气。这 时的温度为127℃。问： (1) 此长颈瓶中混合气体的混合密度为多少？ (2) 此长颈瓶内的总压多大？ (3) 氢的摩尔分数为多少？ (4) 假设在长颈瓶中点火花，使之发生如下反应，直到反应完全： 2H2(g) + O2(g) ＝2H2O(g) 当温度仍然保持在127℃时，此长颈瓶中的总压又为多大？ 8. 在通常的条件下，二氧化氮实际上是二氧化氮和四氧化二氮的两种混合气体。在45℃，总压为1atm时，混合气体的密度为 2.56g dm－3。计算： (1) 这两种气体的分压。(2) 这两种气体的重量百分比。 9. 在1.00atm和100℃时，混合300cm3H2和100 cm3O2，并使之反应。反应后温度和压力 回到原来的状态。问此时混合气体的体积为多少毫升？若反应完成后把温度降低到27℃，压力仍为 1.00atm，则混合气体的体积为多少毫升？ (已知27℃时水的饱和蒸汽压为26.7mmHg) 10. 当0.75mol的“A4”固体与2mol的气态O2在一密闭的容器中加热，若反应物完全消 耗仅能生成一种化合物，已知当温度降回到初温时，容器内所施的压力等于原来的一半，从这些数据，你对反应生成物如何下结论？ 11. 有两个容器A和B，各装有氧气和氮气。在25℃时： 容器A：O2 体积500 cm3，压力1atm。 定积分典型例题20例答案 例1 求33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 33322 32 1lim (2)n n n n n →∞+++=333 112 lim ()n n n n n n →∞++ +=1303 4 xdx =?． 例2 2 20 2x x dx -? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，2 20 2x x dx -?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故220 2x x dx -? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 2 2 2x x dx -? =2 2 2 1sin cos t tdt ππ- -? =2 2 21sin cos t tdt π -? =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 第一章 复数与复变函数 一、选择题： 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π= -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 32 1+ - （D ）i 2 12 3+ - 3．复数z -3(cos -isin )5 5 π π =的三角表示式为（ ） A ．44-3(cos isin )5 5 ππ＋ B ． 443(cos isin )55ππ－ C ． 443(cos isin )5 5 ππ＋ D ．44-3(cos isin )5 5 ππ－ 4．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 二、填空题 1．设) 2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π=-=i z z ，则=z 4．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线. 5．=+++→)21(lim 4 2 1z z i z 三.求方程z 3+8=0的所有复根. 第二章 解析函数 一、选择题： 一、 选择题 1．下列叙述中正确的是 (A) 反应活化能越小，反应速率越大； (B) 溶液中的反应一定比气相中的反应速率大； (C) 增大系统压力，反应速率一定增大； (D) 加入催化剂，使正反应活化能和逆反应活化能减少相同倍数； 2．pH=6的溶液的酸度是pH=3的溶液的多少倍 （A ）3 （B ）1/3 （C ）300 （D ）1/1000 3．等温等压过程在高温不自发进行而在低温时可自发进行的条件是 （A ）△H<0，△S<0（B ）△H>0，△S<0（C ）△H<0，△S>0（D ）△H>0，△S>0 4．已知在室温下AgCl 的 sp K = 1.8×10-10，Ag 2CrO 4的 sp K = 1.1×10-12，Ag 2CO 3的 sp K = 8.5×10-12，Ag 3PO 4 的 sp K = 8.9×10-17，那么溶解度最大的是(不考虑水解) (A) AgCl (B) Ag 2CrO 4 (C) Ag 2CO 3 (D) Ag 3PO 4 5．用Nernst 方程式[][]还原剂氧化剂lg 0592.0z + = ??，计算+ -24Mn /MnO 的电极电势，下列叙述不正确的是 （A ）温度应为298K （B ）+ 2Mn 浓度增大则 ?减小 （C ）+H 浓度的变化对?无影响（D ）- 4MnO 浓度增大，则?增大 6．已知E (Ti +/Ti) = - 0.34 V ，E (Ti 3+/Ti) = 0.72 V ，则E (Ti 3+/Ti +)为 (A) (0.72 + 0.34) / 2 V (B) (0.72 - 0.34) / 2 V (C) (0.72 ? 3 + 0.34) / 2 V (D) (0.72 ? 3 + 0.34) V 7．40℃和101.3kPa 下，在水面上收集某气体2.0dm 3 ，则该气体的物质的量为（已知40℃时的水蒸气压为7.4kPa ） （A ）0.072mol （B ）0.078mol （C ）0.56mol （D ）0.60mol 8．下列氧化还原电对中， ?值最大的是 （A ）Ag /Ag + （B ）Ag /AgCl （C ）Ag /AgBr （D ）Ag /AgI (最小) 9．下列哪种变化为熵减变化 （A ）一种溶质从溶液中结晶出来 （B ）炸药爆炸 （C ）将NaCl 晶体溶于水中 （D ）冰融化成水 10．下列说法哪个正确 （A ）放热反应均为自发反应 （B ）△S 为负值的反应均不能自发进行 （C ）冰在室温下自动融化成水 （D ）因为 G ?=—RTInK ，所以温度升高，平衡常数减小 11．在氨水中加入下列物质，O H NH 23?的解离度变小的是 （A ）加Cl NH 4 （B ）加HCl （C ）加热 （D ）加水稀释 12．下列几组溶液具有缓冲作用的是 （A ）H 2O ——NaAc （B ）HCl ——NaCl （C ）NaOH ——Na 2SO 4 （D ）NaHCO 3——Na 2CO 3 第一章例题 例1.1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线？ （1）以原点为心，2为半径，在第一象项里的圆弧； （2）倾角的直线； （3）双曲线。 解设，则 因此 （1）在平面上对应的图形为：以原点为心，4为半径，在上半平面的半圆周。（2）在平面上对应的图形为：射线。 （3）因，故，在平面上对应的图形为：直线 。 例1.2设在点连续，且，则在点的某以邻域内恒不为0. 证因在点连续，则，只要，就有 特别，取，则由上面的不等式得 因此，在邻域内就恒不为0。 例1.3设 试证在原点无极限，从而在原点不连续。 证令变点，则 从而（沿正实轴） 而沿第一象限的平分角线，时，。 故在原点无确定的极限，从而在原点不连续。 第二章例题 例2.1在平面上处处不可微 证易知该函数在平面上处处连续。但 当时，极限不存在。因取实数趋于0时，起极限为1，取纯虚数而趋于零时，其极限为－1。故处处不可微。 例 2.2函数在满足定理2.1的条件，但在不可微。 证因。故 但 在时无极限，这是因让沿射线随 而趋于零，即知上式趋于一个与有关的值。 例2.3讨论的解析性 解因, 故 要使条件成立，必有，故只在可微，从而，处处不解析。例2.4讨论的可微性和解析性 解因, 故 要使条件成立，必有，故只在直线上可微，从而，处处不解析。 例2.5讨论的可微性和解析性，并求。 解因, 而 在复平面上处处连续且满足条件，从而在平面上处处可微，也处处解析。且 。 例2.6设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且，试求 之值。 解设，则 由代入得 解得：，从而 。 例2.7设则 且的主值为。 例2.8考查下列二函数有哪些支点 (a) (b) 解（a）作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即 从而 故的终值较初值增加了一个因子，发生了变化，可见0是的支点。同理1 也是其支点。 任何异于0，1的有限点都不可能是支点。因若设是含但不含0，1的简复变函数经典例题
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