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常微分方程模拟试题(5)及参考解答

常微分方程模拟试题(5)及参考解答
常微分方程模拟试题(5)及参考解答

陕西科技大学 试题纸

课程 常微分方程B 班级

学号 姓名

一、填空题(每小题3分,本题共15分)

1.方程

22d d y x x y

+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 . 2.方程y x x

y

sin d d 2=的所有常数解是 . 3.若)(x y ?=在),(∞+-∞上连续,则方程y x x

y

)(d d ?=的任一非零解 与x 轴相交.

4.在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中,如果)(x p ,)(x q 在),(∞+-∞上连续,那么它的任一非零解在xoy 平面上 与x 轴相切.

5.向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ,I x ∈.

二、单项选择题(每小题3分,本题共15分)

1.n 阶线性齐次方程的所有解构成一个( )线性空间.

(A )n 维 (B )1+n 维 (C )1-n 维 (D )2+n 维 2.一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差( ).

(A )不是其对应齐次微分方程组的解 (B )是非齐次微分方程组的解

(C )是其对应齐次微分方程组的解 (D )是非齐次微分方程组的通解

3.方程32

3d d y x

y

=过点)0,0(( )

. (A )有无数个解 (B )只有三个解 (C )只有解0=y (D )只有两个解

4.若)(1x y ?=,)(2x y ?=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解,则该方程的通解可用这两个解表示为( ).

(A ))()(21x x ??- (B ))()(21x x ??+ (C ))())()((121x x x C ???+- (D ))()(21x x C ??+ 5.),(y x f y '

连续是方程

),(d d y x f x

y

=初值解唯一的( )条件. (A )必要 (B )必要非充分 (C )充分必要 (D )充分

三、计算题(每小题6分,本题共30分)

求下列方程的通解或通积分: 1. 21d d x xy x y += 2. x y x

y

2e 3d d =+ 3. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 4. x y x y x y tan d d += 5. 5d d xy y x

y

+=

四、计算题(每小题10分,本题共20分)

1.求方程x y y 5sin 5='-''的通解. 2.求下列方程组的通解.

???????+=+=y x t

y y x t

x

4d d d d

五、证明题(每小题10分,本题共20分) 1.请写出一阶微分方程初值问题的解的存在唯一性定理,并给出证明此定理的五个主要步骤。(不需要详细证明)

2.假设)(1x y ,)(2x y 是方程0)()(=+'+''y x q y x p y 定义在),(b a 上的解,其中)(x p ,

)(x q 在),(b a 上连续,证明:如果)(1x y ,)(2x y 均在),(0b a x ∈点取局部极值,则)(1x y ,

)(2x y 在),(b a 上不能构成方程的基本解组.

常微分方程模拟试题(5)试题答案及评分标准

(供参考) 一、填空题(每小题3分,本题共15分) 1.xoy 平面

2. ,2,1,0,±±==k k y π

3.不能 4.不能 5.必要

二、单项选择题(每小题3分,本题共15分) 6.A 7.C 8.A 9.C 10.D

三、计算题(每小题6分,本题共30分) 11.解 当0≠y 时,分离变量得

x x

x y y d 1d 2+= (3分) 等式两端积分得 C x y ln )1ln(2

1

ln 2++= 即通解为

21x C y += (6分) 12.解 齐次方程的通解为

x C y 3e -= (2分) 令非齐次方程的特解为 x

x C y 3e

)(-=

代入原方程,确定出 C x C x

+=5e 5

1)( (5分) 原方程的通解为

x

C y 3e

-=+

x

2e 5

1 (6分) 13.解 由于x

N

xy y M ??==??2,所以原方程是全微分方程. (2分) 取)0,0(),(00=y x ,原方程的通积分为

10

30

2

3d d )(C y y x xy x y

x

=++??

(4分)

即 C y y x x =++4

224

2 (6分) 4.解:令x

y

u =,则u x u y '+=' u x

u

x

tan d d = 当0tan ≠u 时

等号两边积分 1d tan d C x x

u u +=??

C x u ln ln sin ln += 0≠C

Cx x

y

=sin

5.解:x y x

y

y

+=--45

d d 令 4-=y z ,则x y y x z d d 4d d 5--= 代入方程得 x z x

z

44d d -=+ ?

+?-?=-)d e 4(e d 4d 4C x x z x

x

?+-=-)d e 4(e

44C x x x x

x C x 4e 41

-++-= 所以 x C x y

44

e 4

1

--++-=

(6分)

四、计算题(每小题10分,本题共20分) 16.解 方程的特征根为01=λ,52=λ

齐次方程的通解为 x C C y 521e += (3分) 因为i i 5±=±βα不是特征根。所以,设非齐次方程的特解为

x B x A x y 5cos 5sin )(1+= (5分) 代入原方程,比较系数得

???=--=+-025251

2525B A B A

确定出 501-=A , 50

1

=B (8分)

原方程的通解为 )5s i n 5(c o s 50

1e 521x x C C y x

-++= (10分) 17.解 特征方程为

0141

1=--=-λ

λλE A

即 0322

=--λλ

特征根为 31=λ,12-=λ (2分)

31=λ对应特征向量应满足

??

?

???=???????

?????--0031413111b a 可确定出

??

?

???=??????2111b a (5分)

同样可算出12-=λ对应的特征向量为

??

?

???-=??????2122b a (8分)

所以,原方程组的通解为

?

?

????-+??????=???

???--t t t t C C y x 2e e 2e e 2331 (10分) 五、证明题(每小题10分,本题共20分)

18.证明 由已知条件,方程在整个xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件,因此,它的任一解都可延展到平面的无穷远。 (2分) 又由已知条件,知0y y =是方程的一个解。 (4分) 假如方程的非常数解)(x y y =对有限值0x 有0)(lim 0

y x y x x =→,那么由已知条件,该解在

点),(00y x 处可向0x 的右侧(或左侧)延展.这样,过点),(00y x 就有两个不同解0y y =和

)(x y y =.这与解的唯一性矛盾,因此0x 不能是有限值.

19.证明 如果)(1x y ?=和)(2x y ?=是二阶线性齐次方程 0)()(=+'+''y x q y x p y 的解,那么由刘维尔公式有 ?=-

x

0d )(0e )()(x t t p x W x W (5分)

现在,0)(≡x p 故有

C x W x W x W x t ==?=-)(e )()(0d 00x

(10分)

常微分方程第三版答案

常微分方程第三版答案 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

习题 1. dx dy =2xy,并满足初始条件:x=0,y=1的特解。 解: y dy =2xdx 两边积分有:ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解。 解:y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解:y= | )1(|ln 1 +x c 3.dx dy =y x xy y 321++ 解:原方程为:dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分:x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解:原方程为: y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分:ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5.(y+x )dy+(x-y)dx=0 解:原方程为: dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有: -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解:原方程为: dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为: tgy dy =ctgx dx 两边积分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解:原方程为:dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.

常微分方程习题及答案

第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1.任意微分方程都有通解。( ) 2.微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3.函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4.函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5.微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6.y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7.xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8.052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9. 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1.在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2.x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3.x e y 2-=''的通解是 。 4.x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5.124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6.微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。 7.y 1 = 所满足的微分方程是 。

8.x y y 2='的通解为 。 9. 0=+x dy y dx 的通解为 。 10.()2511 2+=+-x x y dx dy ,其对应的齐次方程的通解为 。 11.方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12.3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1.微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A .3 B .4 C .5 D . 2 2.微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A .3 B .5 C .4 D . 2 3.下列函数中,哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A .x y 2= B .2x y = C .x y 2-= D . x y -= 4.微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A .13+=x y B .()3 2+=x y C .()2 C x y += D . ()3 1x C y += 5.函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A .0=+'y y B .02=+'y y C .0=+y y n D . x y y cos =+'' 6.x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( ),其中1C ,2C 为任意常数。 A .通解 B .特解 C .是方程所有的解 D . 上述都不对 7.y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A .1+=x e y B .x e y 2= C .2 2x e y ?= D . x e y ?=3 8.微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A .x a y sin *= B .x a y cos *?= C .()x b x a x y cos sin *+= D . x b x a y sin cos *+= 9.下列微分方程中,( )是二阶常系数齐次线性微分方程。

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 (线性、非线性)微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______,可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++,则此方程的系数α= ,β= ,γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 . 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2.求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4.用比较系数法解方程. . 5.求方程 sin y y x '=+的通解. 6.验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程,并求出它的通解.

常微分方程第5章答案

1.给定方程组 x = x x= (*) a)试验证u(t)= ,v(t)= 分别是方程组(*)的满足初始条件u(0)= , v(0)= 的解. b)试验证w(t)=c u(t)+c v(t)是方程组(*)的满足初始条件w(0)= 的解,其中是任意常数.解:a) u(0)= = u (t)= = u(t) 又v(0)= = v (t)= = = v(t) 因此u(t),v(t)分别是给定初值问题的解. b) w(0)= u(0)+ u(0)= + = w (t)= u (t)+ v (t) = + = = = w(t) 因此w(t)是给定方程初值问题的解. 2. 将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题: a) x +2x +7tx=e ,x(1)=7, x (1)=-2 b) x +x=te ,x(0)=1, x (0)=-1,x (0)=2,x (0)=0 c) x(0)=1, x (0)=0,y(0)=0,y (0)=1 解:a)令x =x, x = x , 得 即 又x =x(1)=7 x (1)= x (1)=-2 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题: x =x(1)= 其中x=. b) 令=x ===则得: 且(0)=x(0)=1, = (0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0 于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题: = x(0)= , 其中x= . c) 令w =x,w =,w =y,w =y ,则原初值问题可化为: 且 即w w(0)= 其中w= 3. 试用逐步逼近法求方程组 =x x= 满足初始条件 x(0)= 的第三次近似解.

常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷(B) 一、填空题(每空2 分,共16分)。 1.李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件. 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线. 3.线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个,其中R ∈ x,n R Y∈. 4.二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关. 5.方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6.变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7.性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W. 8.方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题(每小题3 分,共15分)。 9.两个不同的线性齐次微分方程组( D )的基本解组. (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10.方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是(D ). (A)稳定焦点(B)不稳定焦点(C)鞍点(D)不稳定结点11.方程x(y2-1)d x+y(x2-1)d y=0的所有常数解是( C ). (A) 1± = x(B)1± = y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12.n 阶线性非齐次微分方程的所有解( D ). (A )构成一个线性空间 (B )构成一个1-n 维线性空间 (C )构成一个1+n 维线性空间 (D )不能构成一个线性空间 13.方程4d d +-=x y x y ( A )奇解. (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题(每小题8分,共48分) 。 14.求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解:令x y u =,则u x u y '+=', u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时,等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15.求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解:积分因子21)(x x =μ, 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程.取10=x ,00=y ,于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16.求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y =',得到2 2 2x xp p y +-= (*) ,两端同时关于求导,

第五章 高等数学(理专) 微分方程试题库1

第五章 微分方程 试题库一 1.填空题 (1) 微分方程0),,,()4(='y y y x F 是 阶微分方程. (2)通过点)1,1(处,且在任意一点),(y x P 处的切线斜率为x 的曲线方程为 . (3) 微分方程054=-'-''y y y 的特征方程为 . (4) 微分方程03='-''y y 的通解为 . (5) 微分方程09=-''y y 的通解为 . (6) 微分方程y x x y -=e d d 的通解为 . (7) 微分方程054=-'+''y y y 的通解为 . (8) 微分方程20yy x '+=的通解为 . (9)微分方程560y y y '''-+=的特征方程为 . (10) 微分方程440y y y '''-+=的通解为 . 2.选择题 (1) 微分方程0))(,,,(24='''y y y x F 的通解中含有的相互独立的任意常数的个数是( ). A.1; B.2; C.3; D.4. (2) 下列微分方程中是可分离变量的微分方程的是( ). A.y xy x y +=d d ; B. y x y xy sin e d d =; C. 2d d y xy x y +=; D. 22d d y x x y +=. (3) 下列微分方程中是一阶线性非齐次微分方程的是( ). A. 2d d y xy x y +=; B.x xy y =+''; C.x xy y =+'; D. 02=+'xy y . (4) 微分方程x y e =''的通解为( ). A. x y e =; B. C y x +=e ; C. Cx y x +=e ; D. 21e C x C y x ++=.

常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程,称为变量分离方程, 这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程,称为伯努利方程, 这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上 关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程,称为 欧拉方程,这里 5、设的某一解,则它的任一解 - 。 二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程 三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ,在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax(A为nn常数矩阵)的标准基解矩阵(即(0)=E),证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2

一、填空题:(30%) 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项,则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解,则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解:(40%) 1、 2、 3、 4、 5、求解方程. 三、求初值问题的解的存在区间,并求第二次近似解,给出在解的存在区间的误差估计. (10分)

四、求解微分方程组 满足初始条件的解. (10%) 五、证明题:(10%) 设,是方程 的解,且满足==0,,这里在上连续,.试证明:存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1.辨别题 指出下列方程的阶数,是否是线性方程:(12%) (1)(2)(3) (4)(5)(6) 2、填空题(8%) (1).方程的所有常数解是___________. (2).若y=y1(x),y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其通解表示为________________. (3).若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程,同它的通积分是 ________________. (4).设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点,过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) (1).方程是().

(整理)常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题 一、填空题(每小题3分,共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a,则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数,作变量变换________,方程可化为变 量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式 为x= (t),P=ψ(t),t为参数,则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续,y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上,满 足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy,满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…,n是〔a,b〕上的连续函数,又x1(t),x2(t),…,x n(t)为方程n 个线性无关的解,则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是:________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵,x1(t),x2(t),…,x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为:x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之 等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵,-2为A的三重特征值,则方程组x′=Ax的基 解矩阵exp A t=________. 13.方程组 的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程

一阶常微分方程解法总结

第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程: ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时,得到 dx x f y g dy )() (=,两边积分即可得到结果; 当0)(0=ηg 时,则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解:当0≠y 时,有 xdx y dy =,两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解; 综上所述,原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时,可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=,两边积分可得结果; 当0)(0=y N 时,0y y =为原方程的解,当0(0=) x P 时,0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解:当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时,有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ,所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ; 当0)1)(1(2 2 =--y x 时,也是原方程的解; 综上所述,原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程: ①、形如 )(x y g dx dy = 解法:令x y u =,则udx xdu dy +=,代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程,得到

常微分方程第五章微分方程组总结

一.线性微分方程组的一般理论 1. 线性微分方程组一般形式为: 1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 , ()()()(),n n n n n n n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++??'=++++??????'=++++? () 记: 1112121 22212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ??????=?????? '????????????'??????'===????????????'?????? 非齐次线性方程组表示为: ()() x A t x f t '=+ 齐次线性方程组表示为: ()x A t x '= 2.齐次线性方程组的一般理论 (1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ? 是齐次方程组()x A t x '= 的k 个 解,则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++?+ 也是齐次方程组的解,这里 12,,,n c c c ?是任意常数 (2)向量函数线性相关性 定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ? ,如果存在不全为零的常数

常微分方程期末考试练习题及答案

一,常微分方程的基本概念 常微分方程: 含一个自变量x,未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为:F(x,y,y,.....y(n))=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如:f(x)(3)+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f(x)使常微分方程两端恒等,则f(x)称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数(个数等于方程的阶数)的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F(t,x(3))=0的通解的形式为:x(t)=c1x(t)+c2x(t)+c3x(t)。 4.满足初值条件的解称为它的特解(特解不唯一,亦可能不存在)。 5.常微分方程之线性及非线性:对于F(x,y,y,......y(n))=0而言,如果方程之左端是y,y,......y(n)的一次有理式,则次方程为n阶线性微分方程。(方程线性与否与自变量无关)。如:xy(2)-5y,+3xy=sinx 为2阶线性微分方程;y(2)+siny=0为非线性微分方程。 注:a.这里主要介绍几个主要的,常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解,初值条件,初值问题等概念这里予以略去。另外,有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义:形如 dx dy =f (x)φ(y)的方程,称为分离变量方程。这里f (x ),φ(x )分别是x ,y 的连续函数。 2.解法:分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. (*) 说明: a 由于(*)是建立在φ(y )≠0的基础上,故而可能漏解。需视情况补上φ(y )=0的特解。(有时候特解也可以和通解统一于一式中) b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解:由题意分离变量得:04 2=+-y dy x dx 即: 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之,得:c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为:cx y x =-4)4( (c 为任意常数),特 解y=0包含在通解中(即两者统一于一式中)。 *例2.若连续函数f (x )满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ,则f (x )是? 解:对给定的积分方程两边关于x 求导,得: )(2)('x f x f = (变上限求积分求导) 分离变量,解之得:x Ce x f 2)(= 由原方程知: f (0)=ln2, 代入上解析式得: C=ln2, B.可化为分离变量方程的类型。 解决数学题目有一个显而易见的思想:即把遇到的新问题,结合已知

《常微分方程》第三次作业

《常微分方程》第三次作业 第3章 一阶线性微分方程组 1.完成定理3.1的证明. 2.完成定理3.1′的证明 3.将下列方程式化为一阶方程组 (1)0)()(=++x g x x f x &&& (2))(d d d d 22t f kx t x c t x m =++ (3)0)()()(321=+'+''+'''y x a y x a y x a y 4.求解方程组 ?????? ?+=+=y t p x t q t y y t q x t p t x )()(d d )()(d d 其中)(),(t q t p 在[a , b ]上连续. 5.设n n ?矩阵函数)(1t A ,)(2t A 在(a , b )上连续,试证明,若方程组 X A X )(d d 1t t = 与X A X )(d d 12t t = 有相同的基本解组,则)(1t A ≡)(2t A . 6.求解下列方程组: (1)???????==y t y x t x 2d d d d (2)???????+=+=x y t y x y t x 54d d 45d d (3)???????+-=+=y x t y y x t x αββαd d d d 7.求解下列方程组: (1)???-=+=x y y y x x 23&& (2)??? ??+-=-+=+-=z y x z z y x y z y x x 222&&& 8.求解下列方程组: (1)???????=+=y t y y x t x 3d d 3d d (2)???? ?????=+=+=333222 11 2d d 2d d 2d d y x y y y x y y y x y (3)?????+=+=2 e 2t x y y x t && (4)???++=++=t y x y t y x x e 823532&&

常微分方程解题方法总结.doc

常微分方程解题方法总结 来源:文都教育 复习过半, 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来, 如何将零散的知 识点有机地结合起来, 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆, 使知识自成 体系,建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴, 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”,对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例, 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容, 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多, 遇到具体的题 目不知该如何下手, 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结,一目了然,便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时,得到 dy f (x)dx , g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果; dx 当 g( 0 ) 0 时,则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法:令 u y xdu udx ,代入 ,则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx

伯努利方程 解法:令 u y1 n,有 du (1 n) y n dy , dy P( x) y Q( x) y n(n≠0,1)代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程:2 pq 三种情况: 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根:1, 2 通解: y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根:1 2 通解: y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根:i , 通解: y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况: x ( 1)f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根,令特解 y Q m ( x)e x;若是特征方程的单根,令特 解 y xQ m ( x)e x;若是特征方程的重根, 令特解 y*x2Q m (x)e x; (2)f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]

第五章常微分方程习题

第五章 常微分方程 §1 常微分方程的基本概念与分离变量法 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件:0,1x y ==的特解. 2.2(1)0y dx x dy ++=,并求满足初始条件:0,1x y ==的特解. 3.(1)(1)0x ydx y xdy ++-= 4.(ln ln )0x x y dy ydx --= 5. x y dy e dx -= 答案 1.通解2 x y ce =;特解2 x y e = 2.通解1ln 1y c x = ++;另有解0y =;特解11ln 1y x = ++ 3.ln ;0x y xy c y -+== 4.1ln y cy x += 5.y x e e c =+ §2 一阶线性微分方程 1.(1)( )是微分方程。 (A ) (B ) (C ) (D ) (2)( )不是微分方程。 (A ) (B ) (C ) (D )

2.求微分方程的通解 ;(2)。 (1) 3.求微分方程的特解 (1);(2) 4.解下列微分方程 ;(2); (1) 答案1.(1)B;(2)C 2.(1)y=cx;(2)y4-x4=C。 3.(1)2/x3;(2)。 4.(1); (2)y=Csinx; §3 二阶常系数线性微分方程 1.求下列微分方程的通解 ;(2); (1) (3) (5) 2.求微分方程的特解 3.求下列微分方程的通解

(1) ; (2) ; (3) ; (4) 。 4.求方程2100y y y '''++=满足初始条件0 2x y ==和01x y ='=的特解 5.求方程221y y y x '''+-=+的一个特解 6.求方程22x y y y xe '''+-=的一个特解 7.求方程32(41)x y y y x e '''-+=-的一个特解 答案 1.(1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) 。 2. 3.(1) ; (2) ; (3) ; (4) 。

常微分方程作业答案

1.第1题 设就是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中就是连续函数、则 A、的朗斯基行列式一定就是正的; B、的朗斯基行列式一定就是负的; C、的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零; D、的朗斯基行列式恒不为零、 A、A B、B C、C D、D 您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 2.第2题 满足初始条件与方程组的解为 ( )、 A、; B、 ; C、 ; D、、

A、、 B、、 C、、 D、、 您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 3.第6题 下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个、 (i) , (ii) , (iii) , (iv) 、 A、1 B、2 C、3 D、4 您的答案:C 题目分数:2 此题得分:2、0 4.第8题 就是某个初值问题的唯一解,其中方程就是, 则初始条件应该就是( )、 A、,

B、, C、, D、、 A、A B、B C、C D、D 您的答案:A 题目分数:2 此题得分:2、0 5.第9题 可将一阶方程化为变量分离方程的变换为 A、; B、 ; C、; D、、 A、、 B、、 C、、 D、、 您的答案:C 题目分数:2 此题得分:2、0 6.第15题

可将六阶方程化为二阶方程的变换就是( )、 A、; B、 ; C、 ; D、、 A、、 B、、 C、、 D、、 您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 7.第16题 设,及就是连续函数,与就是二阶变系数齐次线性方程 的两个线性无关的解, 则以常数变易公式 作为唯一解的初值问题就是

A、B、 C、D、 A、、 B、、 C、、 D、、 您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 8.第18题 设与就是方程组的两个基解矩阵, 则 A、存在某个常数方阵C使得, 其中; B、存在某个常数方阵C使得, 其中 ; C、存在某个常数方阵C使得, 其中; D、存在某个常数方阵C使得, 其中、 A、、 B、、

2018常微分方程考研复试真题及答案

常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数,是线性方程还是非线性方程,并说明理由; (1) t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 (2) dx dy =x 2+y 2 ; (3)dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4.验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解,进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7.什么是求解常微分方程的初等积分法 8.分离变量一阶方程的特征是什么 9.求下列方程的通解 (1) y ` =sinx (2) x 2 y 2 y ` +1=y (3) tgx dx dy =1+y (4) dx dy =exp(2x-y) (5) dx dy =21y 2- (6) x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx (7)( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11.试给出一阶方程y ` =f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二

个方程的关系。 12.求解齐次方程通常用什么初等变换,新旧函数导数关系如何 13.求解下列方程 dx dy =2 22y x xy - 14.求解下列方程 (1)(x+2y )dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27

常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.2 求下列方程的解。 1.dx dy =x y sin + 解: y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2.dt dx +3x=e t 2 解:原方程可化为: dt dx =-3x+e t 2 所以:x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3.dt ds =-s t cos +21t 2sin 解:s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4. dx dy n x x e y n x =- , n 为常数. 解:原方程可化为:dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5. dx dy +1212--y x x =0 解:原方程可化为:dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6. dx dy 234xy x x += 解:dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此:dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 (*) 将x y u =带入 (*)中 得:3433cx x y =-是原方程的解.

秋华师《常微分方程》在线作业

秋华师《常微分方程》在线作业

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奥鹏17春16秋华师《常微分方程》在线作业 一、单选题(共20 道试题,共60 分。) 1. 微分方程y''+y=sinx的一个特解具有形式()。 A. y*=asinx B.y*=acosx C.y*=x(asinx+bcosx) D.y*=acosx+bsinx 正确答案: 2. y'''+sinxy'-x=cosx的通解中应含()个独立常数。 A. 1 B. 2 C.3 D. 4 正确答案: 3.微分方程xyy''+x(y')^3-y^4-y'=0的阶数是()。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 2 正确答案: 4.微分方程y'''-x^2y''-x^5=1的通解中应含的独立常数的个数为()。 A. 3 B. 5 C. 4 D. 2 正确答案: 5. 过点(1,3)且切线斜率为2x的曲线方程y=y(x)应满足的关系是()。 A.y'=2x B. y''=2x C. y'=2x,y(1)=3 D. y''=2x,y(1)=3 正确答案: 6.方程dy/dx=3y(2/3)过点(0,0)有(). A. 无数个解 B. 只有一个解 C.只有两个解 D.只有三个解

正确答案: 7. 方程y'-2y=0的通解是()。 A. y=sinx B. y=4e^(2x) C.y=Ce^(2x) D.y=e^x 正确答案: 8. 下列函数中,是微分方程y''-7y'+12y=0的解()。 A. y=x^3 B. y=x^2 C. y=e^(3x) D.y=e^(2x) 正确答案: 9.按照微分方程通解定义,y''=sinx的通解是()。 A. -sinx+C1x+C2 B. -sinx+C1+C2 C. sinx+C1x+C2 D.sinx+C1x+C2 正确答案: 10.方程组dY/dx=F(x,Y),x∈R,Y∈R^n的任何一个解的图象是()维空间中的一条积分曲线. A. n B.n+1 C.n-1 D. n-2 正确答案: 11.下列函数中,哪个是微分方程dy-2xdx=0的解()。 A. y=2x B.y=x^2 C. y=-2x D.y=-x 正确答案: 12. 微分方程cosydy=sinxdx的通解是()。 A. sinx+cosx=C B.cosy-sinx=C C. cosx-siny=C D.cosx+siny=C 正确答案: 13. 微分方程2ydy-dx=0的通解为()。 A. y^2-x=C B. y-x^(1/2)=C C. y=x+C D. y=-x+C 正确答案:

常微分方程应用题和答案

应 用 题(每题10分) 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零,又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=,求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =,其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= (1)求()F x 所满足的一阶微分方程; (2)求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?,求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导,()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=,且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ,求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续,5 (1)2 f =,且对所有,(0,)x t ∈+∞,满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??,求()f x 。 6、求连续函数()f x ,使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?,试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=, 其中21 ()01x x x ?? 。试求在(,)-∞∞内的连续函 数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程,且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ,其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ,且线段PQ 被x 轴平分。 (1)求曲线()y f x =的方程; (2)已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ,试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =,使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为

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