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大学毕业论文——微分中值定理应用初探

皖西学院

本科毕业论文（设计）

论文题目微分中值定理应用初探

姓名（学号）倪森

系别数理系

专业数学与应用数学

导师姓名邵毅

二〇一一年四月

微分中值定理应用初探

作者倪森指导教师邵毅

摘要：本文首先介绍了微分三大中值定理以及它们之间的关系，然后论述了微分中值定理在研究函数性质，求极限，求近似值和在实际生活中的应用。关键词：中值定理联系应用

微分中值定理是微分学的基本定理之一，是沟通函数与其导数之间的桥梁，

是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具.应用十分广泛。 1、微分中值定理及其几何意义

则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()0f ξ'= (1) 证明：因为f 在闭区间[,]a b 上连续,所以有最大值与最小值,分别用,M m 表示,现分两种情况来讨论:

(1)若m M =,则f 在[,]a b 上必为常数,从而结论显然成立。

(2) 若m M <,则因()()f a f b =,使得最大值M 与最小值m 至少有一个在

(,)a b 内某点ξ处取得,从而ξ是f 的极值点。

由条件(ii), f 在点ξ处可导,故由费马定理推知()0f ξ'=。罗尔定理的几何意义:在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线（图1）。

图1

1.1 罗尔（Rolle ）中值定理：

若函数f 满足如下条件: (i)f 在闭区间[a,b]上连续; (ii)f 在开区间(a,b)内可导; (iii)()()f a f b =,

证明：作辅助函数()()

()()()()f b f a F x f x f a x a b a

-=--

显然,()()0F a F b ==,且F 在[,]a b 上满足罗尔定理的另两个条件故(,)a b ξ?∈,使

()()

()()0f b f a F f b a

ξξ-''=-

移项后即得所要证明的(2)式。

拉格朗日公式还有下面三种等价表示形式：

()()()(),f b f a f b a a b

ξξ'-=-<<;

()()(())(),01f b f a f a b a b a θθ'-=+--<<; ()()(),01f a h f a f a h h θθ'+-=+<<

拉格朗日中值定理的几何意义:在满足定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点(,())P f ξξ,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB （图2）。 1.3 柯西（Cauchy ）中值定理:

设函数f 和g 满足: (i) 在[,]a b 上都连续;

图2

1.2 拉格朗日（Lagrange ）中值定理：若函数f 满足如下条件: (i) f 在闭区间[a,b]上连续;

(ii) f 在开区间(a,b)内可导, 则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得

()()

()f b f a f b a

ξ-'=

-. （2）

则在

内至少存在(,)a b ξ∈,使得

()()()

f f b f a

g g b g a ξξ'-=

'- (3) 证明：作辅助函数 ()()

()()()(()())()()

f b f a F x f x f a

g x g a g b g a -=--

--,

易见F 在[,]a b 上满足罗尔定理的条件,故存在(,)a b ξ∈,使得

()()

()()()0()()

f b f a F f

g g b g a ξξξ-'''=-

因为()0g ξ'≠(否则由上式()0f ξ'=),所以可把上式改写成(3)式。此定理有着与前两个中值定理相类似的几何意义,只是要把,f g 这两个函数写作以x 为参量的参数方程

(),

()u g x v f x =??

[,]x a b ∈. 在uov 平面上表示一段曲线,由于(3)式右边的

()()

f b f a

g b g a --表示连接该曲线两端

点的弦AB 的斜率,而(3)式左边的

()()x f dv

g du

ξξ='=',则表示该曲线上与x ξ=相对应

的一点((),())P g f ξξ处的切线的斜率。因此(3)式即表示上述切线与弦AB 互相平行（图3）。 1.4 泰勒公式

若函数f(x)在开区间（a ，b ）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)的多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x -x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x -x.)^3+…

(ii) 在(a ,b)上都可导; (iii) f’(x)和g’(x)不同时为零;

(iv)

g(a)g(b),

≠

…+f(n)(x.)/n!?(x -x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x -x.)^(n+1),

这里ξ在x 和x. （注：f(n)(x.)是f(x.)的n 阶导数，不是f(n)与x.的相乘。）

Lagrange 中值定理是的特例。 1.5 中值定理的一些推论

1、Rolle 定理的推论：若f 在[1x ，2x ]上连续，在(1x ，2x )内可导，

12()()0f x f x ==，则存在12(,)x x ξ∈，使得()0f ξ'=（简言之：可导函数的两个根之间必有导数的零点）。 2、Lagrang 定理的推论：

推论若函数f 在区间I 上可导，且()0f x '=，x I ∈，则f 为I 上的一个常量函数。

几何意义：斜率处处为0的曲线一定是平行于x 轴的直线。

推论若函数f 和g 均在I 上可导，且()()f x g x ''=，x I ∈，则在区间I 上f(x)与g(x)只差一个常数，即存在常数C ，使得()()f x g x C =+。

2、微分中值定理之间的内在联系

罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理。这些定理都具有中值性，所以统称微分学中值定理，以拉格朗日中值定理为中心，它们之间的关系可用简图示意

3、微分中值定理的应用

以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理．它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态。中值定理的主要

作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则．中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数单调性、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态。从而把握函数图象的各种几何特征．此外，在研究极值问题中也有重要的实际应用．

3.1 判别可微函数的单调性

定理 1 设f(x)在区间[a,b]上可导，则f(x)在[a,b]上递增（减）

()0(0)f x '?≥≤.

证明：如f 为增函数，则对每一0x I ∈，当0x x ≠时，有00

()()

0f x f x x x -≥-

令0x x ??→即得'()0f x ≥

反之，若()f x 在区间I 上恒有'()0f x ≥，则对12,x x I ?∈

（不妨设12x x <）由Lagrange 中值定理知，12(,)x x I ξ?∈?，使得 2121()()'()()0f x f x f x x ξ-=-≥

由此即得 ()f x 在I 上递增 # 例1.设()f x 在[0,]a 上连续,在(0,)a 内可导,且(0)0f =,'()f x 单调增加求证:

()

f x x

在(0,)a 内也单调增加证明:由于 ()()(0)'()f x f x f xf ξ=-=, 0x ξ<<(当0x >时) 又'()f x 单调增加,有'()'()f x f ξ> (当x ξ>时)

? 22

()'()()'()'()

'f x xf x f x xf x xf x x x ξ--??== ???

'()'()

0,(0,)f x f x a x

ξ-=

>∈

()

f x x

在(0,)a 内单调增加 3.2 求解不定式的极限

柯西中值定理的一个极其重要的应用就是可以用来计算未定型的极限。仔细观察柯西中值定理里的表达式的形式，可以看到两个函数式的比值，在一定条件

下可以化成者两个函数的导数的比值，这样就有可能使得作为未定型的分式的分子与分母所表示的函数，通过求导，而得到非未定型。这是一个基本的思路，我们有下面的定理： (

Hospital 法则) 若函数f 和g 满足: (i) 0

lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==;

(ii) 在点0x 的某空心邻域00()U x 内两者都可导,且()0g x '≠; (iii) 0

()

lim

(()

x x f x A A g x →'='可为实数.也可为±∞或∞), 则 0

0()()

lim

lim ()()

x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 证明: 补充定义00()()0f x g x ==,使得f 与g 在0x 处连续,任取00()x U x ∈,

在区间0[,]x x (或0[,]x x )上应用柯西中值定理,有

00()()()

()()()

f x f x f

g x g x g ξξ'-=

'- 即

()()

(()()

f x f

g x g ξξξ'='介于0x 与x 之间)。当令0x x →时,也有0x ξ→,故得 000()()()

lim

lim lim ()()()

x x x x x f x f f x A g x g g x ξξξ→→→''==='' 注:若将其中0x x →换成00,,,x x x x x x +-

→→→±∞→∞,只要相应地修正条件(ii)

中的邻域,也可得同样的结论. 例2.求21cos lim

tan x x

π→+.

解:易知,()1cos f x x =+与2()tan g x x =在0x π=

的邻域内满足

Hospital

法则的条件(i)和(ii),又因32()sin cos 1

lim lim lim ()2tan sec 22x x x f x x x g x x x πππ→→→'-==-=',

故由洛必达法则求得0

0()()1lim

lim ()()2

x x x x f x f x g x g x →→'=='. 例3.求ln lim

x x

→+∞.

解: 由洛必达法则有 ln (ln )1

lim

lim lim 0()x x x x x x x x

→+∞→+∞→+∞'==='.

3.3 证明不等式和等式例

4.设0a b <<,证明不等式：

222ln ln a b a

a b b a

-<+-

证明：设 ()f x =ln x (0)x a >> 根据拉格朗日中值定理得

ln ln b a b a --=(ln )'|x x ξ==1

，a b ξ<<

由于

12a b a b

>+ （ 22

2a b ab +>） ∴222ln ln a b a a b b a -<+- # 例5.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且'()0f x ≤ 求证：对函数 1

()(),(,)x a F x f t dt x a b x a

=∈-? 有 '()0F x ≤ 成立证明：21

'()[()()()()

x a F x f x x a f t dt x a =

---? =

[()()()()]()f x x a f x a x a ξ---- ()a x ξ≤≤

()()

()

f x f x a ξ--

='()

0x f c x a

-≤- ()c x ξ<< # 例6.设120,0,x x >>求证：211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=--，其中ξ在1x 与2x 之间。证明：由于120,0,x x >>则0x =不在1x 与2x 之间

令()x

e f x x

=，1()g x x =，

则 ()f x 与()g x 在1x 与2x 所限定的区间上满足柯西中值定理的条件

212

2121'()(1)111'()x x e e e e x x f e g x x ξξ

ξξξξξξξ

--===---

整理得，211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=-- #

3.4 证明中值点的存在性例7.设函数()f x 在[0，

12]上二阶可导，且1

(0)'(0),()02

f f f == 求证：至少存在一点1(0,)2ξ∈，使得3'()

"()12f f ξξξ

=-。

分析：结论可写为 "()(12)2'()'()f f f ξξξξ--=

ξ=???→ "()(12)2'()'()f x x f x f x --= 即 ['()(12)]''()f x x f x -= ?'()(12)()f x x f x c -=+ 令 0c =，移项得 '()(12)()0f x x f x --= 取 ()'()(12)()F x f x x f x =--

证明：作辅助函数 ()'()(12)()F x f x x f x =-- 易见，由题设可知 ()F x 在[0，

12]上连续，在（0，1

）内可导，且 (0)'(0)(10)(0)0F f f =--=

1111

()'()(12)()02222

F f f =-?-= 于是，()F x 在[0，1

]上满足罗尔定理

?至少存在一点ξ∈（0，1

），使得 '()0F ξ= 即 "()(12)3'()0f f ξξξ--=

例8.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，求证：至少存在一点ξ∈(,)a b ，使得 ()()

()'()bf b af a f f b a

ξξξ-=+-

分析：令

()()

bf b af a k b a

-=-，则 ()()bf b kb af a ka -=-

可见，这是一个对称式（a 与b 互换，等式不变），故取

()()F x xf x kx =-

证明：取辅助函数 ()()

()()bf b af a F x xf x x b a

-=-

显然，()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()F a F b =

所以，()F x 在[,]a b 上满足罗尔定理的条件，故至少存在一点(,)a b ξ∈，

使得 '()0F ξ= 即 ()()

()'()0bf b af a f f b a

ξξξ-+-

即

()()

()'()bf b af a f f b a

ξξξ-=+- #

注：例8采用的方法称为常数k 值法，通常它可以如下进行：（1）令常数部分为k ；

（2）恒等变形，使等式一端为a 及()f a 构成的代数式，另一端为b 及()f b 构

成的代数式；

（3）看两端的表达式是否为对称式或轮换对称式，若是，只须把a （或b ）

改为x ，相应的函数值()f a （或()f b ）改成()f x ，则替换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数()F x .

例9.设()f x 在[-1，1]内有三阶连续导数，且(1)0f -=，(1)1f =，'(0)0f = 求证：(1,1)ξ?∈-使'"()3f ξ=

证明：作三次多项式 32()p x Ax Bx Cx D =+++，满足(1)1p =，'(0)0p = (1)0,(0)(0)p p f -==，由此得 0C =，(0)D f =，

A =

，1(0)2B f =- 即 3211

()[(0)](0)22p x x f x f =+-+

而令()()()x f x p x ?=-，则 (1)(0)'(0)(1)0????-==== 先在[-1，0]和[0，1]上对()x ?用罗尔中值定理知存在

12101ξξ-<<<<，使得12'()'(0)'()?ξ??ξ==，再在1[,0]ξ，2[0,]ξ上

对'()x ?用罗尔中值定理得，?11220ξηηξ<<<<，

使得12"()"()?η?η= 再在12[,]ηη上对"()x ?用罗尔中值定理得，?12(,)(1,1)ξηη∈?-，使得

'"()0?ξ=，又'"()'"()3x f x ?=-，故 '"()3f ξ= 注：例9所表述的方法称为多项式函数法，在运用时须注意所设函数导数的阶数

即是多项式次数.

3.5 证明方程根的存在性与唯一性

例10.设()f x 在(,)-∞+∞内可微，求证：在()f x 的任何两个零点之间必有

()'()f x f x +的一个零点

证明：取辅助函数 ()()x F x f x e =

显然，()F x 在[,]αβ上连续，且在(,)αβ内可微，其中,αβ为()f x 的任意两个零点，即()()0f f αβ==，且αβ< ()()0()()F f e f e F αβααββ====

可知，()F x 在[,]αβ上满足罗尔定理的条件，于是，至少存在一点(,)ξαβ∈

使得 '()0F ξ= 即 ()'()0e f e f ξξξξ+= 也即 ()'()0f f ξξ+= 例1设()f x 在[0，1]上可微，对于[0，1]上每一个x ，函数()f x 的值都在开区

间（0，1）内，且'()1f x ≠，求证：在（0，1）内有且仅有一个x ，使得()f x x = 证明：令 ()()F x f x x =- 由题意知，()F x 在[0，1]上连续，又因 ()(0,1)f x ∈ ? (0)(0)00,(1)(1)10F f F f =->=-<

由闭区间上连续函数的零点定理可知，在（0，1）内至少有一个x ，使 ()0F x =，即 ()f x x =

下用反证法证()F x 在（0，1）内至多有一个零点

否则，12,(0,1)x x ?∈，12x x <，使得 11()f x x =，22()f x x = 由拉格朗日中值定理知，至少存在一个 12(,)x x x ∈(0,1)?，使得

2121

()()'()1f x f x x x f x x x x x --=

==-- 与题设矛盾，命题得证。

注：在证唯一性时，常先利用零点定理或罗尔定理证明函数至少有一个实根，再利用函数的单调性证明最多只有一个实根，从而得证。

3.6 证明有关重要理论

例12（导数极限定理）设函数f 在点0x 的某邻域0()U x 内连续，在0()o U x 内可导且极限0

lim '()x x f x →存在，则f 在点0x 可导，且

0'()lim '()x x f x f x →=

证明：（1）任取0()o

x U x +∈，()f x 在0[,]x x 上满足Lagrange 中值定理，则

0(,)x x ξ?∈，使得

()()

'()f x f x f x x ξ-=- （*）

由于0(,)x x ξ∈，故当0x x +??→时，有0

x ξ+

??→，对（*）式两边取极值，使得 0

0000

()()

lim lim '()'(0)x x x x f x f x f f x x x ξ+

→→-==+- （2）同理可得 00'()'(0)f x f x -=-

由于0

lim '()x x f x k →=?，故 00'(0)'(0)f x f x k +=-=，从而

00'()'()f x f x k +-==，即 0'()f x k =

例13 .(微积分基本公式)如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[,]a b 上的一

个原函数，则 ()()()b

a f x dx F

b F a =-?

证明: 在[,]a b 中任意插入若干个分点

0121n n a x x x x x b -=<<<<<=

?11

()()[()()]n

i i i F b F a F x F x -=-=-∑

对于上式右边的和式中的每一项应用微分中值定理

?11

()()'()()n

i i i F b F a F x x ξ-=-=-∑

()(),n

i i i f x x ξ-==-∑ 1.i i x x ξ-<<

记{}112,1,2,,,max ,,,i i i n x x x i n x x x λ-?=-==???

因为连续函数()f x 在区间[,]a b 上可积,所以在上式中令0λ??

→,根据定积分定义即可得 ()()F b F a -=10

lim ()()().n

i i i a

i f x x f x dx λξ-→=-=∑?

3.7 利用泰勒公式求近似值

泰勒公式集中体现了微积分逼近法的精髓, 是数学分析中重要知识点,并且在解决数学问题方面有着十分重要的作用. 论文主要列举泰勒公式在数学中常用的几个问题,归纳泰勒公式在解决数学问题中的若干应用. 例1 计算37的近似值，要求精确到小数点后的第五位

解37=136+=2

136116??

??+

，选择()

))(8211616222

1x R x x x +???

? ??-+=+ 其中)10(16

)1()(32

5_2<<+=θθx x x R

取)0(36

0==

x x 来计算，其误差为 532105.036

1616)361(

6-?

).10)(36

81361211(6372<

当然，微分中值定理的应用不拘一格，在实际运用中不能机械的就用某种方法，对具体问题要注意具体条件具体分析，多种方法要学会灵活运用。

应收集的资料、主要参考文献及实习地点：

1、数学分析（上册）……《北京:高等教育出版社》华东师范大学数学系

2、数学分析中的典型问题与方法[M]……斐礼文．北京：高等教育出版社，

3、数学分析………华东师范大学数学系编.北京:人民教育出版社

4、数学分析习题课讲义……薛宗慈编，北京:北京师范大学出版社

5、数学分析(上册)……周性伟，刘立民著.天津:南开大学出版社

6、高等数学[M]……同济大学数学教研室.北京:高等教育出版社

7、数学分析中的典型例题和解题方法[M]……孙本旺等.长沙;湖南科技出版

Inquiry The Application of The differential theorem of

mean

Author Lu Lei

Teacher Shao Yi

Abstract：This article has discussed the differential theorem of mean geometry

significance and the inner link thoroughly; The system summarized differential theorem of mean each kind of application; Introduced the structure auxiliary function creates the condition application differential theorem of mean solution actual problem the method; Also has further expounded the differential theorem of mean importance from the theory and the actual two angles.

Key words：Differential theorem of mean; Using; Proof; Inferential reasoning