对径受压圆环等差条纹和等倾线

对径受压圆环等差条纹和等倾线

图1 对径受压圆环等差条纹图

图2对径受压圆环等差线绘图纸描绘

各向同性点，奇点，隐没点，发源点；零级条纹；边界应力负号判断；连续加载法；

其中，A，B，C，D，E，F，G，H为奇点，

120

σσ

==。具体实验时，加载的重量只要使一级等差线形成完整圆环即可。

图3对径受压圆环0?，30?45?60?等倾线图像

线

图5对径受压圆环等倾线绘图纸描绘

白光中，同步旋转起偏镜和分析镜，等倾线变化，等差线不变；白光中连续加载，等倾线不变化，等差线变化；单色光中，较小载荷下等差线不明显，等倾线和载荷无关，将会很明显。

描绘时，先描0,30,45,60度的等倾线，其余的随后补充。具体描绘主应力迹线时要判断

各点第一、第二主应力的方向。

《1.3.1圆幂定理》教学案3

《1.3.1圆幂定理》教学案 【教学目标】 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解 决有关问题； 2.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的 观点的教育. 【教学重难点】 重点：相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用； 难点：灵活运用圆幂定理解题. 【教学过程】 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. 或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等. 定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.(经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等) 几何语言：若弦AB、CD交于点P则P A·PB=PC·P D(相交弦定理) 2证明 证明：连结AC，BD 由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B.(圆 周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.) ∴△P AC∽△PDB ∴P A∶PD=PC∶PB，P A·PB=PC·PD 注：其逆定理可作为证明圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性.其逆定理也可用于证明四点共圆. 3比较 相交弦定理、切割线定理以及他们的推论统称为圆幂定理.一般用于求线段长度. 4相交弦定理推论 定理 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项. 说明几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则=P A·PB(相交弦定理推论)

切割线定理 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.是圆幂定理的一种. 切割线定理示意图 几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=P A·PB(切割线定理) 推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言： ∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD·PC=P A·PB(切割线定理推论)(割线定理) 由上可知:PT2=P A·PB=PC·PD 2证明 切割线定理证明: 设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT2=P A·PB 证明：连接AT，BT ∵∠PTB=∠P AT(弦切角定理 ) 切割线定理的证明 ∠APT=∠APT(公共角) ∴△PBT∽△PTA(两角对应相等，两三角形相似) 则PB：PT=PT：AP 即：PT2=PB·P A

圆幂定理及其应用

[文件] sxc3jja0008.doc [科目] 数学 [年级] 初三 [章节] [关键词] 圆/圆幂定理/应用 [标题] 圆幂定理及其应用 [内容] 教学目标 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解 决有关问题； 2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方 法； 3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的 观点的教育. 教学重点和难点 相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题是难点. 教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容. 2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系? 提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程， 从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理. (1)如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例： 一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164)

二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165) (2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一 点P，成为两条割线，则有PA·PB＝PC·PD，这就是我们学过的 切割线定理的推论(割线定理).(图7-166) (3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋 转，使C，D两点在圆上逐渐靠 近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB＝PC·PD ＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167) (4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2＝PB2，可得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168) 至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和 切线长定理之间有着密切的联系. 3.启发学生理解定理的实质. 经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169. 观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R) 在图(1)中，PA·PB＝PC·PD＝PE·PF ＝(R-OP)(R+OP) ＝R2-OP2；

圆幂定理及其证明#(优选.)

圆幂的定义 假设平面上有一圆O，其半径为R，有一点P在圆O外，则OP^2-R^2即为P点到圆O的幂； 若P点在圆内，则圆幂为R^2-OP^2； 综上所述，圆幂为|OP^2-R^2|。 圆幂恒大于或等于零。 圆幂的由来 过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。则PA·PB=PC·PD。若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P到圆O的幂。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值） 若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2| 故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差，而过这一点引任意直线交圆于A、B，那么PA·PB等于圆幂的绝对值。 圆幂定理 定理内容 过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有 。[1] 圆幂定理的所有情况 考虑经过P点与圆心O的直线，设PO交⊙O与M、N，R为圆的半径，则有

圆幂定理的证明 图Ⅰ：相交弦定理。如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。相交于点P，连接AB、BD，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以 。所以有： ，即： 图Ⅱ：割线定理。如图，连接AD、BC。可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以有 ，同上证得 图Ⅲ：切割线定理。如图，连接AC、AD。∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有∠PAC=∠D，又因为∠P为公共角，所以有 易证

《1.3.1圆幂定理》教学案1

《1.3.1圆幂定理》教学案 教学目标 1．知识与技能：(1)理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；(2)学会作两条已知线段的比例中项； 2．过程与方法：师生互动，生生互动，共同探究新知； 3．情感、态度、价值观：通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法．教学重、难点 重点：正确理解相交弦定理及其推论 难点：相交弦定理及其推论的熟练运用 教学过程 前面讨论了与圆有关的角之间的关系.下面我们讨论与圆有关的线段的关系及其度量问题.下面沿用从特殊到一般地思路，讨论与圆的相交弦有关的问题. 探究1如图2-20，AB是⊙O的直径，CD⊥AB.AB与CD相交于P，线段P A、PB、PC、P D之间有什么关系？ ?=?(老师引导学生完成推导过程) . PA PB PC PD 探究2将图2-20中的AB向上(或向下)平移，使AB不再是直径(图2-21)，探究1的结论还成立吗？ 连接AD、BC，请同学们自己给出证明. 探究3如果CD与AB不垂直，如图2-22，CD、AB是圆内的任意两条相交弦，探究1的结论还成立吗？ 事实上，AB、CD是圆内的任意相交弦时，探究1仍然成立，而证方法不变.请同学们自己给出证明. 由上诉探究和论证，我们有 1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． 探究4在图2-24中，使割线PB绕P运动到切线的位置(图2-25)，线段P A(或PB)、PC、P D之间有什么关系？ 2. =?(老师引导学生完成推导过程) PA PC PD

由上诉探究和论证，我们有 3.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 探究5下面对相交弦定理和切割弦定理作进一步分析： 由切割线定理和相交弦定理不难看出，不论点P在圆内或圆外，通过圆的任一条割线交圆于A，B两点，只要点P的位置确定了，则P A? PB都是定值. 设定植为k，则： 当点P在圆外时，如图，由切割线定理，可得 k = P A? PB = PT2= PO2- r2( r表示⊙O的半径 ) 当点P在圆内时，如图，过点P作AB垂直于OP，则： k = P A? PB = P A2= r2 - PO2( r表示⊙O的半径 ) 当点P在圆上时，显然k=0. 由上，我们可以得到： 圆幂定理： 已知⊙(O，r)，通过一定点的任意一条割线交圆于A，B两点，则： 当点P在圆外时，k= PO2- r2； 当点P在圆内时，k= r2- PO2； 当点P在⊙O上时，k= 0. 我们称定值k为点P对⊙O的“幂” 【自主检测】 1. 圆内两弦相交，一弦长8cm且被交点平分，另一弦被交点分为1：4，则另一弦长为_ ____. 2. 已知：⊙O和不在⊙O上的一点P，过P的直线交⊙O于A、B两点，若P A·PB＝24，OP＝5，则⊙O的半径长为_______. 3 . 若P A为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于B、C，若BC＝20，P A=P C的长为_______. 4. AB、CD是⊙O切线，AB∥CD，⊙O的切线EF和AB、CD分别交于E、F，则∠EOF ＝______．

圆幂定理(垂直弦定理)偏难

【例题求解】 【例1】 如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ． (市中考题) 思路点拨 综合运用圆幂定理、勾股定理求PB 长． 注：比例线段是几之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段： (1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例； (3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来． 【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ． 415 D ．5 16 (全国初中数学联赛题) 思路点拨 连AC ，CE ，由条件可得多等线段，为切割线定理的运用创设条件．

注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键． 【例3】如图，△ABC接于⊙O，AB是∠O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B． (1)求证：PA是⊙O的切线； (2)如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值． (北京市海淀区中考题) 思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x与k的关系，建立x或k的程． 【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE (省竞赛题) 思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=D E，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明． 注：圆中的多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁． 需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几各种类型的问题

平面几何中几个重要定理的证明

1 平面几何中几个重要定理及其证明 一、塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得 ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -， 所以 APC BPC S AD DB S ??=．同理可得 APB APC S BE EC S ??=， BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点，若 1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有 // 1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有 A B C D F P A B C D E F P D /

圆的相关定理及其几何证明(含答案)

圆的相关定理及其几何证明 典题探究 例1：如图，圆是的外接圆，过点C 作圆的切线交的延长线于点.若 O ABC ?O BA D ，，则线段的长是 ；圆的半径是 . CD =2AB AC ==AD O 例2：如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E （E 在A ,O 之间），EF BC ^,垂 足为F ．若6AB =，5CF CB × =，则AE =

例3：如图已知与圆相切于，半径，交于，若, PA O A OC OP ⊥AC PO B 1OC =，则 ， ． 2OP =PA ==PB 例4：如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知， O P O PA PBC 30BPA ∠=?，, 则 ,圆的半径等于 11BC =1PB =PA =O 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．如图，已知直线PD 切⊙O 于点D ，直线PO 交⊙O 于点E,F.若，则⊙O 的21PF PD =+=半径为 ； . EFD ∠=A B C O P

D C B P A O

C B A 5．如图所示，以直角三角形的直角边为直径作⊙，交斜边于点，过点 ABC AC O AB D 作⊙的切线，交边于点.则 . D O BC E =BC BE 6．如图，直线AM 与圆相切于点M, ABC 与ADE 是圆的两条割线，且BD ⊥AD ，连接MD 、EC 。则下面结论中，错误的结论是( ) A ．∠ECA = 90o B ．∠CEM=∠DMA+∠DBA C ．AM 2 = AD·AE D ．AD·D E = AB·BC 7．如图，切圆O 于点,为圆O 的直径，交圆O 于点，为的中点，AB A AC BC D E CD 且则__________；__________. 5,6,BD AC ==CD =AE =

圆幂定理及其证明

圆幂定理 圆幂的定义:一点P 对半径R 的圆O 的幂定义如下：22 OP R - 所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。 圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。 （1） 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图，AB 、CD 为圆O 的两条任意弦。相交于点P ，连接AD 、BC ，则∠D=∠B ， ∠A=∠C 。所以△APD ∽△BPC 。所以 AP PD AP BP PC PD PC BP =??=? （2） 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点 的两条线段长的比例中项。 如图，PT 为圆切线，PAB 为割线。连接TA ，TB ，则∠PTA=∠B （弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA ∽△PBT ，所以 2PT PA PT PA PB PB PT =?=? （3） 割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于 A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD 。 这个证明就比较简单了。可以过P 做圆的切线，也可以连接CB 和AD 。证相似。

存在：PA PB PC PD ?=? 进一步升华（推论）： 过任意在圆O 外的一点P 引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于 A 、 B （可重合，即切线），L2与圆交于 C 、 D 。则PA·PB=PC·PD 。若圆半径为r ，则 2222()()||PC PD PO R PO R PO R PO R ?=-?+=-=-（一定要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P 到圆O 的幂。（事实上所有的过P 点与圆相交的直线都满足这个值） 若点P 在圆内，类似可得定值为2222||R PO PO R -=- 故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝 对值。（这就是“圆幂”的由来）

实用文库汇编之4个圆幂定理及其证明

作者：于椅上 作品编号：785632589421G 101 创作日期：2020年12月20日 实用文库汇编之相交弦定理 如图,⊙P中,弦AB,CD相交于点P,则AP·BP=CP·PD 证明： 连结AC，BD，由圆周角定理 的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。 ∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD 注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法. A D C 切割线定理 如图，ABT是⊙O的一条割线，TC是⊙O的一条切线，切点为C，则TC2=TA·TB 证明：连接AC、BC P

∵弦切角∠TCB对弧BC，圆周角∠A对弧BC ∴由弦切角定理，得∠TCB=∠A 又∠ATC=∠BTC ∴△ACT∽△CBT ∴AT:CT=CT:BT, 也就是CT2=A T·BT 弦切角定义： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角 弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明 证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交B C于D， 则∠TCB=∠CDA ∵∠TCB=90-∠OCD ∵∠BOC=180-2∠OCD ∴,∠BOC=2∠TCB 切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。 如图中，切线长AC=AB。 ∵∠ABO=∠ACO=90° BO=CO=半径 AO=AO公共边 ∴RtΔABO≌RtΔACO（HL） ∴AB=AC ∠AOB=∠AOC ∠OAB=∠OAC 割线定理 如图，直线ABP和CDT是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD 证明:连接AD、BC ∵∠A和∠C都对弧BD ∴由圆周角定理，得∠A=∠C 又∵∠APD=∠CPB ∴△ADP∽△CBP ∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP

圆幂定理及其证明

圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理 （切割线定理推论）以及他们推论 如图，AB 、CD 为圆0的两条任意弦。相交于点 P ,连接 AD 、BC ,则/ D= ZB , AP PD PC BP AP BP PC PD （2） 切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线, 切线长是这点到割线与圆焦点 的两条线段长的比例中项。 圆幕定理 圆幕的定义：一点P 对半径 R 的圆0的幕定义如下： OP 2 R 2 所以圆内的点的幕为负数，圆外的点的幕为正数，圆上的点的幕为零。 的统称。 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 Z A= Z C 。所以△ APD S /BPC 。所以 如图，PT 为圆切线，PAB 为割线。连接 TA , TB ，则Z PTA= ZB （弦切角等于同弧圆 周角）所以△ PTA “△□BT ，所以 T

PT PA PT2PA PB PB PT （3）割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PA PB=PC PD。 这个证明就比较简单了。可以过P做圆的切线，也可以连接CB和AD。证相似。 存在：PA PB PC PD 进一步升华（推论）： 过任意在圆0外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于 A、B （可重合，即切线），L2与圆交于C、D。贝U PA PB=PC PD。若圆半径为r，则 2 2 2 2 PC PD （PO R）（PO R） PO R | PO R | （一定要加绝对值，原因见下）为定值。这个值称为点P到圆O的幕。（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足 这个值） 2 2 2 2 若点P在圆内，类似可得定值为R PO | PO R | 故平面上任意一点对于圆的幕为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝 对值。（这就是圆幕”的由来）

圆的相关定理及其几何证明(含复习资料)

D B C O A 圆的相关定理及其几何证明 典题探究 例1：如图，圆O是ABC ?的外接圆，过点C作圆O的切线交BA的延长线于点D.若3 CD=2 AB AC ==，则线段AD的长是；圆O的半径是. 例2：如图，在圆O中，直径与弦垂直，垂足为E（E在之间），,垂足为F．若，，则 例3：如图已知PA与圆O相切于A，半径OC OP ⊥，AC交PO于B，若1 OC=,2 OP=，则PA=，= PB． 例4：如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知30 BPA ∠=?，11 BC=，1 PB=, 则PA=,圆O的半径等于 EF BC6 AB 5 CF CB AE A B C O P O P B A

演练方阵 A 档（巩固专练） 1．如图，已知直线切⊙O 于点D ，直线交⊙O 于点.若23,1PF PD ==，则⊙O 的半径为 ；EFD ∠= . 2. 如图，与切于点，交弦的延长线于点，过点作圆的切线交于点. 若，，则弦的长为. 3. 如图：圆O 的割线经过圆心O ，C 是圆上一点，＝＝1 2 ，则以下结论不正确．．．的是( ) A.CB CP = B. PCAC PABC = C. 是圆O 的切线 D. BC BABP = 4．如图，已知AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PC 切圆O 于点C ，CD OP ⊥于D ．若6CD =，10CP =，则圆O 的半径长为；BP =． 5．如图所示，以直角三角形ABC 的直角边AC 为直径作⊙O ，交斜边AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交BC 边于点E .则 =BC BE . 6．如图，直线与圆相切于点M, 与是圆的两条割线， 且 AP O A DB P B O AP C 90ACB ∠=?3,4BC CP ==DB D C B P A O

4个圆幂定理及其证明

创作编号：GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王 * 相交弦定理 如图,⊙P中,弦AB,CD相交于点P,则AP·BP=CP·PD 证明： 连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。 ∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD 注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法. A D C 切割线定理 如图，ABT是⊙O的一条割线，TC是⊙O的一条切线，切点为C，则TC2=TA·TB 证明：连接AC、BC P

∵弦切角∠TCB对弧BC，圆周角∠A对弧BC ∴由弦切角定理，得∠TCB=∠A 又∠ATC=∠BTC ∴△ACT∽△CBT ∴AT:CT=CT:BT, 也就是CT2=A T·BT 弦切角定义： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角 弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明 证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交BC于D， 则∠TCB=∠CDA ∵∠TCB=90-∠OCD ∵∠BOC=180-2∠OCD ∴,∠BOC=2∠TCB 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。 如图中，切线长AC=AB。

∵∠ABO=∠ACO=90° BO=CO=半径 AO=AO公共边 ∴RtΔABO≌RtΔACO（HL） ∴AB=AC ∠AOB=∠AOC ∠OAB=∠OAC 割线定理 如图，直线ABP和CDT是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD 证明:连接AD、BC ∵∠A和∠C都对弧BD 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王* ∴由圆周角定理，得∠A=∠C 又∵∠APD=∠CPB ∴△ADP∽△CBP ∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP 圆幂定理 圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

圆幂定理及等幂轴的探究

圆幂定理及等幂轴的探究 麟游县九成宫初级中学 田宏刚 摘要：圆幂定理是平面几何中重要定理之一，有着及其广泛的应用。关于等幂轴的轨迹探究， 更能加深学生的逻辑思维。以上内容在2011版初中数学《课程标准》中不作要求，但对于学有余力，有兴趣爱好的初中读者，可作为提升知识、思想、方法的途径。对于在职教师，可作为阅读参考。 关键词：圆幂定理 等幂轴 探究 圆幂定理的发现及证明分析：我们知道，若p 为圆O （r ）外部一点，过点p 作割线 PAB 则 PA ·PB 为一常量,这一常量由⊙O （r ）与点P 决定，不因割线的位置而改变，这一定理称为割线定理，下面进行证明。 证：如图，设P 为⊙O 外一点，过点P 作圆O 的两条不同割线分别为PAB 和PA ′B ′，连接AA ′，BB ′，则AA ′B ′B 为圆的内接四边形，由圆内接四边形的外角等于内对角知：∠PAA ′=∠PB ′B ，又∵∠APA ′=∠B ′PB,∴△PAA ′∽△PB ′B ,∴ PA/PB ′=PA ′/PB ，因而PA ·PB=PA ′PB ′。 T B ′ 下面探究这一常量（定值）究竟是多少？有下面的定理。分析：设P 为圆O 的切线（如上图1）P A B 为圆O 的一条普通割线。而PA ′B ′是经过圆心O 的一条特殊割线，由上述割线定理知， 这一常是不因割线位置而改变。且P= P A ·PB=PA ′·PB ′总成立，而P A ·PB=(PO-r)(PO+r)=P O 2-r 2.由于PT 是切线，T 为切点，所以有RT △PTO,且有PO 2-R 2=t 2 (t 表切线PT 的长)于是切割线定理表述为： 设P 为O （r ）外一点。PT 为O 的切线。T 为切点，PAB 和PA ′B ′为圆O 的两条不同割线， 那么PA ·PB=PA ′PB ′= 2PT 文字语言表述为：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，那么这一点到割线上两割点的距离 之积等于这一点到圆的切线的长的平方。 仿此，若P 为圆O(r))内部一点，如(图2)过点P 作任一弦APB ，则PA,PB 为常量（证明是相交弦定理），为求这一常量P 是多少,可取过点P 与PO 垂直的弦A ′B =-PA 2 (此地用有向线段) =-（2r -2po ）=po 2- r 2,我们把P=PA ·PB=PO 2-r 2 （1） 定义为P 对于圆O （r ）的幂，这是一代数量，当p 在圆外时， 图2

4个圆幂定理及其证明

相交弦定理 如图,⊙P中,弦AB,CD相交于点P,则AP·BP=CP·PD 证明： 连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。 ∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD 注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法. 、 A D C $ 切割线定理 如图，ABT是⊙O的一条割线，TC是⊙O的一条切线，切点为C，则TC2=TA·TB 证明：连接AC、BC ∵弦切角∠TCB对弧BC，圆周角∠A对弧BC ∴由弦切角定理，得∠TCB=∠A 又∠ATC=∠BTC ! ∴△ACT∽△CBT ∴AT:CT=CT:BT, 也就是CT2=AT·BT 弦切角定义： P

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角 弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. ： 定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明 证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交BC于D， 则∠TCB=∠CDA ∵∠TCB=90-∠OCD ∵∠BOC=180-2∠OCD ∴,∠BOC=2∠TCB | 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。 如图中，切线长AC=AB。 ∵∠ABO=∠ACO=90° BO=CO=半径 AO=AO公共边 ∴RtΔABO≌RtΔACO（HL） （ ∴AB=AC ∠AOB=∠AOC

∠OAB=∠OAC 割线定理 如图，直线ABP和CDT是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD 证明:连接AD、BC ∵∠A和∠C都对弧BD * ∴由圆周角定理，得∠A=∠C 又∵∠APD=∠CPB ∴△ADP∽△CBP ∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP 圆幂定理 圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=P C·PD。 统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。

(完整版)弦切角定理+圆幂定理之割线相交弦切割线定理

弦切角定理及其应用 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角） 弦切角定义 图1 如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。 弦切角定理 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. 如上图，∠PCA=1/2∠COA=∠CBA 弦切角定理证明： 证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。 ∵∠TCB=90°-∠OCB ∵∠BOC=180°-2∠OCB ∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍） ∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）

证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 求证：（弦切角定理） 证明：分三种情况： （1）圆心O在∠BAC的一边AC上 ∵AC为直径，AB切⊙O于A， ∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 （2）圆心O在∠BAC的内部. (B点应在A点左侧) 过A作直径AD交⊙O于D, E 若在优弧m所对的劣弧上有一点 那么，连接EC、ED、EA 则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴∠CEA=∠CAB ∴（弦切角定理） （3）圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD交⊙O于D 那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90° ∴∠CDA=∠CAB

∴（弦切角定理） 3弦切角推论 推论内容 若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等 应用举例 例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交与 点C，求证：∠CAB=∠CBA。 解：⊙O的切线AC、BC交与点C，∴AC=BC（切线长定理）。∴∠CAB=∠CBA。（等腰三角形“等边对等角”）。 例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A 的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求 证：EF//BC. 证明：连接DF AD是∠BAC的平分线 ∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC ⊙O切BC于D ,∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDC EF∥BC 例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB 于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD. 证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90 ∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B，

圆幂定理

圆幂定理 圆幂定理是对、及（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。 =PO^2-R^2（该结论为） 所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 切定理：从圆外一点引圆的和割线，是这点到割线与圆交点的两条线段长的。 割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。 统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。 问题1 相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等。 证明：连结AC，BD，由的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。 ∴△PAC∽△PDB ∴PA/PD=PC/PB ∴PA·PB=PC·PD 问题2 割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于则有PA·PB=PC·PD，当PA=PB，即直线AB重合，即PA切线时得到切线定理PA^2=PC·PD 证明：（令A在P、B之间，C在P、D之间） ∵ABCD为 ∴∠CAB+∠CDB=180° 又∠CAB+∠PAC=180° ∴∠PAC=∠CDB ∵∠APC公共 ∴△APC∽△DPB ∴PA/PD=PC/PB ∴PA·PB=PC·PD

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT^2=PA·PB（切割线定理） 推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PBA、PDC是⊙O的割线 ∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论） 问题3 过点P任作直线交定圆于两点A、B，证明PA·PB为定值（圆幂定理）。 证：以P为原点，设圆的方程为 (x-xO)^2+(y-yO)^2=a① 过P的直线为 x=k1t y=k2t 则A、B的横坐标是方程 (k1t-xO)^2+(k2t-yO)^2=r^2 即 (k1^2+k2^2)t^2-2(k1xO+k2yO)t+xO^2+yO^2-r^2=0 的两个根t1、t2。由 t1t2=(xO^2+yO^2-^2)/(k1^2+k2^2) 于是 PA·PB=√((k1t1)^2+(k2t1)^2)√((k1t2)^2+(k2t2)^2) =(√(k1^2+k2^2))^2|t1||t2| =k1^2+k2^2|(xO^2+yO^2-r^2)/(k1^2+k2^2)| =|(xO^2+yO^2-r^2)| 为定值，证毕。 圆①也可以写成 x^2+y^2-2xOx-2yOy+xO^2+yO^2-a=0①′ 其中a为圆的半径的平方。所说的定值也就是（原点）与圆心O的距离的平方减去半径的平方。当P在圆外时，这就是自P向圆所引切线（长）的平方。 这定值称为点P到这圆的幂。 在上面证明的过程中，我们以P为原点，这样可以使问题简化。 如果给定点O，未必是原点，要求出P关于圆①的幂（即OP^2-r^2），我们可以设直线AB的方程为 ② ③ 是的倾斜角，表示直线上的点与的距离．

圆幂定理及其证明[1]

圆幂定理 圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。 图１ 图２ 图３ 图４ 一、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（如图，弦AB 和CD 交于O ⊙内一点P ，则PA PB PC PD ?=?）． 1、证 明：如图１，AB 、CD 为圆O 的两条任意弦。相交于点P ，连接AD 、BC ，则∠D=∠B ， ∠A=∠C 。所以△APD ∽△BPC 。所以 AP PD AP BP PC PD PC BP =??=? 2、练习：如图２，在O ⊙中，弦AB 与CD 相交于点P ，已知3cm 4cm 2cm PA PB PC ===，，，那么PD = cm ． 二、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段 长的比例中项。（如图，PT 是O 的切线，PB 是O 的割线，则有PT ２ ＝ＰＡ ＰＢ） 1、证明：如图３，PT 为圆切线，PAB 为割线。连接TA ，TB ，则∠PTA=∠B （弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA ∽△PBT ，所以 2PT PA PT PA PB PB PT =?=? 2、练习 如图４，PC 是半圆的切线，且PB OB =，过B 的切线交PC 与D ，若6PC =，则O ⊙半径长= ，:CD DP =__________． 三、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。（从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD ） 1、证明：这个证明就比较简单了。可以过P 做圆的切线，也可以连接CB 和AD 。证相似。存在：PA PB PC PD ?=? 2、练习 如下图，过点P 作O ⊙的两条割线分别交O ⊙于点A B 、和点C D 、，已知32PA AB PC ===，， 则PD 的长是( ) A ．3 B ．7.5 C ．5 D ．5.5

圆幂定理

圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。 切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。 问题1 相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等。 证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。 ∴△PAC∽△PDB ∴PA/PD=PC/PB ∴PA·PB=PC·PD 问题2 割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有PA·PB=PC·PD，当PA=PB，即直线AB重合，即PA切线时得到切线定理PA^2=PC·PD 证明：（令A在P、B之间，C在P、D之间） ∵ABCD为圆内接四边形 ∴∠CAB+∠CDB=180° 又∠CAB+∠PAC=180° ∴∠PAC=∠CDB ∵∠APC公共 ∴△APC∽△DPB ∴PA/PD=PC/PB ∴PA·PB=PC·PD 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT^2=PA·PB（切割线定理） 推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

几何语言：∵PBA、PDC是⊙O的割线 ∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论） 问题3 过点P任作直线交定圆于两点A、B，证明PA·PB为定值（圆幂定理）。 证：以P为原点，设圆的方程为 (x-xO)^2+(y-yO)^2=a① 过P的直线为 x=k1t y=k2t 则A、B的横坐标是方程 (k1t-xO)^2+(k2t-yO)^2=r^2 即 (k1^2+k2^2)t^2-2(k1xO+k2yO)t+xO^2+yO^2-r^2=0 的两个根t1、t2。由韦达定理 t1t2=(xO^2+yO^2-^2)/(k1^2+k2^2) 于是 PA·PB=√((k1t1)^2+(k2t1)^2)√((k1t2)^2+(k2t2)^2) =(√(k1^2+k2^2))^2|t1||t2| =k1^2+k2^2|(xO^2+yO^2-r^2)/(k1^2+k2^2)| =|(xO^2+yO^2-r^2)| 为定值，证毕。 圆①也可以写成 x^2+y^2-2xOx-2yOy+xO^2+yO^2-a=0①′ 其中a为圆的半径的平方。所说的定值也就是（原点）与圆心O的距离的平方减去半径的平方。当P在圆外时，这就是自P向圆所引切线（长）的平方。 这定值称为点P到这圆的幂。 在上面证明的过程中，我们以P为原点，这样可以使问题简化。 如果给定点O，未必是原点，要求出P关于圆①的幂（即OP^2-r^2），我们可以设直线AB 的方程为 ② ③ 是的倾斜角，表示直线上的点与的距离． 将②③代入①得 即 ，是它的两个根，所以由韦达定理 ④ 是定值 ④是关于①的幂（当是原点时，这个值就是）．它也可以写成 ④′ 即与圆心距离的平方减去半径的平方． 当P在圆内时，幂值是负值；P在圆上时，幂为0；P在圆外时，幂为正值，这时幂就是自P向圆所引切线长的平方。

各种圆定理总结包括托勒密定理塞瓦定理西姆松定理梅涅劳斯定理圆幂定理和四点共圆

托勒密定理 定理图 定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质． 定理的提出 一般几何教科书中的“定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。 证明 一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。） 在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD 因为△ABE∽△ACD 所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE 所以△ABC∽△AED相似.

BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为BE+ED≥BD （仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证 复数证明 用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到：(a? b)(c? d) + (a? d)(b? c) = (a? c)(b? d) ，两边取，运用得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。四点不限于同一。平面上，托勒密不等式是三角不等式的形式。 二、设ABCD是。在BC上，∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠AC B。在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。因此△ABK与△DBC，同理也有△A BD ~ △KBC。因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD；因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA；两式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + B C·DA；但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕。