变相同一法
变相同一法解竞赛题
田开斌
我们先证明如下一个命题：
x、y、α、β都大于0，且x+y=α+β<π，若sin x:sin y=sinα:sinβ，则x=α，y=β。（1）
证明：∵sin x:sin y=sinα:sinβ
∴sin x?sinβ=sin y?sinα
∴cos(x+β)?cos x?β=cos(α+y)?cos(α?y)（2）又∵x+y=α+β
∴x?β=α?y，（3）
于是cos(x?β)=cos(α?y)，代入（2）有
cos x+β=cos(α+y)（4）
若x+β≠α+y，则由于x、y、α、β都大于0，知x+β>0，α+y>0。由（4）知x+β+(α+y)≥2π。然而根据条件x+y=α+β<π，知x+β+α+y=x+y+α+β<2π。矛盾。
若x+β=α+y（5）
由（3）+（5）知x=α，y=β。证毕。
变相同一法就是基于以上的结论，通过证明“角度相等”，进而解决平面几何中有关三点共线、三线共点、角度相等、线段垂直等问题的。下面看几道例题。
例1、如图1，A1、B1、C1、A2、B2、C2为圆周上六个点，A1B2与A2B1交于点D，A1C2与A2C1交于点E，B1C2与B2C1交于点F，求证：D、E、F三点共线。（帕斯卡定理）
图1 图2
证明：如图2，连接A1A2、C1C2、DE、FE，则
∠DE A1+∠DE A2=∠FE C1+∠FE C2<180°（6）
在△A1A2E中，由赛瓦定理的三角形式有
sin∠A1ED sin∠DE A2?sin∠E A2D
sin∠D A2A1
?sin∠A2A1D
sin∠D A1E
=1，即
sin∠A1ED sin∠DE A2=sin∠D A2A1
sin∠E A2D
?sin∠D A1E
sin∠A2A1D
（7）
同理，在△C1C2E中有
sin∠C2EF sin∠FE C1=sin∠F C1C2
sin∠E C1F
?sin∠E C2F
sin∠F C2C1
（8）
而∠FC1C2=∠DA1E，∠EC1F=∠A2A1D，∠EC2F=∠DA2A1，∠FC2C1=∠EA2D 由（7）、（8）知
sin∠A1ED sin∠DE A2=sin∠C2EF
sin∠FE C1
（9）
B B2
B
B2
结合（6）、（9），根据（1）知∠A 1ED =∠C 2EF ，∠DEA 2=∠FEC 1 所以D 、E 、F 三点共线。
例2、如图3，A 1、B 1、C 1为直线l 1上三点，A 2、B 2、C 2为直线l 2上三点，A 1B 2与A 2B 1交于点D ，A 1C 2与A 2C 1交于点E ，B 1C 2与B 2C 1交于点F ，求证：D 、E 、F 三点共线。（帕普斯定理）
图3 图4
证明：如图4，连接A 1A 2、C 1C 2、DE 、FE ，则 在△A 1A 2E 中，由赛瓦定理的三角形式有
sin∠A 1ED sin∠DE A 2?
sin∠E A 2D sin∠D A 2A 1
?
sin∠A 2A 1D sin∠D A 1E
=1，即
sin∠A 1ED sin∠DE A 2
=
sin∠D A 2A 1sin∠E A 2D
?
sin∠D A 1E sin∠A 2A 1D
（10）
由分角定理有：
A 1
B 1B 1
C 1
=
A 1A 2sin ∠A 1A 2D A 2C 1sin ∠D A 2E
，即
sin∠D A 2A 1sin∠E A 2D
=
A 1
B 1?A 2
C 1B 1C 1?A 1A 2
（11）
同理，有
sin∠D A 1E
sin∠A 2A 1D
=B 2C 2?A 2A 1B 2A 2?A 1C 2
（12）
由（11）×（12）知
sin∠D A 2A 1sin∠E A 2D
?
sin∠D A 1E sin∠A 2A 1D
=
A 1
B 1?A 2
C 1?B 2C 2B 1C 1?B 2A 2?A 1C 2
（13）
由（10）、（13）可知
sin∠A 1ED sin∠DE A 2
=
A 1
B 1?A 2
C 1?B 2C 2B 1C 1?B 2A 2?A 1C 2
（14）
同样道理，我们可以得到
sin∠C 2EF sin∠C 1EF
=A 1B 1?A 2C 1?B 2C
2B 1C 1
?B 2A 2
?A 1C 2
（15）
由（14）、（15）有
sin∠A 1ED sin∠DE A 2
=
sin∠C 2EF sin∠C 1EF
（16）
又∠A 1ED +∠DE A 2=∠C 1EF +∠C 2EF <180°
由（1）中的结论知：∠A 1ED =∠C 2EF ，∠DEA 2=∠FEC 1 所以D 、E 、F 三点共线。
例3、如图5，△ABC 中，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高线，H 为△ABC 的垂心，O 为△ABC 的外心，ED 交AB 于M ，FD 交AC 于N 。求证：OH ⊥MN 。（2001年全国高中数学联赛加试第二题）
2B 2C 2
2B 2C 2
图5 证明：∵∠ADC=∠AFC=90°，∴A 、F 、D 、C 四点共圆，∴∠FDB=∠BAC 。 又有∠OBC=
180°?∠BOC
2
=
180°?2∠BAC
2
=90°?∠BAC =90°?∠FDB
∴OB ⊥DF 。 同理OC ⊥DE 。 从而要证：OH ⊥MN ，只需证明：∠BOH=∠MND 或∠COH=∠NMD 。下面同时证明∠BOH=∠MND ，∠COH=∠NMD 。
∵S △BOH S △COH
=
BO ?OH sin ∠BOH CO ?OH sin ∠COH
=
sin ∠BOH sin ∠COH
，且
S △BOH S △COH
=
BO ?BH sin ∠OBH CO ?CH sin ∠OCH
=
BH sin ∠OBH CH sin ∠OCH
，
∴sin ∠BOH sin ∠COH =BH ?sin ∠OBH CH ?sin ∠OCH 。 （17）
又
sin ∠MND sin ∠NMD =
MD ND
且MD
AD =sin ∠BAD sin ∠BMD
，ND
AD =sin ∠CAD sin ∠CND
∴
sin ∠MND sin ∠NMD
=MD
AD ND =
sin ∠BAD sin ∠BMD sin ∠CAD sin ∠CND
=
sin ∠BAD ?sin ∠CND sin ∠BMD ?sin ∠CAD
=sin ∠BCH ?sin ∠CND sin ∠CBH ?sin ∠BMD
=BH ?sin ∠CND CH ?sin ∠BMD
（18）
又∵OB ⊥DF ，BE ⊥AN ，∴∠CND=∠OBH 。同理，∠BMD=∠OCH 。 由（17）、（18）知
sin ∠BOH sin ∠COH
=
sin ∠MND sin ∠NMD
。 （19）
又∠MND+∠NMD=180°?∠MDN=180°?∠FDE=∠BOC=∠BOH+∠COH
由（1）中的结论知∠BOH=∠MND ，∠COH=∠NMD 。 ∴OH ⊥MN 。命题得证。
例4、如图6，四边形ABCD 是圆外切四边形，切点分别为P 、Q 、R 、S 。求证：AC 、BD 、PR 、QS 四线共点。（布里安商定理推论）
M
图6 证明：我们先证明AC、PR、QS交于一点。
设PR、QS交于点E，我们只需要证明A、E、C三点共线即可，即只需要证明∠AEP=∠CER，∠AES=∠CEQ。
∵S△AEP
S△AES =PE?AE sin∠AEP
SE?AE sin∠AES
=PE sin∠AEP
SE sin∠AES
且S△AEP
S△AES =PE?AP sin∠APE
SE?AS sin∠ASE
=PE sin∠APE
SE sin∠ASE
∴sin∠AEP
sin∠AES =sin∠APE
sin∠ASE
（20）
同理可知，
sin∠CER sin∠CEQ =sin∠CRE
sin∠CQE
（21）
而又∵∠APE=∠DRE=180°?∠CRE ∴sin∠APE=sin∠CRE
同理sin∠ASE=sin∠CQE
∴sin∠AEP
sin∠AES =sin∠CER
sin∠CEQ
（22）
又∵∠AEP+∠AES=∠CER+∠CEQ
根据（1）中的结论知∠AEP=∠CER，∠AES=∠CEQ。即AC、PR、QS交于一点。
同理可证，BD、PR、QS也交于一点。从而AC、BD、PR、QS四线共点。
证毕。
例5、如图7，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G，求证：∠GAC=∠EAC。（1999年全国高中数学联赛加试第一题）
图7 图8 证明：如图8，连接BD交AC于H。
∵BG
GC =AB sin∠BAG
AC sin∠CAG
，
∴sin∠BAG sin∠CAG =BG?AC
GC?AB
（23）
D
C
D
C
同理有
sin∠DAE sin∠CAE =DE?AC
EC?AD
（24）
（23）÷（24）知sin∠BAG
sin∠CAG sin∠DAE sin∠CAE =
BG?AC
GC?AB
DE?AC
EC?AD
=BG?CE?AD
GC?ED?AB
（25）
在△BCD中，由赛瓦定理知
BG?CE?DH
GC?ED?HB
=1（26）
又∵AC平分∠BAD，∴DH
HB =AD
AB
。代入（26）有
BG?CE?AD
GC?ED?AB
=1。代入（25）知
sin∠BAG
sin∠CAG
sin∠DAE
sin∠CAE
=1，即
sin∠BAG sin∠CAG =sin∠DAE
sin∠CAE
（27）
又∠BAG+∠CAG=∠DAE+∠CAE （28）
根据（1）中的结论知，∠GAC=∠EAC。
证毕。
例6、如图9，向△ABC外作∠FAB=∠CAG，∠FBA=∠GCA。直线FB、GC交于点P，FC、BG交于点D。求证：∠PAB=∠CAD。
图9 证明：要证∠PAB=∠CAD，只需证∠PAF=∠GAD。根据（1）中的结论知，只需证
sin∠FAP sin∠PAG =sin∠GAD
sin∠FAD
（29）
下面我们证明（29）式。根据三角面积公式知
AGsin∠GAD AFsin∠FAD =S?ADG
S?ADF
=S?ADG
S?AGB
×S?AGB
S?AFC
×S?AFC
S?ADF
=DG
BG
×AG?AB
AF?AC
×FC
FD
所以sin∠GAD
sin∠FAD =DG
BG
×AB
AC
×FC
FD
（30）
又AFsin∠FAP AGsin∠PAG =S?FAP
S?GAP
=AF?PFsin∠AFP
AG?PGsin∠AGP
=AF?PF
AG?PG
所以sin∠FAP
sin∠PAG =PF
PG
（31）
G
P
由（30）、（31）知要证明（29），只需证明
PF PG =DG
BG
×AB
AC
×FC
FD
=DG
BG
×BF
GC
×FC
FD
（32）
即只需证明
DG BG ×BF
GC
×FC
FD
×PG
PF
=1（33）
根据梅涅劳斯定理知：
DG GB ×BP
PF
×FC
CD
=1（34）
PG GC ×CD
DF
×FB
BP
=1（35）
（34）×（35）有
DG BG ×BF
GC
×FC
FD
×PG
PF
=1
即（33）式成立。命题得证。
此处仅举此六例，对此法的运用稍作说明。
初中数学面积法
F G E 图 2 A C B D 面积法 1、常见规则图形的面积公式； 2、等积定理； 3、面积比定理。 A 卷 1、如图1，凸四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 的长分别是3、4、1 2、13，?=∠90ABC ，则四边形ABCD 的面积为 . 答案：36 考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。 分析：连接AC ，在ABC Rt ?中，已知AB 、BC 根据勾股定理可以求得5=AC ，在ACD ?中，222AD CD AC =+，根据勾股定理的逆定理确定ACD ?为直角三角形，四边形ABCD 的面积为 ACD ?和ABC Rt ?面积之和。 解答：连接AC ，在ABC Rt ?中，3=AB ，4=BC ，则 522=+=BC AB AC 又∵222AD CD AC =+ ∴ACD ?为直角三角形 ∴ABC Rt ?的面积为64321=??，ACD Rt ?的面积为3012521 =?? ∴四边形ABCD 的面积为ACD ?和ABC Rt ?面积之和，36630=+=S 故答案为 36． 点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中判定ACD ?为直角三角形是解题的关键。 2、如图2，已知ABC ?中，D 、E 、F 、G 均为BC 边上的点，且CG BD =，BD GF DE 2 1 = =， DE EF 3=，若1=?ABC S ，则图中所有三角形的面积之和为 . 答案：7 考点：三角形面积与底的正比关系。 分析：如图所示的所有三角形都具有相等的高，于是可将计算所有三角形面积之和的问题转化为计算BC 上所有线段长度之和的问题。 解答：因为所有线段长之和是BC 的n 倍 ∴图中所有三角形面积之和就是ABC S ?的n 倍 设1==GF DE ，则2==CG BD ，3=EF ，9=BC ∴图中共有1554321=++++个三角形 则它们在线段BC 上的底边之和为： 图 1 A C B D
反证法证明题
反证法证明题 例1. 已知A ∠，B ∠，C ∠为ABC ?内角. 求证：A ∠，B ∠，C ∠中至少有一个不小于60o . 证明：假设ABC ?的三个内角A ∠，B ∠，C ∠都小于60o ， 即A ∠<60o ，B ∠<60o ，C ∠<60o ， 所以O 180A B C ∠+∠+∠<， 与三角形内角和等于180o 矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立. 例2. 已知0a ≠，证明x 的方程ax b =有且只有一个根. 证明：由于0a ≠，因此方程ax b =至少有一个根b x a =. 假设方程ax b =至少存在两个根， 不妨设两根分别为12,x x 且12x x ≠， 则12,ax b ax b ==， 所以12ax ax =， 所以12()0a x x -=. 因为12x x ≠，所以120x x -≠， 所以0a =，与已知0a ≠矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立. 例3. 已知3 3 2,a b +=求证2a b +≤. 证明：假设2a b +>，则有2a b >-， 所以3 3 (2)a b >-即323 8126a b b b >-+-， 所以3 2 3 2 81266(1)2a b b b b >-+-=-+. 因为2 6(1)22b -+≥ 所以332a b +>，与已知33 2a b +=矛盾. 所以假设不成立，所求证结论成立. 例4. 设{}n a 是公比为的等比数列，n S 为它的前n 项和. 求证：{}n S 不是等比数列. 证明：假设是{}n S 等比数列，则2 213S S S =?，
即222 111(1)(1)a q a a q q +=?++. 因为等比数列10a ≠， 所以2 2 (1)1q q q +=++即0q =，与等比数列0q ≠矛盾， 所以假设不成立，所求证结论成立. 例5. 证明2是无理数. 证明：假设2是有理数，则存在互为质数的整数m ，n 使得2m n =. 所以2m n = 即222m n =， 所以2 m 为偶数，所以m 为偶数. 所以设* 2()m k k N =∈， 从而有2 2 42k n =即2 2 2n k =. 所以2 n 也为偶数，所以n 为偶数. 与m ，n 互为质数矛盾. 所以假设不成立，所求证2是无理数成立. 例6. 已知直线,a b 和平面，如果,a b αα??，且//a b ，求证//a α。 证明：因为//a b , 所以经过直线a , b 确定一个平面β。 因为a α?，而a β?， 所以 α与β是两个不同的平面． 因为b α?，且b β?， 所以b αβ=I . 下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假 设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=I ， 即点P 是直线 a 与b 的公共点， 这与//a b 矛盾．所以 //a α. 例7．已知0 < a , b , c < 2，求证：(2 a )c ， (2 b )a ，(2 c )b 不可能同时大于1 证明：假设(2 a )c ， (2 b )a ，(2 c )b 都大于1，
初二数学面积法几何专题
初二数学---面积法解题 【本讲教育信息】 【讲解内容】——怎样证明面积问题以及用面积法解几何问题 【教学目标】 1. 使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的方法。 2. 培养学生分析问题、解决问题的能力。 【重点、难点】： 重点：证明面积问题的理论依据和方法技巧。 难点：灵活运用所学知识证明面积问题。 【教学过程】 （一）证明面积问题常用的理论依据 1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。 5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。 （二）证明面积问题常用的证题思路和方法 1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。 2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。 3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。 4. 还可以利用面积解决其它问题。 【典型例题】 （一）怎样证明面积问题 1. 分解法 例1. 从△ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF，各与对边或延长线交于D、E、F，求证：△DEF的面积＝2△ABC的面积。 分析：从图形上观察，△DEF可分为三部分，其中①是△ADE，它与△ADB同底等
③三是△AEF，只要再证出它与△ABC的面积相等即可 由S△CFE＝S△CFB 故可得出S△AEF＝S△ABC 证明：∵AD//BE//CF ∴△ADB和△ADE同底等高 ∴S△ADB＝S△ADE 同理可证：S△ADC＝S△ADF ∴S△ABC＝S△ADE+S△ADF 又∵S△CEF＝S△CBF ∴S△ABC＝S△AEF ∴S△AEF+S△ADE+S△ADF＝2S△ABC ∴S△DEF＝2S△ABC 2. 作平行线法 例2. 已知：在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点 分析：由M为腰BC的中点可想到过M作底的平行线MN，则MN为其中位线，再利用平行线间的距离相等，设梯形的高为h 证明：过M作MN//AB ∵M为腰BC的中点 ∴MN是梯形的中位线 设梯形的高为h （二）用面积法解几何问题 有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到下列性质：性质1：等底等高的三角形面积相等 性质2：同底等高的三角形面积相等 性质3：三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半 性质4：等高的两个三角形的面积比等于底之比
反证法的有关题型
1．用反证法证明“至多有两个解”的说法中，正确的第一步是假设() A．有一个解B．有两个解 C．至少有三个解D．至少有两个解 2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确假设为()A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 C．a、b、c都是偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数 3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是() A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60° C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60° 4．用反证法证明命题：正整数X、Y、Z的和为偶数，那么X、Y、Z中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a、b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个偶数 D．假设a，b，c至多有两个偶数 5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是() A．a
数学高二综合法与分析法教学案 选修2-2
高中数学 2-2-1综合法与分析法同步检测选修2-2 课前预习学案 一、预习目标： 了解综合法与分析法的概念，并能简单应用。 二、预习内容： 证明方法可以分为直接证明和间接证明 1．直接证明分为和 2．直接证明是从命题的或出发，根据以知的定义， 公里，定理，推证结论的真实性。 3．综合法是从推导到的方法。而分析法是一种从 追溯到的思维方法，具体的说，综合法是从已知的条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，分析法则是从待证的结论出发，一步一步寻求结论成立的条件，最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。综合法是由导，分析法是执索。 三、提出疑惑 疑惑点疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标 让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用 二、学习过程： 例1．已知a,b∈R+，求证： 例2．已知a,b∈R+，求证：
例3.已知a,b,c ∈R ，求证（I ） 课后练习与提高 1．（A 级）函数???≥<<-=-0 ,; 01,sin )(12x e x x x f x π，若,2)()1(=+a f f 则a 的所有可能值为 （ ） A ．1 B ．22 - C ．21,2-或 D ．21,2 或 2．（A 级）函数x x x y sin cos -=在下列哪个区间内是增函数 （ ） A ．)2 3,2( π π B ．)2,(ππ C ．)2 5,23( π π D ．)3,2(ππ
3．（A 级）设b a b a b a +=+∈则,62,,2 2R 的最小值是 （ ） A ．22- B ．335- C ．－3 D ．2 7 - 4．（A 级）下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A ．x y 2 sin = B ．x xe y = C ．x x y -=3 D ．x x y -+=)1ln( 5．（A 级）设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则 =+y c x a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定 6．（A 级）已知实数0≠a ，且函数)1 2()1()(2 a x x a x f + -+=有最小值1-，则a =__________。 7．（A 级）已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+= ,2 ，则y x ,的大小关系是 _________。 8．（B ）若正整数m 满足m m 10210 5121 <<-，则)3010.02.(lg ______________≈=m 9．（B ）设)(),0)(2sin()(x f x x f <<-+=?π?图像的一条对称轴是8 π =x . （1）求?的值； （2）求)(x f y =的增区间； （3）证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图象不相切。 10．（B ）ABC ?的三个内角C B A ,,成等差数列，求证：c b a c b b a ++=+++3 11
初中数学专题复习——求阴影面积的常用方法
初中数学专题复习——求阴影面积的常用方法 计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。介绍几种常用的方法。 1.转化法 此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。 例1. 如图1，点C、D是以AB为直径的半圆O上的三等分点，AB=12，则图 中由弦AC、AD和围成的阴影部分图形的面积为_________。 2.和差法 有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。 例2. 如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，为圆，求阴影部分面积。 3.重叠法 就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。 例3. 如图4，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。
4.补形法 将不规则图形补成特殊图形，利用特殊图形的面积求出原不规则图形的面积。 例4. 如图5，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，，求四边形ABCD所在阴影部分的面积。 5.拼接法 例5. 如图6，在一块长为a、宽为b的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c个单位），求阴影部分草地的面积。 6.特殊位置法 例6. 如图8，已知两个半圆中长为4的弦AB与直径CD平行，且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于__________。 7.代数法 将图形按形状、大小分类，并设其面积为未知数，通过 建立方程或方程组来解出阴影部分面积的方法。 例7. 如图10，正方形的边长为a，分别以两个对角顶点为圆心、以a为半径画弧，求图中阴影部分的面积。 需要说明的是，在求阴影部分图形的面积问题时，要具体问题具体分析，从而选取一种合理、简捷的方法。 跟踪练习： 1.如图11，正方形的边长为1，以CD为直径在正方形内画半圆，再以点C 为圆心、1为半径画弧BD，则图中阴影部分的面积为___________。
用反证法证明几何问题
65yttrgoi 用反证法证明几何专题 对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。 一、反证法的概念： （又称归谬法、背理法）是一种论证方式，不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 二、反证法的基本思路： 首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个 矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。 三、反证法的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。 四、适用范围 “反证法”宜用于证明否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”命题和某些逆命题等，一般地说“正难则反”凡是直接法很难证明的命题都可考虑用反证法。 五、反证法在平面几何中的应用 例1．已知：AB 、CD 是⊙O 内非直径的两弦（如图1），求证AB 与CD 不能互相平分。 （1） 证明：假设AB 与CD 互相平分于点M 、则由已知条件AB 、CD 均非⊙O 直径， 可判定M 不是圆心O ，连结OA 、OB 、OM 。 ∵OA ＝OB ，M 是AB 中点 ∴OM ⊥AB （等腰三角形底边上的中线垂直于底边） 同理可得：OM ⊥CD ，从而过点M 有两条直线AB 、CD 都垂直于OM 这与已知的定理相矛盾。故AB 与CD 不能互相平分。 归缪法 穷举法
人教版数学高二A版选修4-5自我小测2.3反证法与放缩法
自我小测 1．设x ，y 都是正实数，则xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥2(2＋1) B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2 D ．xy ≥2(2＋1) 2．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y 1＋y ，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A ≥B B ．A ≤B C ．A ＞B D ．A ＜B 3．用反证法证明 “如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”的假设内容应是( ) A ．3a ＝3b B ．3a ＜3b C ．3a ＝3b 且3a ＜3b D ．3a ＝3b 或3a ＜3b 4．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2 C ．至少有一个不小于2 D ．都大于2 5．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)， 如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12 .那么它的假设应该是__________． 7．设a ，b ，c 均为正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的__________条件． 8．若A ＝1210＋1210＋1＋…＋1211－1 ，则A 与1的大小关系为________． 9．已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)设数列{a n }的通项a n ＝log a ????1＋1b n (其中a ＞0，且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与13 log a b n ＋1的大小，并证明你的结论．
初中数学之求阴影面积方法总结完整版
初中数学之求阴影面积 方法总结 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
初中数学之求阴影面积方法总结一、公式法 这属于最简单的方法，阴影面积是一个常规的几何图形，例如三角形、正方形等等。简单举出2个例子: 二、和差法 攻略一直接和差法 这类题目也比较简单，属于一目了然的题目。只需学生用两个或多个常见的几何图形面积进行加减。 攻略二构造和差法 从这里开始，学生就要构建自己的数学图形转化思维了，学会通过添加辅助线进行求解。 三、割补法 割补法，是学生拥有比较强的转化能力后才能轻松运用的，否则学生看到这样的题目还是会无从下手。尤其适用于直接求面积较复杂或无法计算时，通过对图形的平移、旋转、割补等，为利用公式法或和差法求解创造条件。 攻略一全等法 攻略二对称法 攻略三平移法 攻略四旋转法 小结：（一）解决面积问题常用的理论依据 1、三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2、同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3、平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4、同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。 5、基本几何图形面积公式：三角形、平行四边形、、菱形、矩形、梯形、圆、扇形。 6、相似三角形面积之比等于相似比的平方 7、反比例函数中k的几何含义 8、在直角坐标系中函数图像构成的图形面积常常利用图形顶点的坐标构造高去求面积 （二）证明面积问题常用的证题思路和方法 1、分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。
2、补全法：通过平移、旋转、翻折变换把分散的图形拼成一个规则的几何基本图形 3、作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。
反证法、同一法
初二数学课外兴趣小组活动(十三) 反证法 一、内容提要： 1、反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命题， 当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。 2、一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：若A则B===若非B则非A。 例如原命题：对顶角相等 (真命题) 逆否命题：不相等的角不可能是对顶角 (真命题) 又如原命题：同位角相等，两直线平行 (真命题) 逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等(真命题) 3、用反证法证明命题，一般有三个步骤： ①反设假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立） ②归谬推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾） ③结论从而得出命题结论正确 例如：要证两直线平行。用反证法证明时 ①假设这两直线不平行； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； ③从而肯定，非平行不可。 二、例题学习： 例1、两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行 已知：如图∠1＝∠2 A 1 B 求证：AB∥CD 证明：设AB与CD不平行 C 2 D 那么它们必相交，设交点为M D 这时，∠1是△GHM的外角 A 1 M B ∴∠1＞∠2 G 这与已知条件相矛盾 2 ∴AB与CD不平行的假设不能成立H ∴AB∥CD C 例2、求证两条直线相交只有一个交点 证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立， 因此两条直线相交只有一个交点。 （从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。 但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。 例3、已知：m2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数 证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m= 3k+2 (k是整数) 当m=3k+1时，m2＝（3k+1）2＝9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1 当m=3k+2时，m2＝（3k+2）2＝9k2＋12k+4=3(3k2+4k+1)+1 即不论哪一种，都推出m2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。 ∴m2是3的倍数时，m 也是3的倍数
§3.2反证法和放缩法
§3.2反证法和放缩法 ☆学习目标：1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式?知识情景： 1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)． 20. 综合法和分析法． 30. 反证法、换元法、放缩法 2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发, 通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法. 用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ??? ?? 3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法. 用分析法证明不等式的逻辑关系： ?新知建构： 1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定； 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. 例1 已知a +b +c > 0，a b +bc +c a >0，a bc >0，求证：a ,b ,c >0 . 例2 设233=+b a ，求证：2≤+b a 。 2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性. 常用的换元有三角换元有： 10．已知2 22a y x =+，可设 ， ； 20．已知12 2≤+y x ，可设 ， (10≤≤r )； 30．已知12222=+b y a x ，可设 ， . 例3 设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是（ ） .A 1,)+∞ .B (1]-∞ .C 1,)+∞ .D (1]-∞ 例4 已知22 1x y +=，求证：y ax ≤-≤3. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小 由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度. 常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(， ②将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)n n n n n <<+-
2018_2019高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法导学案新人教A版
2.3 反证法与放缩法 学习目标 1.理解反证法在证明不等式中的应用． 2．掌握反证法证明不等式的方法． 3．掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式. 一、自学释疑 根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。 二、合作探究 探究1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？ 探究2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？ 1.反证法 对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明．用反证法证明数学命题，实际上是证明逆否命题成立，来代替证明原命题成立，用反证法证明步骤可概括为“否定结论，推出矛盾”． (1)否定结论：假设命题的结论不成立，即肯定结论的反面成立． (2)推出矛盾：从假设及已知出发，应用正确的推理，最后得出与定理、性质、已知及事实相矛盾的结论，从而说明假设不成立，故原命题成立． 2．用反证法证明不等式应注意的问题 (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的． (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法． 3．放缩法 放缩法是证明不等式的一种特殊方法，它利用已知的基本不等式(如均值不等式)，或某些函数的有界性、单调性等适当的放缩以达到证明的目的．放缩是一种重要手段，放缩时应目标明确、放缩适当，目的是化繁为简，应灵活掌握．
常见放缩有以下几种类型： 第一，直接放缩； 第二，裂项放缩(有时添加项)； 第三，利用函数的有界性、单调性放缩； 第四，利用基本不等式放缩． 例如：1n 2<1n n －1＝1n －1－1n ，1n 2>1n n ＋1＝1n －1n ＋1；1n >2n ＋n ＋1＝2(n ＋1－n )，1 n <2n ＋n －1＝2(n －n －1)． 以上n ∈N，且n >1. 【例1】 若a 3＋b 3 ＝2，求证：a ＋b ≤2. 【变式训练1】 若假设a ，b ，c ，d 都是小于1的正数，求证：4a (1－b )，4b (1－c )，4c (1－d )，4d (1－a )这四个数不可能都大于1. 【例2】 设x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝a (a >0)，x 2＋y 2＋z 2＝12 a 2.求证：x ，y ，z 都不能是负数或大于23 a 的数． 【变式训练2】 证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．
求几何图形的面积法
求几何图形的面积法 （1）直接用三角形，特殊四边形，圆，扇形的面积公式来求。 （2）间接割补法，把不规则图形面积通过割补、运动、变形转化为规则易求图形面积的和或差。 （3）特殊求法，即利用相似图形的面积比等于相似比的平方，等底（等高）的三角形面积比等于高（底）比的性质来解。 其次有些乘法公式、勾股定理、三角形的一边平行四边形的比例式等性质，也可用面积法来推导。 面积法是什么？ 运用面积关系解决平面几何体的方法，称为面积法。 它是几何中常用的一种方法。特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系会变成数量之间的关系。这个时候，问题就化繁为简了，只需要计算，有事甚至可以不添置补助线就迎刃而解了！ 此外，用面积法还可以用来求线段长，证明线段相等（不等），角相等，比例式或等积式，求线段比等。虽然这些几乎都可以用其他方法来解决，但是面积法无疑是一种更直接、简易、有效的方法。 面积法的常用理论口诀
1.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2.同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3.平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4.同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。 5.三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 6.三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的1/4 7.三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的1/4 8.有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。面积法的常用解题思路 1.分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。 2.作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。 3.利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。 4.还可以利用面积解决其它问题
浙教版八年级数学下册《4.6反证法》同步练习(含答案)
4.6 反证法 A练就好基础基础达标 1．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是( B) A．5 B．2 C．4 D．8 2．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，第一步应先假设( D) A．a不垂直于c B．b不垂直于c C．c不平行于b D．a不平行于b 3．用反证法证明命题“若a>b，b>c，则a>c”时应先假设( D) A．a≠c B．a＜c C．a＝c D．a≤c 4．下列命题宜用反证法证明的是( C) A．等腰三角形两腰上的高相等 B．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形 C．两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行 D．全等三角形的面积相等 5. 在证明“在△ABC中至少有两个锐角”时，第一步应假设这个三角形中( C) A. 没有锐角 B. 都是直角 C. 最多有一个锐角 D. 有三个锐角 6．用反证法证明“树在道边而多子，此必苦李”时，应首先假设：__李子为甜李__．7．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 解：已知：如图，∠1是△ABC的一个外角， 求证：∠1＝∠A＋∠B， 证明：假设∠1≠∠A＋∠B. ∵∠1是△ABC的一个外角， ∴∠1＋∠2＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠2≠180° 这与三角形内角和为180°相矛盾， ∴假设∠1≠∠A＋∠B不成立， ∴∠1＝∠A＋∠B. 8. 阅读下列文字，回答问题． 题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC. 证明：假设AC＝BC，因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B. 所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC. 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正.
初中数学“面积法”解题分析
初中数学“面积法”解题分析 姓名：__________ 指导：__________ 日期：__________
面积法是中学数学的一种重要方法,所谓面积法就是利用图形的面积关系,建立一个或几个关于图形面积的等式或不等式,然后通过推理、演算,以达到证题目的的一种方法.三角形面积是一个数量,通过三角形面积公式把面积、边、角之间关系互相沟通,以恰当的转换求解.应用面积法解题简洁、明了,面积法是解几何题的常用方法. 面积法的理论依据是面积公式,在△ABC中,约定三边长分别为a,b,c,h为边a上的高,r为内切圆半径,R为外接圆半径,则三角形的面积当问题涉及如下方面时,不妨用面积法尝试求解.(1)两个全等形面积相等;(2)一个图形的面积等于它的各部分面积之和;(3)等(同)底等(同)高的两个三角形面积相等;(4)等底(或等高)的两个三角形面积之比等于该底上的高(或对应底边)之比;(5)与平行四边形同底同高的三角形的面积是平行四边形面积的一半.面积法是中学数学中一种重要的证明方法.它在证明线段相等、角相等、不等关系、线段比例等方面都经常会用到.【典型例题1】已知,如图,在△ABC中,AB=AC,P为底边BC 上任意一点,PD⊥AB于点 D,PE⊥AC于点E,求证:PD+PE是一个定值. 【思路分析】本题的关键是看到垂线,就可看作三角形的高,于是连接AP,过点C 作CF⊥AB于点F,再通过面积法即可求证.
【答案解析】 【典型例题2】如图,以直角三角形ABC的两直角边AC,BC为一边各向外侧作正方形ACDE,BCGH,连接BE,AH 分别交AC,BC于点P,Q.求证:CP=CQ. 【思路分析】本题两次利用了借助面积的等积变换,通过等底(高)等积的三角形对应高(底)相等来证线段等,往往能起到很好的效果,本题发现△AGQ 和△BPD 底相同,而又要证明等高,即CP=CQ,很容易想到要证明两个三角形面积相等即可得证,面积相等需要用等积变换来实现,本题是借助△ABC的面积当桥梁,使△ACH 和△BCE的面积都等于△ABC的面积,又可知△ACH 和△AGQ的面积相等,△BCE和△BPD 的面积也相等,进而得证.
2019学年数学人教A版选修4-5优化复习：第二讲 三 反证法与放缩法
[课时作业] [A组基础巩固] 1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数() A．两个都是偶数 B．一个是奇数，一个是偶数 C．至少一个是偶数 D．恰有一个是偶数 解析：假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数． 答案：C 2．设x>0，y>0，A＝ x＋y 1＋x＋y ，B＝ x 1＋x ＋ y 1＋y ，则A与B的大小关系为() A．A≥B B．A≤B C．A>B D．A1 D．M与1大小关系不定 解析：M是210项求和，M＝ 1 210＋ 1 210＋1 ＋ 1 210＋2 ＋…＋ 1 211－1 < 1 210＋ 1 210＋ 1 210＋…＋ 1 210＝
1，故选B. 答案：B 5．若f (x )＝? ????12x ，a ，b 都为正数，A ＝f ? ????a ＋b 2，G ＝f (ab )， H ＝f ? ?? ??2ab a ＋b ，则( ) A ．A ≤G ≤H B ．A ≤H ≤G C ．G ≤H ≤A D ．H ≤G ≤A 解析：∵a ，b 为正数，∴a ＋b 2≥ab ＝ab ab ≥ab a ＋b 2 ＝2ab a ＋b ， 又∵f (x )＝? ?? ??12x 为单调减函数， ∴f ? ????a ＋b 2≤f (ab )≤f ? ?? ??2ab a ＋b ， ∴A ≤G ≤H . 答案：A 6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证： |f (x 1)－f (x 2)|<12.那么它的假设应该是________． 答案：|f (x 1)－f (x 2)|≥12 7．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b | ，则m ，n 之间的大小关系是________． 解析：m ＝|a |－|b ||a －b |≤|a |－|b ||a |－|b | ＝1， n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥|a |＋|b ||a |＋|b | ＝1. 答案：m ≤n 8．设a >0，b >0，M ＝a ＋b a ＋b ＋2，N ＝a a ＋2＋b b ＋2 ，则M 与N 的大小关系是________． 解析：∵a >0，b >0， ∴N ＝a a ＋2＋b b ＋2>a a ＋b ＋2＋b a ＋b ＋2＝a ＋b a ＋b ＋2 ＝M . ∴M 数学方法篇三：面积法 用面积法解几何问题是一种重要的数学方法，在初中数学中有着广泛的应用，这种方法有时显得特别简捷，有出奇制胜、事半功倍之效。 （一）怎样证明面积相等。以下是常用的理论依据 1.三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。 2.同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 3.平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。 4.同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。 5.三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。 6.三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的 4 1 7.三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的 4 1 8.有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。（二）用面积法解几何问题（常用的解题思路） 1.分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。 2.作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。 3.利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。 4.还可以利用面积解决其它问题。 【范例讲析】 一、怎样证明面积问题 1. 分解法 例1. 从△ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF，各与对边或延长线交于D、E、F，求证： △DEF的面积＝2△ABC的面积。 2. 作平行线法 例2. 已知：在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点， 二、用面积法解几何问题 1. 用面积法证线段相等 例1. 已知：如图，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于F， BE⊥AD交AD的延长线于E。 求证：CF=BE。 2. 用面积法证两角相等 例2. 如图，C是线段AB上的一点，△ACD、△BCE都是等边三角形，AE、BD相交于O。 求证：∠AOC=∠BOC 。 3. 用面积法证线段不等 例3. 如图，在△ABC中，已知AB>AC，∠A的平分线交BC于D。求证：BD>CD。 4. 用面积法证线段的和差 例4. 已知：如图，设等边△ABC一边上的高为h，P为等边△ABC内的任意一点，PD⊥BC于 D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F。求证：PE+PF+PD=h。 第 1 页共 2 页 高二数学必修五导学案 编号： 课题：§2.2综合法、分析法和反证法 课型：新授课 课时：1 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法. 2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题． 3了解反证法是间接证明的一种基本方法.4.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问 8591 ，找出疑惑之处） 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务二：反证法 1．反证法 一般地，假设原命题____________(即在原命题的条件下，结论不成立)．经过正确的________，最后得出________，因此说明______________，从而证明了原命题________．这样的证明方法叫做反证法． 2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与____________矛盾，或与________矛盾，或与________、________、________、________矛盾等． ※ 典型例题 例1 例2 ※ 动手试试 1.已知a b ∈R ，，且2a b a b ≠+=，，则（ ） A ．2212a b ab +<< B ．22 12a b ab +<< C ．2212a b ab +<< D ．22 12 a b ab +<< 2. 在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 3. 观察式子：213122+ < 221151233++< 222111712344 +++<…则可归纳出式子为（ ） A ．22211111(2)2321n n n ++++<- ≥ B ．2221111 1(2)2321 n n n ++++<+ ≥ C ．222111211(2)23n n n n -+ +++< ≥ D ．222 11121(2)2321 n n n n ++++<+ ≥ 4. 用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ） A ．假设a b c ，，都是偶数 B ．假设a b c ，，都不是偶数 C ．假设a b c ，，至多有一个是偶数 D ．假设a b c ，，至多有两个是偶数 5. 已知实数a b c d ，，，满足1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证a b c d ，，，中至少有一个是负数． ※归纳反思数学方法篇：面积法
2.2 综合法、分析法和反证法