北京市丰台区2017届九年级(上)期末数学试卷(解析版)

2016-2017学年北京市丰台区九年级(上)期末数学试卷

一、选择题(本题共30分,每小题3分)下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.

1.如图,点D,E分别在△ABC 的AB,AC边上,且DE∥BC,如果AD:AB=2:3,那么DE:BC等于()http://m.wendangku.net/doc/5c39b8a9534de518964bcf84b9d528ea80c72f7e.html

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A.3:2 B.2:5 C.2:3 D.3:5

2.如果⊙O的半径为7cm,圆心O到直线l的距离为d,且d=5cm,那么⊙O 和直线l的位置关系是()21世纪教育网版权所有

A.相交B.相切C.相离D.不确定

3.如果两个相似多边形的面积比为4:9,那么它们的周长比为()

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A.4:9 B.2:3 C.:D.16:81

4.把二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a(x﹣h)2+k的形式,下列变形正确的是()A.y=(x+1)2+3 B.y=(x﹣2)2+3 C.y=(x﹣1)2+5 D.y=(x﹣1)2+3

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5.如果某个斜坡的坡度是1:,那么这个斜坡的坡角为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

6.如图,AB是⊙O的直径,C,D两点在⊙O上,如果∠C=40°,那么∠ABD 的度数为()

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A.40°B.50°C.70°D.80°

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7.如果A(2,y1),B(3,y2)两点都在反比例函数y=的图象上,那么y1与y2的大小关系是()

A.y1<y2B.y1>y2C.y1=y2D.y1≥y2

8.如图,AB为半圆O的直径,弦AD,BC相交于点P,如果CD=3,AB=4,

那么S

△PDC :S

△PBA

等于()

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A.16:9 B.3:4 C.4:3 D.9:16

9.如图,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度,他们通过调整测量位置,使斜边DF与地面保持平行,并使边DE 与旗杆顶点A在同一直线上,已知DE=0.5米,EF=0.25米,目测点D到地面的距离DG=1.5米,到旗杆的水平距离DC=20米,则旗杆的高度为()

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A.10米 B.(10+1.5)米C.11.5米D.10米

10.如图,在菱形ABCD中,AB=3,∠BAD=120°,点E从点B出发,沿BC 和CD边移动,作EF⊥直线AB于点F,设点E移动的路程为x,△DEF的面积为y,则y关于x的函数图象为()【来源:21·世纪·教育·网】

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A.B.C.

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D.

二、填空题(本题共18分,每小题3分)

11.二次函数y=2(x﹣1)2﹣5的最小值是.

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12.已知,则=.

13.已知一扇形的面积是24π,圆心角是60°,则这个扇形的半径是.14.请写出一个符合以下两个条件的反比例函数的表达式:.

①图象位于第二、四象限;

②如果过图象上任意一点A作AB⊥x轴于点B,作AC⊥y轴于点C,那么得到的矩形ABOC的面积小于6.

15.如图,将半径为3cm的圆形纸片折叠后,劣弧中点C恰好与圆心O距离1cm,则折痕AB的长为cm.

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16.太阳能光伏发电是一种清洁、安全、便利、高效的新兴能源,因而逐渐被推广使用.如图是太阳能电池板支撑架的截面图,其中的粗线表示支撑角钢,太阳

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能电池板与支撑角钢AB的长度相同,支撑角钢EF长为cm,AB的倾斜角为30°,BE=CA=50cm,支撑角钢CD,EF与底座地基台面接触点分别为D,F,CD垂直于地面,FE⊥AB于点E.两个底座地基高度相同(即点D,F到地面的垂直距离相同),均为30cm,点A到地面的垂直距离为50cm,则支撑角钢CD的长度是cm,AB的长度是cm.【来源:21cnj*y.co*m】

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三、解答题(本题共35分,每小题5分)

17.计算:6tan 30°+cos245°﹣sin 60°.

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18.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=,BC=12,求AB的长.

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19.已知二次函数y=﹣x2+x+c的图象与x轴只有一个交点.

(1)求这个二次函数的表达式及顶点坐标;

(2)当x取何值时,y随x的增大而减小.

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20.如图,已知AE 平分∠BAC,=.

(1)求证:∠E=∠C;

(2)若AB=9,AD=5,DC=3,求BE的长.

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21.如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=的图象与一次函数y=﹣x+1的图象的一个交点为A(﹣1,m).

(1)求这个反比例函数的表达式;

(2)如果一次函数y=﹣x+1的图象与x轴交于点B(n,0),请确定当x<n时,

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对应的反比例函数y=的值的范围.

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22.已知:如图,AB为⊙O的直径,PA、PC是⊙O的切线,A、C为切点,∠

BAC=30°.

(1)求∠P的大小;

(2)若AB=6,求PA的长.

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23.已知:△ABC.

(1)求作:△ABC的外接圆,请保留作图痕迹;

(2)至少写出两条作图的依据.

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四、解答题(本题共22分,第24至25题,每小题5分,第26至27题,每小题5分)

24.青青书店购进了一批单价为20元的中华传统文化丛书.在销售的过程中发现,这种图书每天的销售数量y(本)与销售单价x(元)满足一次函数关系:y=﹣3x+108(20<x<36).如果销售这种图书每天的利润为p(元),那么销售单价定为多少元时,每天获得的利润最大?最大利润是多少?

25.如图,将一个Rt△BPE与正方形ABCD 叠放在一起,并使其直角顶点P落在线段CD上(不与C,D两点重合),斜边的一部分与线段AB重合.

(1)图中与Rt△BCP相似的三角形共有个,分别是;

(2)请选择第(1)问答案中的任意一个三角形,完成该三角形与△BCP相似的证明.

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26.有这样一个问题:探究函数y=的图象与性质.小美根据学习函数的经

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验,对函数y=的图象与性质进行了探究.下面是小美的探究过程,请补充完整:

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(1)函数y=的自变量x的取值范围是;

(2)下表是y与x的几组对应值.

x﹣2﹣﹣1﹣1234…y0﹣﹣1﹣m…求m的值;

(3)如图,在平面直角坐标系xOy中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点,画出该函数的图象;

(4)结合函数的图象,写出该函数的一条性质:.

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27.如图,以△ABC的边AB为直径作⊙O,与BC交于点D,点E是弧BD的中点,连接AE交BC于点F,∠ACB=2∠BAE.

(1)求证:AC是⊙O的切线;

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(2)若sinB=,BD=5,求BF的长.

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五、解答题(本题共15分,第28题7分,第29题8分)

28.已知抛物线G1:y=a(x﹣h)2+2的对称轴为x=﹣1,且经过原点.

(1)求抛物线G1的表达式;

(2)将抛物线G1先沿x轴翻折,再向左平移1个单位后,与x轴分别交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于C点,求A点的坐标;

(3)记抛物线在点A,C之间的部分为图象G2(包含A,C两点),如果直线m:y=kx﹣2与图象G2只有一个公共点,请结合函数图象,求直线m与抛物线G2的对称轴交点的纵坐标t的值或范围.

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29.如图,对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB,给出如下定义:如果线段AB上存在两个点M,N,使得∠MPN=30°,那么称点P为线段AB的伴随点.

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(1)已知点A(﹣1,0),B(1,0)及D(1,﹣1),E(,﹣),F(0,

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2+),

①在点D,E,F中,线段AB的伴随点是;

②作直线AF,若直线AF上的点P(m,n)是线段AB的伴随点,求m的取值范围;

(2)平面内有一个腰长为1的等腰直角三角形,若该三角形边上的任意一点都是某条线段a的伴随点,请直接写出这条线段a的长度的范围.

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参考答案与试题解析

一、选择题(本题共30分,每小题3分)下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.

1.如图,点D,E分别在△ABC 的AB,AC边上,且DE∥BC,如果AD:AB=2:3,那么DE:BC等于()

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A.3:2 B.2:5 C.2:3 D.3:5

【考点】平行线分线段成比例.

【分析】由平行线分线段成比例定理即可得出结果.

【解答】解:∵DE∥BC,

∴DE:BC=AD:AB=2:3;

故选:C.

2.如果⊙O的半径为7cm,圆心O到直线l的距离为d,且d=5cm,那么⊙O 和直线l的位置关系是()

A.相交B.相切C.相离D.不确定

【考点】直线与圆的位置关系.

【分析】根据直线和圆的位置关系的内容判断即可.

【解答】解:∵⊙O的半径为7cm,圆心O到直线l的距离为d,且d=5cm,

∴5<7,

∴直线l与⊙O的位置关系是相交,

故选A.

3.如果两个相似多边形的面积比为4:9,那么它们的周长比为()

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A.4:9 B.2:3 C.:D.16:81

【考点】相似多边形的性质.

【分析】直接根据相似多边形周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方进行解答即可.

【解答】解:∵两个相似多边形面积的比为4:9,

∴两个相似多边形周长的比等于2:3,

∴这两个相似多边形周长的比是2:3.

故选:B.

4.把二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a(x﹣h)2+k的形式,下列变形正确的是()A.y=(x+1)2+3 B.y=(x﹣2)2+3 C.y=(x﹣1)2+5 D.y=(x﹣1)2+3【考点】二次函数的三种形式.

【分析】利用配方法整理即可得解.

【解答】解:y=x2﹣2x+4,

=x2﹣2x+1+3,

=(x﹣1)2+3.

故选D.

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5.如果某个斜坡的坡度是1:,那么这个斜坡的坡角为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【分析】根据坡角的正切=坡度,列式可得结果.

【解答】解:设这个斜坡的坡角为α,

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由题意得:tanα=1:=,

∴α=30°;

故选A.

6.如图,AB是⊙O的直径,C,D两点在⊙O上,如果∠C=40°,那么∠ABD 的度数为()

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A.40°B.50°C.70°D.80°

【考点】圆周角定理.

【分析】由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,求得∠DAB的度数.由AB是⊙O的直径,根据直径所对的圆周角是直角求得∠ADB的度数,进而即可求得∠ABD的度数.21教育网

【解答】解:∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACB=90°,

∵∠C=40°,

∴∠DAB=∠C=40°,

∴∠ABD=90°﹣∠DAB=50°.

故选B.

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7.如果A(2,y1),B(3,y2)两点都在反比例函数y=的图象上,那么y1与y2的大小关系是()21·cn·jy·com

A.y1<y2B.y1>y2C.y1=y2D.y1≥y2

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.

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【分析】直接把点A(2,y1),B(3,y2)两点代入反比例函数y=的解析式,求出y1与y2的值,再比较其大小即可.21*cnjy*com

【解答】解:∵A(2,y1),B(3,y2)两点都在反比例函数y=的图象上,

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∴y1=,y2=.

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∵>,

∴y1>y2.

故选B.

8.如图,AB 为半圆O 的直径,弦AD ,BC 相交于点P ,如果CD=3,AB=4,那么S △PDC :S △PBA 等于( )21·世纪*教育网

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A .16:9

B .3:4

C .4:3

D .9:16

【考点】相似三角形的判定与性质;圆周角定理.

【分析】根据图形可得∠DCP=∠BAP ,∠CPD=∠APB ,进而得出△ABP ∽△

CDP ,根据相似三角形的性质可得,S △PDC :S △PBA =()2,最后根据CD=3,

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AB=4进行计算即可.

【解答】解:∵∠DCP=∠BAP ,∠CPD=∠APB , ∴△ABP ∽△CDP ,

∴S △PDC :S △PBA =()2=()2=

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故选:D .

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9.如图,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度,他们通过调整测量位置,使斜边DF 与地面保持平行,并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上,已知DE=0.5米,EF=0.25米,目测点D 到地面的距离DG=1.5米,到旗杆的水平距离DC=20米,则旗杆的高度为( )

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A .10米

B .(10+1.5)米

C .11.5米

D .10米

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【考点】相似三角形的应用.

【分析】确定出△DEF 和△DAC 相似,根据相似三角形对应边成比例求出AC ,

再根据旗杆的高度=AC+BC计算即可得解.

【解答】解:∵∠FDE=∠ADC=30°,

∠DEF=∠DCA=90°,

∴△DEF∽△DAC,

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∴=,

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即=,

解得AC=10,

∵DF与地面保持平行,目测点D到地面的距离DG=1.5米,

∴BC=DG=1.5米,

∴旗杆的高度=AC+BC=10+1.5=11.5米.

故选C.

10.如图,在菱形ABCD中,AB=3,∠BAD=120°,点E从点B出发,沿BC 和CD边移动,作EF⊥直线AB于点F,设点E移动的路程为x,△DEF的面积为y,则y关于x的函数图象为()

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A.B.C.

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D.

【考点】动点问题的函数图象.

【分析】分两种情形求出y与x的关系即可判断.

【解答】解:①当E在BC边上时,

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y=S菱形ABCD﹣S△BEF﹣S△ADF﹣S△DEC=2××32﹣??x﹣?(3﹣x)?

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﹣?(3﹣x)?=﹣x2+x.

②当点E在CD上时,

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y=?(6﹣x)?=﹣x+,

故选C.

二、填空题(本题共18分,每小题3分)

11.二次函数y=2(x﹣1)2﹣5的最小值是﹣5.

【考点】二次函数的最值.

【分析】由二次函数的定顶点式可得当x=1时,y取得最小值﹣5.

【解答】解:∵y=2(x﹣1)2﹣5,

∴当x=1时,y取得最小值﹣5,

故答案为:﹣5.

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12.已知,则=.

【考点】比例的性质.

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【分析】由,得x=y,再代入所求的式子化简即可.

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【解答】解:,得x=y,

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把x=y,代入=.

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故答案为:.

13.已知一扇形的面积是24π,圆心角是60°,则这个扇形的半径是12.【考点】扇形面积的计算.

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【分析】把已知数据代入扇形的面积公式S=,计算即可.

【解答】解:设这个扇形的半径是为R,

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则=24π,

解得,R=12,

故答案为:12.

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14.请写出一个符合以下两个条件的反比例函数的表达式:y=﹣.

①图象位于第二、四象限;

②如果过图象上任意一点A作AB⊥x轴于点B,作AC⊥y轴于点C,那么得到的矩形ABOC的面积小于6.

【考点】反比例函数系数k的几何意义.

【分析】设反比例函数解析式为y=,根据反比例函数的性质得k<0,根据k 的几何意义得到|k|<6,然后取一个k的值满足两个条件即可.

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【解答】解:设反比例函数解析式为y=,

根据题意得k<0,|k|<6,

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当k取﹣5时,反比例函数解析式为y=﹣.

故答案为y=﹣.

15.如图,将半径为3cm的圆形纸片折叠后,劣弧中点C恰好与圆心O距离1cm,

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则折痕AB的长为2cm.

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【考点】翻折变换(折叠问题).

【分析】连接OC并延长交⊙O于D,交AB于E,由点C是劣弧AB的中点,得到OC⊥AB,AE=BE,根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解:连接OC并延长交⊙O于D,交AB于E,

∵点C是劣弧AB的中点,

∴OC⊥AB,AE=BE,

∵OD=3,OC=1,

∴CE=DE=1,

∴OE=2,

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∴AE==,

∴AB=cm;

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故答案为:2.

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16.太阳能光伏发电是一种清洁、安全、便利、高效的新兴能源,因而逐渐被推广使用.如图是太阳能电池板支撑架的截面图,其中的粗线表示支撑角钢,太阳

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能电池板与支撑角钢AB的长度相同,支撑角钢EF长为cm,AB的倾斜角为30°,BE=CA=50cm,支撑角钢CD,EF与底座地基台面接触点分别为D,F,CD垂直于地面,FE⊥AB于点E.两个底座地基高度相同(即点D,F到地面的垂直距离相同),均为30cm,点A到地面的垂直距离为50cm,则支撑角钢CD的长度是45cm,AB的长度是300cm.

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【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【分析】过A作AG⊥CD于G,在Rt△ACG中,求得CG=25,再根据题意得出GD=50﹣30=20,代入CD=CG+GD求出支撑角钢CD的长度;连接FD并延长与BA的延长线交于H,在Rt△CDH中,根据三角函数的定义得到CH=90,在Rt△EFH中,根据三角函数的定义即可得到结论.

【解答】解:过A作AG⊥CD于G,则∠CAG=30°,

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在Rt△ACG中,CG=ACsin30°=50×=25,

∵GD=50﹣30=20,

∴CD=CG+GD=25+20=45,

即支撑角钢CD的长度是45cm.

连接FD并延长与BA的延长线交于H,则∠H=30°,

在Rt△CDH中,CH=2CD=90,

∴AH=CH﹣AC=90﹣50=40,

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∵在Rt△EFH中,EH===290,

∴AE=EH﹣AH=290﹣40=250,

∴AB=AE+BE=250+50=300,

即AB的长度是300cm.

故答案为45,300.

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