2017-2018学年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题
第Ⅰ卷(共30分)
一、选择题:本大题共6个小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合{}2log 2A x Z x =∈≤的真子集个数为( ) A .7 B .8 C .15 D .16
2.三棱锥P ABC -的底面ABC ?是边长为3的正三角形,3,4,5PA PB PC ===,则三棱锥P ABC -的体积为( )
A .3
B . 3.已知函数()f x 满足:()1
14
f =,()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈,则()2019f =( ) A .
12 B .12- C .14 D .14
- 4.已知()sin 2cos x
f x x
=
+,则对x R ?∈,下列说法中错误的是( )
A .()1
sin 3
f x x ≥ B .()f x x ≤ C .()f x ≤
D .()()0f x f x ππ++-=
5.已知()()
2
2112x
x f x x
+=
+?在[)(]2018,00,2018-?上的最大值为M ,最小值为N ,则M N +=
( )
A .3
B .2
C .1
D .0
6.设0,0,0x y z >>>,满足,x y xy x y z xyz +=++=,则z 的取值范围是( )
A .(
B .(
C .40,3?? ???
D .41,3?? ???
第Ⅱ卷(共120分)
二、填空题(每题5分,满分30分,将答案填在答题纸上) 7.函数
23log 21x y x +??
=
+- ?-??的定义域为 .
8.已知圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线()2y kx k R =-∈上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值等于 .
9.如图,在直角三角形ABC 中,,22
ACB AC BC π
∠=
==,点P 是斜边AB 上一点,且
2BP PA =,则CP CA CP CB ?+?= .
10.已知点P 在直线210x y +-=上,点Q 在直线230x y ++=上,PQ 的中点为()00,M x y ,且002y x >+,则
y x 的取值范围是 . 11.若实数,a b 满足条件20
101
a b b a a +-≥??
--≤??≤?
,则22a b a b ++的最大值等于 .
12.在数列{}n a 中,若221n n a a p --=(*2,,n n N p ≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断: ①数列()
{
}1n
-是等方差数列;
② 若{}n a 是等方差数列,则{}
2n a 是等差数列;
③ 若{}n a 是等方差数列,则{}kn a (*,k N k ∈为常数)也是等方差数列; ④ 若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列. 其中正确命题序号为 .(将所有正确的命题序号填在横线上)
三、解答题 (本大题共4小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 13.已知函数()74cos sin 6f x x x a π?
?
=?+
+ ??
?
的最大值为2. (1)求a 的值及()f x 的最小正周期; (2)求()f x 的单调递减区间.
14.数列{}n a 为等差数列,且满足512380a a =>,数列{}n b 满足()
*12n n n n b a a a n N ++=??∈,{}n b 的前n 项和记为n S ,问:n 为何值时,n S 取得最大值,说明理由.
15.已知抛物线2y ax =过点()1,1P -,过点1,02Q ??- ???
作斜率大于0的直线l 交抛物线于,M N 两
点(点M 在,Q N 之间),过点M 作x 轴的平行线,交OP 于A ,交ON 于B ,PM A ?与OAB ?的面积分别记为12,S S ,比较1S 与23S 的大小,说明理由.
16.设,,0x y z ≥,且至多有一个为0,求(),,f x y z =最小值.
试卷答案
一、选择题 1-6: CCBABD 二、填空题
7. ()()1,24,5? 8.43 9. 4 10.11,25??-- ???
11.
7
5
12. ①②③④ 三、解答题
13. 解:(1)()74cos sin 6f x x x a π?
?
=?+
+ ??
?14cos cos 2x x x a ??=?-+ ? ???
2cos 2cos 11x x x a =--+-
+2cos21x x a =--+
2sin 216x a π?
?=-+-+ ??
?,
因此,当sin 216x π?
?+=- ??
?时,()f x 取得最大值211a a -+=+,
又因为()f x 的最大值为2,所以12a +=,即1a =.
()f x 的最小正周期为22
T π
π=
=. (2)由(1)得()2sin 26f x x π?
?=-+ ???
令22,2,622x k k k Z π
ππππ??
+
∈-++∈????
, 得,,36x k k k Z ππππ??
∈-++∈????
,
因此,()f x 的单调减区间为,,36k k k Z ππππ??
-++∈????
.
14.解:∵512380a a => ∴()55387a a d =+. 解得556
05
a d =-
>. ∴0d <,1765
a d =-
. 故{}n a 是首项为正数的递减数列.
由100n n a a +≥??≤?,即()76
105
760
5
d n d d nd ?-+-≥????-+≤??,解得11151655n ≤≤.
即16170,0a a ><, ∴1231617180a a a a a a >>>
>>>>>
,∴1231417180b b b b b b >>>>>>>>
,
而151516170b a a a =<,161617180b a a a =>, ∴14131S S S >>
>,1415S S >,1516S S <,161718S S S >>>
.
又()1614151616171518S S b b a a a a -=+=+161716176
9305
55a a d d da a ??=-+=> ???.
所以n S 中16S 最大,即16n =时,n S 取得最大值. 15.解:抛物线2y ax =过点()1,1P -,得1a =, 所以抛物线的方程为2y x =.
设直线l 的方程为12y k x ?
?=+ ??
? (其中0k >),
由212y k x y x ??
?=+? ?
?
???=?
,得2220x kx k --=. 设()()1122,,,M x y N x y ,则12x x <,()11,A y y -,1212,2k
x x k x x +==-,
又ON 的方程为2
2
y y x x =
,故1212,y x B y y ?? ???
,所以11MA y x =--,1212y x AB y y =+,
有12121212
1122
22y x y x y y x y AB MA y x y y ++-=
++= 1212122
111122222k x x k x k x x k x y ???????
?+?++?++?+ ? ? ? ?
?
???????= ()()2
22
12122112222k
k x x k k x x k y ?
?+++++ ???=
()2
22
2
11222220k k
k k k k k y ???
?+-+++ ? ?????=
= 可得AB AM =.
由题意知1102Q x x -=<<,故21114y x =<,113
1144y ->-=.
又因为()11112S AM y =
?-,211
2
S AB y =?,所以123S S >.