一元二次方程压轴题含答案

一元二次方程

1．（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．

（1）用含p的代数式表示q；

（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；

（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．

2．设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．

3．（湖南怀化）已知x 1，x 2是一元二次方程(

a －6)x

2

＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．

（1）是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；

（2）求使( x 1＋1)(

x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．

4．（江苏模拟）已知关于x 的方程x

2

－(a ＋b ＋1)x ＋a ＝0（b ≥0）有两个实数根x 1、x 2，且

x 1≤x 2．

（1）求证：x 1≤1≤x 2

（2）若点A （1，2），B （

1

2

，1），C （1，1），点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动，

问是否存在这样的点P ，使a ＋b ＝

5

4

？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（福建模拟）已知方程组

?

????y

2

＝4x y ＝2x ＋b

有两个实数解

?????x ＝x 1y ＝y 1

和

?????x ＝x 2y ＝y 2

，且x 1x 2≠0，x 1≠x 2． （1）求b 的取值范围； （2）否存在实数b ，使得 1

x 1

＋

1

x 2

＝1？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由．

6．（成都某校自主招生）已知a ，b ，c 为实数，且满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，求c 的取值范围．

7．（四川某校自主招生）已知实数x 、y 满足

?

????x ＋y ＝3a －1

x

2＋y

2＝4a

2

－2a ＋2

，求x y 的取值范围．

8．（福建某校自主招生）已知方程(ax ＋1)2＝a

2(1－x

2

)（a ＞1）的两个实数根x 1、x 2满足x 1＜x 2，求证：

－1＜x 1＜0＜x 2＜1．

（答案）

1．（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．

（1）用含p的代数式表示q；

（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；

（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．

解：（1）∵关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2

∴22＋2p＋q＋1＝0，整理得：q＝－2p－5

（2）∵△＝p2－4q＝p2－4(－2p－5)＝p2＋8p＋20＝(p＋4)2＋4

无论p取任何实数，都有(p＋4)2≥0

∴无论p取任何实数，都有(p＋4)2＋4＞0，∴△＞0

∴抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点

（3）∵抛物线y1＝x2＋px＋q与抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的对称轴相同，

都为直线x＝－p

2，且开口大小相同，抛物线

y2＝x2＋px＋q＋1可由抛物

线y1＝x2＋px＋q沿y轴方向向上平移一个单位得到∴EF∥MN，EF＝MN＝1

∴四边形FEMN是平行四边形

由题意得S四边形FEMN＝EF·|－p

2|＝2，即|－

p

2|＝2

∴p＝±4

2．（安徽某校自主招生）设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．

解：∵△＝52－4(－m2＋1)＝4m2＋21

∴不论m取何值，方程x2－5x－m2＋1＝0都有两个不相等的实根

∵x2－5x－m2＋1＝0，∴α＋β＝5，αβ＝1－m2

∵|α|＋|β|≤6，∴α2＋β2＋2|αβ|≤36，即(α＋β)2－2αβ＋2|αβ|≤36

∴25－2(1－m2)＋2|1－m2|≤36

当1－m2≥0，即－1≤m≤1时，25≤36成立

∴－1≤m≤1 ①

当1－m2＜0，即m＜－1或m＞1时，得25－4(1－m2)≤36

解得－15

2≤m≤

15

2

∴－15

2≤m＜－1或1＜m≤

15

2②

综合①、②得：－15

2≤m≤

15

2

3．（湖南怀化）已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．N

E

F

M x

y

y2

y1

（1）是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；

（2）求使(

x 1＋1)(

x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．

解：（1）∵x 1，x 2是一元二次方程(

a －6)x

2

＋2ax ＋a ＝0的两个实数根

∴?????a －6≠04a

2－4a (

a －6)≥0

即

?????a ≠6a ≥0 假设存在实数a 使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立，则4＋(

x 1＋x 2)－x 1x 2＝0

∴4＋

－2a

a －6

－

a

a －6

＝0，得a ＝24 ∵a ＝24满足a ≥0且a ≠6

∴存在实数a ＝24，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立 （2）∵(

x 1＋1)(

x 2＋1)＝(

x 1＋x 2)＋x 1x 2＋1＝

－2a

a －6

＋

a

a －6

＋1＝－

a

a －6

∴要使(

x 1＋1)(

x 2＋1)为负整数，则只需a 为7，8，9，12

4．（江苏模拟）已知关于x 的方程x

2

－(a ＋b ＋1)x ＋a ＝0（b ≥0）有两个实数根x 1、x 2，且

x 1≤x 2．

（1）求证：x 1≤1≤x 2

（2）若点A （1，2），B （

1

2

，1），C （1，1），点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动，

问是否存在这样的点P ，使a ＋b ＝

5

4

？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝a ＋b ＋1，x 1x 2＝a ∴a ＝x 1x 2，b ＝x 1＋x 2－x 1x 2－1 ∵b ≥0，∴x 1＋x 2－x 1x 2－1≥0 ∴1－x 1－x 2＋x 1x 2≤0 ∴(1－x 1)(1－x 2)≤0

又∵x 1≤x 2，∴1－x 1≥0，1－x 2≤0 即x 1≤1，x 2≥1 ∴x 1≤1≤x 2

（2）∵x 1＋x 2＝a ＋b ＋1，a ＋b ＝

5

4

，∴x 1＋x 2＝

9

4

①当点P （x 1，x 2）在BC 边上运动时 则

1

2

≤x 1≤1，x 2＝1 ∴x 1＝

9

4

－x 2＝

9

4 －1＝

5

4

＞1 故在BC 边上不存在满足条件的点P

②当点P （x 1，x 2）在AC 边上运动时 则x 1＝1，1≤x 2≤2 取x 2＝

5

4

，则x 1＋x 2＝

9

4 ，即a ＋b ＝

5

4

O x

y

1

1

2

C

A

B

故在AC 边上存在满足条件的点P （1，

5

4

）

③当点P （x 1，x 2）在AB 边上运动时 则

1

2

≤x 1≤1，1≤x 2≤2，易知x 2＝2x 1

∵x 1＋x 2＝

9

4

，∴x 1＝

3

4 ，x 2＝

3

2

又∵

1

2

＜3

4

＜1，1＜

3

2

＜2

故在AB 边上存在满足条件的点（

3

4

，

3

2

）

综上所述，当点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动时，在BC 边上没有满足条件的点，而在AC 、AB 边上存在满足条件的点，它们分别是（1，

5

4

）和（

3

4

，

3

2

）

5．（福建模拟）已知方程组

?

????y

2

＝4x y ＝2x ＋b

有两个实数解

?????x ＝x 1y ＝y 1

和

?????x ＝x 2

y ＝y 2

，且x 1x 2≠0，x 1≠x 2． （1）求b 的取值范围； （2）否存在实数b ，使得

1

x 1

＋

1

x 2

＝1？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）由已知得4x ＝(2x ＋b )2，整理得4x

2＋(4b －4)x ＋b

2

＝0

∵x 1≠x 2，∴△＞0，即(4b －4)2－16b

2

＞0，解得b ＜

1

2

又∵x 1x 2≠0，∴b

2

4

≠0，∴b ≠0

综上所述，b ＜

1

2

且b ≠0

（2）∵x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b

2

4，∴1 x 1

＋

1 x

2 ＝ x 1＋x 2

x 1x 2 ＝ 4(1－b )

b

2

＝1得 ∴b

2

＋4b －4＝0，解得b ＝－2±2

2

∵－2＋2

2＝2(2－1)＞

1

2

，∴b ＝－2＋2

2

不合题意，舍去

∴b ＝－2－2

2 6．（成都某校自主招生）已知a ，b ，c 为实数，且满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，求c 的取值范围．

解：∵a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，∴a ，b ，c 都不为零，且a ＋b ＝－c ，ab ＝

8

c

∴a ，b 是方程x

2

＋cx ＋

8 c

＝0的两个实数根

∴△＝c

2

－4×

8 c

≥0

当c ＜0时，c

2

－4×

8 c

≥0恒成立

当c ＞0时，得c

3

≥32，∴c ≥342

故c 的取值范围是c ＜0或c ≥342

7．（四川某校自主招生）已知实数x 、y 满足

?

????x ＋y ＝3a －1

x

2＋y

2＝4a

2

－2a ＋2

，求x y 的取值范围． 解：∵(x －y )2≥0，∴x

2＋y

2

≥2x y

∴2(x

2＋y

2)≥(x ＋y )

2

∴2(4a

2－2a ＋2)≥(3a －1)

2

即a

2

－2a －3≤0，解得－1≤a ≤3

∵x y ＝

1 2

[(x ＋y )2－(x 2＋y

2

)]

＝

1 2

[(3a －1)2－(4a

2

－2a ＋2)] ＝

1 2

(5a

2

－4a －1) ＝5

2

(a －2

5

)2－9

10

∴当a ＝

2

5

时，x y 有最小值－9

10

；当a ＝3时有最大值16 ∴－

9

10

≤x y ≤16

8．（福建某校自主招生）已知方程(ax ＋1)2＝a

2(1－x

2

)（a ＞1）的两个实数根x 1、x 2满足x 1＜x 2，求证：

－1＜x 1＜0＜x 2＜1．

证明：将原方程整理，得2a

2x

2＋2ax ＋1－a

2

＝0

令y ＝2a

2x

2＋2ax ＋1－a

2

，由于a ＞1，所以这是一条开口向上的抛物线 当x ＝0时，y ＝1－a 2

＜0，∴原方程有一个正根和一个负根 又∵x 1＜x 2，∴x 1＜0＜x 2

又当x ＝1时，y ＝2a

2＋2a ＋1－a

2＝(a ＋1)2

＞0

当x ＝－1时，y ＝2a

2－2a ＋1－a

2＝(a －1)2

＞0 ∴－1＜x 1＜0＜x 2＜1

O x

y

-1 -1 x 1 x 2