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线面垂直经典习题

线面垂直经典习题
线面垂直经典习题

P

E D

C

B

A

线面垂直及面面垂直

立体几何的垂直问题包括:线线垂直,线面垂直,面面垂直。

立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直,证明线线垂直一般有以下一些方法: 1、通过“平移”。 2、利用等腰三角形底边上的中线的性质。 3、利用勾股定理。 4、利用三角形全等或三角行相似。 5、 利用直径所对的圆周角是直角,等等。

基本题型归纳:

一、 通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,// 1.在四棱锥P-ABCD 中,△PBC 为正三角形,AB ⊥平面PBC ,AB ∥CD ,AB=2

1

DC ,中点为PD E .求证:AE ⊥平面PDC.

2.如图,四棱锥P -ABCD 的底面是正方形,PA ⊥底面ABCD ,∠PDA=45°,点E 为棱AB 的中点. 求证:平面PCE ⊥平面PCD ;

3、如图所示,在四棱锥P ABCD -中,

AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点,F 是CD 上的点,且1

2

DF AB =

,PH 为PAD ?中AD 边上的高。(1)证明:PH ABCD ⊥平面;(2)若121P H A D F C ===,,,求

三棱锥E BCF -的体积;(3)证明:EF PAB ⊥平面.

4.如图所示, 四棱锥

P -ABCD

底面是直角梯形

,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD ,

E 为PC 的中点, P A =AD 。证明: BE PDC ⊥平面;

二、利用等腰三角形底边上的中线的性质

5、在三棱锥P ABC -中,2AC BC ==,90ACB ∠=,AP BP AB ==,PC AC ⊥.

(Ⅰ)求证:PC AB ⊥;(Ⅱ)求二面角B AP C --的大小;

6、如图,在三棱锥P ABC -中,⊿PAB 是等边三角形,∠P AC =∠PBC =90 o证明:AB ⊥PC

三、利用勾股定理

7、如图,四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形,,1, 2.PA CD PA PD ⊥== 求证:PA ⊥平面ABCD ;

8、如图1,在直角梯形ABCD 中,CD AB //,AD AB ⊥,且12

1

==

=CD AD AB . 现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ,然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折,使平面ADEF 与平面ABCD 垂直,M 为ED 的中点,如图2.(1)求证:AM ∥平面BEC ;(2)求证:⊥BC 平面BDE 。

_ D

_ C

_ B

_ A

_ P

E

F

B

A

C

D

P

A

C

B

P

M A

F

B

C

D

E

M E D

C

B

A F

C

A

D

B

O

E

图1 图2

9、如图,四面体ABCD 中,O 、E 分别是BD 、BC 的中点,

2, 2.CA CB CD BD AB AD ====== 求证:AO ⊥平面BCD ;

10、如图,四棱锥S ABCD -中,BC

AB ⊥,BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形,

2,1AB BC CD SD ====.

(Ⅰ)证明:SD SAB ⊥平面;

(Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角的大小.

四、利用三角形全等或三角行相似

11.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心,M 为BB 1的中点, 求证:D 1O ⊥平面MAC.

12.如图,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2,D 为CC 1中点. 求证:AB 1⊥平面A 1BD ;

13、.如图,已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,过点B 作B 1C 的垂线交侧棱CC 1于点E ,交B 1C 于点F ,求证:A 1C ⊥平面BDE ;

五、利用直径所对的圆周角是直角

14、AB 是圆O 的直径,C 是圆周上一点,P A ⊥平面ABC .(1)求证:平面P AC ⊥平面PBC ; (2)若D 也是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.

15、如图,在圆锥PO 中,已知PO =2,⊙O 的直径2AB =,C 是弧AB 的中点,D 为AC 的中点.证明:平面POD ⊥平面PAC ;

16、如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD .以BD 的中点O 为球心、BD

为直径的球面交

PD 于点M .求证:平面ABM ⊥平面PCD ;

O

A

P

B

C

M

D

线面垂直面面垂直专题练习

线面垂直专题练习 一、选择题 1.设M 表示平面,a 、b 表示直线,给出下列四个命题: ①M b M a b a ⊥????⊥// ②b a M b M a //????⊥⊥ ③????⊥⊥b a M a b ∥M ④?? ??⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2.如图所示,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起,使A 、B 、C 三点重合,重合后的点记为P .那么,在四面体P —DEF 中,必有 ( ) A.DP ⊥平面PEF B.DM ⊥平面PEF C.PM ⊥平面DEF D.PF ⊥平面DEF 3.设a 、b 是异面直线,下列命题正确的是 ( ) A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交 B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直 C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直 D.过a 一定可以作一个平面与b 平行 4.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m ?α和m ⊥γ,那么必有 ( ) A.α⊥γ且l ⊥m B.α⊥γ且m ∥β C.m ∥β且l ⊥m D.α∥β且α⊥γ 5.有三个命题: ①垂直于同一个平面的两条直线平行; ②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直; ③异面直线a 、b 不垂直,那么过a 的任一个平面与b 都不垂直 其中正确命题的个数为 ( )A.0 B.1 C.2 D.3 6.设l 、m 为直线,α为平面,且l ⊥α,给出下列命题 ① 若m ⊥α,则m ∥l ;②若m ⊥l ,则m ∥α;③若m ∥α,则m ⊥l ;④若m ∥l ,则m ⊥α, 其中真命题... 的序号是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 二、填空题 13.正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角后,AB 与CD 所成的角等于____________ 14.三棱锥P ABC -的三条侧棱相等,则点P 在平面ABC 上的射影是△ABC 的____心. 15、在正三棱锥中,相邻两面所成二面角的取值范围为___________________ 第3题图

线面垂直经典例题及练习题-.

立体几何 1.P 点在则ABC ?所在的平面外,O 点是P 点在平面ABC 内的射影 ,PA 、PB 、PC 两 两垂直,则D 点是则ABC ? ( B ) (A)重心 (B) 垂心 (C)内心 (D)外心 2.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 ( A ) (A)都平行 (B) 都相交 (C) 在两个平面内 (D)至少与其中一个平行 3.若两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两平面的位置关系是( A ) (A)平行 (B) 相交 (C)平行或相交 (D)垂直 4.在空间,下述命题正确的是 ( B ) (A)若直线//a 平面M ,直线b a ⊥,则直线⊥b 平面M (B)若平面M //平面N ,则平面M 内任意直线a //平面N (C)若平面M 与N 的交线为a ,平面M 内的直线a b ⊥,则N b ⊥ (D)若平面N 的两条直线都平行平面M ,则平面N //平面M 5.a 、b 表示两条直线,α、β、γ表示三个平面,下列命题中错误的是 (A ) (A),,αα??b a 且ββ//,//b a ,则βα// (B)a 、b 是异面直线,则存在唯一的平面与a 、 b 等距 (C) ,,,b a b a ⊥?⊥βα则βα// (D),,,//,βαβγγα⊥⊥⊥b a 则b a ⊥ 6.直线l //平面α,αβ⊥,则l 与平面β的位置关系是 ( D ) (A) l β? (B) //l β (C) l β与相交 (D ) 以上三种情况均有可能 7.已知直线l ⊥平面α,直线m ?平面β,有以下四个命题:①//l m αβ?⊥② //l m αβ⊥?③//l m αβ?⊥④//l m αβ⊥?,其中正确的是(D ) (A) ①② (B) ②④ (C) ③④ (D) ①③ 8.αβγδ,,,是四个不同的平面,且αγβγαδβδ⊥⊥⊥⊥,,,,则( B ) (A) ////αβγδ或 (B) ////αβγδ且 (C) 四个平面中可能任意两个都不平行 (D) 四个平面中至多有一对平面平行 9.已知平面α和平面β相交,a 是α内的一条直线,则( D ) (A) 在β内一定存在与a 平行的直线 (B) 在β内一定存在与a 垂直的直线 (C) 在β内一定不存在与a 平行的直线 (D) 在β内一定不存在与a 垂直的直线 10.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面,垂足为A ,连PB PC PD AC BD ,,、,,则互 相垂直的平面有( C ) (A) 5对 (B) 6对 (C) 7对 (D) 8对

线面垂直习题精选

. . . . . 线面垂直的证明中的找线技巧 ◆ 通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图1,在正方体 1111ABCD A B C D -中,M 为1CC 的中点,AC 交BD 于点O ,求证:1A O ⊥平面MBD . 证明:连结MO ,1A M ,∵DB ⊥ 1A A ,DB ⊥AC ,1A A AC A =, ∴DB ⊥平面 11A ACC ,而1 AO ?平面11A ACC ∴DB ⊥1A O . 设正方体棱长为a ,则22132A O a =,2 234MO a =. 在Rt △11A C M 中,2 21 94 A M a =.∵22211A O MO A M +=,∴1AO OM ⊥. ∵OM ∩DB =O ,∴ 1A O ⊥平面MBD . 评注:在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过计算来证明. ◆ 利用面面垂直寻求线面垂直 2 如图2,P 是△ABC 所在平面外的一点,且PA ⊥平面ABC ,平面PAC ⊥平面PBC .求证:BC ⊥平面PAC . 证明:在平面PAC 作AD ⊥PC 交PC 于D . 因为平面PAC ⊥平面PBC ,且两平面交于PC , AD ?平面PAC ,且AD ⊥PC , 由面面垂直的性质,得AD ⊥平面PBC . 又∵BC ?平面PBC , ∴AD ⊥BC . ∵PA ⊥平面ABC ,BC ?平面ABC ,∴PA ⊥BC . ∵AD ∩PA =A ,∴BC ⊥平面PAC . (另外还可证BC 分别与相交直线AD ,AC 垂直,从而得到BC ⊥平面PAC ). 评注:已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看到,面面垂直?线面垂直?线线垂直. 一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直???→←???判定性质 线面垂直???→←??? 判定性质 面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面是判定定理,而从后面推出前面是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明 问题.下面举例说明. 3 如图1所示,ABCD 为正方形,SA ⊥平面ABCD ,过 A 且垂直于SC 的平面分别交S B S C S D ,,于 E F G ,,. 求证:AE SB ⊥,AG SD ⊥. 证明:∵SA ⊥平面ABCD , ∴SA BC ⊥.∵AB BC ⊥,∴BC ⊥平面SAB .又∵AE ?平面SAB ,∴BC AE ⊥.∵SC ⊥平面AEFG ,∴SC AE ⊥.∴AE ⊥平面SBC .∴AE SB ⊥.同理可证AG SD ⊥. 评注:本题欲证线线垂直,可转化为证线面垂直,在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用,同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征,从而顺利实现证明所需要的转化. 4 如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC =AC ,AD =BD , 作BE ⊥CD ,E为垂足,作AH ⊥BE 于H.求证:AH ⊥平面BCD . 证明:取AB 的中点F,连结CF ,DF . ∵ AC BC =,∴CF AB ⊥. ∵AD BD =,∴DF AB ⊥. 又CF DF F =,∴AB ⊥平面CDF . ∵CD ?平面CDF ,∴CD AB ⊥. 又CD BE ⊥,BE AB B =, ∴CD ⊥平面ABE ,CD AH ⊥. ∵AH CD ⊥,AH BE ⊥,CD BE E =, ∴ AH ⊥平面BCD .

线面垂直与面面垂直典型例题

线面垂直与面面垂直 基础要点 1、若直线αβ所成的角相等,则平面αβ B ) A 、//αβ B 、α不一定平行于β C 、α不平行于β D 、以上结论都不正确 2、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面ABC ,垂足为H ,则H 一定在( B ) A 、直线AC 上 B 、直线AB 上 C 、直线BC 上 D 、△ABC 的内部 3、如图示,平面α⊥平面β,,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π和6 π ,过A 、B 分别作两平面交线的垂线,垂足为,A B '',则:AB A B ''=( A ) A 、2:1 B 、3:1 C 、3:2 D 、4:3 4、如图示,直三棱柱11ABB DCC -中,190,4ABB AB ∠==, 12,1BC CC ==DC 上有一动点P ,则△1APC 周长的最小值是 5.已知长方体1111D C B A ABCD -中,21==AB A A , 若棱AB 上存在点P ,使得PC P D ⊥1,则棱AD 长 的取值范围是 。 题型一:直线、平面垂直的应用 1.(2014,江苏卷)如图,在三棱锥P-ABC 中,D ,E ,F 分别为 PC ,AC ,AB 的中点. 已知,685PA AC PA BC DF ⊥===,,. 求证:(1) PA DEF 平面;(2) BDE ABC ⊥平面平面 . 证明: (1) 因为D ,E 分别为棱PC ,AC 的中点, 所以DE ∥PA. 又因为PA ? 平面DEF ,DE ?平面DEF , 所以直线PA ∥平面DEF. (2) 因为D ,E ,F 分别为棱PC ,AC ,AB 的中点,PA =6,BC =8,所以DE ∥PA ,DE = 12PA =3,EF =1 2 BC =4. 又因 DF =5,故DF 2=DE 2+EF 2, 所以∠DEF =90°,即DE 丄EF. 又PA ⊥AC ,DE ∥PA ,所以DE ⊥AC. 因为AC∩EF =E ,AC ?平面ABC ,EF ?平面ABC ,所以DE ⊥平面ABC. 线面垂直 线线垂直 面面垂直 B` A` B A α β A B C D 1 B 1 C B 1 1 D A D B A

线面垂直--经典练习题(精选.)

1.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是直角梯形,90BCD ∠=?,AB CD ∥,又1AB BC PC ===,2PB =,2CD =,AB PC ⊥. (Ⅰ)求证:PC ⊥平面ABCD ; (Ⅱ)求PA 与平面ABCD 所成角的大小; (Ⅲ)求二面角B PD C --的大小. 2.如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,且AB CD ∥,90BAD ∠=?,2PA AD DC ===,4AB =. (Ⅰ)求证:BC PC ⊥; (Ⅱ)求PB 与平面PAC 所成角的正弦值; (Ⅲ)求点A 到平面PBC 的距离. 3.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,AB CD ∥,1AB AD ==,12D D CD ==,AB AD ⊥. (Ⅰ)求证:BC ⊥平面1D DB ; (Ⅱ)求1D B 与平面11D DCC 所成角的大小.

9.如图,在三棱锥P -ABC 中,△PAC 和△PBC 是边长为2的等边三角形,AB =2,O 是AB 中点. (1)在棱PA 上求一点M ,使得OM ∥平面PBC ; (2)求证:平面PAB ⊥平面ABC . 10.如图所示,三棱锥V -ABC 中,AH ⊥侧面VBC ,且H 是△VBC 的垂心,BE 是VC 边上的高. 求证:VC ⊥AB ; 11.如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,1AB BB =,1AC ⊥平面D BD A ,1为AC 的中点. (1)求证://1C B 平面BD A 1; (2)求证:⊥11C B 平面11A ABB ; 提示:11A C 中点和1B A 连 D A C B S E F G A 1 B 1 C 1 A B C D

线面垂直与面面垂直垂直练习题(新)

2.3线面垂直和面面垂直 线面垂直专题练习 一、定理填空: 1.直线和平面垂直 如果一条直线和,就说这条直线和这个平面垂直. 2.线面垂直判定定理和性质定理 线面垂直判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面. 判定定理1:如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么 判定定理2:如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么. 线面垂直性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线互相平行. 性质定理1:垂直于同一条直线的两个平面互相平行。 二、精选习题: 1.设M表示平面,a、b表示直线,给出下列四个命题: ①M b M a b a ⊥ ? ? ? ? ⊥ // ②b a M b M a // ? ? ? ? ⊥ ⊥ ③? ? ? ? ⊥ ⊥ b a M a b∥M④? ? ? ? ⊥b a M a// b⊥M. 其中正确的命题是( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2.如图所示,在正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起,使A、B、C三点重合,重合后的点记为P.那么,在四面体P—DEF 中,必有( ) A.DP⊥平面PEF B.DM⊥平面PEF C.PM⊥平面DEF D.PF⊥平面DEF 3.设a、b是异面直线,下列命题正确的是( ) A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交 B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直 C.过a一定可以作一个平面与b垂直 D.过a一定可以作一个平面与b平行 4.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m?α和m⊥γ,那么必有( ) A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ 5.有三个命题: 第3题图

线面垂直面面垂直知识点总结经典例题及解析高考题练习及答案第次补课

直线、平面垂直的判定与性质 【知识梳理】 一、直线与平面垂直的判定与性质 1、 直线与平面垂直 (1)定义:如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l 与平面α互相垂直,记作l ⊥α,直线l 叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。 (2)判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 结论:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面,记作.//a b b a αα? ?⊥?⊥? (3)性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。即,//a b a b αα⊥⊥?. 由定义知:直线垂直于平面内的任意直线。 2、 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角或者直角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面,该直线与平面所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,则此直线与平面所成的角是0 0的角。 3、 二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为l ,那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大小;范围:0 0180θ≤≤. 二、平面与平面垂直的判定与性质 1、定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直. 2、判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。简述为“线面垂直,则面面垂直”,记作 l l βαβα⊥? ?⊥??? . 3、性质:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直,记作l m m m l αβαββα⊥??=? ?⊥??? ?⊥? I . 【经典例题】 【例1】(2012浙江文)设l 是直线,a,β是两个不同的平面 ( ) A .若l ∥a,l ∥β,则a ∥β B .若l ∥a,l ⊥β,则a ⊥β C .若a ⊥β,l ⊥a,则l ⊥β D .若a ⊥β, l ∥a,则l ⊥β 【答案】B

线面垂直习题精选

线面垂直的证明中的找线技巧 ◆ 通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图1,在正方体1111ABCD A B C D - 中,M 为1CC 的中点,AC 交BD 于点O ,求证:1A O ⊥平面MBD . 证明:连结MO ,1A M ,∵DB ⊥ 1A A ,DB ⊥AC ,1A A AC A =, ∴DB ⊥平面 11A ACC ,而1 AO ?平面11A ACC ∴DB ⊥1A O . 设正方体棱长为a ,则22132A O a =,2 234MO a =. 在Rt △11A C M 中,2 21 94 A M a =.∵22211A O MO A M +=,∴1AO OM ⊥. ∵OM ∩DB =O ,∴ 1A O ⊥平面MBD . 评注:在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过计算来证明. ◆ 利用面面垂直寻求线面垂直 2 如图2,P 是△ABC 所在平面外的一点,且PA ⊥平面ABC ,平面PAC ⊥平面PBC .求证:BC ⊥平面PAC . 证明:在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D . 因为平面PAC ⊥平面PBC ,且两平面交于PC , AD ?平面PAC ,且AD ⊥PC , 由面面垂直的性质,得AD ⊥平面PBC . 又∵BC ?平面PBC , ∴ AD ⊥BC . ∵PA ⊥平面ABC ,BC ?平面ABC ,∴PA ⊥BC . ∵AD ∩PA =A ,∴BC ⊥平面PAC . (另外还可证BC 分别与相交直线AD ,AC 垂直,从而得到BC ⊥平面PAC ). 评注:已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看到,面面垂直?线面垂直?线线垂直. 一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直???→←???判定性质 线面垂直???→←??? 判定性质 面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面是判定定理,而从后面推出前面是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明 问题.下面举例说明. 3 如图1所示,ABCD 为正方形,SA ⊥平面ABCD ,过 A 且垂直于SC 的平面分别交S B S C S D ,,于 E F G ,,.求证:AE SB ⊥, AG SD ⊥. 证明:∵SA ⊥平面ABCD , ∴SA BC ⊥.∵AB BC ⊥,∴BC ⊥平面SAB .又∵AE ?平面SAB ,∴BC AE ⊥.∵SC ⊥平面AEFG ,∴SC AE ⊥.∴AE ⊥平面SBC .∴AE SB ⊥.同理可证AG SD ⊥. 评注:本题欲证线线垂直,可转化为证线面垂直,在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用,同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征,从而顺利实现证明所需要的转化. 4 如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC =AC ,AD =BD , 作BE ⊥CD ,E为垂足,作AH ⊥BE 于H.求证:AH ⊥平面BCD . 证明:取AB 的中点F,连结CF ,DF . ∵AC BC =,∴CF AB ⊥. ∵AD BD =,∴DF AB ⊥. 又CF DF F =,∴AB ⊥平面CDF . ∵CD ?平面CDF ,∴CD AB ⊥. 又CD BE ⊥,BE AB B =, ∴CD ⊥平面ABE ,CD AH ⊥. ∵AH CD ⊥,AH BE ⊥,CD BE E =, ∴ AH ⊥平面BCD .

直线与平面垂直的典型例题

直线与平面垂直的典型例题 例1 判断题:正确的在括号内打“√”号,不正确的打“×”号. (1)一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线平行.( ) (2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直.( ) (3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边.( ) (4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内.( ) (5)如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.( ) 例2 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 是1BB 的中点,O 是底面正方形ABCD 的中心,求证:⊥OE 平面1ACD 例3 如图,在△ABC 中, 90=∠B ,⊥SA 平面ABC ,点A 在SB 和SC 上的射影分别为N M 、,求证:SC MN ⊥

例4如图,AB 为平面α的斜线,B 为斜足,AH 垂直平面α于H 点,BC 为平面α内的直线,θ=∠ABH ,α=∠HBC ,β=∠ABC ,求证:θαβcos cos cos ?= 例5如图,已知正方形ABCD 边长为4,⊥CG 平面ABCD ,2=CG ,F E 、分别是AD AB 、中点,求点B 到平面GEF 的距离 例6 如图所示,直角ABC ?所在平面外一点S ,且SC SB SA ==. (1)求证:点S 与斜边AC 中点D 的连线SD ⊥面ABC ; (2)若直角边BC BA =,求证:BD ⊥面SAC .

例7如图所示,?=∠90BAC .在平面α内,PA 是α的斜线,?=∠=∠60PAC PAB .求PA 与平面α所成的角. 例8如图,ABCD 是正方形,SA 垂直于平面ABCD ,过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ,求证:SB AE ⊥,SD AG ⊥. 例9 如图,求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.

线面平行与垂直的证明题精选

线面平行和垂直的证明 1:如图,在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中. (1)求证:AC ⊥平面B 1BDD 1; (2)求三棱锥B-ACB 1体积. 2:如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心, PO ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点. 求证:(1)PA∥平面BDE ; (2)平面PAC ⊥平面BDE . 3:如图:在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中, ∠ABC = 90°,SA ⊥面ABCD ,SA = AB = BC = 1, 2 1 = AD . (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积; (Ⅱ)证明:平面SBC ⊥平面SCD . 4:已知多面体ABCDFE 中, 四边形ABCD 为矩形,AB ∥EF ,AF ⊥BF ,平面ABEF ⊥平面ABCD , O 、M 分别为AB 、FC 的中点,且AB = 2,AD = EF = 1. (Ⅰ)求证:AF ⊥平面FBC ; (Ⅱ)求证:OM ∥平面DAF . 5:.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形, 侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD =DC ,E 是P C 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F . (1)证明 P A //平面EDB ; (2)证明PB ⊥平面EFD ; 6:已知正方形ABCD 和正方形ABEF 所在的平面相 交于AB ,点M ,N 分别在AC 和BF 上,且AM=FN. 求证:MN ‖平面BCE. 7:如图,正方体1111D C B A ABCD -中,棱长为a (1)求证:直线//1B A 平面1ACD (2)求证:平面1ACD ⊥平面D BD 1; 8: 如图,已知△ABC 是正三角形,EA 、CD 都垂直于平面ABC ,且EA=AB=2a,DC=a,F 是BE 的中点, D 1 C 1 B 1 A 1 C D B A D A B C O E P A B C D P E F B C D E F N M F E D C A M

立体几何证明垂直专项含练习题及答案

立体几何证明------垂直 一.复习引入 1.空间两条直线的位置关系有:_________,_________,_________三种。 2.(公理4)平行于同一条直线的两条直线互相_________. 3.直线与平面的位置关系有_____________,_____________,_____________三种。 4.直线与平面平行判定定理:如果_________的一条直线和这个平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这 个平面相交,那么_________________________. 6.两个平面的位置关系:_________,_________. 7.判定定理1:如果一个平面内有_____________直线都平行于另一个平面,那么这两 个平面平行. 8.线面垂直性质定理:垂直于同一条直线的两个平面________. 9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的________平行. 10.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的所有直线都_____于另一个平面. 二.知识点梳理 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义判定 语言描述如果直线l和平面α内的任意一条 直线都垂直,我们就说直线l与平面 互相垂直,记作l⊥α一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与该平面垂直. 图形 条件b为平面α内的任一直线,而l对这 一直线总有l⊥αl⊥m,l⊥n,m∩n=B,mα,nα 结论l⊥αl⊥α 要点诠释:定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”,这与“无数条直线” 不同(线线垂直线面垂直) 性质 语言描述一条直线垂直于一个平面,那么这条 直线垂直于这个平面内的所有直线 垂直于同一个平面的两条直线平行.

实用文档之线面垂直经典例题及练习题-

实用文档之" 立体几何" 1.P 点在则ABC ?所在的平面外,O 点是P 点在平面ABC 内的射影 ,PA 、 PB 、PC 两两垂直,则D 点是则ABC ? ( B ) (A)重心 (B) 垂心 (C)内心 (D)外心 2.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 ( A ) (A)都平行 (B) 都相交 (C) 在两个平面内 (D)至少与其中一个平行 3.若两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两平面的位置 关系是( A ) (A)平行 (B) 相交 (C)平行或相交 (D)垂直 4.在空间,下述命题正确的是 ( B ) (A)若直线//a 平面M ,直线b a ⊥,则直线⊥b 平面M (B)若平面M //平面N ,则平面M 内任意直线a //平面N (C)若平面M 与N 的交线为a ,平面M 内的直线a b ⊥,则N b ⊥ (D)若平面N 的两条直线都平行平面M ,则平面N //平面M 5.a 、b 表示两条直线,α、β、γ表示三个平面, 下列命题中错误的是 (A ) (A),,αα??b a 且ββ//,//b a ,则βα// (B)a 、b 是异面直线,则存在唯 一的平面与a 、b 等距 (C) ,,,b a b a ⊥?⊥βα则βα// (D),,,//,βαβγγα⊥⊥⊥b a 则b a ⊥ 6.直线l //平面α,αβ⊥,则l 与平面β的位置关系是 ( D ) (A) l β? (B) //l β (C) l β与相交 (D ) 以上三种情况 均有可能 7.已知直线l ⊥平面α,直线m ?平面β,有以下四个命题:①//l m αβ?⊥②//l m αβ⊥?③//l m αβ?⊥④//l m αβ⊥?,其中正确的是(D ) (A) ①② (B) ②④ (C) ③④ (D) ①③ 8.αβγδ,,,是四个不同的平面,且αγβγαδβδ⊥⊥⊥⊥,,,,则 ( B )

线面垂直、面面垂直知识点总结、经典例题及解析、高考题练习及答案

直线、平面垂直的判定与性质 【考纲说明】 1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。 2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 【知识梳理】 一、直线与平面垂直的判定与性质 1、 直线与平面垂直 (1)定义:如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l 与平面α互相垂直,记作l ⊥α,直线l 叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。 (2)判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 结论:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面,记作.//a b b a αα? ?⊥?⊥? (3)性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。即,//a b a b αα⊥⊥?. 由定义知:直线垂直于平面内的任意直线。 2、 直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面,该直线与平面所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,则此直线与平面所成的角是0 0的角。 3、 二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为l ,那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大小;范围:0 0180θ<<. 二、平面与平面垂直的判定与性质 1、定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直. 2、判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。简述为“线面垂直,则面面垂直”,记作 l l βαβα⊥? ?⊥??? .

线面垂直判定经典证明题

线面垂直判定 1、已知:如图,PA⊥AB,PA⊥AC。 求证:PA⊥平面ABC。 2、已知:如图,PA⊥AB,BC⊥平面PAC。 求证:PA⊥BC。 3、如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VC,AB=BC。 求证:VB⊥AC 4、在正方体ABCD-EFGH中,O为底面ABCD中心。 求证:BD⊥平面AEGC 5、如图,AB是圆O的直径,PA⊥AC, PA⊥AB, 求证:BC⊥平面PAC

6、如图,AD ⊥BD, AD ⊥DC,AD=BD=CD,∠BAC=60° 求证: BD ⊥平面ADC 7、.如图所示,P A ⊥矩形ABCD 所在平面,M 、N 分别是AB 、PC 的中点. (1)求证:MN ∥平面P AD . (2)求证:MN ⊥CD . (3)若∠PDA =45°,求证:MN ⊥平面PCD . 8、已知:如图,P 是棱形ABCD 所在平面外一点,且PA=PC 求证:AC PBD ⊥平面 9、已知四面体ABCD 中,CD BD AC AB ==,,平面⊥ABC 平面BCD ,E 为棱BC 的中点。 (1)求证:⊥AE 平面BCD ; (2)求证:BC AD ⊥; _ A _ D _ C _ B P C B A E D

10、三棱锥A-BCD中,AB=1,BC=2,BD=AC=3 AD=2,求证:AB⊥平面BCD 11、在四棱锥S-ABCD中,SD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形 求证:AC⊥平面SBD 12、如图,正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD,AE⊥平面CDE,求证:AB⊥ 平面ADE; 13、三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,H是△ABC的垂心 求证:PH⊥底面ABC A B C D E _A _P _C _E _H _B

线面垂直与面面垂直典型例题

线面垂直与面面垂直 基础要点 1、若直线a 与平面,αβ所成的角相等,则平面α与β的位置关系是( B ) A 、//αβ B 、α不一定平行于β C 、α不平行于β D 、以上结论都不正确 2、在斜三棱柱111ABC A B C -,90BAC ∠=,又1BC AC ⊥,过1C 作1C H ⊥底面ABC ,垂足为H ,则H 一定在( B ) A 、直线AC 上 B 、直线AB 上 C 、直线BC 上 D 、△ABC 的内部 3、如图示,平面α⊥平面β,,,A B AB αβ∈∈与两平面,αβ所成的角分别为4π和6 π,过A 、B 分别作两平面交线的垂线,垂足为,A B '',则:AB A B ''=( A ) A 、2:1 B 、3:1 C 、3:2 D 、4:3 4、如图示,直三棱柱11ABB DCC -中,190,4ABB AB ∠==, 12,1BC CC ==DC 上有一动点P ,则△1APC 周长的最小值是 5.已知长方体1111D C B A ABCD -中,21==AB A A , 若棱AB 上存在点P ,使得PC P D ⊥1,则棱AD 长 的取值范围是 。 题型一:直线、平面垂直的应用 1.(2014,江苏卷)如图,在三棱锥P-ABC 中,D ,E ,F 分别为棱PC ,AC ,AB 的中点. 已知,685PA AC PA BC DF ⊥===,,. 求证:(1) PA DEF 平面错误!未找到引用源。;(2) BDE ABC ⊥平面平面 错误!未找到引用源。. 线面垂直 线线垂直 面面垂直 B` A` B A α β A B C D 1 B 1 C B 1 C 1 D 1 A 1 D C B A

线线垂直、线面垂直、面面垂直的习题及答案

线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案 1.在四面体ABCD 中,△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形. (1)求证:BC ⊥AD ; 2如图,在三棱锥S —ABC 中,SA ⊥平面ABC ,平面SAB ⊥平面SBC . (1)求证:AB ⊥BC ; 3.如图,四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形,PA ⊥底面ABCD ,E 为AB 的中点,且PA=AB . (1)求证:平面PCE ⊥平面PCD ;(2)求点A 到平面PCE 的距离. 4. 如图2-4-2所示,三棱锥S —ABC 中,SB=AB ,SC=AC ,作AD ⊥BC 于D ,SH ⊥AD 于H , 求证:SH ⊥平面ABC. (第1题)

5. 如图所示,已知Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点. (1)求证:SD⊥平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC. 6. 证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C⊥平面BC1D A C 7. 如图所示,直三棱柱中,∠ACB=90°,AC=1,,侧棱,侧面的两条对角线交点为D,的中点为M. 求证:CD⊥平面BDM.

8.在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD, 作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:AH⊥平面BCD. 9. 如图,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:平面ABC⊥平 面BSC. 10.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=2,BB1=BC=1,E为D1C1的中点,连结ED,EC,EB和DB. (1)求证:平面EDB⊥平面EBC; (2)求二面角E-DB-C的正切值. 11:已知直线PA垂直于圆O所在的平面,A为垂足,AB为圆O的直径,C是圆周上异于A、B的一点。求证:平面PAC 平面PBC。

基础练习:线面垂直经典例题及练习题

线面垂直经典练习 1.P 点在则ABC ?所在的平面外,O 点是P 点在平面ABC 内的射影 ,PA 、PB 、PC 两两垂直,则D 点是则ABC ? ( ) (A)重心 (B) 垂心 (C)内心 (D)外心 2.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 ( ) (A)都平行 (B) 都相交 (C) 在两个平面内 (D)至少与其中一个平行 3.若两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两平面的位置关系是( ) (A)平行 (B) 相交 (C)平行或相交 (D)垂直 4.在空间,下述命题正确的是 ( ) (A)若直线//a 平面M ,直线b a ⊥,则直线⊥b 平面M (B)若平面M //平面N ,则平面M 内任意直线a //平面N (C)若平面M 与N 的交线为a ,平面M 内的直线a b ⊥,则N b ⊥ (D)若平面N 的两条直线都平行平面M ,则平面N //平面M 5.a 、b 表示两条直线,α、β、γ表示三个平面,下列命题中错误的是 ( ) (A),,αα??b a 且ββ//,//b a ,则βα// (B)a 、b 是异面直线,则存在唯一的平面与a 、b 等距 (C) ,,,b a b a ⊥?⊥βα则βα// (D),,,//,βαβγγα⊥⊥⊥b a 则b a ⊥ 6.直线l //平面α,αβ⊥,则l 与平面β的位置关系是 ( ) (A) l β? (B) //l β (C) l β与相交 (D ) 以上三种情况均有可能 7.已知直线l ⊥平面α,直线m ?平面β,有以下四个命题:①//l m αβ?⊥② //l m αβ⊥?③//l m αβ?⊥④//l m αβ⊥?,其中正确的是( ) (A) ①② (B) ②④ (C) ③④ (D) ①③ 8.αβγδ,,,是四个不同的平面,且αγβγαδβδ⊥⊥⊥⊥,,,,则( ) (A) ////αβγδ或 (B) ////αβγδ且 (C) 四个平面中可能任意两个都不平行 (D) 四个平面中至多有一对平面平行 9.已知平面α和平面β相交,a 是α内的一条直线,则( ) (A) 在β内一定存在与a 平行的直线 (B) 在β内一定存在与a 垂直的直线 (C) 在β内一定不存在与a 平行的直线 (D) 在β内一定不存在与a 垂直的直线

线面垂直证明题训练

线面垂直证明题训练https://www.wendangku.net/doc/5b15766852.html,work Information Technology Company.2020YEAR

A B C P E F 线面垂直的证明 方法总结:直线垂直于平面内的两条相交直线;利用面面垂直的性质;利用勾股定理逆定理; 1.如图①所示,在正方形SG 1G 2G 3中,E 、F 分别是边G 1G 2、G 2G 3的中点,D 是EF 的中点,现沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体(如图②使G 1、G 2、G 3三点重合于一点G),则下列结论中成立的有________(填序号). ①SG ⊥面EFG ; ②SD ⊥面EFG ; ③EF ⊥面SGD; ④GD ⊥面SEF . 2.PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面,C 为圆上异于A ,B 的任一点,则下列关系正确的是________(填序号). ①PA ⊥BC ;②BC ⊥平面PAC ;③AC ⊥PB ;④PC ⊥BC . 3.以AB 为直径的圆在平面α内,α⊥PA 于A ,C 在圆上,连PB 、PC 过A 作AE ⊥PB 于E ,AF ⊥PC 于F ,指出图中所有线面垂直并逐一证明。 4.如图,A A 1是圆柱的母线,AB 是圆柱底面圆的直径, C 是底面圆周上异于B A,的任意一点, 求证:AC A 1平面⊥BC ; 5.已知,如图正方体1111D C B A ABCD -中,求证:111A D B C A 平面⊥ 三垂线定理的运用 6.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是AC 的中点,在平面B 1BDD 1中,过B 1作B 1H ⊥D 1O ,垂足为H , 求证:B 1H ⊥平面ACD 1。 7.已知正方形ABCD 的边长为1, .将正方形ABCD 沿对角线BD 折起,使1AC =,得到三棱锥 A —BCD ,如图所示.求证:AO BCD ⊥平面; A B C D A 1 B 1 C 1 D 1

线面垂直、面面垂直知识点总结、经典例题及解析、高考题练习及答案(第4次补课)

直线、平面垂直的判定与性质 二、平面与平面垂直的判定与性质 1、定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直 【知识梳理】 一、直线与平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直 (1)定义:如果直线|与平面a 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 叫做 平面a 的垂线,平面 a 叫做直线I 的垂面。如图,直线与平面垂直时 I 与平面a 互相垂直,记作|丄a 直线| ,它 们唯一公共点 (2)判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 P 叫做垂足。 结论:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面,记作 a//b (3)性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。即 a ,b a / /b 由定义知:直线垂直于平面内的任意直线。 2、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角或者直角叫做这条直线和这个平面所成的 角。 一条直线垂直于 平面,该直线与平面所成的角是直角;一条直线和平面平行,或在平面内,则此直线与平面所成的角是 00的角。 3、 二面角的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角 的面。如果记棱为I ,那么两个面分别为 的二面角记作 I ?在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足, 在两个半平面内分别作垂直于棱的射线, 则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。 其作用是衡量二面角的大 小;范围:00 1800 . 2、判定:一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面垂直。简述为 线面垂直, 则面面垂直 I ”,记作 | 3、性质:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直,记作 I I m m m I 【经典例题】 【例1】(2012浙江文) 设I 是直线,a,是两个不同的平面 A .若 I // a,I // B 则 a// 3 C .若a 丄3I 丄a 则I 丄3 B .若I // a,I 丄3则a 丄3 D .若a 丄3 , I // a,则I 丄

线线垂直、线面垂直、面面垂直的习题及答案解析

线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案1.在四面体ABCD中,△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形. (1)求证:BC⊥AD; 2如图,在三棱锥S—ABC中,SA⊥平面 ABC,平面SAB⊥平面SBC. (第1题) (1)求证:AB⊥BC; 3.如图,四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的形,PA⊥底面ABCD,E为AB的中点,且PA=AB. (1)求证:平面PCE⊥平面PCD;(2)求点A到平面PCE的距离. 4. 如图2-4-2所示,三棱锥S—ABC中,SB=AB,SC=AC,作AD⊥BC于D,SH⊥AD于H,求证:SH⊥平面ABC.

5. 如图所示,已知Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,点D 为斜边AC的中点. (1)求证:SD⊥平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC. 6. 证明:在体ABCD-A1B1C1D1中,A1C⊥平面BC1D 11 A B1 D C B 7. 如图所示,直三棱柱中,∠ACB=90°,AC=1,,侧棱,侧面的两条对角线交点为D,的中点为M. 求证:CD⊥平面BDM.

8.在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD, 作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:AH⊥平面BCD. 9. 如图,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:平面ABC⊥平面BSC. 10.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=2,BB1=BC=1,E为D1C1的中点,连结ED,EC,EB和DB. (1)求证:平面EDB⊥平面EBC; (2)求二面角E-DB-C的正切值. 11:已知直线PA垂直于圆O所在的平面,A为垂足,AB为圆O的直径,C是圆周上异于A、B的一点。求证:平面PAC^平面PBC。 12..如图1-10-3所示,过点S引三条不共面的直线,使∠BSC=90°,∠ASB=∠ASC=60°,若截取SA=SB=SC.

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