双旋度Poisson方程两类定解问题的恰当构造与恒稳磁场数学模型的严谨化
双旋度Poisson 方程两类定解问题的恰当构造
与
恒稳磁场数学模型的严谨化
—— 理性重构电磁场理论体系形式逻辑分析之二
杨本洛
上海交通大学自然科学基础研究组，上海 200240
Email: blyang@https://www.wendangku.net/doc/5e16031752.html,
摘 要： 无论从基础数学研究还是从物理应用研究考虑，双旋度Poisson 方程都是一个不可替代的独立方程。但是，不仅一些经典结论中隐含逻辑不相容问题，而且若干重要命题甚至没有考虑。在这篇论文中，除了指出相关经典理论中的一些逻辑不当，还提出两类恰当边值问题，并在此基础上为静磁场理论体系构造了一个恰当的数学模型。
关键词： 双旋度算子，偏微分方程及其边值问题，静磁场
1. 引言
在自然科学研究中，构造一个形式系统的基础只能是相关的经验事实。本质地决定于电荷守恒定律，物理学实验中的电流几乎只可能以“环形电流（ring current ）”的方式出现。正因为此，在研究和需要形式地表现电流所激发电磁场的时候，以某种方式蕴含着“环形状”抽象特征的双旋度算子“?×?×”，同样以一种极其自然的方式出现在相关形式表述之中。进一步说，电磁场理论中双旋度算子的存在，完全独立于不同研究者的不同“主观”意志，被赋予一种“实体论”意义上的“客观性”物质内涵。因此，在研究电流所激发的电磁场时，不能仅仅凭借研究者的“主观”意愿， 随意使用另一个无疑简单得多的Laplace 算子? 2替代双旋度算子。
事实上，正如人们熟知的那样，对于定义于给定空间域V 处中的Laplace 算子，在任意空间点x 与包围该空间点的任意边界域?v 之间，往往构造如下所示的逻辑关联
0,,:)(32→??∈?∈??????=?v R V v v x n n x (1)
也就是说，在需要使用Laplace 算子? 2 刻画某“物质场”任意空间点x 处的行为特征，并且将其与包围该空间点的无穷小体积域v 相关联时，它相应表现的只能是无穷小体积域边界?v 上同一物质场在单位法线n 上的行为特征。与Laplace 算子表现的这种特定几何特征几乎完全相反，对于空间域V 中的另一个物质场，如果需要凭借“双旋度算子?×?×”描述该物质场的行为特征的时候，那么，后续分析将要指出：一个借助于积分方程加以表述的“等价约束”可以定义在包围给定空间域的封闭边界?V 之上；或者按照现代微分几何的习惯称谓，这个积分方程只需要定义在一个2维的弯曲子空间或2维Riemann 空间M 2 之上。这样，与Laplace 算子逻辑地展现给定3维空间域V 边界上的“法线”行为特征相反相成，对于双旋度算子而言，它所描述的本质上恰恰对应于给定空间域边界的“切向”行为特征；并且，由此允许以某种方式限制在一个“低维弯曲子空间”之中，相应构造一种能满足“自封闭”条件的制约关系。1
1 吻合纯粹的几何直观，单纯的双旋度算子可以构造一个仅仅属于“低维弯曲空间”的等价约束关系。其实，同样可以基于几何的直观分析理性认识到：不允许把Laplace 算子构造的形式表述压缩到某一个“低维切空间”之中，因为
于是，人们不难推断：在讨论给定空间域V 中某个待定向量场Ψ时，即使作为某种“特例”允许为该向量场构造“散度满足恒为零”的前提条件，即
3,0)(R V ?∈≡??x x Ψ (2)
但是，采取经典理论通常使用的方法，根据下述恒等关系式
ΨΨΨΨΨ202)(??=???+??=×?×?=?? (3)
将定义于3维Euclid 空间某有限体积域V 中的双旋度Poisson 方程
3)(R V ?∈=×?×?x f x Ψ (4) 变换为通常的向量Poisson 方程
32)(R V ?∈=??x f x Ψ (5)
在原则上仍然是不允许的。事实上，以上分析已经指出：在一般情况下，双旋度算子和Laplace 算子以彼此不同的方式描述了待定函数的不同“空间变化”特征，并且，在给定空间域的边界?V 上对应于形式上完全不同的定解条件。
总之，式（4）所示的双旋度Poisson 方程被赋予“独立”的物理实在基础，相应成为具有“独立”意义的偏微分方程。因此，人们不能回避这个特定数学表述形式的“真实”存在，需要认真探讨与双旋度Poisson 方程相关的一系列基本数学特征。2
2. 相关经典理论隐含的一系列逻辑悖论与若干没有解决的问题
按照经典电磁场理论使用符号的习惯，用矢量势A 取代式（4）所示双旋度Poisson 方程中的向量函数Ψ，则变为静磁场分析中的基本方程
30 )(R V ?∈=×?×?x J x A μ (6)
其中，J 为给定空间域中的电流分布。经典理论在处理这个方程时，往往“无条件”使用如下所示的正则规范
0gauge canonical ?=??A (7)
但是，经典理论无条件使用正则规范是否真正符合道理？或者更直接地说，针对经典理论对这个习惯使用的变换明显缺乏“数学论证和物理基础”支撑的问题，在一些中国学者书写的著述中早已明确提出了质疑。[1]
值得指出，涉及到如何恰当处理这个特定偏微分方程实际面对的认识困惑或数学疑难，许多西方国家出版的电磁场理论著述，往往以一种“心照不宣”的方式将它们回避了。例如，在由J. D. Jackson 撰写、目前在世界上具有相当大影响的《经典电动力学》中，任何一位细心的读者都一定能注意到 该算子描述的正是“切空间”上不同点处“法线方向”的行为。继而，可以得到一个符合逻辑、并且无论对未来纯粹抽象的数学分析还是实际的物理学分析同样具有“启示意义”的重要推论：如果给定3维几何空间中仅仅存在一个由双旋度算子构造的微分方程，那么，这个单独的微分方程永远不可能对物质场的行为做出具有“完整”意义的描述。事实上，几乎总可以相信：一个真正合理的科学陈述的形式表述尽管可能十分复杂，但本质上仍然是素朴、自然和可解释的，与被描述的“物理实在”保持抽象一致。当然，在自然科学研究中，如果一个陈述系统必须放弃“可解释性”原则和需要依赖于“直觉顿悟”才可能存在，那么，几乎可以立即断言：这一定是一个“伪科学”的陈述系统。
2 定义于空间任何点处的微分方程，表现的仍然函数在整个空间域中需要遵循的“空间变化”特征。因此，在向量场能够满足“散度恒为零”条件的时候，式（3）所示的形式变换仍然适用于整个空间域。但是，问题仍然在于讨论“数学物理模型”曾经指出的：“微分方程”与微分方程构造的“定解问题”属于两个不同的数学命题。单纯的微分方程无法形成一个完整的恰当数学模型。
一种相当奇怪的反常：该书连续列出两章，冠以“静电场边值问题（Boundary-Value Problem in Electrostatics: Ⅰ, Ⅱ）”的标题，以30页的篇幅不厌其烦地系统讨论了一个数学上过分简单的“如何求解静电场”问题；但是，在同一著述甚至没有列出“静磁场边值问题”的题目，而代之以“求解静磁场边值问题的方法（Method of Solving Boundary-Value in Magnetostatics ）”一个相当微秒的不同提法，在仅仅使用篇幅不到4页纸无疑过分简略和粗糙的讨论中，甚至出现讨论边值问题却“完全没有提及边界条件是什么、也无需使用边界条件”这样一种十分滑稽和尴尬的局面。这样，该著述其实是以一种并不“光明磊落”的方式，掩饰经典电磁场理论涉及“静磁场分析”这个最重要命题中实际存在的暂时认识困惑或逻辑悖论。[2]
由于理论体系数学基础的问题没有真正解决，类似的情况必然会同样出现于许许多多的其它电磁场理论著述中。或许可以相信，涉及静磁场理论体系的探讨，J. A. Stratton 在20世纪40年代撰写的《电磁场理论》，即使经历了半个多世纪并且再版多次，仍可视为反映经典理论实际最高水平的一本优秀著述。但是，因为与双旋度Poisson 方程相关的一系列基本数学问题并没有真正解决，所以除了积分表述的习惯构造过程存在某些疏忽或逻辑不当以外，人们至今没有意识到“泛定方程齐次形式的解怎样才能满足恒为零条件”的问题与“如何为泛定方程构造恰当边界条件”的问题，尽管彼此关联但并不能真正成为逻辑上的“等价性”命题。其中，特别在讨论前一命题时通常会出现不具“确定性”意义的多个不同答案，如果将其中的某一个答案简单套用至后一命题之中，必然导致逻辑紊乱。正因为此，如何为双旋度Poisson 方程构造恰当数学模型，这个对于合理构建“静磁场理论”至关重要的数学基础问题至今没有真正得到解决。[3, 4, 7, 9]
当然，由于“静磁场”的相关数学基础尚未“完整、合理和稳定”地建立起来，如何进一步描述“动态电磁场”、建立数学上可以求解的恰当数学模型的一般性问题更不可能得到解决。作为理性重建电磁场体系一个必要的认识基础，此处首先大致罗列经典理论讨论双旋度Poisson 方程若干主要结果中几乎显然存在的“逻辑不自洽”问题。
2.1 求解双旋度Poisson 方程习惯使用的“正则规范”隐含“逻辑自悖”的问题
在求解借助于式（4）的一般性表述、关于矢量势函数Ψ的双旋度Poisson 方程时，如果允许首先“不加证明”地承认双旋度Poisson 方程满足关于该矢量势散度所作的任意假设
?=??postulate Ψ (8)
式右为人为设定的标量函数。但是，从“一般常理”或者“素朴逻辑”出发，可以立即推知：即使这个假设充分合理，但是，作为双旋度Poisson 方程的特定数学属性仍然无法泛化为无需任何“逻辑前提”的“普遍性（Universal ）”特征。也就是说，这个合理假设仍然必须逻辑地隶属于双旋度Poisson 方程，即
f =×?×?<
此处，有意使用符号“<<”特指某种“特性”隶属于某个“客体”的逻辑关联。显然，如果与“集合论”中通常使用形式逻辑符号“∈”表示“某个元素作为某元素集合中的一个”相比，它们在逻辑上表示两个完全不同的概念。
于是，根据形式逻辑，一定根据式（7）所示的正则规范，将双旋度Poisson 方程转化为一般形式的向量Poisson 方程
f f =??→=×?×?ΨΨ2.Canonical (10)
那么，原来只允许隶属于双旋度Poisson 方程的正则假设，随着双旋度Poisson 方程变换为其它形式的方程在逻辑上同样已经不复存在。因此，问题远不仅仅在于像文献[1]特地指出的：需要考虑如何为“仅仅属于双旋度Poisson 方程”的正则假设补充一个数学上必需的“合理性”证明；其实，一个
更为关键的问题在于：仍然不允许根据正则假设的“合理”存在，就能够将双旋度Poisson 方程转化为一般形式的向量Poisson 方程。因为拥有某种形式特征的“逻辑主体”一旦失去，那么，从属于该逻辑主体的“形式特征”必将自然消失。否则，如果还继续沿用那个最初必须“条件存在”的形式特征，相关的形式系统必然陷入悖谬之中。
因此，不难形成一种“准确”的判断：在经典理论中，那种“依赖正则规范将双旋度Poisson 方程变换为一般Poisson 方程”的习惯做法，本质地处于严重“逻辑自悖”之中。与此同时，几乎可以立即做出另一个“大致合理”的推测：在经典理论中，不仅对“双旋度Poisson 方程为什么能满足式（7）所示正则规范的真正原因”缺乏深刻的理解，而且，对于式（8）可能蕴含的“丰富数学内涵和物理基础实在”至今处于完全“懵然无知”的状态。当然，这些自然成为“人们不可能真正揭示Maxwell 理论体系数学上无法求解”的重要原因。
2.2 双旋度Poisson 方程两种经典积分表述之间的逻辑不相容问题
从形式逻辑的角度考虑，施加于连续可微函数的“微分运算”以及作为其“逆运算”的重新积分，本质上隶属于“线性运算”范畴。因此，如何为线性微分方程构造逻辑上与其等价的恰当“积分”表述，往往成为揭示微分方程内蕴的基本数学特征、进而考虑如何为微分方程构造恰当“定解问题”时的基本途径和一种最有效的研究方法。事实上，经典理论在讨论双旋度Poisson 方程，寻找与其保持逻辑相容的边界条件的时候，为该方程构造恰当积分表述的问题同样成为人们习惯使用的基本方法。
在相关经典分析中，通常存在两种不同形式的积分表述。第一种形式的积分表述属于微分方程理论通常所说的0阶积分表述，经典理论通常使用的结果是 ∫∫??××+×?×+???=V V
dA E E E dV E w ])()([)(ΨΨΨΨn n n f x (11)
式中，E 为Poisson 方程的基本解；而系数w 称之为权函数，仅仅决定于与自变量x 相对应“几何点”所处的空间位置以及包容该几何点“无穷小定义域”的几何特征。另一种形式的积分表述为1阶积分表述，经典理论使用的结果是 ∫∫??×??+?××?×??×=×?V V
dA E E dV E w ])[()(ΨΨΨn n f x (12)
在一些经典著述中，还往往把此处所述的第二种积分表述称之为“广义Biot-Savart 公式”。
但是，通过直接考察上述积分方程或者只需要进行简单的微分运算，就不难发现以上经典表述实际上隐含一系列逻辑不当乃至逻辑悖论的问题。
首先，如果对式（11）所示的势函数Ψ作旋度运算，其结果与式（12）直接给出的矢量势旋度?×Ψ并不相等，即
)12(.)11(.)()]([ equ equ w w x x ΨΨ×?≠×? (13)
从形式逻辑考虑，这通常意味着其中最少有一个积分表述并不恰当。
此外，经典理论在推导0阶积分表述的过程中，使用了“矢量势散度??Ψ等于零”的人为假设。但是，如果像经典电磁场理论所述，有时候还需要使用诸如Lorentz 规范那样的人为假设，令矢量势的散度??Ψ等于一个不为零的给定量，那么，在这种情况下此处的积分表述还适用吗？如果不再适用，合适的替代方程是应该什么呢？
再其次，如果考察式（11）所示的0阶积分表述，人们发现并不能对边界条件允许的恰当形式
做出具有决定意义的推断。事实上，构造相关积分表述时一旦使用或默认类似于式（8）这样的正则假设，那么，直接以矢量势Ψ或它的分量作为定解条件往往都是不恰当的，即
V Irrational ?∈?
??×?x x n x n )()(:ΨΨ (14) 或者说，对边界上的矢量势做出的任何限制都可能与正则假设形成矛盾。同样由于这个问题缺乏较为深入的分析，经典理论在论述静磁场定解问题恰当边界条件时往往隐含某种认识紊乱。其实，因为无需也不能直接表述静磁场的矢量势A ，所以才可能满足通常使用正则规范必需的前提条件；那么，作为一个自然的逻辑推论：无需也不能直接将矢量势A 或它的任何分量用作边界条件。[3]
与经典理论积分表述逻辑不当相关的最后一个问题，则完全出现于第二类积分表述之上。人们不难发现：这个积分表述的封闭边界积分仅仅有3个“独立”的标量分量，不允许再“自由”地设置任何形式的量作为边界条件，否则，构成矛盾方程。也就是说，经典理论中的第二类积分表述本质上已经蜕化为一个附加的“约束”方程，因此，人们无法根据这个积分表述考虑如何构造恰当边界条件问题。
毫无疑问，由于属于数学自身的一系列纯粹形式逻辑问题没有得到解决，如何给双旋度Poisson 方程的恰当边界条件赋予确定的物质内涵，从而使整个数学表述相应成为具有实际意义的物理学陈述，这样一个对于自然科学研究无疑更为重要的问题同样无从谈起。
3. 双旋度Poisson 方程积分方程的重新构造和矢量势任意散度假设的“自适定性”证明
始终可以相信：只要相关数学推导的每一步能够真正符合逻辑，或者说，在逻辑推理过程中的每一步，都能够切实关注和严格遵守必须满足的前提条件，那么，消除经典理论体系中的那些认识困惑以及逻辑悖论没有任何本质意义的困难。当然，这个对整个自然科学体系具有普遍意义的“一般性”论断，同样适用于此处需要解决的问题。据此，对于式（4）所示的一般性双旋度Poisson 方程，不难求得与其保持严格逻辑相容的两类积分表述，即 ∫∫??××+×?×+?????+=V V
dA E E E dV E E w ])()([)()(ΨΨΨΨn n n f x (15)
为重新构造的第一类积分表述，其中 ? 定义为一个任意给定的标量函数；而 ∫∫????×+?××?×??×=×?V V
dA E E dV E w ])()[()(ΨΨΨn n f x (16)
则是重新构造的第二类积分表述。
首先，可以直接验证：如果对第一类积分表述施加旋度运算，其结果恰恰等于第二类积分表述。于是，两类积分表述能够在严格意义上保持逻辑相容。
其次，对第一类积分表述作散度运算，可以得到
V ∈?≡??x x ,)(Ψ (17)
显然，从形式逻辑考虑，这是一个重要的关系式。因为积分表述（15）已经对标量函数 ? 事先做出满足“任意性”要求约定，所以对于“单个（Singular ）”双旋度Poisson 方程所制约的矢量势Ψ而言，自然能够满足“任意给定散度假设”的“自适定性”要求。或者说，对于文献[1]针对式（8）所示的正则规范是否合理的质疑，这个关系式相应提供了一个必要的补充证明。
继而，考虑到场分析中的Gauss 公式
∫∫??=??V
V dA dV ΨΨn (18) 人们可以立即逻辑地推知：无论任意给定的标量函数 ? 等于什么，恒等于零还是对应于任何其它形式的分布，但是，边界上矢量势的法向分量n ?Ψ只允许被纳入“待定量（即从属量）”的范畴，而绝对不能将其用作边界条件，否则与式（17）所构造的“自适定性”方程矛盾。
最后，如果直接考察第二类积分表述，人们还可以发现隶属于双旋度Poisson 方程一种特别的“几何”属性：除了决定于源项f 的体积分允许被视为某种“固定不变”的存在以外，边界积分中的矢量势或矢量势的旋度仅仅出现“切向”分量，因此，如果允许使用现代微分几何的语言，该积分表述被定义于有限大几何域V 边界的“切空间”之内。也就是说，双旋度Poisson 方程以及与其严格逻辑相容的积分表述，本质上只是构造了一个属于“2维Riemann 空间”的约束方程。
4. 双旋度Poisson 方程内蕴的“欠定性”特征
在进一步考虑怎样才能为双旋度Poisson 方程构造恰当“定解问题”以前，针对式（17）所显示的“自适定性”特征，以及这个“特殊属性”可能隐含怎样的抽象数学内涵问题，值得人们给予特别的关注。根据显而易见的逻辑关系，在人们仅仅把双旋度Poisson 方程定义为某一个恰当“定解问题”中“唯一”一个泛定方程的时候，因为矢量势的散度??Ψ不具“确定性”意义，所以作为该泛定方程中因变量的矢量势Ψ本身同样不可能具有“确定性”意义。
事实上，如果注意到在式（16）所示的第二类积分表述中，甚至没有出现矢量势的散度??Ψ，那么，可以断言：即使已经确定相关数学模型中的恰当边界条件，但是如果只允许使用“单个”双旋度Poisson 方程作为这个“数学模型”中的泛定方程，那么，能满足“唯一性”条件的待定变量只可能是矢量势的旋度，即
ΨΨ×?→=×?×? B.C. Proper f (19)
等价地说，无论人们补充怎样的边界条件，对于由“单个”双旋度Poisson 方程所构造的“定解问题”而言，泛定方程中“显式”出现的矢量势Ψ始终是一个“不确定”的函数。这就是此处所说双旋度Poisson 方程本质蕴含的“欠定性”特征。
值得指出，对于双旋度Poisson 方程对矢量势Ψ固有的“欠定性”特征必须形成一种稳定的理性判断。在未来需要探讨“如何恰当构造动态电磁场基本方程”这个基本命题的时候，此处的理性判断具有重要的启示意义。众所周知，经典电磁场理论体系在讨论如何为“动态电磁场”构造恰当数学模型的时候，曾经出现如下形式的方程 f A A =??+×?×?2221t
c (20) 式中，A 为矢量势，至于向量分布f 可以暂时视为某一个“有待确定”的源项。显然，在这个形式表述中，时间导数项?2A /?t 2不允许仅仅定义在矢量势的旋度?×A 之上，必须直接定义于矢量势A 自身。因此，对照此处所说“单纯双旋度Poisson 方程”对矢量势固有的“欠定性”特征，人们可以立即推知：如果只允许从式（20）所示的微分方程出发，以其作为进一步构造“动态电磁场基本方程”或“电磁波基本方程”的唯一基础，那么，无论后续的推导是否恰当，在逻辑上已经前提性地陷入认识悖谬之中。
5. 与双旋度算子相关的第一种“数学物理模型”的恰当构造
众所周知，诸如“静磁场”理论这样的物理学研究，在需要使用双旋度Poisson 方程刻画“物质场”行为的许多场合，的确无需（其实并非无力）确定矢量势Ψ本身，而仅仅需要对矢量势的旋度?×Ψ做出必须满足“唯一性”要求的有意义描述。于是，在这种特定情况下，根据式（16）所示的
第二类积分表述可以直接推知，一个与双旋度Poisson 方程相关的“数学物理模型”或“边值问题”的恰当提法只能是
?
???∈=×?×=×?×?×?=V x h n f ΨΨΨ:? (21) 在这个特定的数学物理模型中，有意识地明确指出：此时需要和可能求解的仅仅是矢量势的旋度?×Ψ，至于矢量势Ψ本身则不能成为满足“唯一性”要求的解，相应不具特定的物理意义或物理内涵。当然，也仅仅因为此，即使从纯粹形式逻辑的角度考虑，也不允许使用类似于n ×Ψ这样一些自身不具确定意义的形式量用作边界条件。
具体求解这个特定数学物理模型时，如果需要使用式（15）所示的第一类积分表述，那么，还可以将上述模型改写为一种等价形式
??
????∈=×?×?=??=×?×?×?=V
x h n f ΨΨΨΨ)(:? (22) 其中，? 为人为任意给定的标量函数。显然，在这个等价表述中，矢量势Ψ只不过是相关计算过程中需要出现的一个中间变量，自身没有特定的物理内涵。或者说，这个数学物理模型需要求解和能够求解的仍然只是矢量势的旋度?×Ψ，而不是矢量势Ψ本身。
值得再次指出，之所以在式（22）所示的边值问题中，容许对矢量势散度??Ψ提出任意的人为设定，逻辑地依赖于式（17）所示的“自适定性”特性，当然，这个特定的数学性质同样只能逻辑地隶属于双旋度Poisson 方程。如果人为改变泛定方程的数学表述形式，那么，这个仅仅隶属于双旋度Poisson 方程的特定数学特征也不复存在。因此，绝对不允许像经典理论通常所做的那样，将双旋度Poisson 方程构造的定解问题变换为一般Poisson 方程构造的定解问题。事实上，与一般矢量Poisson 方程相关的恰当定解问题只能是
??
????∈=???∈==??212V V x b n x a f ΨΨΨ (23)
显然，这个数学模型直接定义于矢量函数Ψ之上。而且，由于边界条件的形式完全不同，与前面所述由双旋度Poisson 方程构造的数学物理模型相比，两种数学模型之间甚至不具可比性。“皮之不存、毛将焉附”。随着双旋度Poisson 方程不再存在，那么，原来属于这个特定数学表述形式的所有特定数学特征也必然逻辑地不再存在。当然，绝不允许根据双旋度Poisson 方程关于矢量势任意散度假设的自适定性，而否定拥有这种“特定”属性的“特定”形式表述。
6. 与双旋度算子相关的第二种“数学物理模型”的恰当构造
毋庸置疑，作为上述分析一个十分自然的推论，必然存在另一个具有独立形式意义以及相应被赋予独立物理内涵的数学物理模型
??
????∈=×?×?
=??=×?×?=V x h n f ΨΨΨΨ:? (24) 此时，矢量势的散度??Ψ不能继续作为任意的“人为假设”而存在。或者说，随着矢量势的散度被赋予确定的物理内涵，矢量势Ψ自身也相应被赋予确定的物理内涵。因此，与是（22）所示的数学物理模型完全不同，这个恰当的定解问题需要和能够“唯一”确定的已经不再仅仅是矢量势的旋度
?×Ψ，而重新恢复为矢量势Ψ自身
特别需要注意，在这个重新构造的数学物理模型中，泛定方程已经不仅仅是式（4）所示的“单个”双旋度Poisson 方程，变化为同时定义于整个空间域V 中“两个”需要被赋予“实在意义（物理内涵）”的泛定方程组合，即
3R V ?∈????
=??=×?×?ΨΨf (25) 正因为此，隶属于“单个”双旋度Poisson 方程的“矢量势欠定性特征”也逻辑地随之消失。3
如果根据此处获得的一系列结果，重新考察式（20）所示经典电磁场理论体系通常使用的波动方程，那么，不难做出符合逻辑的合理推测：在需要描述“动态电磁场”或“电磁波”现象时，与空间域V 中这个由“双旋度算子”所构造的泛定方程相伴，必然还存在另一个与“矢量势散度”相关并且必然蕴含某种特定“物质内涵”或者必须被赋予“实体论”基础、然而至今人们尚未觉察到的泛定方程。否则，无论补充怎样的边界条件，与“电磁波”相关的数学模型始终是“欠定”的。
7. 恒稳磁场数学模型的严谨化思考
本质上由于涉及双旋度Poisson 方程的一系列数学基础问题没有得到解决，正如前面讨论已经提到的那样，在如何为静磁场理论体系构造恰当数学物理模型方面，实际上存在许多需要进一步“严谨化”的问题。
7.1 静磁场恰当边值问题的建立
人们熟知，在构建经典电磁场理论体系的历史进程中，作为“静磁场”分析的基本方程，并非如下所示直接建立在磁场B 之上的Ampere 定律
J B 0μ=×? (26)
构建静磁场理论体系的全部基础，是下述Biot-Savart 公式所表示的经验事实 ∫×=V dV r 3
)(4)(r x J x B πμ (27) 式中，r 为场点x 与源点x ’ 间的距离。并且，由此可以形式地引入一个相关的等价性表述 ∫=×?=V dV r 14)(:)(0
J x A A x B πμ (28)
式中A 为静磁场的矢量势。
在研究任何形式“物质场”的时候，为了表现物质场在其所处空间域中任意一点处具有的“共性”特征，需要首先构造恰当定解问题中一个“泛定”的微分方程。用以描述“静磁场”的泛定方程，必须将矢量势A 直接定义为因变量
J A 0μ=×?×? (29)
由于在静磁场理论中通常只关注或仅仅需要求解磁场B ，对照式（21）所示的恰当数学模型可知，一个本质上用以求解静磁场矢量势旋度?×A 的相关定解问题为
3 有关双旋度Poisson 方程最初的若干具体分析请参见文献[5]。附带指出：除了个别结论需要进一步完善，一系列彼此关联的主要研究结果已经由笔者的工作助手完成了数值计算验证，与数值计算相关的论文已于前些年公开发表。
?
??μ=×?×μ=×?×?×?=j A n J A A 00:? (30) 并且，此处给出的恰当边界条件明确地告诉人们：该数学物理模型所描述的静磁场B ，不仅仅属于空间域给定的电流分布J ，它还逻辑地包含了边界电流分布j 相应做出的贡献。
7.2 若干需要注意的问题
仍然归咎于与双旋度Poisson 方程相关的一系列数学基础问题没有真正得到解决，若干与静磁场数学模型相关的问题需要作进一步的澄清。
（1）定解问题的恰当形式问题
首先，在诸如[2]这样一些有影响的经典电磁场理论著述中，往往根据“双旋度Poisson 方程齐次形式解的恒为零条件”的分析，还同时给出另一种形式的边值问题
???=×μ=×?×?×?=b
A n J A A 0:? (31) 但是，这个数学模型本质上是无意义的。从形式逻辑考虑，边界条件与该数学模型无需也无力确定矢量势之间隐含逻辑悖论；从物理理念考虑，无法为矢量势在边界上的切向分量n ×A 直接提供确定的物质内涵。4
（2）另一个独立数学物理模型的提出
事实上，尽管静磁场只需要关注矢量势的旋度?×A 或磁场B ，但是与电磁场相关的许多现代研究都表明，矢量势A 本身往往包容更多有用的信息，相应成为比磁场B 更为基本的物理量。因此，理论上值得进一步探讨：静磁场中的矢量势A 逻辑上是否隐含某种“确定性”的意义，或者说，静磁场的矢量势在物理上能否与某种特定的“物质内涵”构成确定逻辑关联？
对于此处所提的质疑，答案是肯定的。事实上，对于任何一个使用严格的数学语言，亲身经历从式（27）所示Biot-Savart 公式到式（26）所示Ampere 定律整个推导过程的研究者都知道，一个与矢量势散度相关中的中间表述是 ]''11[4 ']'1)1('[4)(00∫∫∫?????=??????
=???V V
V dV r dA r dV r r J J n J J x A πμπμ (32) 其中，第一项封闭边界积分恒为零，与边界上不允许存在法向电流分量一个“合理和自然”的要求相对应；式中的第二项体积分同样等于零，决定于恒稳电流的电荷守恒定律。这样，在静磁场的经典分析中，被人们习惯称作的正则假设
0postulate
=??A (33) 原则上已经不允许继续被视为某种人为假设，静磁场矢量势散度等于零实际上是一个确定的物理学陈述，被赋予实实在在的物质意义或物理内涵。因此，对照式（24）所示的恰当边值问题可知，在描述静磁场的时候，相应存在一个直接定义在静磁场矢量势A 之上如下所示的数学模型
4 注意，并不能由此作“一般性”断言：矢量势A 本身没有确定的“物质内涵”或缺乏“实体论”的支撑。不仅现代量子力学已经指出，在许多相关的物理现象中都需要把矢量势A 视为一个基本物理量，而且，在需要形式地表现电磁波时，矢量势A 同样被赋予确定的物理内涵。当然，与科学陈述必需的逻辑相容性一致，出现于静磁场中的矢量势A 其实同样隐含属于相关物理现象自身的某种确定物理内涵。
??
???μ=×?×=??μ=×?×?=j A n A J A A 000
:? (34) 显然，该数学模型仍然与式（30）构造的定解问题保持严格逻辑相容。而且，人们还可以推测：这个与实际物理内涵更为一致的数学模型，一定相应隐含格外丰富的有用信息。
（3）一个“自然”的后续质疑：静磁场模型能否进一步延拓至“动态磁场”分析？
此处重新假设：如果给定的电流分布J 处于“非恒稳”状态，式（32）中的体积分项不再恒等于零。于是，不妨引入一个符号，形式地表示这个由于电流“动态变化”而出现的附加项 ),(140
t dV r V x J ?πμ=??∫ (35)
那么，人们几乎会十分自然提出：在这种情况下，能否继续沿用前面讨论的恰当边值问题，相应构造如下所示的数学物理模型
??
???μ=×?×?
=??μ=×?×?=j A n A J A A 00:? (36) 进一步用于描述“动态电流”激发的“动态磁场”呢？
对于这个看似自然的质疑，答案是否定的；而这样的否定才是真正自然的。需要注意：式（24）所示的边值问题定义于纯粹空间域之中，只允许描述时间域中处于不变状况的物质场状况。人们必须始终牢牢记住：在自然科学研究的逻辑推理过程中，逻辑推论永远不可能超越逻辑前提；超越逻辑前提和不讲条件的“无穷演绎”已经谈不上逻辑，只可能引起认识的紊乱。
8. 合理形式表述“整体观”和“局限性”的辩证统一
以上的所有分析属于纯粹形式逻辑的范畴。事实上，人们不难发现：自然科学陈述对于“理性”的全部诉求，正本质地蕴含于对“逻辑 —— 无矛盾”的诉求之中。因此，仍然值得从纯粹逻辑思考的角度，探询自然科学中任何一个合理形式表述系统几乎必然存在的“整体性”要求与“局部性”限制，以及两种特征之间辩证统一的问题。也只是因为此，自然科学中的某些陈述系统尽管逻辑上并不完备，却仍然具有实际应用价值。
面对无尽大自然，人们永远无法穷尽物质世界的真实。另一方面，为了对某个物理现象能够做出人们期待中具有“确定意义”的描述，一个由微分方程构造的完整数学物理模型几乎必然建立在一个“有限论域”之中。反过来，当人们期望使用这样的形式表述系统，描述特定“体积域”中发生的物理现象时，定义于该体积域之中的泛定微分方程与仅仅定义在该体积域边界上的边界条件必须逻辑相容，以保证它们同属于一个相同的物理现象。事实上，完全依赖于同一个函数在体积域及其边界分布之间必须的逻辑联系，才可能建立的如式（15、16）等积分表述以及与其保持逻辑相容的如式（21、24）构造的恰当定解问题，相应刻画同一个函数不同分布之间的某种“整体性”关联以及确定论域给予的“有限性”限制，并且处于相互支撑的辩证统一之中。同样因为此，才可能如人们熟知的那样，在许多数学物理方程著述中，微分方程得到“恰当定解问题”往往又被赋予“完整数学模型（complete mathematical model ）”这样一个完全等价的称呼。
基于完全同样的道理，类似于式（10）所示的“正则变换”只可能在“局部”意义上，即体积域“内部”满足逻辑推理必需的“无矛盾性”条件，却破坏了边界上同样必须满足的“一致性”要求。当然，这种“部分逻辑相容”的形式变换在逻辑上是不允许的，造成数学模型的“整体”无法求解的结果。但是，如果将相关讨论严格限制在无需考虑“边界”行为的“无穷大域”之中，或仅
仅讨论“一维表述”的特殊场合，那么，那个隐含“局部真理性”的模型又能相应揭示某些“局部意义”存在的物理实在。这样，对于文献[1]所揭示，电磁场经典理论一方面数学上不具可解性，另一方面仍然允许使用一般Laplace方程描述某些局部性的物理真实，才可能为这种看似矛盾的真实情况提供符合逻辑的合理依据。
9．关于双旋度Poisson方程研究现状的一个附带的“历史性”反思
虽然不应对“理论物理”和纯粹的“数学研究”作绝然区分，但是，仍然值得提醒人们注意这样一个事实：有关双旋度Poisson方程的讨论大都出现在理论物理的相关著述中，似乎很少有职业数学家愿意对这个被明显赋予“实体论”基础的重要数学命题进行严肃和深入的探讨。事实上，对20世纪的数学乃至整个现代自然科学研究持续发挥某种“导向性”影响的D. Hilbert，在其参与著名、但由R. Courant主编的《Methods of Mathematical Physics》鸿篇巨制中，甚至完全没有提及“双旋度算子与该算子所构造不同微分方程”的命题。
众所周知，除了称谓不同，Hilbert的“公理化体系”与“约定论”没有丝毫差别。然而，在自然科学研究或者逻辑推理过程之中，一旦允许随意引入纯粹“人为主观”的约定，已经逻辑地意味着“逻辑不复存在”的必然。其实，对于19世纪中叶的科学工作者实际上需要面对那个时代的数学根本不可能处理、甚至无法在形式上予以恰当表述的“双旋度算子”，以及由双旋度算子所构造微分方程的时候，经典理论中的“正则假设”，正由于像文献[1]所指出的那样，由于“缺乏严格数学证明和物理实在支撑”本质上仍然只是人们无奈做出的人为约定。任何形式的“人为约定”无疑可能暂时掩饰矛盾，但是，主观臆测终究不可能真正改变矛盾存在的客观事实。事实上，自然科学研究总会不断遇到矛盾，但是，人们始终可以理性地相信：对于任何形式“约定论”的纵容无异于纯粹的自欺。在这个意义上，Brouwer的“直觉主义”看似公开否定逻辑，却由于诚实地指出和承认“矛盾存在”的客观事实反而更接近真理。
事实上，在M. Kline所著《数学：确定性的丧失》一书中，如果说著者诚实地向人们告诫“整个数学大厦真实地面对由于容忍矛盾而必将坍塌”的危险；同时向人们描述关于“现代数学”这样一幅的图景：一方面《数学评论（美国）》每年至少发表12,000以上条“重大”数学创造，另一方面这些做出重大贡献的职业数学家完全不在乎这些创造“是对还是错”的问题，那么，造成这种荒唐局面的逻辑根源只在于对“约定论”的放纵。事实上，人们不能不询问：许许多多职业数学家们为什么无力拒绝形形色色“约定论”一种过分廉价的诱惑，沉迷于“过分虚幻”和根本无需“逻辑支撑”的思维“冲动和自由”之中，进行公然无视逻辑严谨性的“随意”创造？当然，反过来又为什么不能以一种主动、认真和严肃的态度，探讨如何克服数学自身的矛盾以及现代自然科学中许多与数学相关但至今并没有得到解决的实实在在命题呢？[5]
在20世纪末，发生了一场所谓的“科学大战”，相应对整个西方知识社会产生广泛和深刻的影响。人们指出，发起这场“科学保卫战”的目的在于：“保卫科学真理的客观性和符合逻辑的科学方法”。事实上，对于每一个诚实和严肃的科学工作者，已经无法回避自然科学需要重新面对“是否需要‘实体论’基础以及是否必须服从以‘逻辑相容性’为全部本质内涵的‘理性’原则”问题。当然，当“科学大战”的双方谁也说服不了谁，同样十分无奈地陷入发动“科学大战”的“科学卫士”曾经竭力反对的所谓“人文主义相互攻奸”的时候，其实，对于这些“内心渴望捍卫逻辑”的科学卫士，他们同样需要首先努力学会使用无歧义的“形式逻辑”语言以及严密的“演绎逻辑”武器，对他们无条件认同和捍卫的现代自然科学体系进行深刻反省。[6]
参考文献
[1]宋文淼，并矢格林函数和电磁场的算子理论，中国科技大学出版社，合肥，1993
[2]J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley, New York, 1997
[3]J. A. Stratton, Electromagnetic Theory, McGraw-Hill, New York, 1941
[4]Tung Tsang (Howard University, Washington USA), Classical Electrodynamics, World Scientific, 1997
[5]M?克莱因著，李宏魁译，数学：确定性的丧失，湖南科学技术出版社，长沙，2004
[6]索卡尔等原著，蔡仲、邢冬梅译，“索卡尔事件”与科学大战，南京大学出版社，南京，2002
[7]杨本洛，经典流体运动分析，科学出版社，北京，1996
[8]杨本洛，自然科学体系梳理，上海交通大学出版社，上海，2005
[9]杨本洛，量子力学形式逻辑和物质基础探析——现代自然科学基础的哲学和数学反思，上海交
通大学出版社，上海，2006
Construction of two tapes of proper boundary value problem based on bispinor Poisson’s equation and an exact model for
magnetostatic field
— The second part of formal-logic study about rationally rebuilding electromagnetic theory
Yang Benluo
Natural Science Foundation Research Group, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China
Email: blyang@https://www.wendangku.net/doc/5e16031752.html,
Abstract:Poisson’s equation using with bispinor operator is of indispensable significance for both the basic mathematic and physic application researches. But, some inconsistencies are implicated in the conventional conclusion and a lot of important propositions have not been conscious. In this paper, besides a series of improprieties of the classical theory will be pointed out, two tapes of properly posed boundary value problems will be supposed and, based upon which, an exact mathematical model for electromagnetic field will be presented.
Key words: bispinor operator, partial differential equation and its boundary value problem, electromagnetic field
数学建模常用模型方法总结精品
【关键字】设计、方法、条件、动力、增长、计划、问题、系统、网络、理想、要素、工程、项目、重点、检验、分析、规划、管理、优化、中心 数学建模常用模型方法总结 无约束优化 线性规划连续优化 非线性规划 整数规划离散优化 组合优化 数学规划模型多目标规划 目标规划 动态规划从其他角度分类 网络规划 多层规划等… 运筹学模型 （优化模型） 图论模型存 储论模型排 队论模型博 弈论模型 可靠性理论模型等… 运筹学应用重点:①市场销售②生产计划③库存管理④运输问题⑤财政和会计⑥人事管理⑦设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价⑧工程的最佳化设计⑨计算器和讯息系统⑩城市管理 优化模型四要素：①目标函数②决策变量③约束条件 ④求解方法(MATLAB--通用软件LINGO--专业软件) 聚类分析、 主成分分析 因子分析 多元分析模型判别分析 典型相关性分析 对应分析 多维标度法 概率论与数理统计模型 假设检验模型 相关分析 回归分析 方差分析 贝叶斯统计模型 时间序列分析模型 决策树 逻辑回归
传染病模型马尔萨斯人口预测模型微分方程模型人口预 测控制模型 经济增长模型Logistic 人口预测模型 战争模型等等。。 灰色预测模型 回归分析预测模型 预测分析模型差分方程模型 马尔可夫预测模型 时间序列模型 插值拟合模型 神经网络模型 系统动力学模型(SD) 模糊综合评判法模型 数据包络分析 综合评价与决策方法灰色关联度 主成分分析 秩和比综合评价法 理想解读法等 旅行商(TSP)问题模型 背包问题模型车辆路 径问题模型 物流中心选址问题模型 经典NP问题模型路径规划问题模型 着色图问题模型多目 标优化问题模型 车间生产调度问题模型 最优树问题模型二次分 配问题模型 模拟退火算法(SA) 遗传算法(GA) 智能算法 蚁群算法(ACA) (启发式) 常用算法模型神经网络算法 蒙特卡罗算法元 胞自动机算法穷 举搜索算法小波 分析算法 确定性数学模型 三类数学模型随机性数学模型 模糊性数学模型
常微分方程在数学建模中的应用.
微分方程应用 1 引言 常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具. 数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题. 因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用. 2 数学模型简介 通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助． 建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节． 3 常微分方程模型 3．1 常微分方程的简介
数学建模例题及解析
。 例１差分方程—-资金的时间价值 问题1：抵押贷款买房——从一则广告谈起 每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告（这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告）,任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢？为什么每个月要付12０0元呢？是怎样算出来的?因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房的价格），如果自己只能支付一部分款,那就要把其余的款项通过借贷方式来解决,只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。 a。明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用记; 月利率(贷款通常按复利计）用R记； 每月还多少钱用x记; 借期记为N个月。 b.建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数,则一个月后（加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总的欠款为 ｋ=0，1，２，３， 而一开始的借款为.所以我们的数学模型可表述如下 (1) c. （1)的求解。由
（2）这就是之间的显式关系。 d.针对广告中的情形我们来看（１）和（2）中哪些量是已知的。Ｎ=5年=60个月，已知;每月还款x＝１20０元，已知Ａ.即一次性付款购买价减去７０000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率Ｒ也没告诉你,这造成了我们决策的困难.然而,由（2）可知6０个月后还清,即,从而得 (3） A和x之间的关系式，如果我们已经知道银（３)表示Ｎ=6０,x=1２00给定时0 A。例如，若Ｒ=0．01,则由(3)可算得行的贷款利息R，就可以算出0 5３94６元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70０0０十53946＝12３946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或Maｔheｍａtiｃa这样的 数学软件可把（3）的图形画出来,从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑下面两个问题。 注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用某种不动产（包括房子的产权）作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。 例题１某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款６000０元，月利率0.01，贷款期25年=300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这对
数学建模之微分方程建模与平衡点理论
微分方程 列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建 立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对 微元而不是直接对函数及其导数应用规律。 （3）模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有 所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能 近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性 质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。 一、模型的建立与求解 1.1传染病模型 （1）基础模型 假设：t时刻病人人数() x t连续可微。每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0 t=时有0x个病人。 +?病人人数增加 建模：t到t t
()()()x t t x t x t t λ+?-=? （1） 0,(0)dx x x x dt λ== （2） 解得： 0()t x t x e λ= （3） 所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。 （2）SI 模型 假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。 2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。有效接触后健康者变为病人。 依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)* λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模： di N Nsi dt λ= （4） 由于 ()()1s t i t += （5） 设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型 0(1),(0)di i i i i dt λ=-= （6）
第1章 数学建模与误差分析
第1章数学建模与误差分析 1.1 数学与科学计算 数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。 科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。 随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。 1.2 数学建模及其重要意义 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，然后将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到欲求解问题的解析解或数值解，最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。本章主要介绍数学建模基本过程和求解数学问题数值方法的误差传播分析。 1.2.1 数学建模的过程 数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成。数学建模过程如图1.2.1所示，数学模型求解方法可分为解析法和数值方法，如图1.2.2所示。 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳。数学模型的求解方法则属于演绎。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象做出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只有在这个前提下
数学建模——微分方程的应用
第八节 数学建模——微分方程的应用举例 微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程的实际应用，尤其是微分方程经济学中的应用. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力. 分布图示 ★衰变问题 ★逻辑斯谛方程 ★价格调整问题 ★人才分配问题 内容要点： 一、衰变问题 镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量, 这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知, 衰变速度与现存物质的质量成正比, 求放射性元素在时刻t 的质量. 用x 表示该放射性物质在时刻t 的质量, 则 dt dx 表示x 在时刻t 的衰变速度, 于是“衰变速度与现存的质量成正比”可表示为 .kx dt dx -= (8.1) 这是一个以x 为未知函数的一阶方程, 它就是放射性元素衰变的数学模型, 其中0>k 是比例常数, 称为衰变常数, 因元素的不同而异. 方程右端的负号表示当时间t 增加时, 质量x 减少. 解方程(8.1)得通解.kt Ce x -=若已知当0t t =时, ,0x x =代入通解kt Ce x -=中可得,00kt e x C -= 则可得到方程(8.1)特解 ,)(00t t k e x x --= 它反映了某种放射性元素衰变的规律. 注: 物理学中, 我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期, 不同物质的半衰期差别极大. 如铀的普通同位素( U 238)的半衰期约为50亿年;通常的镭( Ra 226)的半衰期是上述放射性物质的特征, 然而半衰期却不依赖于该物质的初始量, 一克Ra 226 衰变成半克所需要的时间与一吨Ra 226衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年, 正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳-14测验的基础.
数学建模之微分方程建模与平衡点理论
微分方程 列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。 （3）模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。 一、模型的建立与求解 1.1传染病模型 （1）基础模型 假设：t 时刻病人人数()x t 连续可微。每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0t =时有0x 个病人。 建模：t 到t t +?病人人数增加 ()()()x t t x t x t t λ+?-=?（1） 0,(0)dx x x x dt λ==（2） 解得： 0()t x t x e λ=（3） 所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。 （2）SI 模型
假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。 2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。有效接触后健康者变为病人。 依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)*λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模： di N Nsi dt λ=（4） 由于 ()()1s t i t +=（5） 设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型 0(1),(0)di i i i i dt λ=-=（6） 解得： 01()111kt i t e i -= ??+- ??? （7） 用Matlab 绘制图1()~i t t ，图2 ~di i dt 图形如下， 结论：在不考虑治愈情况下
扩散问题的偏微分方程模型,数学建模
第七节 扩散问题的偏微分方程模型 物质的扩散问题，在石油开采、环境污染、疾病流行、化学反应、新闻传播、煤矿瓦斯爆炸、农田墒情、水利工程、生态问题、房屋基建、神经传导、药物在人体内分布以及超导、液晶、燃烧等诸多自然科学与工程技术领域，十分普遍地存在着. 显然，对这些问题的研究是十分必要的，其中的数学含量极大. 事实上，凡与反应扩散有关的现象，大都能由线性或非线性抛物型偏微分方程作为数学模型来定量或定性地加以解决. ＭＣＭ的试题来自实际，是“真问题⊕数学建模⊕计算机处理”的“三合一”准科研性质的一种竞赛，对上述这种有普遍意义和数学含量高，必须用计算机处理才能得到数值解的扩散问题，当然成为试题的重要来源，例如，ＡＭＣＭ-90Ａ，就是这类试题；ＡＭＣＭ-90Ａ要研究治疗帕金森症的多巴胺（dopamine ）在人脑中的分布，此药液注射后在脑子里经历的是扩散衰减过程，可以由线性抛物型方程这一数学模型来刻划. ＡＭＣＭ-90Ａ要研究单层住宅混凝土地板中的温度变化，也属扩散（热传导）问题，其数学模型与ＡＭＣＭ-90Ａ一样，也是线性抛物型方程. 本文交代扩散问题建模的思路以及如何推导出相应的抛物型方程，如何利用积分变换求解、如何确定方程与解的表达式中的参数等关键数学过程，且以ＡＭＣＭ-90Ａ题为例，显示一个较细致的分析、建模、求解过程. §1 抛物型方程的导出 设(,,,)u x y z t 是t 时刻点(,,)x y z 处一种物质的浓度. 任取一个闭曲面S ，它所围的区域是Ω，由于扩散，从t 到t t +?时刻这段时间内，通过S 流入Ω的质量为 2 221(cos cos cos )dSd t t t S u u u M a b c t x y z αβγ+????=++???? ??. 由高斯公式得 2222 221222()d d d d t t t u u u M a b c x y z t x y z +?Ω ???=++???? ???. （1） 其中，222,,a b c 分别是沿,,x y z 方向的扩散系数. 由于衰减（例如吸收、代谢等），Ω内的质量减少为 2 2d d d d t t t M k u x y z t +?Ω =? ???， （2） 其中2 k 是衰减系数. 由物质不灭定律，在Ω内由于扩散与衰减的合作用，积存于Ω内的质量为12M M -. 换一种角度看，Ω内由于深度之变化引起的质量增加为 3[(,,,)(,,,)]d d d d d d d . (3)t t t M u x y z t t u x y z t x y z u x y z t t Ω +?Ω =+?-?=????? ??? 显然312M M M =-，即
数学建模之差分方程
差分方程模型 ①建立差分方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立差分方程模型。 一阶常系数线性差分方程的一般形式为 1(),(0)t t y ay f t a +-=≠（1） ②求解一阶常系数齐次线性差分方程 10,(0)t t y ay a +-=≠（2） 常用的两种解法 1）迭代法 假设0y 已知，则有 2112210(),n n n n n n y ay a ay a y a y a y ----====== 一般有 0(0,1,2,).t t y a y t == 10t t y ay +-=（3） 2）特征方程法 假设 (0)t Y λλ=≠ 为方程（3）的解，代入（3）得方程的特征方程 10(0),t t a λλλ+-= ≠ 解得特征根：.a λ= 则t t y a =是方程（3）的解，所以齐次方程的通解为 (t t y ca c =为任意常数) 例题： 设某房屋总价为a 元,先付一半可入住,另一半由银行以年利r 贷款, n 年付清，问平均每月付多少元？共付利息多少元？ 解：设每月应付x 元，月利率为12 r ，则第一个月应付利息为 1.12224 r a ra y =?=
第二月应付利息为 2111,2121212a r r rx y x y y ????=-+?=+- ? ????? 以此类推得到 11,1212t t r rx y y +??=+- ??? 此方程为一阶常系数非线性差分方程。其相应的特征方程为 (1)012 r λ-+= 特征根为112 r + 则得到通解为 1(12t t r y c c ??=+ ??? 为任意常数). 解得特解为 t y x *= 所以原方程通解为 112t t r y c x ??=++ ??? 当112224r a ra y =?=时，解得24112 ra x c r -=+。 所以解得满足初始条件的特解为 1124112112 11. 2121212t t t t ra x r y x r a r r r x x ---??=++ ???+????=??++-+ ? ????? 于是得到n 年的利息之和为 11212121212121221112n n n I y y a r r a n r =++???+? ???=?-??+- ??? 元，
差微分方程 数学建模经典案例
差分方程作业题 黄冈职业技术学院 宋进健 胡敏 熊梦颖 1．一对年轻夫妇准备购买一套住房，但缺少资金近6万元。假设它们每月可有节余900元，且有如下的两种选择： (1)使用银行贷款60000元。月利率0.01，贷款期25年=300个月； (2) 到某借贷公司借贷60000元，月利率0.01，22年还清。只要（i ）每半个月还316元，(ii) 预付三个月的款。 你能帮他们做出明智的选择吗？ 模型假设： （1）银行及借贷公司在贷款期限内利率不变; （2）不考虑物价变化和经济等因素从而影响利率； （3）银行利息按复利计算且单位时间可任意缩短至时间变量连续性变化 建立模型： 对第一种情况有: 设n 年期贷款月利率为r ，共贷款 元，贷款后第k 个月时欠款余额为 元，月还款m 元。 模型求解： 由MATLAB 得出结果m=631.9345 建立模型： 对第二种情况有: 设n 年期贷款半月利率为r ，共贷款A 0元，贷款后第k 个月时欠款余额为A k 元，半月还款m 元。 模型求解： ()() 011 1,k k k r A A r m k N r +-=+-∈1 0)1()1(300 300 300 -= ?=++r r A A r m N k m r A A k K ∈-+=+,) 1(1 N k m r A A k K ∈-+=+,) 1(1 ()() 011 1,k k k r A A r m k N r +-=+-∈1 0)1()1(528 528 528 -= ?=++r r A A r m A k A 0
由MATLAB 得出结果m= 313.0038 模型分析：由第一种方式计算m=631.9345小于月节余额900元，能够承受月还款；由第二种方式计算m= 313.0038小于借贷公司要求没半个月还款316元，如果按照借贷公司要求则每月还款为632元大于第一种还款方式631.9345元，故选择第一种还款方式。 2. 在一城市的某商业区内，有两家有名的快餐店“肯德基”分店和“麦当劳”分 店。据统计每年“肯德基”保有其上一年老顾客的1/3，而另外的2/3顾客转移到“麦当劳”；每年“麦当劳”保有其上一年的老顾客的1/2，而另外的1/2顾客转移到“肯德基”。 用二维向量X k =[x k y k ]T 表示两个快餐店市场分配的情况，初始的市场分配为X 0 = [200 200]T 如果有矩阵L 存在，使得 X k +1 = LX k ，则称 L 为状态转移矩阵。 （1） 写出X k =[x k y k ]T 和X k+1=[x k +1 y k +1]T 的递推关系式，以及状态转移矩阵L 。 （2） 根据递推关系计算近几年的市场分配情况； 模型假设： （1） 当前的肯德基和麦当劳的市场份额继续不变。 （2） 肯德基和麦当劳不推出优惠活动和新的经营计划。 模型建立： 初始的市场分配数量为：200,2000 0==y x 以一年为一时间段，则某时刻两个快餐店的顾客数量可用向量] ,[1 1y x T X =表 示。用向量] ,[y x X k k T k =表示第K 年两个快餐店顾客数量分布。 ??? ????+ = + = ++x y y y x x k k k k k k 3 22 121311 1 模型求解： 故X k =[x k y k ]T 和X k+1=[x k +1 y k +1]T 的递推关系式为??? ? ?? ? + =+ =++x y y y x x k k k k k k 3 221 21311 1，状 态转移矩阵?????? ? ???? ???=3221213 1 L 由初始数据计算近几年的市场分配情况，MATLAB 程序如下：
差分方程模型
差分方程模型 数学建模讲座 一、关于差分方程模型简单的例子 1. 血流中地高辛的衰减 地高辛用于心脏病。考虑地高辛在血流中的衰减问题以开出能使地高辛保持在可接受(安全而有效)的水平上的剂量处方。假定开了每日0.1毫克的剂量处方，且知道在每个剂量周期(每日)末还剩留一半地高辛，则可建立模型如下： 设某病人第n 天后血流中地高辛剩余量为n a ， 则 1.05.01+=+n n a a (一阶非齐次线性差分方程) n n n n a a a a 5.01?=?=?+ 2. 养老金问题 对现有存款付给利息且允许每月有固定数额的提款， 直到提尽为止。月利息为1℅，月提款额为1000元，则可建模型如下： 设第n 月的存款额为n a ，则 100001.11?=+n n a a (一阶非齐次线性差分方程)
3. 兔子问题（Fibonacci 数） 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时(即第三个月)开始,每月初产雌雄各一的一对小兔， 新增小兔也按此规律繁殖，设第n 月末共有n F 对兔子，则建模如下： ==+=??12 12 1F F F F F n n n (二阶线性差分方程初值问题) 342 3214 3 21221 1 F F F F F F F F F F ≠+=+ 注意上月新生的小兔不产兔 (因第n 月末的兔子包括两部分, 一部分上月留下的为1?n F ， 另一部分为当月新生的，而新生的小兔数=前月末的兔数) 4．车出租问题 A ， B 两地均为旅游城市，游客可在一个城市租车而在另一个城市还车。 A ， B 两汽车公司需考虑置放足够的车辆满足用车需要，以便估算成本。分析历史记录数据得出： n x ： 第n 天营业结束时A 公司的车辆数 n y ：第n 天营业结束时B 公司的车辆数 则 +=+=++n n n n n n y x y y x x 7.04.03.06.01 1 (一阶线性差分方程组) (问题模型可进一步推广)
差分方程数学建模举例
差分方程建模举例 差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致的，也需要经历 背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等）概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统等），也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学概念、原理、方法来表现、分析、求解。 当然，由于差分方程的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解，形成表现整个系统的各个部分的离散取值形式，或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量。然后通过内在的机理分析，找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程。另外，有时有可能通过多个离散变量的关系得到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散向量方程，它有着非常重要的意义。有时还需要找出决定变量的初始条件。有时还需要将问题适当分成几个子部分，分别求解。 模型1 种群生态学中的虫口模型：
在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。 建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。 模型建立：假设第n 年的虫口数目为 n P ，每年一个成虫平均产 卵c 个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有： n n cP P =+1，这是一种简单模型； 如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为 )1(2 1 -n n p p 221n p ≈，故减少数应当与它成正比，从而有： 2 1n n n bP cP P -=+ 这个模型可化成：)1(1n n n x x x -=+λ，这是一阶非线性差分方程。这个模型的解的稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法来获得。 如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关系，这个模型在此基础上仍可进一步改进，更加符合实际情形。这种关系一方面可以通过机理分析，确定减少量与影响因素的定量关系，另一方面也可以用统计的方法来线性估计影响程度。或者还可以用影响曲线的方法来直观表现影响的比例关系、周期关系、增量关系等等。
数学建模微分方程的应用举例
第八节 数学建模——微分方程的应用举例 微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程的实际应用，尤其是微分方程经济学中的应用. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力. 内容分布图示 ★衰变问题 ★逻辑斯谛方程 ★价格调整问题 ★人才分配问题模型 ★追迹问题 ★返回 内容要点： 一、衰变问题 镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量, 这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知, 衰变速度与现存物质的质量成正比, 求放射性元素在时刻t 的质量. 用x 表示该放射性物质在时刻t 的质量, 则dt dx 表示x 在时刻t 的衰变速度, 于是“衰变速度与现存的质量成正比”可表示为 .kx dt dx -= (8.1) 这是一个以x 为未知函数的一阶方程, 它就是放射性元素衰变的数学模型, 其中0>k 是比例常数, 称为衰变常数, 因元素的不同而异. 方程右端的负号表示当时间t 增加时, 质量x 减少. 解方程(8.1)得通解.kt Ce x -=若已知当0t t =时, ,0x x =代入通解kt Ce x -=中可得 ,00kt e x C -= 则可得到方程(8.1)特解 ,)(00t t k e x x --= 它反映了某种放射性元素衰变的规律. 注: 物理学中, 我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期, 不同物质的半衰期差别极大. 如铀的普通同位素(U 238 )的半衰期约为50亿年; 通常的镭(Ra 226 )的半衰期是上述放射性物质的特征, 然而半衰期却不依赖于该物质的初始 量, 一克 Ra 226 衰变成半克所需要的时间与一吨Ra 226衰变成半吨所需要的时间同样都是 1600年, 正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳-14测验的基础. 二、 逻辑斯谛方程: 逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 下面我们借助树的增长来建立该模型. 一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下
数学建模微分方程的应用举例
第八节数学建模——微分方程的应用举例 微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程的实际应用，读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力. 内容分布 ★衰变问题 ★逻辑斯谛方程 ★价格调整问题 ★人才分配问题模型 ★追迹问题 内容要点： 一、衰变问题 镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量, 这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知, 衰变速度与现存物质的质量成正比, 求放射性元素在时刻t的质量. 用x表示该放射性物质在时刻t的质量, 则 表示x在时刻t的衰变速度, 于是“衰变速度与现存的质量成正比”可表示为 (8.1)
这是一个以x为未知函数的一阶方程, 它就是放射性元素衰变的数学模型, 其中 是比例常数, 称为衰变常数, 因元素的不同而异. 方程右端的负号表示当时间t增加时, 质量x减少. 解方程(8.1)得通解 若已知当 时, 代入通解 中可得 则可得到方程(8.1)特解 它反映了某种放射性元素衰变的规律. 注: 物理学中, 我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期, 不同物质的半衰期差别极大. 如铀的普通同位素( )的半衰期约为50亿年;通常的镭( )的半衰期是1600年.半衰期是上述放射性物质的特征, 然而半衰期却不依赖于该物质的初始量, 一克 衰变成半克所需要的时间与一吨 衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年, 正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳-14测验的基础. 二、逻辑斯谛（Logistic）方程:
逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 下面我们借助树的增长来建立该模型. 一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型. 如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度,又与最大高度与目前高度之差成正比. 设树生长的最大高度为H(m), 在t(年)时的高度为h(t), 则有 (8.2) 其中 是比例常数. 这个方程为Logistic方程. 它是可分离变量的一阶常数微分方程. 下面来求解方程(8.2). 分离变量得 两边积分 得
差分方程模型习题+答案
1. 一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率0.4%， 他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？ 分析：(1) 假设k 个月后尚有k A 元，每月取款b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款，根据题意，建立如下的差分方程： 1k k A aA b +=-，其中a = 1 + r (1) 每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出k A 的值。 (2) 多少岁时将基金用完，何时0k A =由（1）可得： 01k k k a A A a b r -=- 若0n A =，01 n n A ra b a = - (3) 若想用到 80 岁，即 n ＝(80-60)*12=240 时，2400A =，240 0240 1 A ra b a =- 利用 MA TLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close all clc x0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)'; y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1']) function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)-b; end (2)用MA TLAB 计算： A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240
思考与深入： (2) 结论：128个月即70岁8个月时将基金用完 (3) A0 = 1.5409e+005 结论：若想用到80岁，60岁时应存入15.409万元。 2. 某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%，他每月还1000元。建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要10年还清，每月需还多少？ 分析：记第k个月末他欠银行的钱为x（k），月利率为r，且a=1+r，b为每月还的钱。则第k+1个月末欠银行的钱为 x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2… 在r=0.005 及x0=100000 代入，用MA TLAB 计算得结果。 编写M 文件如下: function x=exf11(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b; end MA TLAB计算并作图: k=(1:140)'; y=exf11(100000,140,0.0005,-1000); 所以如果每月还1000元，则需要11年7个月还清。 如果要10年即n=120 还清，则模型为： r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] 用MA TLAB 计算如下： >> x0=100000; >> r=0.005; >> n=120; >> b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] b= 1.1102e+003 所以如果要10年还清，则每年返还1110.2元。 3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为1r，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为1a；猫头鹰的年平均减少率为
数学建模作业_差分方程
猫头鹰—老鼠种群数量差分方程模型 假定斑点猫头鹰的食物来源是单一的食饵：老鼠. 生态学家希望预测在一个野生了鸟类保护区里斑点猫头鹰和老鼠的种群量水平. 令M n表示n年后老鼠的种群量，而O n表示n年后斑点猫头鹰的种群量，生态学家提出了下列模型： M n+1 = 1.2 M n– 0.001 O n M n O n+1 = 0.7 O n + 0.002 O n Mn 生态学家想知道在栖息地中两个种群能否共存以及结果是否对起始种群量敏感. (a)模型分析： 在该模型中，系数1.2代表了老鼠的繁殖能力，即在没有天敌（栖息地不存在斑点猫头鹰）而资源充足的情况下，模型适用的时间段内老鼠的种群数量将以J曲线的形式指数上涨，增长率是1.2；而系数0.7则代表了斑点猫头鹰的死亡率，即在不存在老鼠的情况下斑点猫头鹰种群量的衰减率. 该模型又假设，两个物种之间相互影响的效果可用两物种相互作用的次数来决定，而相互作用次数又与O n以及M n成正比关系，因此O n M n项及其前面的系数就代表了两物种间相互作用的效果，系数为正号表示两物种相互作用有利于该物种数量的增长，负号则表示不利. (b)对下表中的初始种群量进行检验并预测其长期行为： 情形A O0 = 150 M0 = 200 持续69年：
情形B O0 = 150 M0 = 300 持续39年： 情形C O0 = 100 M0 = 200 持续96年： 情形C O0 = 100 M0 = 200 持续26年：
(c)系数敏感情况分析： 改变老鼠的繁殖力系数且只对情况B做实验分析，则： 老鼠繁殖力系数持续时间/年 1.2 39 1.4 7 1.6 6 1.8 5 非常敏感 改变猫头鹰死亡率系数且只对情况B做实验分析，则： 猫头鹰死亡率系数持续时间/年 0.9 99 0.7 39 0.5 58 0.3 32 较敏感 改变对老鼠相互作用系数且只对情况B做实验分析，则： 对老鼠相互作用系数持续时间/年-0.0005 47 -0.001 39 -0.002 36 -0.003 37 -0.004 42 -0.005 50 不敏感 改变对猫头鹰相互作用系数且只对情况B做实验分析，则： 对猫头鹰相互作用系数持续时间/年 0.001 111 0.002 39 0.003 54 0.004 5 0.005 4 非常敏感
数学建模常微分方程的解法
第十五章 常微分方程的解法 建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如22x y dx dy +=，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。 §1 常微分方程的离散化 下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是 ?????=≤≤=0)(),(y a y b x a y x f dx dy (1) 在下面的讨论中，我们总假定函数),(y x f 连续，且关于y 满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L ，使得 |||),(),(|y y L y x f y x f -≤- 这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。 所谓数值解法，就是求问题（1）的解)(x y 在若干点 b x x x x a N =<<<<=Λ210 处的近似值),,2,1(N n y n Λ=的方法，),,2,1(N n y n Λ=称为问题（1）的数值解，n n n x x h -=+1称为由n x 到1+n x 的步长。今后如无特别说明，我们总取步长为常量h 。 建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法： （i ）用差商近似导数 若用向前差商h x y x y n n )()(1-+代替)('n x y 代入（1）中的微分方程，则得 ),1,0())(,()()(1Λ=≈-+n x y x f h x y x y n n n n 化简得 ))(,()()(1n n n n x y x hf x y x y +≈+ 如果用)(n x y 的近似值n y 代入上式右端，所得结果作为)(1+n x y 的近似值，记为1+n y ，则有 ),1,0(),(1Λ=+=+n y x hf y y n n n n （2） 这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题 ???==+=+) (),1,0(),(01a y y n y x hf y y n n n n Λ （3） 得到，按式（3）由初值0y 可逐次算出Λ,,21y y 。式（3）是个离散化的问题，称为差分方程初值问题。 需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。 （ii ）用数值积分方法 将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端
差分方程模型理论与方法
差分方程模型的理论和方法 引言 1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑