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江苏高考一轮复习资料1函数定义域值域解析式

江苏高考一轮复习资料1函数定义域值域解析式
江苏高考一轮复习资料1函数定义域值域解析式

函数的解析式和定义域,值域与最值

(1) b kx y += )0(≠k 的值域为

(2) y =a 2x +bx +c ()0≠a 的值域为

(3) (0)k y k x

=≠的值域为 (4) y = x a )1,0(≠>a a 的值域为

(5) x y a log =)1,0(≠>a a 的值域为

(6) x y x y x y tan ,cos ,sin ===的值域分别为

1. 函数(1)y x x x =-+的定义域为 .

2. 函数1x y x

+=的定义域为 . 3. 函数21log (32)x y x -=-的定义域是 .

4. 函数6()12log f x x =-的定义域为 .

5. 已知()f x 的定义域为[1,2)-,则(||)f x 的定义域为 .

6. 下列函数:①y =2x +5;②y =x x 2+1 ;③y =|x |-x ;④y =???2x , x <0,x +4,x ≥0. 其中定义域为R 的函数共有m 个,则m 的值为 .

7. 若f (2x +3)的定义域是[-4,5),则函数f (2x -3)的定义域是 .

8. 函数0

2(1)()56x f x x x x x -=-+++的定义域为 .

9. 已知2(21)2f x x x +=-,则(3)f = .

10. 设f (x )是一次函数,且f [f (x )]=4x +3,则f (x )= .

11.若f (x )满足f (x )+2f (

1x

)=x ,则f (x )= . 12.若f [g (x )]=9x +3,且g (x )=3x +1,则f (x )的解析式为 . 13.若函数y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R ,实数a 的取值范围为 . 14 函数x

y 1= ()32<<-x 的值域为_________ 15 函数 x y 3=的值域为_________.

16 函数2log (1)y x =+的值域为_________.

17.函数1

1+=x y 的值域是__________. 18. 函数y =

2132x x -+的值域是 . 19. 函数y =2-24x x -+的最大值是 .

20. 函数12y x x =+-的值域是 .

21. 已知函数2323(0),2

y x x x =-+≤≤则函数的最大值与最小值的积是 . 22. 若函数y =x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为[254

-,4-],则m 的取值范围是 .

23 已知函数y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R ,则a 的取值范围是 .

24. 若指数函数x y a =在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数a 是 . 25 已知函数13y x x =-++的最大值为M ,最小值为m ,则

m M

的值为 . 26..函数222(03)()6(20)x x x f x x x x ?-?=?+-??≤≤≤≤的值域是 . 27.函数y =2221

x x x +--的值域是 .

求下列函数的值域

1.2sin 3sin 4y x x =-+ _________

2.938x x y =-- _________

3. 21y x x =-++_________

4.21y x x =++_________

求下列函数的值域

1求函数31

x y x -=

+的值域

.

2 求函数

2

21

x

x

y=

+

的值域.

28二次函数数()

f x的二次项系数为a,且方程()2

f x x

=的解分别是-1,3,若方程()7

f x a

=-有两个相等的实数根,求()

f x的解析式.

29.当[0,1]

x∈时,求函数22

()(26)3

f x x a x a

=+-+的最小值.

函数定义域值域求法十一种

高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 x 2 2x 15 0 ① 11 或 x>5。 3且x 11} {x |x 5}。 1 例2求函数y ' 定义域。 *16 x 2 解:要使函数有意义,则必须满足 sinx 0 ① 16 x 2 0 ② 由①解得2k x 2k ,k Z ③ 由②解得 4x4 ④ 由③和④求公共部分,得 4 x 或 0 x 故函数的定义域为(4, ] (0,] 评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。 (1)已知f(x)的定义域,求f [g(x)]的定义域。 (2)其解法是:已知f (x)的定义域是]a , b ]求f [g(x)]的定义域是解a g(x) b , 即为所求的定义域。 例3已知f(x)的定义域为[—2, 2],求f (x 2 3 x 3,故函数的定义域是{x | x (2)已知f [g(x)]的定义域,求f(x)的定义域。 其解法是:已知f [g(x)]的定义域是]a , b ],求f(x)定义域的方法是:由 a x b ,求 g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。 例4已知f(2x 1)的定义域为]1,2],求f(x)的定义域。 解:因为 1 x 2,2 2x 4,3 2x 1 5。 即函数f(x)的定义域是{x 13 x 5}。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R ,求 参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5已知函数y . mx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析:函数的定义域为 R ,表明mx 2 6mx 8 m 0 ,使一切x € R 都成立,由x 2项 例1求函数y ,x 2 2x 15 |x 3| 8 的定义域。 |x 3| 8 0 ② 由①解得 x 3或x 5。 由②解得 x 5或x 11 解:令 2 x 2 1 2 ,得 1 x 2 3,即 0 x 2 3,因此0 | x | 3,从而 1)的定义域。 3}。 ③和④求交集得x 3且x 故所求函数的定义域为 {x |x

求函数的定义域和值域的方法

解:求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容,高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的,具有隐蔽性,所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一,已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式(不注明定义域),其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是:(1)分式的分母不为零,(2)偶次根式的被开方数为非负数,(3)零次幂的底数不为零,(4)对数的真数大于零,(5)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1,(6)三角函数中的正切函数y=tanx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ , k ∈z }和余切函数y=cotx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠k π,k ∈z }等。 例题一 求下列函数的定义域: (1) y=2)0+㏒(x —2)x 2 (2) 解:(1)欲使函数有意义,须满足 2≠0 x —1≥0 x —2>0 解得:x >2 且 x ≠3 ,x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为(2,3)∪(3,5)∪(5,+∞) x ≠0 (2) 由已知须满足 tanx ﹥0 解得: k π ﹤x ﹤2 k π π+ (k ∈z ) x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为(-π,2 π - )∪(0, 2 π )∪(π,4) 二,复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域,依次求,直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题,是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二(1)已知函数f (x )的定义域为〔-2,2〕,求函数y=f (x 2-1)的定义域。 (2)已知函数y=f (2x+4)的定义域为〔0,1〕,求函数f (x )的定义域。 (3)已知函数f (x )的定义域为〔-1,2〕,求函数y=f (x+1)—f (x 2-1)的定义域。 (4)已知函数y=f (tan2x )的定义域为〔0, 8 π 〕,求函数f (x )的定义域。 分析:(1)是已知f (x )的定义域,求f 〔g (x )〕的定义域。其解法是:已知f

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元)(6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 2 1 )(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -+ +=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式 2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式 21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3-] ②要使函数有意义,必须:???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

高一人教版必修一 数学函数定义域、值域、解析式题型

高一函数定义域、值域、解析式题型 一、 具体函数的定义域问题 1 求下列函数的定义域 (1 )1 y = (2 )y = (2)(3) 若函数()f x =的定义域为R ,则实数m 的取值范围是( ) (A)04m <<(B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 二、 抽象函数的定义问题 (一)已知函数()f x 的定义域,求函数[()]f g x 的定义域 2. 已知函数()f x 的定义域为[0,1],求函数2(2)f x 的定义域。 (二)已知函数[()]f g x 的定义域,求函数()f x 的定义域 3. 已知函数(21)f x +的定义域为[1,2],求函数()f x 的定义域。 (三)已知函数[()]f g x 的定义域,求函数[()]f h x 的定义域 4. 已知函数2(1)f x -的定义域为(2,5),求函数1()f x 的定义域。 5.已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取值范围。

(一) 配凑法 5 .已知22113(1)x f x x x ++=+,求()f x 的解析式。 (二) 换元法 6.已知(12f x +=+()f x 的解析式。 (三) 特殊值法 7 .已知对一切,x y R ∈,关系式()()(21)f x y f x x y y -=--+且(0)1f =,求()f x 。 待定系数法 8.已知()f x 是二次函数,且2(1)(1)244f x f x x x ++-=-+,求()f x 。 (四) 转化法 9. 设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数,对一切x R ∈,均有()(2)0f x f x ++=,当11x -≤≤时,()21f x x =-,求当13x <≤时,函数()f x 的解析式。 (五) 消去法 11.已知函数()f x 21()()x f x x -=,求()f x (六) 分段求解法 12. 已知函数2,()21,()1,0x x o f x x g x x ?≥=-=?-

函数定义域与值域经典类型总结 练习题 含答案

<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义:设集合A 和B 是非空数集,按照某一确定的对应关系f ,使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知:确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系(f ),②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域:由于定义域是决定函数的重要因素,所以必须明白定义域指的是: (1)自变量放在一起构成的集合,成为定义域。 (2)数学表示:注意一定是用集合表示的范围才能是定义域,特殊的一个个的数时用“列举法”;一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域:是由定义域和对应关系(f )共同作用的结果,是个被动变量,所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 (1)明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合:{y|y=f(x),x ∈A}。 (2)明白定义中集合B 是包括值域,但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 (一)求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时:只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 (1)常见情况简总: ①表达式中出现分式时:分母一定满足不为0; ②表达式中出现根号时:开奇次方时,根号下可以为任意实数;开偶次方时,根号下满足大于或等于0(非负数)。 ③表达式中出现指数时:当指数为0时,底数一定不能为0. ④根号与分式结合,根号开偶次方在分母上时:根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时:底数和指数都含有x ,必须满足指数底数大于0且不等于1.(0<底数<1;底数>1) ⑥表达式中出现对数函数形式时:自变量只出现在真数上时,只需满足真数上所有式子大于0,且式子本身有意义即可;自变量同时出现在底数和真数上时,要同时满足真数大于0,底数要大于0且不等于 1. (2 ()log (1)x f x x =-) 注:(1)出现任何情形都是要注意,让所有的式子同时有意义,及最后求的是所有式子解集的交集。

函数定义域值域求法(全十一种)

创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解:要使函数有意义,则必须满足 ???>-≥②①0 x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π, ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分,得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--,, 评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。 (1)已知)x (f 的定义域,求)]x (g [f 的定义域。 (2)其解法是:已知)x (f 的定义域是[a ,b ]求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤,即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为[-2,2],求)1x (f 2-的定义域。 解:令21x 22≤-≤-,得3x 12≤≤-,即3x 02≤≤,因此3|x |0≤≤,从而3x 3≤≤-,故函数的定义域是}3x 3|x {≤ ≤-。

函数的定义域和值域映射

函数定义域、值域、解析式、映射 知识点一:求各种类型函数的定义域 类型一: 含有分母和偶次方根 例1 求下列函数的定义域 1. y= 3102++x x 2. y = 类型二: 偶方根下有二次三项式 例2 求下列函数的定义域 1.. 1 ||1 42 -+-=x x y 2.2 3 568 4x x x y ---= 类型三:含有零次方和对数式 例3 求下列函数的定义域(用区间表示) (1)02 )23() 12lg(2)(x x x x x f -+--=; 练习:求下列函数的定义域 1. y=x x -||1 2. 122+--=x x y

3.()f x = 4.)13(log 2+=x y 5. 函数y =1122---x x 的取定义域是( ) A.[-1,1] B.(][)+∞-?-∞-,11, C.[0,1] D.{-1,1} 6. 求函数的定义域。 知识点二:抽象函数定义域 类型一:“已知f(x),求f(…)”型 例1:已知f(x)的定义域是[0,5],求f(x+1)的定义域。 类型二: “已知f(…) ,求f(x)”型 例2:已知f(x+1) 的定义域是[0,5],求f(x)的定义域。 类型三: “已知f(…),求f(…)”型 例3:已知f(x+2)的定义域为[-2,3),求f(4x-3)的定义域。 练习: 1、函数()f x 的定义域是[0,2],则函数(2)f x +的定义域是 ___________. 2、已知函数()f x 的定义域是[-1,1],则(2)(1)f x f x +++的定义域为 ___________.

函数定义域值域求法总结

、函数定义域、值域求法总结

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函数定义域、值域求法总结 1、函数的定义域是指自变量“x ”的取值集合。 2、在同一对应法则作用下,括号内整体的取值范围相同。 一般地,若已知 f(x)的定义域为[a,b],求函数f[g(x)]的定义域时,由于分别在两个函数中的x 和g(x)受同一个对应法则的作用,从而范围相同。因此f[g(x)]的定义域即为满足条件a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围。 一般地,若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b],求函数 f(x)的定义域时,由于x 和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a ≤x≤b 时,g(x)的取值范围。 定义域是X 的取值范围,g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响,所以它们的范围相同。 ()的定义域 求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零 ():f (x),f[g(x)]题型一已知的定义域求的定义域 ()():f g x ,f (x)????题型二已知的定义域求的定义域 ()[]():f g x ,f h(x)????题型三已知的定义域求的定义域()[]()[] )x (h f x f x g f →→

(2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法: (1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法 (4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域: ① 21)(-= x x f ;② 23)(+=x x f ;③ x x x f -++=21 1)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式2 1 -x 无意义, 而2≠x 时,分式21 -x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0,即x<-32 时,根式23+x 无意义, 而023≥+x ,即3 2 -≥x 时,根式23+x 才有意义, ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x -21 同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解:要使函数有意义,必须: ???≠-≥+0201x x ? ???≠-≥2 1 x x 例2 求下列函数的定义域: ①14)(2 --= x x f ②214 3)(2-+--=x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-= x x y 解:①要使函数有意义,必须:142 ≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为: [3,3- ]

定义域和值域的求法

定义域和值域的求法 Final revision by standardization team on December 10, 2020.

函数定义域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于0。 (4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、抽象函数的定义域 1.已知)(x f 的定义域,求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若)(x f 的定义域为()b a x ,∈,求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围,即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域,求)(x f 的定义域 方法是:若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈,则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域,求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为:可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域,再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域,求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。 函数值域求法四种 在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下,供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。

必修一 函数的定义域及值域

个性化学科优化学案 辅导科目 数学 就读年级 学生 教师 徐亚 课 题 函数的概念 授课时间 2015年11月28 备课时间 2015年11月25日 教 学 目 标 1、理解函数的概念,明确确定函数的三个要素,会用区间表示函数的定义域和值域;掌握求函数定义域的基本原则。 2、了解函数的三种表示方法,并能选择合适的方法表示函数。 重、难 考 点 求函数的值域问题时要明确两点,一是值域的概念,二是函数的定义域和对应关系是确定函数的依据。 教学容 鹰击长空—基础不丢 1.定义:设A 、B 是两个非空集合,如果按照某种对应关系f ,使对于集合A 中的 一个数x ,在集 合B 中 确定的数f(x)和它对应,那么就称:f A B →为集合A 到集合的一个 ,记作: 2.函数的三要素 、 、 3.函数的表示法:解析法(函数的主要表示法),列表法,图象法; 4. 同一函数: 相同,值域 ,对应法则 . 1.区间的概念和记号 在研究函数时,常常用到区间的概念,它是数学中常用的述语和符号. 设a,b ∈R ,且a

函数的定义域和值域

函数定义 映射 一般地,设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射(mapping ).记作“:f A B →” 函数的概念 1.定义:如果A ,B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数,在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应,那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数,记作 )(x f y =,A x ∈。 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。 函数与映射的关系与区别 相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性,B 中元素具有唯一性; 区别:函数是一种特殊的映射,它要求两个集合中的元素必须是数,而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 函数的三要素 函数是由三件事构成的一个整体,分别称为定义域.值域和对应法则.当我们认识一个函数时,应从这三方面去了解认识它. 例 已知函数f(x)=3x 2+5x -2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1) 例 函数y =x x 2 3与y =3x 是不是同一个函数?为什么? 练习 判断下列函数f (x )与g (x )是否表示同一个函数,说明理由? ① f ( x ) = (x -1) 0;g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ; g ( x ) = 2x ③ f ( x ) = x 2;f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ;g ( x ) = 2x

求函数的定义域与值域的常用方法完整版

求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

求函数的定义域与值域的常用方法 引入: 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 (一)解析式的表达形式 (解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。) 1、一般式 (是大部分函数的表达形式) 例:一次函数:b kx y +=)0(≠k 二次函数:c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数:x k y = )0(≠k 正比例函数:kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数,u 又是x 的函数,即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==,那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ,则[]=)(x g f , []=)(x f g 。 解:[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f (二)解析式的求法 (根据已知条件求函数的解析式,常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值(式)法、方程法等。) 1. 配凑法 例1.已知 :23)1(2+-=+x x x f ,求f(x); 解:因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知:221)1(x x x x f +=+,求)(x f 。 解: 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意:使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知:x x x f 2)1(+=+,求f(x); 解:令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知:11)11(2-=+x x f ,求)(x f 。

数学必修一定义域值域知识点总结

数学必修一定义域值域知识点总结 数学必修一定义域知识点 定义 (高中函数定义)设A,B是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x属于集合A。其中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域; 常见题型 1,已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域. 例1,已知f(x)的定义域为(-1,1),求f(2x-1)的定义域. 略解:由-1<2x-1<1有0<1 ∴f(2x-1)的定义域为(0,1) 2,已知f(g(x))的定义域,求f(x)的定义域. 例2,已知f(2x-1)的定义域为(0,1),求f(x)的定义域。 解:已知0<1,设t=2x-1 ∴x=(t+1)/2 ∴0<(t+1)/2<1 ∴-1<1 ∴f(x)的定义域为(-1,1) 注意比较例1与例2,加深理解定义域为x的取值范围的含义。 3,已知f(g(x))的定义域,求f(h(x))的定义域.

例3,已知f(2x-1)的定义域为(0,1),求f(x-1)的定义域。 略解:如例2,先求出f(x)的定义域为(-1,1),然后如例1有-1<1,即0<2 ∴f(x-1)的定义域为(0,2) 指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 其主要根据: ①分式的分母不能为零 ②偶次方根的被开方数不小于零 ③对数函数的真数必须大于零 ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1 例4,已知f(x)=1/x+√(x+1),求f(x)的定义域。 略解:x≠0且x+1≧0, ∴f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,+∞) 注意:答案一般用区间表示。 例5,已知f(x)=lg(-x2+x+2),求f(x)的定义域。 略解:由-x2+x+2>0有x2-x-2<0 即-1<2 ∴f(x)的定义域为(-1,2) 函数应用题的函数的定义域要根据实际情况求解。 例6,某工厂统计资料显示,产品次品率p与日产量 x(件)(x∈N,1≦x<99)的关系符合如下规律: 又知每生产一件正品盈利100元,每生产一件次品损失100元. 求该厂日盈利额T(元)关于日产量x(件)的函数;

求解函数定义域,值域,解析式讲义(精华版)

求解函数定义域、值域、解析式 【课堂笔记】 知识点一 定义域、值域的定义 在函数)(x f y =中,x 叫做自变量,x 的取值范围的集合A 叫作函数的定义域;与x 的值相对应的值y 叫作函数值,函数值的集合})({A x x f ∈叫作函数的值域。 下面我们就以求简单函数的定义域做一讲解。 (1)当函数是以解析式的形式给出的时候,其定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。 (2)当函数是由实际问题给出时,其定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要有实际意义。 注意:(1)求函数的定义域,一般是转化为解不等式或不等式组的问题,要注意逻辑连接词的恰当使用。 (2)定义域是一个集合,其结果可用集合或区间来表示。 (3)若函数)(x f 是整式型函数,则定义域为全体实数。 (4)若函数)(x f 是分式型函数,则定义域为使分母不为零的实数构成的集合。 (5)若函数)(x f 是偶次根式,则定义域为使被开方式非负的实数构成的集合。 (6)由实际问题确定的函数,其定义域由自变量的实际意义确定。 (7)如果已知函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使其各部分有 意义的公共部分的集合。 (8)复合函数的定义域问题: ①若已知)(x f 的定义域为],[b a ,则复合函数))((x g f 的定义域可由不等式b x g a ≤≤)(解出; ②若已知))((x g f 的定义域为],[b a ,则函数)(x f 的定义域,即为当],[b a x ∈时函数)(x g 的值域。 【例1】求下列函数的定义域 (1)1+= x y (2)x y -= 21 (3)0)1(21-+-= x x y 【例2】 求下列函数的定义域 (1)x y ++ = 11 11; (2)1 42 --= x x y ;

数学定义域和值域

函数的有关概念 1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A 叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 经典例题透析 类型一、函数概念 1.下列各组函数是否表示同一个函数? (1) (2) (3) (4) 小结1:相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备) 2.求下列函数的定义域(用区间表示). (1);(2);(3). 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3.值域: (先考虑其定义域) 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题,虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后,值域就完全确定了,但求值域还是特别要注意讲究方法,常用的方法有: 1.直接法:由常见函数的值域或不等式性质求出; 2.分离常数法:可将其分离出一个常数; 3.观察法:利用函数的图象的"最高点"和"最低点",观察求得函数的值域;

4.判别式法:将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数值的范围,常用于一些"分式"函数等;此外,使用此方法要特别注意自变量的取值范围; 5.换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,将复杂的函数化归为几个简单的函数,从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域. 例题详见备课本 5. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。 ∵0e x > ∴01y 1y >-+ 解得:1y 1<<- 故所求函数的值域为)1,1(- 例3. 求函数1x x y -+=的值域。 解:令t 1x =-,)0t (≥ 则1t x 2+= ∵ 43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥,由二次函数的性质可知 当0t =时,1y m i n = 当0t →时,+∞→y 故函数的值域为),1[+∞

1 函数定义域和值域

第一讲 函数定义域和值域 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1.函数f (x )=x 21-的定义域是 ( A ) A .(-∞,0] B .[0,+∞) C .(-∞,0) D .(-∞,+∞) 2.函数) 34(log 1 )(2 2-+-=x x x f 的定义域为 (A ) A .(1,2)∪(2,3) B .),3()1,(+∞?-∞ C .(1,3) D .[1,3] 3. 对于抛物线线x y 42=上的每一个点Q ,点()0,a P 都满足a PQ ≥,则a 的取值范围是 ( B ) A .()0,∞- B .(]2,∞- C .[]2,0 D .()2,0 4.已知)2(x f 的定义域为]2,0[,则)(log 2 x f 的定义域为 ]16,2[ 。 5. 不等式x x m 22 +≤对一切非零实数x 总成立 , 则m 的取值范围是 (,-∞__。 6. 已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x ',(0)0f '>,对于任意实数x ,有()0f x ≥,则(1)(0) f f '的最小值为 。 52 ★★★高考要考什么 一、 函数定义域有两类:具体函数与抽象函数 具体函数:只要函数式有意义就行---解不等式组; 抽象函数:(1)已知)(x f 的定义域为D ,求)]([x g f 的定义域;(由D x g ∈)(求得x 的范围就是) (2)已知)]([x g f 的定义域为D ,求)(x f 的定义域;(D x ∈求出)(x g 的范围就是) 二、 函数值域(最值)的求法有: 直观法:图象在y 轴上的“投影”的范围就是值域的范围; 配方法:适合一元二次函数 反解法:有界量用y 来表示。如02 ≥x ,0>x a ,1sin ≤x 等等。如,2 211x x y +-= 。 换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,特别注意新变量的范围。注意三角换元的应用。

函数定义域-值域求法以及分段函数

(一)函数的概念 1.函数的概念: 设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B 的一个函数(function). 记作:y=f(x),x∈A. 其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域(range). 注意: ○1“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”; ○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,一个数,而不是f乘x.2.构成函数的三要素: 定义域、对应关系和值域 3.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论 (二)映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A 中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射(mapping). 记作“f:A→B” 说明: (1)这两个集合有先后顺序,A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则,可以用汉字叙述. (2)“都有唯一”什么意思? 包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思。1.例题分析:下列哪些对应是从集合A到集合B的映射? (1)A={P | P是数轴上的点},B=R,对应关系f:数轴上的点与它所代表的实数对应; (2)A={ P | P是平面直角体系中的点},B={(x,y)| x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角体系中的点与它的坐标对应; (3)A={三角形},B={x | x是圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切圆; (4)A={x | x是新华中学的班级},B={x | x是新华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的学生. 思考: 将(3)中的对应关系f改为:每一个圆都对应它的内接三角形;(4)中的对应关系f 改为:每一个学生都对应他的班级,那么对应f:B→A是从集合B到集合A的映射吗? (三)函数的表示法 常用的函数表示法:(1)解析法; (2)图象法; (3)列表法.

苏教版高一数学必修一函数的定义域和值域

课 题 函数的概念和图像 授课日期及时段 教学目的 1.理解函数及其定义域、值域的概念,并能求函数的定义域、值域 2.能用描点法画函数的图像 3.了解函数的表示方法,重点掌握函数的解析法 4.了解分段函数的概念,掌握分段函数的解析式表达形式和图像的画法 5.理解函数的单调性,掌握判断函数单调性和求函数最值的方法 6.能画单调函数的图像并根据图像判断函数的增减性,求函数的最值 7.理解掌握判断函数的奇偶性的方法 了解映射的定义,明确函数与映射的异同之处 教学内容 1.函数概念是如何定义的,什么是映射?举例说明函数、映射以及它们之间的区别 2.思考:对于不同的函数如:①x x y 22 -=②1-=x y ③1 1+=x y ④()52lg +=x y ⑤x y -=11 的定义域如何确定 3.通常表示函数的方法有: 4.()x f y =的定义域为A x x A ∈21,,。 函数是增函数, 函数是减函数, 函数是奇函数, 函数是偶函数。 讲授新课: 一、函数的判断 例1.<1>下列对应是函数的是 注:检验函数的方法(对于定义域内每一值值域内是否存在唯一的值与它对应) ①x y y x =→: ②12++→x x x

<2>下列函数中,表示同一个函数的是:( ) 注:定义域和对应法则必须都相同时,函数是同一函数 A.()()()2 ,x x g x x f = = B.()()2,x x g x x f = = C.()()2 4,22--=+=x x x g x x f D.()()33,x x g x x f == 练习: 1.设有函数组:①2,x y x y ==②33,x y x y ==③x x y x y = =,④()() x x y x x y =<>???-=,0011 ⑤x y x y lg 2,lg 2== ⑥10 lg ,1lg x y x y =-= 其中表示同一函数的是 。 二:函数的定义域 注:确定函数定义域的主要方法 (1)若()x f 为整式,则定义域为R. (2)若()x f 是分式,则其定义域是分母不为0的实数集合 (3)若()x f 是偶次根式,则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合; (4)若()x f 是由几部分组成的,其定义域是使各部分都有意义的实数的集合; (5)实际问题中,确定定义域要考虑实际问题 例:1.求下列函数的定义域: (1)2 322 ---=x x x y (2)x x y -?-=11

函数定义域值域习题及答案

复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域: ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)1 11y x x =+-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01,,则函数f x ()2的定义域为_ _ _;函数f x ()-2的定义域为________; 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23,,则函数(21)f x -的定义域是 ;函数 1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-,且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在,求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域: ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311 x y x -= + ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 225941 x x y x +=-+ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =-

⑼ y = ⑽ 4y = ⑾y x =-6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1,3],求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-,求函数 ()f x ,(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数,且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-,求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+,则()f x = 。 4、设 ()f x 是R 上的奇函数, 且当[0,)x ∈+∞时, ()(1f x x =+,则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且,()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且1()()1 f x g x x +=-,求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间: ⑴ 223y x x =++ ⑵y = ⑶ 261y x x =-- 7、函数 ()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数,则2(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ;函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( )

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