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_高等数学2第十一章答案讲解

习题11-1 对弧长的曲线积分

1.计算下列对弧长的曲线积分：

（1）

? ，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的

扇形的整个边界；

（2）

2x yzds Γ

，其中Γ为折线ABCD ，这里A 、B 、C 、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、

(1,0,2)、(1,3,2)；

（3）

y ds ?

，其中L 为摆线的一拱(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-(02)t π≤≤.

2.有一段铁丝成半圆形y =，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。

解曲线L 的参数方程为()cos ,sin 0x a y a ???π==≤≤

ds ad ??=

依题意(),x y y ρ=，所求质量22

sin 2L

M yds a d a π

??=

==?? 习题11-2 对坐标的曲线积分

1.计算下列对坐标的曲线积分：（1）

2()L

y dx -?，其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；

（2）

22()()L

x y dx x y dy x y

+--+? ，其中L 为圆周222

x y a +=（按逆时针方向绕行）；

（3）

(1)xdx ydy x y dz Γ

+++-?

，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；

（4）

dx dy ydz Γ

-+? ，其中Γ为有向闭折线ABCA ，这里A 、B 、C 依次为点(1,0,0)、

(0,1,0)、(0,0,1)；

2.计算

()()L

x y dx y x dy ++-?，其中L 是：

（1）抛物线2y x =上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；

（2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段；

（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；

（4）曲线2

21x t t =++，21y t =+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。

3.把对坐标的曲线积分

(,)(,)L

P x y dx Q x y dy +?

化成对弧长的曲线积分，其中L 为：

（1）在xOy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；

（2）沿抛物线2

y x =从点(0,0)到点(1,1)；

（3）沿上半圆周2

2x y x +=从点(0,0)到点(1,1).

4.设Γ为曲线x t =，2y t =，3

z t =上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分

Pdx Qdy Rdz ++?

化成对弧长的曲线积分。

习题11-3 格林公式及其应用

1. 利用曲线积分，求星形线3

cos x a t =，3

sin y a t =所围成的图形的面积。

2.计算曲线积分

222()

L ydx xdy x y -+? ，其中L 为圆周22

(1)2x y -+=，L 的方向为逆时针方向。

3. 证明曲线积分(3,4)2322(1,2)

(6)(63)xy y dx x y xy dy -+-?

在整个xOy 面内与路径无关，并计

算积分值。.

解：积分与路径无关，取路径()()():1,21,43,4L A B C →→，则有

(3,4)2322(1,2)

(6)(63)AB BC

xy y dx x y xy dy -+-=+?

()()43

639664236y y dy x dx =-+-=??

4.利用格林公式，计算下列曲线积分：（1）

(24)(536)L

x y dx y x dy -+++-? ，其中L 为三顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的

三角形正向边界；

（2）

()()222

cos 22cos L x y y dx y x y dy ??++++??

?，其中L 是从()0,0O 沿sin y x =到点(,0)A π的一段弧. 解：原式()()222cos 2cos 2L

x y dx y x y dy y dx =

++++?

取()()22cos ,2cos P x y

Q y x y =+=+

()22sin P Q

y x y y x

??=-+=

，所以上述第一个积分与路径无关，取点()0,0O 到点 (,0)A π的直线积分得：()()

220

cos 2cos cos 0L

x y dx y x y dy xdx π

+++==??

又L 的参数方程为sin ,,y x x x x ==从0变到π，所以

()2

22sin 1cos 2L

y dx xdx x dx π

π==-=??

于是，原式()()2

cos 2cos 2L

x y dx y x y dy y dx π=

++++=??

5.验证下列(,)(,)P x y dx Q x y dy +在整个xOy 平面内是某一函数(,)u x y 的全微分，并求这样的一个(,)u x y ：（1）22xydx x dy +；

（2）2

(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++-

6.计算

224(2)()L

x x y d x x y d y +++?

，其中L 为由点()0,0O 到点()1,1

B 的曲线弧sin

y π=

解

2,2P Q P Q

x x y x y x

????==?=???? 原积分与路径无关，()1,0A 故原式()()2

242OA AB

xy dx x y dy +=+++?

()11

2400

23115

x dx y dy =

++=

? 习题11-4 对面积的曲面积分

1. 计算曲面积分

3∑

zdS ，其中∑为抛物面22

2()z x y =-+在xOy 面上方的部分。

3=zdS ∑

223[2(xy

D x y -+??22

32d d πθρρ=-?

()()()12222

01614]141432d πρρρ=?-+++

()()35

222232[61414165

πρρ=+-+

()()3532111[63131]16510

ππ=

---=

2.计算下列对面积的曲面积分：（1）

(2)3

z x y dS ∑

??，其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分；

（2）

()x y z dS ∑

++??

，其中∑为球面2222

x y z a ++=上z h ≥(0)h a <<的部分；

3.求抛物面壳2

21()2

z x y =

+(01)z ≤≤的质量，此壳的面密度为z μ=.

4.计算

()2

y dS ∑

+?? ，其中∑为锥面z =及平面1z =所围成的区域的整个边界

曲面.

解 12∑=∑+∑， 1:z ∑=

1∑上，

ds =，1∑在xoy 面的投影为22:1xy D x y +≤

在2∑上，ds dxdy =，2∑在xoy 面的投影为22

:1xy D x y +≤

())()

222222xy

D D x y ds x y dxdy x y dxdy ∑

∴+=

+++????

)

d r rdr πθπ=

??=

? 习题11-5 对坐标的曲面积分

1.计算下列对坐标的曲面积分：（1）

x y zdxdy ∑

，其中∑为球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.

（2）[(,,)][2(,,)][(,,)]f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy ∑

+++++??

，其中(,,)f x y z

为连续函数，∑是平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧.

2.把对坐标的曲面积分(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑

++??化成对面积的曲

面积分，其中

（1）∑是平面326x y ++=在第一卦限的部分的上侧；

（2）∑是抛物面228()z x y =-+在xOy 面上方的部分的上侧；

习题11-6 高斯公式

1.利用高斯公式计算曲面积分：（1）

222x dydz y dzdx z dxdy ∑

++?? ，其中∑为平面0x =，0y =，0z =，x a =，y a =，z a =所围成的立体的表面的外侧.

（2）

xdydz ydzdx zdxdy ∑

++??

，其中∑是界于0z =和3z =之间的圆柱体22

9x y +≤的整个表面的外侧；

（3）

4xzdydz y dzdx yzdxdy ∑

-+?? ，其中∑为平面0x =，0y =，0z =，1x =，1y =，1z =所围成的立方体的全表面的外侧；

2.计算曲面积分()2I z x dydz zdxdy ∑

=++??，其中∑是曲面()22

01z x y z =+≤≤的外侧.

解添加平面()

1:11z x y ∑=+≤，取上侧，使1∑+∑构成封闭，应用高斯公式地

()21

211

2132

D I dv dxdy d rdr dz ππ

θπ∑+∑∑Ω

-=+-=-=

????????

习题11-7 斯托克斯公式

1.利用斯托克公式，计算下列曲线积分：（1）

ydx zdy xdz Γ

++?

，其中Γ为圆周2222x y z a ++=，0x y z ++=，若从x 轴的正

向看去，这圆周是取逆时针方向；

（2）

23ydx xzdy yz dz Γ

-+? ，其中Γ为圆周22

2x y z +=，2z =，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；

（3）

223ydx xdy z dz Γ

+-?

，其中Γ为圆周2229x y z ++=，0z =，若从z 轴正向看去，

这圆周是取逆时针方向；

复习题十一

1.计算下列曲线积分：

（1）

，其中L 为圆周22x y ax +=.

（2）

(2)L

a y dx xdy -+?，其中L 为摆线(sin )x a t t =-，(1cos )y a t =-上对应t 从0到

2π的一段弧.

（3）(sin 2)(cos 2)x x

e y y dx e y dy -+-?

，其中L 为上半圆周222()x a y a -+=，0y ≥

沿逆时针方向.

2.计算下列曲面积分：（1）

222dS x y z ∑

++??，其中∑是界于平面0z =及z H =之间的圆柱面222

x y R +=；

（2）

22()()()y

z dydz z x dzdx x y dxdy ∑

-+-+-??，其中∑为锥面z =

(0)z h ≤≤的外侧.

（3）

xdydz ydzdx zdxdy ∑

++??

，其中∑为半球面z =.

3.证明：

xdx ydy

x y

++在整个xOy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数。

4. 计算曲线积分

22()()L

x y dx x y dy

x y -+++? ，其中L 是边长为4，原点为中心的正方形边界，方向为逆时针方向。

解法一

2222

,x y x y

P Q x y x y -+=

=++

22222

2()Q P y x xy

x y x y ??--==

??+ 在L 内作一圆Γ：2

1x y +=，方向逆时针由格林公式有

22L xdy ydx x y -+? =22xdy ydx

x y Γ

-+? Γ：cos sin x t y t

=??

22222220

()()cos sin 2cos sin L

x y dx x y dy

t t

dt x y t t

π-+++==++??

法二: 由参数法将得积分代入四部分之和