2019-2020学年高三数学上学期期中试题 文(16).doc
2019-2020学年高三数学上学期期中试题 文(16)
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间150分钟。答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷
一．选择题（本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={θ|sin θ > cos θ}，B={θ|sin θ · cos θ < 0}，若θ∈A ∩B ，则θ所在的象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知A(m ，n )是直线l ：f (x ,y )=0上的一点，B(s ，t )是直线l 外一点，由方程f (x ,y )+ f (m ,n )+
f (s ,t )=0表示的直线与直线l 的位置关系是（ ）
A ．斜交
B ．垂直
C ．平行
D ．重合
3．在(x 2
-1)(x +1)4
的展开式中，x 3
的系数是（ ）
A ．0
B ．10
C ．－10
D ．20
4．正四棱锥的底面边长为a ，侧棱长为l ，则
l
a
的取值范围为（ ）
A ．（
21,+∞） B ．（2
,+∞） C ．（1,+∞） D ．（2,+∞） 5．设函数f (x )=log a x （a ＞0且a ≠1）的定义域为（4
1
，+∞），则在整个定义域上，f (x )＜2恒成立的充要条件充是（ ） A ．0＜a ＜
21 B ．0＜a ≤ 21 C ．a ＞21且a ≠1 D ．a ≥2
1
且a ≠1
6．设01< 1x -中最大的一个是（ ） A ．a B ．b C ．c D ．不确定 72cos553sin5-的值为（ ） A ．2 B ．3 C ． 2 3 D ．1 8．设f (n )=cos( 2n π+4 π )，则f (1)+ f (2)+ f (3)+…+ f (2006)=（ ） A ． B ． - 2 C ．0 D ． 2 9．已知O 为坐标原点，抛物线y 2 =2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA OB ?的 值是（ ） A ． 3 4 B ．- 3 4 C ．3 D ．-3 10．已知抛物线C ：y 2 =8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3PF QF =，则|QF |=（ ） A ． 52 B ． 8 3 C ．3 D ．6 11．函数y =e |ln x | ﹣|x ﹣1|的图象大致是（ ） 12．对于任意实数x ，定义[x ]为不大于x 的最大整数（例如：[3.6]=3，[-3.6]=-4等），设函数f (x )= x - [x ]，给出下列四个结论：①f (x )≥0；②f (x )<1；③f (x )是周期函数；④ f (x )是偶函数.其中正确结论的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 第Ⅱ卷 二、填空题：每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．函数()2sin()(0,||)2 f x x π ω?ω?=+><的图象如图所示， 则ω= ，φ= ． 14．设m =(a ,b )，n = (c ,d )，规定两向量m ，n 之间的一个运算“?” 为m ?n =(ac - bd ，ad +bc )，若p =(1,2)，p ?q =(-4,-3)，则q = . 15．如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有380粒 落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ． （13题图） （15题图） A ． B ． C ? D ． 16．设x 、y 满足约束条件1,2,1,2 ? ?+≤? ≤???≥?x y y x y x 则目标函数z =6x +3y 的 最大值是 . 三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设向量m =(cosA ，sinA)，n =(1，0)，且向量m +n 为单位向量，求： （Ⅰ）角A ； （Ⅱ） cos() 3 b c a C π -+. 18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD=PB=3，点E 在棱PA 上，且PE=2EA ． （Ⅰ）证明PC ∥平面EBD ； （Ⅱ）求二面角A —BE —D 的正切值． 19. （本小题满分12分）在同款的四个智能机器人A ，B ，C ，D 之间进行传球训练，收集数据，以改进机器人的运动协调合作能力.球首先由A 传出，每个“人”得球后都等可能地传给其余三个“人”中的一“人”，记经过第)1,(≥∈n N n n 次传递后球回到A 手中的概率 （18题图） P 为P n . （Ⅰ）求P 1、P 2 、P 3的值； （Ⅱ）求P n 关于n 的表达式. 20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：2214x y += 的动直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ． （Ⅰ）设M 为弦AB 的中点，求动点M 的轨迹方程； （Ⅱ）设F 1，F 2为椭圆C 在左、右焦点，P 是椭圆在第一象限内一点，满足125 4 PF PF ?=-，求△PAB 面积的最大值． 21. （本小题满分12分）已知函数f （x ）=x 3 +bx 2 +cx +d 的图象过点P （0，2），且在点M （﹣1，f （﹣1））处的切线方程为6x ﹣y +7=0． （Ⅰ）求函数y =f （x ）的解析式； （Ⅱ）求函数2 3()922 g x x x a = -++与y =f （x ）的图象有三个交点，求a 的范围． 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22. （本小题满分10）（选修4-4：坐标系与参数方程） 已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标 系，直线l 的参数方程为12x t y =+???=+?? (t 为参数). （Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换12 x x y y '=?? ?'=??得到曲线C '，设 M (x ,y )为C '上任意一点， 求 的最小值，并求相应的点M 的坐标. 23. （本小题满分10）（选修4-5：不等式选讲） 设函数()||f x x a =-． （Ⅰ）当a =2时，解不等式f （x ）≥7﹣|x ﹣1|； （Ⅱ）若f （x ）≤2的解集为[﹣1，3]，11(0,0)2a m n m n +=>>， 求证：43+≥m n ． 数学（文）参考答案及评分标准 一．选择题（本卷共12小题，每小题5分，共60分） 二、填空题：每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13． 2； 6 π； 14． (-2,1)； 15． 0.38； 16． 5. 三.解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设向量m =(cosA ，sinA)，n =(1， 0)，且向量m +n 为单位向量，求： （Ⅰ）角A ； （Ⅱ） cos() 3 b c a C π -+. 解：（Ⅰ）∵ m +n =(cosA+1，sinA) 为单位向量， ∴ (cosA+1)2 +sin 2 A=1 ，即2 cosA+1=0， 得cosA=- 21，∴ A=23π . ……………………………… 4分 （Ⅱ）∵ A=23π，∴ B+C=3π ，即B=3 π -C ，结合正弦定理得： cos()3 b c a C π -+=sin sin sin cos()3B C A C π-+=sin()sin 3sin cos() 3C C A C π π--+ 3sin -C C 12(cos ) 22cos()3π+C C C =2cos() 3cos()3 C C π π ++=2. ……………………………… 10分 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD=PB=3，点E 在棱PA 上，且PE=2EA ． （Ⅰ）证明PC ∥平面EBD ； （Ⅱ）求二面角A —BE —D 的余弦值． （Ⅰ）证明：连接AC 交BD 于G ，连接EG ， ∵ 12AG AD GC BC ==，又 1 2AE EP =， ∴ AG AE GC EP =，∴ PC ∥EG ， 又EG ?平面EBD ，PC ?平面EBD ， ∴ PC ∥平面EBD. …………………………………………… 6分 （Ⅱ）解法一： ∵ PB ⊥平面ABCD ， ∴ AD ⊥PB. 又∵ AD ⊥AB ，∴ AD ⊥平面EAB. 作AH ⊥BE 于H ，连接DH ，则DH ⊥BE ， ∴ ∠AHD 是二面角A —BE —D 的平面角. 在△ABE 中， AE= 3 =PA 由△ABE 的面积得：AH= sin 453AB AE BE ??=， ∴ tan ∠AHD= AD AH 故 二面角A —BE —D ……………………………… 12分 19. （本小题满分12分）在同款的四个智能机器人A ，B ，C ，D 之间进行传球训练，收集数据，以改进机器人的运动协调合作能力.球首先由A 传出，每个“人”得球后都等可能地传给其余三个“人”中的一“人”，记经过第)1,(≥∈n N n n 次传递后球回到A 手中的概率为P n . （Ⅰ）求P 1、P 2 、P 3的值； （Ⅱ）求P n 关于n 的表达式. 解：（Ⅰ）经过一次传球后，球落在B ，C ，D 手中的概率分别为 1 3 而在A 手中的概率为0； 因此，10. P = P 两次传球后，球落在A 手中的概率为2111 3.333 P =??= 要想经过三次传球后，球落在A 手中，只能是经过二次传球后球一定不在A 手中， ∴ 321122 (1).3339 P P =-=?= …………………………………… 5分 （Ⅱ）要想经过n 次传球后，球落在A 手中，只能是经过1-n 次次传球后球一定不在A 手中， ∴ *11 (1)(,2)3n n P P n N n -=-∈≥， ……………………………………7分 设 11()3n n P P λλ--=--， 则 11141 +=4333 n n n P P P λλ--=--（） ， ∴ 41λ=，1 4λ=， 即 1111()434 n n P P --=--， 而11110=444P - =--，所以，14n P ??-??? ?是以（14-）为首项， （13-）为公比的等比数列， ……………………………………9分 ∴ -1111-=(-)-443n n P ?（），即 -1111=(-)-+434 n n P ?（），显然当n =1时也适合， 故 -111111(1)=(-)-+[143443 n n n n P --?=+（）]. ……………………………………12分 20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：2214x y += 的动直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ． （Ⅰ）设M 为弦AB 的中点，求动点M 的轨迹方程； （Ⅱ）设F 1，F 2为椭圆C 在左、右焦点，P 是椭圆在第一象限内一点，满足125 4 PF PF ?=-，求△PAB 面积的最大值． 解：（Ⅰ）设M （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由 22 2214+=x y ①， 221114 +=x y ②； ① ﹣②得： 1212121214+-?=-+-y y y y x x x x 1 4 =-； ∴ 0+=x ． ……………………… 4分 由于弦AB 的中点在椭圆内部，得< ∴M 点的轨迹方程为0+=x （< （Ⅱ）依题意：F 1 （0），F 2 0），设P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0）， 则 1(,)=-PF x y ，2(3,)=-PF x y ， 由 1254 PF PF ?= - 得： 22 5(,),)34x y x y x y -?-=-+=- ， 即22 74+ =x y ，与椭圆的方程联立，解得：1, 2 =???= ??x y ∴P 点坐标为(1, 2 ； …………………………………… 6分 设直线 l 的方程为=+y x m ，联立2214 ?=+????+=??y x m x y ， 整理得：2 2 10+-=x m ，由△＞0得﹣2＜m ＜2 ， ∴ 12+=x x ，2121=-x x m ， 于是 ||= AB P 到直线l 的距离= d ， (8) 分 ∴22114|1222 ?+-=≤=PAB m m S m ； 当且仅当m 2 =4﹣ m 2 ，即((=∈m 时，取等号， 故，△PAB 面积的最大值1． ……………………… 12分 21. （本小题满分12分）已知函数f （x ）=x 3 +bx 2 +cx +d 的图象过点P （0，2），且在点M （﹣1，f （﹣1））处的切线方程为6x ﹣y +7=0． （Ⅰ）求函数y =f （x ）的解析式； （Ⅱ）求函数2 3()922 g x x x a = -++与y =f （x ）的图象有三个交点，求a 的范围． 解：（Ⅰ）由f （x ）的图象经过点P （0，2），得d =2． ………………………… 2分 ∴ 2()32f x x bx c '=++， 由在M （﹣1，f （﹣1））处的切线方程是6x ﹣y +7=0， 有﹣6﹣f （﹣1）+7=0，得f （﹣1）=1，且(1)6f '-=． ∴ 326,121; b c b c -+=??-+-+=?，解得b =c =﹣3． 故所求的解析式是f （x ）=x 3 ﹣3x 2 ﹣3x +2； ……………………………… 5分 （Ⅱ）∵函数g （x ）与f （x ）的图象有三个交点， ∴方程3 2 2 3332922 x x x x x a --+=-++有三个根， 即3 2 962 x x x a - +=有三个根， ……………………………… 7分 令3 29()62 h x x x x =-+，则h （x ）的图象与y =a 图象有三个交点． 接下来求h （x ）的极大值与极小值， h ′（x ）=3x 2﹣9x +6，令h ′（x ）=0，解得x =1或2， 当x ＜1或x ＞2时，h ′（x ）＞0；当1＜x ＜2时，h ′（x ）＜0， ∴ h （x ）的增区间是（﹣∞，1），（2，+∞）；减区间是（1，2），…………… 10分 ∴ h （x ）的极大值为h （1）=5 2 ，h （x ）的极小值为h （2）=2 故， a 的范围是：2＜a ＜5 2 ． ……………………………… 12分 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22. （本小题满分10）（选修4-4：坐标系与参数方程） 已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标 系，直线l 的参数方程为12x t y =+???=+?? (t 为参数). （Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换12 x x y y '=?? ?'=??得到曲线C '，设M (x ,y )为C '上任意一点， 求 的最小值，并求相应的点M 的坐标. 解：（Ⅰ）圆C 的方程为2 2 4x y += …………………………………… 1分 直线L 20y -= ………………………… 3分 （Ⅱ）由''12 x x y y ?=??=??和224x y +=得'C 2214x y += ………………… 5分 设M 为2x cos y sin θθ ==?? ?，则 22 232cos(2)3x y πθ+=++ …… 8分 所以当M 为 或(1,-时原式取得最小值1． …………… 10分 23. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数()||f x x a =-． （Ⅰ）当a =2时，解不等式f （x ）≥7﹣|x ﹣1|； （Ⅱ）若f （x ）≤2的解集为[﹣1，3]，11(0,0)2a m n m n +=>>， 求证：43m n +≥+． 解：（Ⅰ）当a =2时，不等式f （x ）≥7﹣|x ﹣1|，即|x ﹣2|+|x ﹣1|≥7， ∴ 1,217;x x x 217;x x x >??-+-≥? ③． ……………………………………… 3分 解①得x ≤﹣2，解②得x ∈?，解③得x ≥5， ∴不等式的解集为（﹣∞﹣2]∪[5，+∞）． ……………………………… 5分 （Ⅱ）f （x ）≤2，即|x ﹣a |≤2，解得a ﹣2≤x ≤a +2，而f （x ）≤2解集是[﹣1，3]， ∴21, 23; a a -=-?? +=?，解得a =1，∴1112m n += （m ＞0，n ＞0）．……………… 7分 ∴4114=(4)()3322n m m n m n m n m n +++=++≥， 当且仅当4=2n m m n ，即1m = ，n =分