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复数中数学思想

复数中数学思想
复数中数学思想

复数中数学思想“碰头会”

数学解题讲究的是最基本思想方法,那么复数问题中主要有哪些基本的数学思想?

1.函数思想

函数思想是一种重要的数学思想,有关复数的最值问题,常通过构造函数,利用函数的性质求解.

例1已知复数

1

2

z=,则2

1

4

z z

-+的最大值是______

解析:设出复数z的代数形式,将问题转化为有关函数的最值问题.

设i() z x y x y

=+∈R

,.

1

2

z=,22

1

4

x y

∴+=,

222

22

11111

42222

z z z z x y x

????

-+=-=-=-+=-

? ?

????

11

22

x

-≤≤,∴当

1

2

x=-时,2

1

4

z z

-+有最大值1,故选(B).

评注:依据复数模的定义,将复数问题转化为实数问题。

2.整体思想

对于有些复数问题,若从整体上去观察、分析题设结构,充分利用复数的有关概念、共轭复数的性质与模的意义等,对问题进行整体处理,能收到简捷、明快的效果.

例2设复数z和它的共轭复数

z满足42i

z z

+=,求复数z的值.

解析:设i()

z a b a b

=+∈R

,将42i

z z

+=

化为

2(22)i

z z z

++=.

由222(i)2(i)4

z z a b a b a

+=++

-=,整体代入,得24i

z a

+=

,62i i

a b

+=.

根据复数相等的充要条件,得

1

.

2

a

b

?

=

??

?

?=

??

1

i

22

z=+.

评注:在求解过程中,充分利用共轭复数性质,整体代入可获得简捷、明快、别具一格的解法.

3.分类讨论思想

复数问题中若含有参数,常常需要根据参数的范围分类讨论. 例3 设0a ≥,在C 内解方程22z z a +=.

解析:∵a ,z ∈R ,∴22z a z =-∈R , ∴z 为实数或纯虚数.

(1)若z 为实数,原方程转化为2

20z z a +-=, 解得

(1z =±-; (2)若z 为纯虚数, 设i(0)z b b b =≠∈R ,, 于是方程转化为2

20b b a -+=.

①当01a <≤时,解得(1b =±;

②当1a >时,方程无解.

综上,01a <≤时,(1z =±-,或(1z =±;1a >时,

(1z =±-. 评注:在复数集内解含有参数的方程,根可能是实数也可能是虚数,因此需对此分类讨论.

4.数形结合思想

在处理复数问题时,灵活地运用复数的几何意义,以数思形、以形助数,可使许多问题得到直观、快捷地解决.

例4 已知虚数(2)i()x y x y -+∈R ,y x

的最大值.

解析:由于x 与y 为变量,且0y ≠,可由已知条件得到关于x

与y 的等式,也就是动点()x y ,的轨迹,再结合图1考虑的取值情况,求出最大值.

由(2)i x y -+是虚数,得0y ≠,

又由(2)i x y -+=22(2)3x y -+=.

这是以(20),为圆心,为半径的圆,是圆上动点()Z x y ,(除去(2)与(00)O ,连线的斜率,过O 点作圆的切线OP 、OQ ,则斜率的最大值为

max

tan y AOP x ??=∠= ???.

∴y x 评注:与复数有关的最值问题通常要利用复数的几何意义。

高中数学-复数的基础知识

复数 基础知识 1.复数的定义:设i 为方程x 2=-1的根,i 称为虚数单位,由i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi (a,b ∈R )的数,称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2.复数的几种形式。对任意复数z=a+bi (a,b ∈R ),a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式,它由实部、虚部两部分构成;若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那么z 与坐标平面唯一一个点相对应,从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示,表示复数的平面称为复平面,x 轴称为实轴,y 轴去掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式;如果将(a,b)作为向量的坐标,复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形式;另外设z 对应复平面内的点Z ,见图15-1,连接OZ ,设∠xOZ=θ,|OZ|=r ,则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ),这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ),则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π,则θ称为z 的辐角主值,记作θ=Arg(z). r 称为z 的模,也记作|z|,由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ,则z=re i θ ,称为复数的指数形式。 3.共轭与模,若z=a+bi ,(a,b ∈R ),则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有: (1)2121z z z z ±=±;(2)2121z z z z ?=?;(3)2||z z z =?;(4)2 121z z z z =???? ??;(5)||||||2121z z z z ?=?; (6)||||||2121z z z z =;(7)||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|;(8)|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2;(9)若|z|=1,则z z 1= 。 4.复数的运算法则:(1)按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致,运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数;(2)按向量形式,加、减法满足平行四边形和三角形法则;(3)按三角形式,若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2),则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)];若2 1212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2),.)(2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理:[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方:若=n w r(cos θ+isin θ),则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n π θπ θ+++=, k=0,1,2,…,n-1。 7.单位根:若w n =1,则称w 为1的一个n 次单位根,简称单位根,记Z 1=n i n ππ2sin 2cos +,则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有(这里记k k Z Z 1=,

负数知识点

负数知识点 集团文件版本号:(M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988)

负数知识点整理 1、0℃表示淡水开始结冰的温度,不是表示没有温度。 2、比0℃低的温度叫零下温度,通常在数字前加负号“—”。如,—3℃表示零下3摄氏度,表示比0℃低3℃,读作负三摄氏度。比0℃高的温度叫零上温度,在数字前加正号“+”,一般情况下可省略不写。如,+3℃表示零上3摄氏度,表示比0℃高3℃,读作正三摄氏度,也可以写成3℃,读作三摄氏度。 3、0℃是零上温度和零下温度的分界点。 4、正数:我们以前所学的15,1000,,8.7,…这样的数叫做正数。正数前面也可以加“+”号,也可省去。+8.75读作:正八点七五;+ 读作:正八分之五;正八十写作:+80;八十写作:80。正数包括正整数、正分数、正小数。 5、负数:为了表示相反意义的量,我们引入了一种新的数——负数,如:—14,—400,—, —0.8…。—读作:负九分之五;—8.5读作:负八点五;负八十写作:—80。负数包括负整数、负分数、负小数。 6、0既不是正数,也不是负数。它是正数与负数的分界点。 7、正数和负数是表示相反意义的两个量。通常把上升、增多、提高、收入、零上温度等记作正数,如:上升4m,记作:+4m.。而把下降、减少、降低、支出、零下温度等记作负数,如:支出300元,记作:—300元。 8、在直线上表示数时要规定起点或原点(用0表示)、正方向(用向右的箭头表示)和单位长度。用有正数和负数的直线可以表示距离和相反的方向。 9、任何一个数都可以用直线上的一个点表示,反过来,直线上任何一点都表示一个数。

复数的知识点总结与题型归纳

复数的知识点总结与题型归纳 一、知识要点 1.复数的有关概念 我们把集合C ={}a +b i|a ,b ∈R 中的数,即形如a +b i(a ,b ∈R)的数叫做复数,其中i 叫做虚数单位. 全体复数所成的集合C 叫做复数集. 复数通常用字母z 表示,即z =a +b i(a ,b ∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式. 对于复数z =a +b i ,以后不作特殊说明都有a ,b ∈R ,其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部. 说明: (1)复数集是最大的数集,任何一个数都可以写成a +b i(a ,b ∈R)的形式,其中0=0+0i. (2)复数的虚部是实数b 而非b i. (3)复数z =a +b i 只有在a ,b ∈R 时才是复数的代数形式,否则不是代数形式. 2.复数相等 在复数集C ={}a +b i|a ,b ∈R 中任取两个数a +b i ,c +d i(a ,b ,c ,d ∈R),我们规定:a +b i 与c +d i 相等的充要条件是a =c 且b =d . 3.复数的分类 对于复数a +b i ,当且仅当b =0时,它是实数;当且仅当a =b =0时,它是实数0;当b ≠0时,叫做虚数;当a =0且b ≠0时,叫做纯虚数.这样,复数z =a +b i 可以分类如下: 复数z ????? 实数(b =0),虚数(b ≠0)(当a =0时为纯虚数). 说明:复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

4.复数的几何意义 (1)复数z =a +b i(a ,b ∈R)―――――――→一一对应 复平面内的点Z (a ,b ) (2)复数z =a +b i(a ,b ∈R) ――――→一一对应平面向量OZ ――→. 5.复数的模 (1)定义:向量OZ 的模r 叫做复数z =a +b i(a ,b ∈R)的模. (2)记法:复数z =a +b i 的模记为|z |或|a +b i|. (3)公式:|z |=|a +b i|=r =a 2+b 2(r ≥0,r ∈R). 说明:实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z =0+0i =0,表示的是实数. 6.复数的加、减法法则 设z 1=a +b i ,z 2=c +d i(a ,b ,c ,d ∈R), 则z 1+z 2=(a +c )+(b +d )i ,z 1-z 2=(a -c )+(b -d )i. 7.复数加法运算律 设z 1,z 2,z 3∈C ,有z 1+z 2=z 2+z 1,(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3). 8.复数加、减法的几何意义 设复数z 1,z 2对应的向量为OZ 1――→,OZ 2――→,则复数z 1+z 2是以OZ 1――→,OZ 2――→为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→ 所对应的复数,z 1-z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→ 的终点并指向OZ 1――→ 的向量所对应的复数. 它包含两个方面:一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理,另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中.

高中数学复数专题知识点整理

专题二 复数 【1】复数的基本概念 (1)形如a + b i 的数叫做复数(其中R b a ∈,);复数的单位为i ,它的平方等于-1,即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部,b 叫做虚部 实数:当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数:当0≠b 时的复数a + b i 为虚数; 纯虚数:当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 (2)两个复数相等的定义: 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a )特别地,,,,(其中,且 (3)共轭复数:z a bi =+的共轭记作z a bi =-; (4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面;z a bi =+,对应点坐标为(),p a b ;(象限的复习) (5)复数的模:对于复数z a bi =+,把z =z 的模; 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+,222z a b i =+ (1) 加法:()()121212z z a a b b i +=+++; (2) 减法:()()121212z z a a b b i -=-+-; (3) 乘法:()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 (4)幂运算:1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+(,a b 是均不为0的实数);的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数:()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+,当c d a b =时z 为实数;当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解

高中数学复数

第1章:复数与复变函数 §1 复数 1.复数域 形如iy x z +=的数,称为复数,其中y x ,为实数。实数x 和实数y 分别称为复数iy x z +=的实部与虚部。记为 z x Re =, z y Im = 虚部为零的复数可看成实数,虚部不为零的复数称为虚数,实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。复数iy x z -= 和iy x z +=称为互为共轭复数,z 的共轭复数记为z 。 设 ,复数的四则运算定义为 加(减)法: 乘法: 除法: 相等: 当且仅当 复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+ ②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ?=? ④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ??=?? ⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ?+?=+? 全体复数在引入相等关系和运算法则以后,称为复数域. 在复数域中,复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用R 表示,所有复数构成的集合用C 表示。

例 设i 3,i 5221+=-=z z ,求 2 1 z z . 分析:直接利用运算法则也可以,但那样比较繁琐,可以利用共轭复数的运算结果。 解 为求 2 1 z z ,在分子分母同乘2z ,再利用1i 2-=,得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=??=z z z z z z z 2.复平面 一个复数iy x z +=本质上由一对有序实数唯一确定。于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。如果把x 和y 当作平面上的点的坐标,复数z 就跟平面上的点一一对应起来,这个平面叫做复数平面或z 平面,x 轴称为实轴,y 轴称为虚轴. 在复平面上,从原点到点 所引的矢量 与复数z 也构成一一对应 关系,且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的,即满足平行四边形法则,例如: 这样,构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系. 3. 复数的模与辐角 向量 的长度称为复数 的模或绝对值,即:

高考数学复数知识点、公式

数系的扩充和复数概念和公式总结 1.虚数单位i: 它的平方等于-1,即21 i=- 2. i与-1的关系: i就是-1的一个平方根,即方程x2=-1的一个根,方程x2=-1的另一个根是-i 3. i的周期性:i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1 4.复数的定义:形如(,) +∈的数叫复数,a叫复数的实 a bi a b R 部,b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示复数通常用字母z表示,即(,) =+∈ z a bi a b R 5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系: 对于复数(,) +∈,当且仅当b=0时,复数a+bi(a、b a bi a b R ∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;a≠0且b≠0时,z=bi叫做非纯虚数的纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di?a=c,b=d 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小. 即使是3,62 ++也没有大小。 i i 如果两个复数都是实数,就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴: 点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴 示实数 (1)实轴上的点都表示实数 (2)虚轴上的点都表示纯虚数 (3)原点对应的有序实数对为(0,0) 设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,8.复数z1与z2的加法运算律:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 9.复数z1与z2的减法运算律:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 复数的加法运算满足交换律和结合律 10.复数z1与z2的乘法运算律:z1·z2= (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.

《复数》知识点总结

《复数》知识点总结-标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

《复数》知识点总结 1、复数的概念 形如(,)a bi a b R +∈的数叫做复数,其中i 叫做虚数单位,满足21i =-,a 叫做复数的实部,b 叫做复数的虚部. (1)纯虚数:对于复数z a bi =+,当00a b =≠且时,叫做纯虚数. (2)两个复数相等:,()a bi c di a b c d R ++∈、、、相等的充要条件是=a c b d =且. (3)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,横轴为实轴,竖轴除去原点为虚轴. (4)复数的模:复数z a bi =+可以用复平面内的点Z(,)a b 表示,向量OZ 的模 叫做复数z a bi =+的模,表示为:||||z a bi =+ (5)共轭复数:两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做共轭复数. 2、复数的四则运算 (1)加减运算:()()()()a bi c di a c b d i +±+=±++; (2)乘法运算:()()()()a bi c di ac bd ad bc i +?+=-++; (3)除法运算:2222 ()()()()(0)ac bd bc ad a bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++; (4)i 的幂运算:41n i =,41n i i +=,421n i +=-,43n i i +=-.()n Z ∈ (5)22||||z z z z == 3、 规律方法总结 (1)对于复数(,)z a bi a b R =+∈必须强调,a b 均为实数,方可得出实部为a ,虚部为b (2)复数(,)z a bi a b R =+∈是由它们的实部和虚部唯一确定的,两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数

高一数学复数的运算练习题

复数的运算测试题 一、选择题 1.0a =是复数()z a bi a b =+∈R ,为纯虚数的( ) A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 D.既不是充分也不必要条件 答案:B 2.若12z i =+,23()z ai a =+∈R ,12z z +的和所对应的点在实轴上,则a 为( ) A.3 B.2 C.1 D.—1 答案:D 3.复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上,则( ) A.2a ≠或1a ≠ B.2a ≠且1a ≠ C.0a = D. 2 a =或 0a = 答案:D 4.设1z ,2z 为复数,则下列四个结论中正确的是( )

A.若22120z z +>,则2212z z >- B. 12 z z -= C.22121200z z z z +=?== D.11z z -是纯虚数或零 答案:D 5.设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+,t ∈R ,则下列命题中正确的是( ) A.z 的对应点Z 在第一象限 B.z 的对应点Z 在第四象限 C.z 不是纯虚数 D.z 是虚数 答案:D 6.若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根,则方程的另一个根为( ) A.1i - B.1i -+ C.1i -- D.i 答案:A 7.已知复数1cos z i θ=-,2sin z i θ=+,则1 2z z ·的最大值为( )

A.3 2 D.3 答案:A 8.已知m ∈R ,若6()64m mi i +=-,则m 等于( ) A. 2- B. C. D.4 答案:B 9.在复平面内12 ω=-对应的向量为OA ,复数2ω对应的向量为 OB .那么向量AB 对应的复数是( ) A.1 B. 1- D. 答案:D 10.在下列命题中,正确命题的个数为( ) ①两个复数不能比较大小; ②123z z z ∈C ,,,若221221()()0z z z z -+-=,则13z z =; ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数,则实数1x =±; ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ; ⑤若a b ,是两个相等的实数,则()()a b a b i -++是纯虚数; ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =.

(完整版)数系的扩充与复数的引入知识点总结,推荐文档

数系的扩充与复数的引入知识点总结 一.数系的扩充和复数的概念 1.复数的概念 (1)复数:形如的数叫做复数,和分别叫它的实部和虚部. (,)a bi a R b R +∈∈a b (2)分类:复数中,当,就是实数; ,叫做虚数;当时,叫做 (,)a bi a R b R +∈∈0b =0b ≠0,0a b =≠纯虚数. (3)复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 即:如果:,那么:,特别地: . ,,,a b c d R ∈=+=+b=d a c a bi c di ????(4)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 即:=+=-(,) z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是2.复数的几何意义(1)数()可用点表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数.除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应; 反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应,这就是复数的一种几何意义, 也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法. (2)复数的几何意义 坐标表示:在复平面内以点表示复数();向量表示:以原点为起点,点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模,记作.即.3.复数的运算 (1)复数的加,减,乘,除按以下法则进行 设则 12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈ 12()()z z a c b d i ±=±+± 12()()z z ac bd ad bc i ?=-++

(完整word版)高中数学-复数专题

复数专题 一、选择题 1 .(2012年高考(天津理)) i 是虚数单位,复数7= 3i z i -+ ( ) A .2i + B .2i - C .2i -+ D .2i -- 2 .(2012年高考(新课标理))下面是关于复数2 1z i = -+的四 个命题:其中的真命 题为 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- ( ) A .23,p p B .12,p p C .,p p 24 D .,p p 34 3 .(2012年高考(浙江理))已知i 是虚数单位,则 3+i 1i -= ( ) A .1-2i B .2-i C .2+i D .1+2i 4 .(2012年高考(四川理))复数2(1)2i i -= ( ) A .1 B .1- C . i D .i - 5 .(2012年高考(上海理))若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则 ( ) A .3,2==c b . B .3,2=-=c b . C .1,2-=-=c b . D .1,2-==c b . 6 .(2012年高考(陕西理))设,a b R ∈, 是虚数单位,则“0ab =”是“复数b a i + 为纯虚数”的 ( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 7 .(2012年高考(山东理))若复数z 满足(2)117z i i -=+( i 为虚数单位),则z 为 ( ) A .35i + B .35i - C .35i -+ D .35i -- 8 .(2012年高考(辽宁理))复数 22i i -=+ ( ) A .34i - B .34i + C .41i - D .3 1i +

人教版六年级数学下册第一单元负数知识点

负数 一、负数的定义 1、以前所学的所有数(0除外)都是正数,也就是说正数前面的“+”是可以省略不写的! 2、负数的定义:在正数前面加上“-”就是负数。 3、负数前面必定有“-”如果前面不是“-”(可能没有符号或者是“+”)都是正数(0除外)。 4、0既不属于正数,也不属于负数,它是正数和负数的分界。 二、负数的作用 1、负数是在人为规定正方向的前提下出现的。 2、负数常用来表示和正数意义相反的量。 3、在选择用正数还是负数表示时,首先看是否规定了正方向。 4、一般含有褒义的量用正数表示,含有贬义的量则用负数表示。 例:零上5°用+5℃表示;零下5°用-5℃表示。收入2000元用+2000元表示;支出500元用-500元表示。 练习: 1、如果﹢20%表示增加20%,那么﹣20%表示什么? 2、某日傍晚,黄山的气温由上午的零上2摄氏度下降了7摄氏度,这天傍晚黄山的气温是_摄氏度。 3、正常水位为0,水位高于正常水位0.2记作____________,低于正常水位0.3米记作_____________。 正常水位为5米,现在水位为6.3m记作,低于正常水位2.5m记作。 4、按照要求回答:一个学生演示,教师提出要求规定向前走为正。 (1)向前走2步记作_________________。(2)向后走5步记作________________。 5、看图答题 与北京时间相比,东京时间早1小时,记为+1时;巴黎时间晚7个小时,记为-7时。以北京时间为标准,表示出其他时区的时间。 悉尼时间:____________ 伦敦时间:_____________ 6、判断题 (1)0可以看成是正数,也可以看成是负数() (2)海拔-155米表示比海平面低155米() (3)如果盈利1000元,记作+1000元,那么亏损200元就可记作-200元() (4)温度0℃就是没有温度() 7、常见负数的意义 (1)地图上的负数: 中国地形图上,可以看到我国有一座世界最高峰—珠穆朗玛峰,图上标着8848,在西北部有一吐鲁番盆地,地图上标着-155米,你能说说8848米,-155米各表示什么吗?这两个高低是以谁为标准的?(2)收入与支出 收入:2600元,()教育支出:300元()娱乐支出:500元()。 (3)电梯间的负数 -3层是什么意思?是以谁为标准的? 8、以学校为起点,往东走为正,往西走位负,小明从学校走了+50m,又走了-100m,这时小明离学校的距离是()。

(完整版)复数知识点总结

复数 一、复数的概念 1. 虚数单位i (1) 它的平方等于1-,即 2i 1=-; (2) 实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘法运算仍然成立,即满足交换律与结合律. (3) i 的乘方: 4414243*i 1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈,它们不超出i b 的形式. 2. 复数的定义 形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数, ,a b 分别叫做复数的实部与虚部 3. 复数相等 i i a b c d +=+,即,a c b d ==,那么这两个复数相等 4. 共轭复数 i z a b =+时,i z a b =-. 性质:z z =;2121z z z z ±=±;1121z z z z ?=?; );0()( 22121 ≠=z z z z z 二、复平面及复数的坐标表示 1. 复平面 在直角坐标系里,点z 的横坐标是a ,纵坐标是b ,复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴为实轴,y 轴出去原点的部分称为虚轴. 2. 复数的坐标表示 点(,)Z a b 3. 复数的向量表示 向量OZ uuu r . 4. 复数的模 在复平面内,复数i z a b =+对应点(,)Z a b ,点Z 到原点的距离OZ u u u r 叫做复数z 的模, 记作z .由定义知,z =. 三、复数的运算

1. 加法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++. 几何意义: 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =u u u u r ,2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =u u u u r ,则 12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++u u u u r u u u u r .因此复数的和可以在复平面上用平行四边 形法则解释. 2. 减法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-. 几何意义: 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =u u u u r ,2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =u u u u r ,则 12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--u u u u r u u u u r u u u u r . 12()()i z z a c b d -=-+-=1Z 、2Z 两点之间的距离,也等于向量12Z Z u u u u r 的模. 3. 乘法 ()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±. 4. 乘方 m n m n z z z +?= ()m n mn z z = 1212()n n n z z z z ?=? 5. 除法 ()()()()()()()()22a bi c di ac bd bc ad i a bi a bi c di c di c di c di c d +-++-++÷+= ==++-+. 6. 复数运算的常用结论 (1) 222(i)2i a b a b ab +=-+, 22(i)(i)a b a b a b +-=+ (2) 2(1i)2i +=, 2(1i)2i -=- (3) 1i i 1i +=-, 1i i 1i -=-+ (4) 1212z z z z ±=±, 1212z z z z ?=?, 1122z z z z ??= ???,z z =. (5) 2 z z z ?=, z z = (6) 121212z z z z z z -≤+≤+ (7) 1212z z z z ?=?,1212z z z z ?=?,n n z z = 四、复数的平方根与立方根

高中数学必备知识点 复数知识点的归纳

2013高中数学必备知识点复数知识点的归纳 复数在数学领域中起着举足轻重的地位,学好复数,自然而然也变得尤为重要。以下是关于复数的一些基本知识,让我们一起来了解下吧。 定义 数集拓展到实数范围内,仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解,因此将数集再次扩充,达到复数范围。形如z=a+bi的数称为复数(complex number),其中规定i为虚数单位,且i^2=i*i=-1(a,b是任意实数)我们将复数z=a+bi中的实数a 称为复数z的实部(real part)记作Rez=a 实数b称为复数z的虚部(imaginary part)记作 Imz=b. 已知:当b=0时,z=a,这时复数成为实数当a=0且b≠0时,z=bi,我们就将其称为纯虚数。 运算法则 加法法则 复数的加法法则:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和,它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。 即 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 乘法法则 复数的乘法法则:把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,结果中i^2 = ?1,把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。 即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 除法法则 复数除法定义:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法:将分子和分母同时乘以分母的共轭复数,再用乘法法则运算, 即 (a+bi)/(c+di) =[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)] =[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2). 开方法则 若z^n=r(cosθ+isinθ),则 z=n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n](k=0,1,2,3……n-1) 用心爱心专心- 1 -

高中数学高考总复习复数习题

高中数学高考总复习复 数习题 Last revised by LE LE in 2021

高中数学高考总复习复数习题一、选择题 1.复数3+2i 2-3i =( ) A.i B.-i C.12-13i D.12+13i 2.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( ) A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i 3.若复数(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i表示的点在虚轴上,则实数m的值是( ) A.-1 B.4 C.-1和4 D.-1和6 4.(文)已知复数z= 1 1+i ,则z-·i在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 (理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上,则复数z2+1 z ( ) A.是纯虚数 B.是虚数但不是纯虚数C.是实数

D.只能是零 5.复数(3i-1)i的共轭复数 ....是( ) A.-3+i B.-3-i C.3+i D.3-i 6.已知x,y∈R,i是虚数单位,且(x-1)i-y=2+i,则(1+i)x-y的值为( ) A.-4 B.4 C.-1 D.1 7.(文)复数z1=3+i,z2=1-i,则z=z1·z2在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (理)现定义:e iθ=cosθ+isinθ,其中i是虚数单位,e为自然对数的底,θ∈R,且实数指数幂的运算性质对e iθ都适用,若a=C50cos5θ-C52cos3θsin2θ+ C 54cosθsin4θ,b=C 5 1cos4θsinθ-C 5 3cos2θsin3θ+C 5 5sin5θ,那么复数a+b i等于 ( ) A.cos5θ+isin5θ B.cos5θ-isin5θ C.sin5θ+icos5θ D.sin5θ-icos5θ 8.(文)已知复数a=3+2i,b=4+xi(其中i为虚数单位),若复数a b ∈R,则实数x 的值为( ) A.-6 B.6

复数知识点精心总结

复数知识点 考试内容: 复数的概念. 复数的加法和减法. 复数的乘法和除法. 数系的扩充. 考试要求: (1)了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义. (2)掌握复数代数形式的运算法则,能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算. (3)了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想. 1. ⑴复数的单位为i ,它的平方等于-1,即1i 2-=. ⑵复数及其相关概念: ① 复数—形如a + b i 的数(其中R b a ∈,); ② 实数—当b = 0时的复数a + b i ,即a ; ③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ; ④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ,即b i. ⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部,b 叫做虚部(注意a ,b 都是实数) ⑥ 复数集C —全体复数的集合,一般用字母C 表示. ⑶两个复数相等的定义: 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a )特别地,,,,(其中,且. ⑷两个复数,如果不全是实数,就不能比较大小. 注:①若21,z z 为复数,则ο1若021φz z +,则21z z -φ.(×)[21,z z 为复数,而不是实数] ο2若21z z π,则021πz z -.(√) ②若C c b a ∈,,,则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.(当22)(i b a =-, 0)(,1)(22=-=-a c c b 时,上式成立) 2. ⑴复平面内的两点间距离公式:21z z d -=. 其中21z z ,是复平面内的两点21z z 和所对应的复数,21z z d 和表示间的距离. 由上可得:复平面内以0z 为圆心,r 为半径的圆的复数方程:)(00φr r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式: ①00z r z z 表示以=-为圆心,r 为半径的圆的方程.

(完整版)复数知识点归纳

精心整理 页脚内容 复数 【知识梳理】 一、复数的基本概念 1、虚数单位的性质 i 叫做虚数单位,并规定:①i 可与实数进行四则运算;②12-=i ;这样方程12-=x 就有解了,解为i x = 2(1①a z =(2例题:注意:三、共轭复数 bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==? bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_,且22_ b a z z +=? 四、复数的几何意义 1、复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴。显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数。

精心整理 页脚内容 2、复数的几何意义 复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系(复数的实质是有序实数对,有序实数对既可以表示一个点,也可以表示一个平面向量) 相等的向量表示同一个复数 例题:(1)当实数m 为何值时,复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点 ①位于第三象限;②位于直线x y =上 (2)复平面内)6,2(=→AB ,已知→→AB CD //,求→ CD 对应的复数 3、复数的模: 向量OZ 的模叫做复数bi a z +=的模,记作z 或bi a +,表示点),(b a 到原点的距离,即=z 22b a bi a +=+,z z = 若bi a z +=1,di c z +=2,则21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离,即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题:已知i z +=2,求i z +-1的值 五、复数的运算 (1)运算法则:设z 1=a +b i ,z 2=c +d i ,a ,b ,c ,d ∈R ①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=± ②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+?+=? ③2221)()()()())(())(d c i a d bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-?+-+=++= (2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出 的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即=+,=-. 六、常用结论 (1)i ,12-=i ,i i -=3,14=i 求n i ,只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次 例题:=675i (2)i i 2)1(2=+,i i 2)1(2-=- (3)1)2321(3=±-i ,1)2 321(3-=±i 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2+x +1=0没有解.( )

高中数学复数(DOC)

复 数 知识回顾: 一、复数的概念 1. 虚数单位i (1) 它的平方等于1-,即2 i 1=-; (2) 实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘法运算仍然成立,即满足交换律与结合律. (3) i 的乘方:4414243*i 1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈,它们不超出i b 的形式. 2. 复数的定义 形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数,单个复数常常用字母z 表示.把复数z 表示成i a b +时,叫做复数的代数形式.,a b 分别叫做复数的实部与虚部,记作Re ,Im z z . 注意复数的实部和虚部都是实数. 3. 复数相等 如果两个复数1i(,)R z a b a b =+∈和2i(,)R z c d c d =+∈的实部和虚部分别相等,即,a c b d ==,那么这两个复数相等,记作i i a b c d +=+.一般的,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小. 4. 共轭复数 当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,也称这两个复数互相共轭.复数z 的共轭复数用z ,也就是当i z a b =+时,i z a b =-. a a =,i i b b =-. 二、复数的分类

正整数 有理数,Q Z q p q p ??=∈???? 零(0a b ==) 实数R :(0b =) 负整数 复数C 无理数 i (,) R z a b a b =+∈ 纯虚数(0a =) 虚数(0b ≠) 非纯虚数(0a ≠) i z a b =+是实数0b z z ?=?=. i z a b =+是纯虚数0,00,0a b z z z ?=≠?+=≠. 三、复平面及复数的坐标表示 1. 复平面 在直角坐标系里,点z 的横坐标是a ,纵坐标是b ,复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴为实轴,y 轴出去原点的部分称为虚轴. 2. 复数的坐标表示 一个复数i z a b =+对应了一个有序实数对(,)a b ;反之一个有序实数对(,)a b 对应了一个复数i a b +.在复平面内,复数i z a b =+与复平面内的点(,)Z a b 是一一对应的. 我们常把复数i a b +看作点(,)Z a b . 3. 复数的向量表示

高中数学复数的知识点总结

高中数学复数的知识点总结 高中数学复数的知识点总结 定义 数集拓展到实数范围内,仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解,因此将数集再次扩充,达到复数范围。形如z=a+bi的数称为复数(complexnumber),其中规定i为虚数单位,且i^2=i*i=-1(a,b是任意实数)我们将复数z=a+bi中的实数a称为复数z的实部(realpart)记作Rez=a实数b称为复数z的虚部(imaginarypart)记作Imz=b.已知:当b=0时,z=a,这时复数成为实数当a=0且b≠0时,z=bi,我们就将其称为纯虚数。 运算法则 加法法则 复数的加法法则:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和,它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。 即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 乘法法则 复数的乘法法则:把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,结果中i^2=1,把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。 即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.

除法法则 复数除法定义:满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法:将分子和分母同时乘以分母的共轭复数,再用乘法法则运算, 即(a+bi)/(c+di) =[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)] =[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2). 开方法则 若z^n=r(cosθ+isinθ),则 z=n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n](k=0,1,2,3……n-1) 复数中的难点 (1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好,对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义,对其灵活地加以证明. (2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道,但对其灵活地运用有一定的困难,特别是开方运算,应对此认真地加以训练. (3)复数的辐角主值的求法. (4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示,同时复数的.模和辐角都具有几何意义,对他们的理解和应用有一定难度,应认真加以体会.

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