A数学2-3第一章 计数原理

数学2-3第一章检测卷

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{5,6,7}，C ＝{8,9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成多少个集合( ) A ．24个 B ．36个C ．26个 D ．27个

2．若实数a ＝2－2，则a 10－2C 110a 9＋22C 210a 8－…＋210

等于( )

A ．32

B ．－32

C ．1 024

D ．512

3．10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有( ) A ．77种 B ．144种C ．35种 D ．72种

4．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有( )

A ．A 44A 55

B ．A 32A 44A 35

C ．C 13A 44A 55

D ．A 22A 44A 5

5

5．在二项式?

????2x ＋14x n

的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项式展开式中x －2

项的

系数为( )

A ．2

B ．4

C ．1

D ．16

6．由数字0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( ) A ．72 B ．60C ．48 D ．52

7．用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色给如图所示的四连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为( )

A ．28

B ．32

C ．44

D ．56

8．设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，那么a 0＋a 2＋a 4

a 1＋a 3的值为( )

A ．－122121

B ．－6160

C ．－244

241

D ．－1

9．将A ，B ，C ，D 四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A ，B 不能放入同一个盒子中，则不同的放法有( ) A ．15种 B ．18种C ．30种 D ．36种

10．已知二项式?

????x ＋13

x n

的展开式中第4项为常数项，则1＋(1－x )2＋(1－x )3＋…＋(1－x )n

中x 2项的系数为( )

A ．－19

B ．19

C ．20

D ．－20

11．某市践行“干部村村行”活动，现有3名干部可供选派，下乡到5个村蹲点指导工作，每个村至少有1名干部，每个干部至多住3个村，则不同的选派方案共( ) A ．243种 B ．210种C ．150种 D ．125种

12．如图为与杨辉三角结构相似的“巴斯卡”三角，这个三角的构造方法是：除第一行为1外，其余各行中的每一个数，都等于它右肩上的数乘以右肩所在的行数，再加上左肩而得．例如第5行第3个数是35，它的右肩为6，左肩为11，右肩所在的行数为4，所以35＝6×4＋11.这个三角中的数与下面这个展开式中的系数有关：x (x ＋1)(x ＋2)…[x ＋(n －1)]＝a n x n ＋a n －1x n －

1＋…＋a 1x .

则在“巴斯卡”三角中，第8行从左到右的第2个数到第7个数之和为( )

A ．322 559

B ．35 279

C ．5 880

D ．322 560

13．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学排在上午(前4节)，体育排在下午(后2节)，不同的排法种数是________．

14．若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2

＋…＋

1，且a ＝3b ，则n ＝________.

15．由1,4, 5，x 可组成没有重复数字的四位数，若所有这些四位数的各位数字之和为288，则x 的值为________． 16．若(1－2x )

2 017

＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 017x

2 017

(x ∈R )，则(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0

＋a 2 017)＝________(用数字作答)． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O 型血的共有28人，A 型血的共有7人，B 型血共有9人，AB 型血共有3人．

(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？

(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？

18．(12分)为了下一次的航天飞行，现准备从10名预备队员(其中男6人，女4人)中选4人参加“神舟十一号”的航天任务．

(1)若男甲和女乙同时被选中，共有多少种选法？

(2)若至少两名男航天员参加此次航天任务，问共有几种选法？

(3)若选中的四个航天员被分配到A ，B ，C 三个实验室去，其中每个实验室至少一个航天员，共有多少种选派法？

19.(12分)已知(a 2＋1)n 的展开式中各项系数之和等于????165x 2＋1

x 5的展开式的常数项，并且(a 2＋1)n

的展开式中系数最大的项等于54，求a 的值．

20．(12分)设????1＋1

2x m ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a m x m ，若a 0，a 1，a 2成等差数列． (1)求???

?1＋1

2x m 展开式的中间项； (2)求????1＋1

2x m 展开式中所有含x 奇次幂的系数和．

21.(12分)已知m ，n 是正整数，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中x 的系数为7， (1)对于使f (x )的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数； (2)利用上述结果，求f (0.003)的近似值；(精确到0.01)

(3)已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，求b a .

22．(12分)用0,1,2,3,4,5这六个数字，完成下面三个小题． (1)若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数；

(2)若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数； (3)若直线方程ax ＋by ＝0中的a ，b 可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？

数学2-3第一章检测卷答案

1．C [从三个集合中取出两个集合，有C 2

3＝3种取法，

分别是集合A 、B ；集合A 、C ；集合B 、C .

当取出集合A 、B 时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有C 14×C 1

3

＝12(个)；

当取出集合A 、C 时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有C 14×C 12

＝8(个)；

当取出集合B 、C 时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有C 13×C 12

＝6(个)；

∵集合A 、B 、C 的元素各不相同，∴一共可以组成12＋8＋6＝26(个)集合．故选C.] 2．A [由二项式定理，得：a

10

－2C 110a 9＋22C 210a 8－…＋210＝C 010(－2)0a 10＋C 110(－2)1a 9＋C 210(－2)2a

8

＋…＋C 1010(－2)10＝(a －2)10

＝(－

2)10＝25

＝32.]

3．A [分两类，第一类，有1名老队员2名新队员，共有C 12C 2

7＝42(种)选法；

第二类，3人全部是新队员，共有C 37＝35(种)选法；

∴老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有42＋35＝77(种)选法．]

4．D [先把每种品种的画看成一个整体，而水彩画只能放在中间，则油画与国画放在两端有

A 22

种放法，再考虑4幅油画本身排放有A 44种方法，5幅国画本身排放有A 5

5种方法，故不同的陈列

法有

A 22A 44A 5

5种．]

5．C [由题意可得2n 、C 1n ·2n －

1、C 2n ·2n

－2

成等差数列，∴2C 1n ·

2n －

1＝2n ＋C 2n ·2n －

2

，解得n ＝8.故展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8·28－r ·x 4－3r 4，令4－3r 4＝－2，求得r ＝8，故该二项式展开式中x －

2项的系数为C 88·

20＝1，故选C.] 6．B [只考虑奇偶相间，则有2A 33A 33种不同的排法，其中0在首位的有A 22A 33种不合题意，所以

共有

2A 33A 33－A 22A 3

3＝60(种)．]

7．C [根据题意，红色至少要涂两个圆，而且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则红色只能涂第一、三个圆、第二、四个圆或第一、四个圆，分3种情况讨论：①用红色涂第一、三个圆，

此时第2个圆不能为红色，有4种涂色方法，第4个圆也不能为红色，有4种涂色方法，则此时共有4×4＝16(种)涂色方案；

②同理，当用红色涂第二、四个圆也有16种涂色方案；③用红色涂第一、四个圆， 此时需要在剩下的4种颜色中，任取2种，涂在第二、三个圆中，有A 24＝12种涂色方案． 则一共有16＋16＋12＝44(种)不同的涂色方案．]

8．B [令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1，再令x ＝－1可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35.两式相加除以2求得a 0＋a 2＋a 4＝122，两式相减除以2可得a 1＋a 3＋a 5＝－121. 结合a 5＝－1，故a 0＋a 2＋a 4a 1＋a 3

＝－61

60.]

9．C [先把A ，B 放入不同盒中，有3×2＝6(种)放法，再放C ，D ， 若C ，D 在同一盒中，只能是第3个盒，1种放法；

若C ，D 在不同盒中，则必有一球在第3个盒中，另一球在A 或B 的盒中，有2×2＝4(种)放法． 故共有6×(1＋4)＝30(种)放法．]

10．C [? ????x ＋13x n 的展开式T r ＋1＝C r n (x )n －r

? ??

??13x r ＝C r n x n 2－5r 6，由题意知n 2－5×36＝0，得n ＝5，则所求式子中x 2项的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.]

11．C [3名干部可供选派，下乡到5个村蹲点指导工作，每个村至少有1名干部，每个干部至多住3个村，于是可以把5个村为(1,1,3)和(1,2, 2)两组，

当为(1,1,3)时，有C 35A 33＝60(种)，

当为(1,2,2)时，有C 25·C 23

A 22·A 33＝90(种)，根据分类加法计数原理可得60＋90＝150(种)．] 12．

B [由已知中“巴斯卡”三角的前5行可得：

第n 行的第一个数为(n －1)！，故第8行的第一个数为7！，第9行的第一个数为8！， 又由第一行的累加和等于第二行的第一个数；第二行的累加和等于第三行的第一个数； 第三行的累加和等于第四行的第一个数；第四行的累加和等于第五行的第一个数；…… 故第8行的所有数的和为第9行的第一个数8！， 设第8行从左到右的第2个数到第7个数之和为S ， 则S ＋7！＋1＝8！，故S ＝8！－7！－1＝35 279.]

13．192解析 由题意，要求数学课排在上午(前4节)，体育课排在下午(后2节)，有C 14C 1

2＝8(种)．

再排其余4节，有A 44＝24(种)，根据乘法原理，共有8×24＝192(种)方法． 14．11解析

a ＝C n －3n ＝C 3n ，

b ＝C n －2n ＝C 2

n ，由

a ＝3

b 得n ＝11.

15．2解析 当x ≠0时，有A 44＝24个四位数，每个四位数的数字之和为1＋4＋5＋x 故24(1＋4＋5＋x )＝288，解得x ＝2；

当x ＝0时，每个四位数的数字之和为1＋4＋5＝10，而288不能被10整除，即x ＝0不合题意， 综上可知x ＝2.

16．2 015解析 令x ＝0得a 0＝1，令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝－1，所以(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 017)＝2 016－1＝2 015.

17．解 从O 型血的人中选1人有28种不同的选法，从A 型血的人中选1人有7种不同的选法，从B 型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB 型血的人中选1人有3种不同的选法． (1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情都能完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47(种)不同的选法．

(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5 292(种)不同的选法． 18．解 (1)若男甲和女乙同时被选中，剩下的2人从8人中任选即可，即有C 28＝28种．

(2)至少两名男航天员，可分为2名，3名，4名三类，利用分类加法计数原理可得C 26C 24＋C 36C 1

4＋C 46＝185(种)．

(3)先选4名航天员，然后把这4名航天员分2,1,1三组，再分配到A ，B ，C 三个实验室去， 共有

C 410·C 24C 12C 1

1A 22

·A 33＝7 560(种)． 19．解 ????165x 2＋1x 5展开式的常数项为C 45????165x 2????1x 4

＝16.(a 2＋1)n 展开式的系数之和2n ＝16，n

＝4.∴(a 2

＋1)n

展开式的系数最大的项为

C 24(a 2)2×12＝6a 4

＝54，∴a ＝±

3.

20．解 (1)依题意a 0＝1，a 1＝m 2，a 2＝C 2m ????122.由2a 1＝a 0＋a 2，求得m ＝8或m ＝1(应舍去)， 所以????1＋12x m 展开式的中间项是第五项，T 5＝C 48????12x 4＝358x 4

.

(2)∵????1＋12x m ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a m x m ，即???

?1＋1

2x 8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8. 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝????328，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8

＝????128， 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 9＝38－129＝20516，所以展开式中x 的奇次幂的系数和为205

16

.

21．解 (1)根据题意得：C 1m ＋C 1

n ＝7，即m ＋n ＝7，①

f (x )中的x 2

的系数为

C 2m ＋C 2

n

＝m (m －1)2

＋n (n －1)2

＝m 2

＋n 2－m －n

2

.

将①变形为n ＝7－m 代入上式得：x 2的系数为m 2－7m ＋21＝????m －722＋354

， 故当m ＝3，或m ＝4时，x 2的系数的最小值为9.当m ＝3、n ＝4时，x 3的系数为C 33＋C 3

4＝5； 当m ＝4、n ＝3时，x 3的系数为C 34＋C 33＝5.

(2)f (0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3＝C 04＋C 14×0.003＋C 03＋C 13×0.003＝2.02.

(3)由题意可得

a ＝C 48

＝70，再根据????

? C r 8·2r ≥C r ＋

18·

2r ＋1

，

C r 8·2r ≥C r －18

·2r －1

，即????

?

r ≥5，r ≤6， 求得r ＝5或6，此时，b ＝7×28，∴b a ＝128

5.

22．解 (1)5×6×6×6×3＝3 240(个)．

(2)当首位数字是5，而末位数字是0时，有A 13A 2

3＝18(个)； 当首位数字是3，而末位数字是0或5时，有A 12A 34＝48(个)；

当首位数字是1或2或4，而末位数字是0或5时，有A 13A 12A 13A 23＝108(个)；

故共有18＋48＋108＝174(个)．

(3)a ，b 中有一个取0时，有2条；a ，b 都不取0时，有A 2

5＝20(条)；a ＝1，b ＝2与a ＝2，b ＝4

重复，

a ＝2，

b ＝1与a ＝4，b ＝2重复． 故共有2＋20－2＝20(条)．

高考数学 计数原理 知识汇总

计数原理 课表要求 1、会用两个计数原理分析解决简单的实际问题； 2、理解排列概念，会推导排列数公式并能简单应用； 3、理解组合概念，会推导组合数公式并能解决简单问题； 4、综合应用排列组合知识解决简单的实际问题； 5、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题； 6、会用二项式定理求某项的二项式系数或展开式系数，会用赋值法求系数之和。突破方法 1．加强对基础知识的复习，深刻理解分类计数原理、分步计数原理、排列组合等基本概念，牢固掌握二项式定理、二项展开式的通项、二项式系数的性质。2．加强对数学方法的掌握和应用，特别是解决排列组合应用性问题时，注重方法的选取。比如：直接法、间接法等；几何问题、涂色问题、数字问题、其他实际问题等；把握每种方法使用特点及使用范围等。 3．重视数学思维的训练，注重数学思想的应用，在解题过程中注重化归与转化思想的应用，将不同背景的问题归结为同一个数学模型求解；注重数形结合、分类讨论思想、整体思想等，使问题化难为易。 知识点 1、分类加法计数原理 完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……在第n类办法中有m n种不同的方法。那么完成这件事共有：N=m1+m2+……+m n种不同的方法。 注意：（1）分类加法计数原理的使用关键是分类，分类必须明确标准，要求每一种方法必须属于某一类方法，不同类的任意两种方法是不同的方法，这时分类问题中所要求的“不重复”、“不遗漏”。 （2）完成一件事的n类办法是相互独立的。从集合角度看，完成一件事分A、B两类办法，则A∩B=?,A∪B=I（I表示全集）。 （3）明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事。 2、分步乘法计数原理 完成一件事，需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有：N=m1·m2·……·m n种不同的方法。 注意：（1）明确题目中所指的“做一件事”是什么事，单独用题中所给的某种方法是不是能完成这件事，是不是要经过几个步骤才能完成这件事。 （2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成。 （3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步去

人教版高中数学选修2-3第一章计数原理单元测试(一)及参考答案

2018-2019学年选修2-3第一章训练卷 计数原理(一) 注意事项： 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有( ) A.8种 B.12种 C.16种 D.20种 2.已知() 7781C C C n n n n +-=∈* N ,则n 等于( ) A.14 B.12 C.13 D.15 3.某铁路所有车站共发行132种普通客票,则这段铁路共有车站数是( ) A.8 B.12 C.16 D.24 4.()7 1x +的展开式中x 2的系数是( ) A.42 B.35 C.28 D.21 5.一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( ) A.3×3! B.3×(3！) 3 C.(3！)4 D.9! 6.某校园有一椭圆型花坛,分成如图四块种花,现有4种不同颜色的花可供选择,要求每块地只能种一种颜色,且有公共边界的两块不能种同一种颜色,则不同的种植方法共有( ) A.48种 B.36种 C.30种 D.24种 7.若多项式x 2＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10,则a 9＝( ) A.9 B.10 C.－9 D.－10 8.从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有( ) A.48种 B.36种 C.18种 D.12种 9.已知()1n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) A.212 B.211 C.210 D.29 10.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的放法共有( ) A.12种 B.18种 C.36种 D.54种 11.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的 偶数共有( ) A.144个 B.120个 C.96个 D.72个 12.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有 ( ) A.24对 B.30对 C.48对 D.60对 二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上) 13.在报名的3名男教师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选法有________种(用数值表示) 14.()()4 1a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a ＝________. 15.有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复. 若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一人,则不同的安排方式共有________种(用数字作答). 16.从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数,能被3整除的数有________个. 三、解答题(本大题共6个大题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号

两个基本计数原理教案

第一章计数原理 第1节两个基本计数原理 教材分析 本节课《分类计数原理与分步计数原理》是苏教版普通高中课程标准试验教科书（选修2-3)第一章第一节的内容，是本章后续知识的基础,对后续内容的学习有着举足轻重的作用,另外本节课涉及的分步、分类的思想是解决实际问题的最有效武器，是人们思考问题的最根本方法. 学情分析 高二学生已具备一定的数学知识和方法，能很容易的接受两个原理的内容，并应用原理解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”．虽然学生已经具备了一定的归纳、类比能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养．另外，学生的求知欲强，参与意识，自主探索意识明显增强，对能够引起认知冲突，表现自身价值的学习素材特别感兴趣。但在合作交流意识欠缺，有待加强. 目标分析 ⑴知识与技能 ①掌握分类计数原理与分步计数原理的内容 ②能根据具体问题的特征选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单实际问题． ⑵过程与方法 ①通过具体问题情境总结出两个计数原理，并通过实际事例学生感悟两个原理的应用并最终学会应用 ②通过“学生自主探究、合作探究，师生共究”更深刻的理解分类计数与分步计数原理，并应用它们解决实际问题 ⑶情感、态度、价值观 树立学生积极合作的意识，增强数学应用意识,激发学生学习数学的热情和兴趣. 教学重难点分析 教学重点：分类计数原理与分步计数原理的掌握 教学难点：根据具体问题特征选择分类计数原理与分步计数原理解决实际问题． 教法、学法分析 教法分析： ①启发探究法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。 ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。 学法分析：本节课要求学生自主探究，学会用类比的思想解决问题，树立学生的合作交流意识. 教学过程 一、创设情境：对于分类计数原理设计如下情境（看多媒体）： 该情境是原教材上情境经过加工设计的，比原教材情境更加贴近学生生活，能够增强学生的有意注意，激发学生的兴趣，调动学生的主动性和积极性,从而进入思维情境接着是对情境的处理：在情境处理过程中要启发学生由特殊情形归纳出一般原理,遵循由简单到复杂的认知规律，我处理情境的办法是： 第一步在解决问题时首先让学生尝试分析,然后由学生代表分析解答，教师及时给出评价，并由老师给出解题过程，在这里由老师按分类计数原理给出解题过程，为学生顺利总结概括出原理做好铺垫. 第二步对原问题加以引申：若当天有4次航班，则有多少种不同方法？ 设计的意图是让学生更清楚的认识到总方法数是各类方法数之和. 第三步提出问题：你能否尽可能简练的总结出问题1中的计数规律？ 接着由学生分组讨论、总结问题1中计数规律，这样由学生总结归纳，并通过讨论准确叙述出分类计数原理，可以提高学生的数学表达意识，激发合作意识和竞争意识，体验获得成功的喜悦，也就完成了情感目标.

高中数学之计数原理

计数原理（讲义） ? 知识点睛 一、两个计数原理 1. 全排列：n 个不同元素全部取出的排列，叫做n 个不同元素的一个全排列， A (1)(2)21n n n n n n =?-?-???=L ！ 即正整数1到n 的连乘积叫做n 的阶乘，用n ！表示． A ()m n n n m =-！！，A !C !()!A m m n n m m n m n m ==-， 规定0!1=，0C 1n =． 2. 组合数的性质 C C m n m n n -=，11C C C m m m n n n -+=+． ? 精讲精练 1. 从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地 到B 地有4条路，则从A 地到B 地的不同走法共有（ ）种．

A ．3+2+4=9 B ．1 C ．3×2×4=24 D ．1+1+1=3 2. 设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的方案有a 种，这4名学生在运动会上共同争 夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b 种，则(a ，b )为（ ） A ．(34，34) B ．(43，34) C ．(34，43) D ．3344(A A )， 3. 填空： （1）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有______种． （2）某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成，若要选出不同年级的两人参加市里组织的某项活动，则不同的选法共有______种． （3）从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的取法有_____种． （4）在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的为_____种（结果用数值表示）． 4. 填空： （1）用0到9这10个数字，可组成________个没有重复数字的四位偶数． （2）6个人从左至右排成一行，若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种． （3）某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆且型号相同，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，则不同的抽调方法共有________种．

第一章 计数原理单元测试题

第一章 计数原理单元测试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种 2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有 A ．36种 B ．48种 C ．96种 D ．192种 3. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种 4. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ） Ａ．() 2 1 4 2610C A 个 Ｂ．24 2610A A 个 Ｃ．()2 14 26 10 C 个 Ｄ．2 4 2610A 个 5. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 (A)40种 (B) 60种(C) 100种 (D) 120种 6. 由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( ) B.60 7.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（ ）个数. B.9 和CD 为平面内两条相交直线，AB 上有m 个点，CD 上有n 个点，且两直线上各有一个与交点重合，则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是( ) A. 2121m n n m C C C C + B. 2 1121m n n m C C C C -+ C. 2 1211m n n m C C C C +- D. 2 1 11211---+m n n m C C C C 9.设 () 1010221010 2x a x a x a a x +???+++=-,则 ()()292121020a a a a a a +???++-+???++的值为( ) B.-1 D.

知识点总结--3计数原理

计数原理知识点 知识网络 一、两个计数原理 1. 分类加法计数原理：完成一件事，有n 类办法， 在第1类办法中有1m 种不同的办法； 在第2类办法中有2m 种不同的方法； ..... 在第n 类办法中有n m 种不同的方法 那么，完成这件事共有n m m m N 21中不同的方法. 2. 分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n 个步骤， 做第1步有1m 种不同的方法； 做第2步有2m 种不同的方法； ..... 做第n 步有n m 种不同的方法 那么，完成这件事共有n m m m N 21种不同的方法.

3、两个计数原理的区别 二、排列与组合 1.排列 （1）排列定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 （2）排列数：从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素的所有不同排列的个数叫 做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。用符号m n A 表示. （3）排列数公式： 其中*,N m n ，并且n m 特殊的，当n m 时，即有 n n A 称为n 的阶乘，通常用!n 表示，即 !n A n n 2. 组合： （1）组合定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 （2）组合数：从n 个不同元素中取出)(n m m 个元素的所有不同组合的个数叫 做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。用符号m n C 表示。 !!121m n n m n n n n A m n 1 2321 n n n A n n

高考数学压轴专题最新备战高考《计数原理与概率统计》难题汇编及解析

【高中数学】数学《计数原理与概率统计》复习知识要点 一、选择题 1．某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ） A ．36 B ．72 C ．108 D ．144 【答案】D 【解析】 【分析】 按三步分步进行，先考虑甲单位招聘，利用间接法，因为至少招聘一名男生，将只招女生 的情况去掉，录取方案数为22 63C C -，然后剩余四人依次分配给乙单位和丙单位，分别为 24C 、2 2C ，然后根据分步乘法计数原理将三个数相乘可得出答案。 【详解】 根据题意，分3步进行分析： ①单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有226312C C -=种情况， ②单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有246C =种情况， ③单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有1 2 2C =种情况， 则有1262144??=种不同的录取方案； 故选：D ． 【点睛】 本题考查排列组合问题，将问题分步骤处理和分类别讨论，是两种最基本的求解排列组合问题的方法，在解题的时候要审清题意，选择合适的方法是解题的关键，着重考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中等题。 2．已知函数，在区间 内任取一点，使 的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出的取值范围，再利用几何概型相关公式即可得到答案. 【详解】 由 得，故 或 ，由 ，故 或 ，故使 的概率为 . 【点睛】 本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般.

3．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种 【答案】C 【解析】 【分析】 给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】 甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区， 则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1 3 43C C ?； 第2社区2个、第3社区安排2个，共22 42C C ?； 第2社区3个，第3社区安排1个，共11 41C C ?； 故所有安排总数为132211 4342413()42C C C C C C ??+?+?=. 故选：C. 【点睛】 本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 4．下列等式不正确的是（ ） A ．111 m m n n m C C n ++=+ B ．121 11m m m n n n A A n A +-+--= C ．1 1m m n n A nA --= D ．1(1)k k k n n n nC k C kC +=++ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据排列和组合公式求解即可. 【详解】 根据组合公式得1 1!1(1)!1!()!1(1)!()!1 m m n n n m n m C C m n m n m n m n +++++==?=-++-+，则A 错误； 根据排列公式得 1221 11(1)!!!(1)!(11)()!()!()!()! m m m n n n n n n n A A n n n A n m n m n m n m +-+-+--= -=+-=?=----，则B 正 确； 根据排列公式得1 1!(1)!()!()! m m n n n n A n nA n m n m ---= =?=--，则C 正确；

【高中数学】计数原理总结

【高中数学】计数原理总结 知识梳理： 1. 分类加法计数原理和分布乘法计数原理 (1)如果完成一件事有n 类不同的方案，在第一类中有m1种不同的方法，在第二类中有m2种不同的方法，…，在第n 类中有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=_________种不同的方法。 (2)如果完成一件事需要n 个不同的步骤，在第一步中有m1种不同的方法，在第二步中有m2种不同的方法，…，在第n 步中有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=_________种不同的方法。 (3)分类和分布的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是___________；必须要连续若干步才能完成则是 _____________。分类要用分类计数原理将种数_________，分步要用分步计数原理将种数_________。 2. 排列与组合 (1)排列 (1)(2)(1)()(1)321(1)(2)(1)()(1)321 !()! m n n n n n m n m n m A n n n n m n m n m n n m ---+---??=---+= ---??=- (1)(2)(!()!m n A n n n n n n m =--=- (2)组合 ①组合数公式(1)(2)(1)!()(1)321()!! m n n n n n m n C n m n m n m m ---+==---??- ①组合数的两个性质_______ _ ____、 。 ③区别排列与组合 3. 常见的解题策略有以下几种： (1)特殊元素优先安排的策略 (2)合理分类和准确分布的策略 (3)排列、组合混合问题先选后排的策略 (4)正难则反、等价转化的策略 (5)相邻问题捆绑的策略 (6)不相邻问题插空处理的策略 (7)定序问题除法处理的策略 (8)分排问题直排处理的策略 (9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略 (10)构造模型的策略。 4. 二项式定理 (1)二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n (2)通项：展开式的第1+r 项，即) ,,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+ (3)二项式系数的性质： ①对称性：在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等。即 ①增减性与最值：二项式系数先增后减且在中间取得最大值 当n 是偶数时，中间一项取得最大值2n n C 当n 是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值21-n n C =21+n n C ③二项式系数的和： 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和。即 m n n m n C C -=n n n k n n n n C C C C C 2 210 =+???++???+++∴ 0213n-1n n n n C +C +=C +C +=2

2019年高考真题理科数学分类汇编专题10 概率与统计和计数原理(解析版)

专题10 概率与统计 1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 【答案】C 【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差 【答案】A 【解析】设9位评委评分按从小到大排列为1234 89x x x x x x <<<<<． 则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x 后剩余2348x x x x <<<<，中位数仍为5x ， A 正确； ②原始平均数1234891 ()9x x x x x x x = <<<<<，后来平均数234 81 ()7 x x x x x '=<<<，平均数 受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确； ③2 222111 [()()()]9q S x x x x x x = -+-++-，22222381 [()()()]7 s x x x x x x '=-'+-'+ +-'，由② 易知，C 不正确； ④原极差91x x =-，后来极差82x x =-，显然极差变小，D 不正确．故选A ． 3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是

计数原理知识点总结与训练

计数原理知识点总结 一、两个计数原理 3、两个计数原理的区别 二、排列与组合 1、排列： 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2、排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列 的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。用符号 表 示. 3、排列数公式： 其中 4、组合： 一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。 5、组合数： 从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。用符号 表示。 6、组合数公式： 其中 注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”. 7、性质： m n A m n A ()()() ()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=Λ . ,,*n m N m n ≤∈并且m n C ()()() ()! !! !121m n m n m m n n n n C m n -= +---= Λ . ,,*n m N m n ≤∈并且m n n m n C C -=m n m n m n C C C 1 1+-=+

三、二项式定理 如果在二项式定理中，设a=1,b=x ，则可以得到公式： 2、性质： 0241351 2 n n n n n n n C C C C C C -=+++=+++=L L 奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和：

2021版高中数学第一章计数原理课时训练01分类加法计数原理与分步乘法计数原理新人教B版选修2

课时训练01 分类加法计数原理与分步乘 法计数原理 (限时：10分钟) 1．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，则满足条件的不同的有序自然数对的个数是( ) A．15 B．12 C．5 D．4 解析：利用分类加法计数原理． 当x＝1时，y＝0,1,2,3,4,5，有6种情况． 当x＝2时，y＝0,1,2,3,4，有5种情况． 当x＝3时，y＝0,1,2,3，有4种情况． 据分类加法计数原理可得，共有6＋5＋4＝15种情况． 答案：A 2．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A．243 B．252 C．261 D．279 解析：0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)． 答案：B 3．某体育馆有8个门供球迷出入，某球迷从其中一门进入，另一门走出，则不同的进出方法有( ) A．16种 B．56种 C．64种 D．72种 解析：分两步进行：第一步，选一门进入有8种方法；第二步，从剩下的门中选择一门走出有7种方法，共8×7＝56种方法．答案：B 4．已知集合A＝{0,3,4}，B＝{1,2,7,8}，集合C＝{x|x∈A，或x∈B}，则当集合C中有且只有一个元素时，C的情况有__________种． 解析：分两类进行，第一类，当元素属于集合A时，有3种．第二类，当元素属于集合B时，有4种． ∴共3＋4＝7种．

答案：7 5．甲、乙、丙3个班各有三好学生3,5,2名，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有多少种不同的推选方法． 解析：分为三类： 第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步乘法计数原理有3×5＝15种选法； 第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有3×2＝6种选法； 第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理有5×2＝10种选法． 综合以上三类，根据分类加法计数原理，共有15＋6＋10＝31种不同选法． (限时：30分钟) 一、选择题 1．某乒乓球队里有男队员6人，女队员5人，从中选取男、女队员各一人组成混合双打队，不同的组队总数有( ) A．11 B．30 C．56 D．65 解析：先选1男有6种方法，再选1女有5种方法，故共有6×5＝30种不同的组队方法． 答案：B 2．某小组有8名男生，4名女生，要从中选出一名当组长，不同的选法有( ) A．32种 B．9种 C．12种 D．20种 解析：由分类加法计数原理知，不同的选法有N＝8＋4＝12种．答案：C 3．由0,1,2三个数字组成的三位数的个数为( ) A．27 B．18 C．12 D．6 解析：分三步，分别取百位、十位、个位上的数字，分别有2种、3种、3种取法，故共可得2×3×3＝18个不同的三位数．答案：B 4．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有

高考数学-计数原理-3-排列组合

专项-排列组合 知识点 一、排列 定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中 取出m 个元素的一个排列；排列数用符号m n A 表示 对排列定义的理解： 定义中包括两个基本内容：①取出元素②按照一定顺序。因此，排列要完成的“一件事情”是“取出m 个元素，再按顺序排列” 相同的排列：元素完全相同，并且元素的排列顺序完全相同。若只有元素相同或部分相同，而排列顺序不相同，都是不同的排列。比如abc 与acb 是两个不同的排列 描述排列的基本方法：树状图 排列数公式：),)(1()2)(1(*∈+-???--=N m n m n n n n A m n 我们把正整数由1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示，即12)2()1(!??????-?-?=n n n n ，并规定1!0=。 全排列数公式可写成!n A n n =. 由此，排列数公式可以写成阶乘式： )!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -= +-???--=（主要用于化简、证明等） 二、组合 定义:一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；组合数用符号m n C 表示 对组合定义的理解： 取出的m 个元素不考虑顺序，也就是说元素没有位置要求，无序性是组合的特点. 只要两个组合中的元素完全相同，则不论元素的顺序如何，都是相同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合 排列与组合的区别：主要看交换元素的顺序对结果是否有影响，有影响就是“有序”，是排列问题；没影响就是“无序”，是组合问题。 组合数公式： ),()!(!!!)1()2)(1(n m N m n m n m n m m n n n n A A C m m m n m n ≤∈-=+-???--==*，且 变式：),,()! ()1()2)(1()!(!!n m N m n C m n m n n n m n m n C m n n m n ≤∈=-+???--=-= *-且

高中数学复习 计数原理.理科

计数原理 要求层次 重难点 分类加法计数原理、分步乘法计数原理 B ⑴分类加法计数原理、分步乘法计数原理 ①理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理； ②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题． ⑵排列与组合 ①理解排列、组合的概念． ②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． ③能解决简单的实际问题． ⑶二项式定理 ①能用计数原理证明二项式定理． ②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题 C 排列、组合的概念 B 排列数公式、组合数公式 C 用排列与组合解决一些简单的实际问题 C 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 B 板块一：排列组合 （一） 主要方法： 1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答． 2．具体的解题策略有： ①对特殊元素进行优先安排； ②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； 高考要求 第十三讲 计数原理 知识精讲

③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； ④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型． （二）典例分析： 【例1】（2019辽宁5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（） A．70种B．80种C．100种D．140种 【例2】（2019重庆13）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_______种（用数字作答）． 【例3】（2019广东7）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（） A．36种B．12种C．18种D．48种 【例4】（2019湖北5）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（） A．18B．24C．30D．36 【例5】（2018四川6）从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（） A．70种B．112种C．140种D．168种 【例6】某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有种（） A．1320B．288C．1530D．670 【例7】（2019北京7）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．648 【例8】（2018天津16）有4张分别标有数字1234 ，，，的 ，，，的红色卡片和4张分别标有数字1234蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于 10，则不同的排法共有____种（用数字作答）． 【例9】（2018浙江16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）． 【例10】（2018天津10）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片 排成3行2列，要求3行中仅有 ．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）A．1344种B．1248种C．1056种D．960种

2020衡水名师理科数学专题卷：专题十四《计数原理》

2020衡水名师原创理科数学专题卷 专题十四计数原理 考点45：排列与组合（1-6题，13,14题，17-19题） 考点46：二项式定理（7-12题，15,16题，20-22题） 考试时间：120分钟满分：150分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1、考点45 中难 某校高三年级共有6个班,现在安排6名教师担任某次模拟考试的监考工作,每名教师监考一个班级.在6名教师中,甲为其中2个班的任课教师,乙为剩下4个班中2个班的任课教师,其余4名教师均不是这6个班的任课教师,那么监考教师都不担任自己所教班的监考工作的概率为( ) A. 7 15 B. 8 15 C. 1 15 D. 4 15 2、考点45 中难 某单位周一至周六要安排甲、乙、丙、丁四人值班,每人至少值一天班,则甲至少值两天班的概率为( ) A. 11 26 B. 9 26 C. 11 52 D. 9 52 3、考点45 中难 某同学有7本不同的书,其中语文书2本、英语书2本、数学书3本,现在该同学把这7本书放到书架上排成一排,要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本不相邻,则不同的排法种数为( ) A.12 B.24 C.48 D.720 4、考点45 中难

一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有（ ）种 A.6 B.12 C.36 D.72 5、考点45 中难 某种植基地将编号分别为1,2,3,4,5,6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的 这六块实验田上进行对比试验,要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯,若种植时要求编号1,3,5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻,且2号品种的马铃薯不能种植在A 、 F 这两块实验田上,则不同的种植方法有 ( ) A.360种 B.432种 C.456种 D.480种 6、考点45 难 2017年11月30日至12月2日,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动,在数学同课异构活动中,7名数学教师各上一节公开课,教师甲不能上第三节课,教师乙不能上第六节课,则7名教师上课的不同排法有 种( ) A.5040 B.4800 C.3720 D.4920 7、考点46 易 24)(121()x x ++的展开式中3x 的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 8、考点46 易 已知10 21001210(1) (1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则=8a （ ） A.-180 B.180 C.45 D.-45 9、考点46 易 9(23)x y -的展开式中各项的二项式系数之和为（ ） A ．-1 B ．1 C ．-512 D ．512 10、考点46 中难 已知5 (1)(1)ax x ++的展开式中2 x 的系数为5,则a =( ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1

第一章计数原理(复习教案)(学生)

第一章 计数原理复习导学案 一． 学习目标 1．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题． 2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． 3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应 用问题． 4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 二． 知识网络 项式系数性质 第一课 两个原理 一．知识梳理 1． 分类计数原理（也称加法原理） ：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法 中有 m 1种不同的方法，在第二类办法中有 m 2 种不同的方法，??，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ 种不同的方法． 2．分步计数原理（也称乘法原理） ：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m 1种不同的方法，做第二步有 m 2种不同的方法，??，做 n 步有 m n 种不同的方法，那么完 成这件事共有 N ＝ 种不同 的方法． 3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法． 二．基础自测 1. 有一项活动需在 3名老师， 8 名男同学和 5名女同学中选人参加， （1）若只需一人参加， 有多少种不 同的选法？ （ 2 ）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？ 3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？ 2. ( 09重庆卷)将 4名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分 配方案有 种(用数 字作答) ． 3. 如图所示，用五种不同的颜色分别给 A 、B 、 C 、D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同 排列组合 二项式定理 二项式定 通项公式 应用 应用 两个计数原理

选修2-3第一章计数原理教材分析

选修2-3第一章：“计数原理”教材分析与教学建议 一、地位与作用 计数问题是数学中的重要研究象之一，分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。计数原理是学习统计与概率以及相关分支的基础。计数原理的思想方法独特灵活，有利于培养和发展学生的抽象能力和逻辑思维能力。 二、本章重点、难点 1．重点：（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理；（2）排列与组合的意义；（3）排列数公式与组合数公式；（4）二项式定理。 2．难点：（1）如何利用原理和有关公式解决应用问题。 三、课程标准 1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理 通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。 2．排列与组合 通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。 3．二项式定理 能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。四、教学安排与课时分配 这部分的内容与《大纲》没有太大的区别，在处理方式上，相对于排列、组合来说，《标准》更强调基本的计数原理，而把排列、组合、二项式定理的证明作为计数原理的应用实例。就计数原理本身而言，《标准》强调对计数思想的理解， 两个版本相比，A版更加注重体现课标的精神，比如：从内容编排上看，非常强调基本计数原理的思想及其应用，第一节安排了有梯度的9个例题，计划用4课时，让学生通过丰富的实例来熟悉原理及其基本应用，而同样内容B版为3个例题，2课时；注重学生对新概念、新公式的探究。 避免抽象的讨论计数原理，而且强调计数原理在实际中的应用。教学用时比《大纲》少了4课时。 六、教材分析 （一）计数原理 1．分类加法计数原理 （1）原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N m n =+种不同的方法．

(完整版)计数原理知识点、题型小结doc

第一章、计数原理知识点小结 一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.分类计数原理－加法原理：如果完成一件事有 不同的方案，由第1类方案中有1m 种方法， 在第2类方案中有2m 种不同的方法，种方法类方案中有第n m n 那么， 完成这件工作共有 种不同的方法. 2.分步计数原理－乘法原理：完成一件事需要 步骤，完成第1步有1m 种不同的方法，完成第 2步有2m 种不同的方法，，种方法步中有第n m n 那么，完成这件工作共有 种不同方法。 3.两种方法的区别与联系： 4.用两个计数原理解决计数问题时，需要注意的问题有哪些？最重要的是在开始计算之前进行仔细 分析，弄清楚是一件什么事，正确选择是先分类还是先分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分 别对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任 务. 分步后要计算每一步的方法数，把每一步的方法数相乘，得到总数。 5.常用的方法有：填空法，使用时注意： 6.常见的题型： （1）有关数字排列问题 例1：由数字4,5,6,7组成的所有的不重复的三位数的个数为?（可以重复的三位数字又有多少个 呢？） 变式1:由0,1,2,3,4,5,6，这七个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ 小结： （2）形如n m m n 和的问题。 例2：5名学生从3项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方 法？ 变式1：若5名学生争夺3项比赛冠军（每一名学生参赛项目不限），则冠军获得者有几种不同的情 况（没有并列冠军） 小结： （3）涂色问题 4块（ABCD ）涂色要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案？ 变式：将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不 同，则有多少种不同的涂色方法？ 小结：