14-3梅涅劳斯定理和塞瓦定理.题库学生版
知识点
A 要求
B 要求
Ｃ要求
比例及定理 熟知定理内容
掌握平行线分线段成比例定理的内容以及其推论，同时会运用定理解决问题 会运用定理及其推论的内容来解
决相似的问题
一、比例的基本性质
1),a c
ad bc b d
=?=这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; 2)a c b d
b d a c
=?=(反比定理); 3)a c a b b d c d =?=(或d c
b a =)(更比定理); 4)a
c a b c d
b d b d ++=?=
(合比定理); 5)a c a b c d
b d b d --=?=
(分比定理); 6)a c a b c d
b d a b
c d
++=?=
--(合分比定理); 7)
(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b
++???+==???=++???+≠?=++???+(等比定理). 二、平行线分线段成比例定理
1.平行线分线段成比例定理
如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则
AB DE AC DF =，BC EF AC DF =， AB AC
DE DF
=
. l 3
l 2l 1F
E D C
B A
2. 平行线分线段成比例定理的推论： 如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则
A D A E D E
A B A C B C
==，反之如果有
AD AE DE
AB AC BC
==
，那么DE ∥BC 知识点睛
中考要求
梅涅劳斯定理和塞瓦定理
A
B
C
D
E
E
D
C B A
三、梅涅劳斯定理
梅内劳斯（Menelaus ，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家．梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理．
梅涅劳斯定理：X 、Y 、Z 分别是△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上的点．则X 、Y 、Z 共线的充分必要条件是：
1CX BZ AY
XB ZA YC
??=． 根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形：或X 、Y 、Z 三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两点在三角形的边上；或X 、Y 、Z 三点分别都在三角形三边的延长线上．
Z Y
c
a
b
X
C
B
A c a
b Y
Z
X
A
C
B
证明：（1）必要性，即若X 、Y 、Z 三点共线，则
1CX BZ AY
XB ZA YC
??=． 设A 、B 、C 到直线XYZ 的距离分别为a 、b 、c ．则
CX c XB b =，BZ b ZA a =、AY a YC c =，三式相乘即得1CX BZ AY c b a
XB ZA YC b a c ??=??= （2）充分性，即若
1CX BZ AY
XB ZA YC
??=，则X 、Y 、Z 三点共线． 设直线XZ 交AC 于Y '，由已证必要性得：1CX BZ AY XB ZA Y C
'
??='
又因为1CX BZ AY XB ZA YC ??=，所以AY AY
Y C YC '=
'． 因为Y '和Y 或同在AC 线段上，或同在AC 边的延长线上，并且能分得比值相等，所以Y '和Y 比重合为一点，也就是X 、Y 、Z 三点共线．
梅涅劳斯定理的应用，一是求共线线段的笔，即在
CX XB 、BZ ZA 、AY
YC
三个比中，已知其中两个可以求
得第三个．二是证明三点共线．
四、塞瓦定理
连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线．塞瓦（G ·Gevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理．
塞瓦定理：从ABC △的每个顶点出发作一条塞瓦线AX BY CZ ，，
．则A X B Y CZ ，，共点的充分必要条件是
1BX CY AZ
XC YA ZB
??=． P
C '
B '
Z
Y
X
C
B
A
充分性命题：设ABC △的三条塞瓦线AX BY CZ ，，
共点，则必有1BX CY AZ
XC YA ZB
??=． 必要性命题：设ABC △中，AX BY CZ ，，
是三条塞瓦线，如果1BX CY AZ
XC YA ZB
??=，则A X B Y C Z ，
，三线共点．
我们先证明充分性命题．
如图，设AX BY CZ ，，
相交于P 点，过A 作BC 边的平行线，分别交BY CZ ，的延长线于B C ''，．由平行截割定理，得
BX AB CY BC AZ AC XC AC YA AB ZB BC ''===''，，．上面三式两边分别相乘得：1BX CY AZ
XC YA ZB
??=
我们再证明必要性命题．
Z '
Z
Y
X P
C
B A
假设AX 与BY 这两条塞瓦线相交于P 点，连CP 交AB 于Z '．则CZ '也是一条过P 点的ABC △的塞瓦线．根据已证充分性命题，可得1BX CY AZ XC YA Z B '??='，由因为1BX CY AZ XC YA ZB ??=，进而可得AZ AZ
Z B ZB
'=
'．所以
AZ AZ
AB AB
'=
，因此AZ AZ '=．所以Z '与Z 重合，从而CZ '和CZ 重合，于是得出AX BY CZ ，，共点． 塞瓦定理在平面几何证题中有着举足轻重的作用．第一方面，利用塞瓦定理的必要性可证明三线共点
问题．第二方面，当一个三角形有三条塞瓦线共点时，依据塞瓦定理的充分性命题，就可以得出六条线段比例乘积等于1的关系式．利用这个关系式可以证明线段之间的比例式或乘积式．
一、梅涅劳斯定理
【例1】 已知△ABC 中，D 是BC 的重点，经过D 的直线交AB 与E ，交CA 的延长线于F ．求证：
FA EA
FC EB
=． E
F
B
D
C
A
【例2】 如图所示，△ABC 中，∠ABC =90°，AC BC =．AM 为BC 边上的中线，CD AM ⊥于D ，CD
的延长线交AB 于E ．求AE
EB
．
D
E
B
M
C
A
【例3】 在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上分别取点D 、E 、F ．使
1
2
BD CE AF DC EA FB ===．若BE 与CF ，CF 与AD ，AD 与BE 的交点分别为1A 、1B 、1C
例题精讲
求证：
11117
A B C ABC
S S =
△△． A 1
C 1
B 1
F
E C
D
B
A
【例4】 如图所示，△ABC 的三条外角平分线BE 、AD 、CF ，与对边所在直线交于E 、D 、F 三点，
求证：D 、E 、F 三点共线．
F
E
D
C
B
A
【例5】 如图所示，设D 、E 分别在△ABC 的边AC 、AB 上，BD 与CE 交于F ，AE EB =，
2
3
AD DC =．40ABC S =△．求AEFD S ． F
D
E
C B
A
【例6】 如图所示，△ABC 内三个三角形面积分别为5，8，10．四边形AEFD 的面积为x ，求x 的值．
x 10
85F D
E C
B
A
【例7】 如图所示，△ABC 被通过它的三个顶点与一个内点O 的三条直线分为6个小三角形，其中三个
小三角形的面积如图所示，求△ABC 的面积．
3540
30
O F E
D
B
A
【例8】 ABC △中，D E ，分别是BC ，CA 上的点，且::1::1BD DC m CE EA n ==，
．AD 与BE 交于F ，问ABF △的面积与ABC △面积的比值是多少？
G
D
E
F
B
A
【例9】 P 是平行四边形ABCD 内任意一点，过P 作AD 的平行线，分别交AB 于E ，交CD 于F ；又过P
作AB 的平行线，分别交AD 于G ，交BC 于H ，又CE ，AH 相交于Q ．
求证：D P Q ，
，三点共线． K
Q
P H G
F
E
D C
B A
二、塞瓦定理
【例10】 设AX BY CZ ，，
是ABC △的三条中线，求证：AX BY CZ ，，共点． Z
Y
X
C
B
A
【例11】 若AX BY CZ ，，
分别为ABC △的三条内角平分线．求证：AX BY CZ ，，共点．
Z
Y
X
C
B
【例12】 若AX BY CZ ，，
分别为锐角ABC △的三角高线，求证：AX BY CZ ，，共点． Z
Y
X C
B
A
【例13】 如图，设M 为ABC △内一点，BM 与AC 交于点E ，CM 与AM 交于F ，若AM 通过BC 的中
点D ，求证：EF BC ∥．
F
D
E
M
B
A
【例14】 锐角三角形ABC △中，AD 是BC 边上的高线，H 是线段AD 内任一点，BH 和CH 的延长线分
别交AC 、AB 于E 、F ，求证：EDH FDH ∠=∠．
H
A
B
C
D F
E
【例15】 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，在CD 上取一点E ，BE 与AC 相交于F ，延
长DF 交BC 于G ．
求证：GAC EAC ∠=∠．
F G
E
D
C
B
A
【例16】 如图，四边形ABCD 的对边AB 和CD ，AD 和BC 分别相交于L K ，，对角线AC 与BD 交于M ．直
线KL 与BD ，AC 分别交于F G ，．
求证：KF KG
LF LG
． F
G
K
M
D
C
B
A
梅涅劳斯定理范文
梅涅劳斯定理范文 梅涅劳斯定理 定理叙述 设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z 共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 注意： 最简单的证明（张景中院士说过“做足够多的三角形可以解任何几何题”。等价说法是“做足够多的垂线可以解任何几何题”）证明：过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'， AD：DB=AA'：BB' BE：EC=BB'：CC' CF：FA=CC'：AA' 所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 一应用梅涅劳斯定理 1.定理的条件已经具备，正向或反向应用定理。 例：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。分析：目标明确，写出比例式就行了。 例:不等边三角形的三条外角平分线与对边延长线的交点共线。 例： 分析：直线若平行于BC，则命题显然成立。若不平行，则作出直线与直线BC的交点是非常自然的。
例： 如图在三角形三边取相同比例的分点。中间黑色三角形面积等于白色面积，求边上的分点比例。 分析：没啥好分析的。 总结：用定理要选取三角形和截线。目标中共线的三个点所在的直线上，一般不会包含所选取的三角形的边。 2.几个不适合用梅氏定理的例子。 例： 如图锐角x的两条边上取A,B两点。甲乙二人分别从A,B出发沿箭头方向前进。保持速度不变。证明两人以及锐角顶点组成的三角形垂心在某直线上运动。分析：本题具备定理的基本图形，并且目标是证明共线。但此处不可使用梅氏定理。因为垂心所在的定直线一般是不过锐角顶点的。那么我们取几个时刻的垂心呢？两个就够了。只要证明这两个垂心连线的斜率只与两人的速度比有关…… 总结：用数学定理要看定理中的条件部分，估计计算复杂程度。比如逆定理条件是共线，不共线则不可使用逆定理。 例： 两个线段上的点列如图连线得到交点。证明三个交点共线。用梅氏定理的证明见初三仁华课本。这里绕个路证明此题。首先，下面这个事实有用。 x,y,z,w等8个数看作所在点横坐标。（用了定比分点）
梅涅劳斯定理和塞瓦定理(教师版)
梅涅劳斯定理和塞瓦定理 一、梅涅劳斯定理 定理1若直线l不经过?ABC的顶点，并且与?ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别 交于P 、Q、R，则BP PC ?CQ QA ?AR RB =1 证明：设?A、?B、?C分别是A、B、C到直线l的垂线的 长度，则：BP PC ?CQ QA ?AR RB =?B ?C ??C ?A ??A ?B =1。 例1若直角?ABC中，CK是斜边上的高，CE是∠ACK的 平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点，证明：BF∥CE。 【解析】因为在?EBC中，作∠B的平分线BH，则：∠EBC=∠ACK，∠HBC=∠ACE，∠HBC+∠HCB=∠ACK+∠HCB=90°，即BH⊥CE，所以?EBC为等腰三角形，作BC上的高EP，则：CK=EP，对于?ACK和三点D、E、 F根据梅涅劳斯定理有：CD DA ?AE EK ?KF FC =1，于是KF FC =EK AE =CK AC =EP AC =BP BC =BK BE ， 即KF FC =BK BE ，根据分比定理有：KF KC =BK KE ，所以?FKB??CKE，所以BF∥CE。 例2从点K引四条直线，另两条直线分别交直线与A、B、C、D和A1， B1，C1，D1，试证：AC BC :AD BD =A1C1 B1C1 :A1D1 B1D1 。 【解析】若AD∥A1D1，结论显然成立；若AD与A1D1相交于点L，则把梅涅劳斯定理分别 用于?A1AL和?B1BL可得：AD LD ?LD1 A1D1 ?A1K AK =1，LC AC ?AK A1K ?A1C1 LC1 =1，BC LC ?LC1 B1C1 ?B1K BK =1，LD BD ?BK B1K ? B1D1 LD1=1，将上面四个式子相乘，可得：AD AC ?BC BD ?A1C1 A1D1 ?B1D1 B1C1 =1，即：AC BC :AD BD =A1C1 B1C1 :B1D1 B1C1 定理2设P、Q、R 分别是?ABC的三边BC、CA、AB上或它们延长线上的三点，并且P、 Q、R三点中，位于?ABC边上的点的个数为0或2，这时若BP PC ?CQ QA ?AR RB =1，求证P、Q、R 三点共线。 证明：设直线PQ与直线AB交于R’，于是由定理1 得：BP PC ?CQ QA ?AR‘ R’B =1，又因为BP PC ?CQ QA ?AR RB =1，则AR‘ R’B = AR RB ，由于在同一直线上P、Q、R三点中，位于?ABC 边上的点的个数也为0或2，因此R与R‘或者同在 AB线段上，或者同在AB的延长线上；若R与R‘同 在AB线段上，则R与R‘必定重合，不然的话，设AR>AR‘，这时AB?AR
(完整版)二项式定理典型例题解析
二项式定理 概 念 篇 【例1】求二项式(a －2b )4的展开式. 分析：直接利用二项式定理展开. 解：根据二项式定理得(a －2b )4=C 04a 4+C 14a 3(－2b )+C 24a 2(－2b )2+C 34a (－2b )3 +C 44(－ 2b )4 =a 4－8a 3b +24a 2b 2－32ab 3+16b 4. 说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把－2b 中的符号“－”忽略. 【例2】展开(2x － 223x )5 . 分析一：直接用二项式定理展开式. 解法一：(2x －223x )5=C 05(2x )5+C 15(2x )4(－223x )+C 25(2x )3(－223x )2+C 35(2x )2(－2 23x )3+ C 4 5 (2x )(－223x )4+C 55(－2 23x )5 =32x 5－120x 2+x 180－4135x +78405 x －10 32243x . 分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开. 解法二：(2x －223x )5=105 332)34(x x =10321x ［C 05(4x 3)5+C 15(4x 3)4(－3)+C 25(4x 3)3(－3)2+C 35(4x 3)2(－3)3+C 45(4x 3)(－3)4+ C 55(－3)5 ］ = 10 321 x (1024x 15－3840x 12+5760x 9－4320x 6+1620x 3－243) =32x 5－120x 2+x 180－4135x +78405 x －10 32243x . 说明：记准、记熟二项式(a +b )n 的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便. 【例3】在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是 . 解法一：根据二项式定理可知x 6的系数是C 4 10. 解法二：(x －3)10的展开式的通项是T r +1=C r 10x 10－ r (－3)r . 令10－r =6，即r =4，由通项公式可知含x 6项为第5项，即T 4+1=C 410x 6(－3)4=9C 410x 6. ∴x 6的系数为9C 410. 上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？ 问题要求的是求含x 6这一项系数，而不是求含x 6的二项式系数，所以应是解法二正确. 如果问题改为求含x 6的二项式系数，解法一就正确了，也即是C 4 10. 说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项
(完整word版)第1章梅涅劳斯定理及应用
第一章涅劳斯定理及应用 【基础知识】 梅涅劳斯定理 设A '，B '，C '分别是ABC △的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若A '，B '， C '三点共线，则1BA CB AC A B B A C B ''' ??='''． ① C ′ B′ A' A′ B′ C ′ A C B D C B 图1-1 A 证明 如图11-，过A 作直线AD C A ''∥交BC 的延长线于D ，则 CB CA B A A D ''=''，AC DA C B A B '' = ''，故 1BA CB AC BA CA DA A C B A C B A C A D A B '''''' ??=??=''''''． 注 此定理的证明还有如下正弦定理证法及面积证法． 正弦定理证法 设BC A α''=∠，CB A β''=∠，B A B γ''=∠，在BA C ''△中，有 sin sin BA C B α γ '= '，同理，sin sin CB CA γβ'='，sin sin AC AB β α '= '，此三式相乘即证． 面积证法 由A C B A C C S BA A C S '''''='△△，CB C CA B CB C CA B C CA B AC A AB B AC A AB AC A S S S S S CB B A S S S S S ''''''''''''''''''''+===='+△△△△△△△△△△，AC A C BA S AC C B S '' '' '= '△△，此三式相乘即证． 梅涅劳斯定理的逆定理 设A '，B '，C '分别是ABC △的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若 1BA CB AC A C B A C B ''' ??='''， ② 则A '，B '，C '三点共线． 证明 设直线A B ''交AB 于1C ，则由梅涅劳斯定理，得到1 11AC BA CB A C B A C A ''??=''． 由题设，有1BA CB AC A C B A C B ''' ??='''，即有 11AC AC C B C B '='． 又由合比定理，知 1AC AC AB AB ' = ，故有1AC AC '=，从而1C 与C '重合，即A '，B '，C '三点共线． 有时，也把上述两个定理合写为：设A '，B '，C '分别是ABC △的三边BC ，CA ，AB 所在直线（包括三边的延长线）上的点，则A '，B '，C '三点共线的充要条件是 1BA CB AC A C B A C B ''' ??='''． 上述①与②式是针对ABC △而言的，如图11-（整个图中有4个三角形），对于C BA ''△、B CA ''△、AC B ''△也有下述形式的充要条件：
塞瓦定理试题
《塞瓦定理及其逆定理的应用》（1） 一，《塞瓦定理》 设O 是ABC ?内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ， 则1=??FB AF EA CE DC BD . 二．《塞瓦定理的逆定理》 在ABC ?三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上各取一点D 、E 、F ，若有 1=??FB AF EA CE DC BD ，则AD 、BE 、CF 平行或共点.证明：AD 与BE 或是平行或是相交 证明：（1）若//AD BE ，则 EA EC BD BC =，代入已知式，可推出CB DC FB AF =. 有//AD CF 从而////AD BE CF . （2）若AD 与BE 相交于O ，则连结CO 交AB 于/ F ， 由塞瓦定理，有//1BD CE AF DC EA F B ??=，与已知式相比较，得//AF AF F B AB =， 合比 / AF AF AB AB =，∵/AF AF =，得/ F 与F 重合，即AD 、BE 、CF 共点. 交于一点；：证明：三角形的中线例1 分线交于一点；】证明：三角形的角平【练习1 高交于一点；】证明：锐角三角形的【练习2 A B C D E F O A B C D E F A B C D E F O / F
2ABC C AB L L AC BC M N AN BM P CP AB ?∠⊥例：在锐角中,角的平分线交于于，从作边和的垂线，垂足分别是和，设和的交点是，证明： 3.AD ABC D BC P AD BP CP AC AB E F EDA FDA ?∠∠例设是的高，且在边上，若是上任一点，、分别与、交于和，则＝ 3,,ABC M N R BAR CAN CBM ABR ACN BCM AM BN CR αβγ?∠=∠=∠=∠=∠=∠=【练习】已知外有三点、、，且，证明：、、三线共点；
数学竞赛 梅涅劳斯定理
1 梅涅劳斯定理 梅涅劳斯（Menelaus ）定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》（Sphaerica ）。 任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积，这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角关系来证明. 梅涅劳斯把这一定理扩展到了球面三角形。 中文名 梅涅劳斯定理 外文名 Menelaus 别 称 梅氏定理 表达式 (AF/FB)× (BD/DC)×(CE/EA)=1 提出者 梅涅劳斯 提出时间 1678年 应用学科 数学，物理 适用领域范围 平面几何学 适用领域范围 射影几何学 定理内容 定理证明 证明一 过点A 作AG ∥DF 交BC 的延长线于点G.则 证明二 过点C 作CP ∥DF 交AB 于P ，则 两式相乘得
2 证明三 连结CF 、AD ，根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比”的性质有。 AF ：FB =S △ADF ：S △BDF …………（1）， BD ：DC=S △BDF ：S △CDF …………（2）， CE ：EA=S △CDE ：S △ADE =S △FEC ：S △FEA =（S △CDE +S △FEC ）：（ S △ADE +S △FEA ） =S △CDF ：S △ADF ………… （3） （1）×（2）×（3）得 证明四 过三顶点作直线DEF 的垂线AA…，BB'，CC'，如图： 充分性证明： △ABC 中，BC ，CA ，AB 上的分点分别为D ，E ，F 。 连接DF 交CA 于E'，则由充分性可得，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE'/E'A)=1 又∵ ∴有CE/EA=CE'/E'A ，两点重合。所以 共线
梅涅劳斯定理与塞瓦定理
板块一 梅涅劳斯定理及其逆定理 知识导航 梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点， 那么1AF BD CE FB DC EA ??=．这条直线叫ABC △的梅氏线，ABC △叫梅氏三角形． G F E D C B A G F E D C B A H 3H 2 H 1 F E D C B A 证法一：如左图，过C 作CG ∥DF ∵DB FB DC FG =，EC FG AE AF = ∴1AF BD CE AF FB FG FB DC EA FB FG AF ??=??=． 证法二：如中图，过A 作AG BD ∥交DF 的延长线于G ∴AF AG FB BD =，BD BD DC DC =，CE DC EA AG = 三式相乘即得：1AF BD CE AG BD DC FB DC EA BD DC AG ??=??=． 证法三：如右图，分别过A B C 、、作DE 的垂线，分别交于123H H H 、 、． 则有123AH BH CH ∥∥， 所以3 12231 1CH AH BH AF BD CE FB DC EA BH CH AH ??=??=． 梅涅劳斯定理的逆定理：若F 、D 、E 分别是ABC △的三边AB 、BC 、CA 或其延长线的三点， 如果1AF BD CE FB DC EA ??=，则F 、D 、E 三点共线． 梅涅劳斯定理与塞瓦定理
夯实基础 【例1】 如图，在ABC △中，AD 为中线，过点C 任作一直线交AB 于点F ，交AD 于点E ，求 证：:2:AE ED AF FB =． E C D B F A 【解析】 ∵直线FEC 是ABD △的梅氏线， ∴1AE DC BF ED BC FA ??=． 而12DC BC =，∴112AE BF ED FA ??=，即2AE AF ED BF =． 习题1. 在△ABC 中，D 是BC 的中点，经过点D 的直线交AB 于点E ，交CA 的延长线于点 F ．求证： FA EA FC EB =． E F B D C A 【解析】 直线截ABC △三边于D 、E 、F 三点，应用梅氏定理，知 1CD BE AF DB EA FC ??=，又因为BD BC =，所以 1BE AF EA FC ?=，即FA EA FC EB = ． 习题2. 如图，在△ABC 中， 90ACB ∠=?，AC BC =．AM 为BC 边上的中线， CD AM ⊥于点D ，CD 的延长线交AB 于点E ．求AE EB ． D E B M C A 【解析】 由题设，在Rt AMC △中，CD AM ⊥，2AC CM =，
梅涅劳斯定理和塞瓦定理.讲义学生版
知识点 A 要求 B 要求 Ｃ要求 比例及定理 熟知定理内容 掌握平行线分线段成比例定理的内容以及其推论，同时会运用定理解决问题 会运用定理及其推论的内容来解 决相似的问题 一、比例的基本性质 1),a c ad bc b d =?=这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; 2)a c b d b d a c =?=(反比定理); 3)a c a b b d c d =?=(或d c b a =)(更比定理); 4)a c a b c d b d b d ++=?= (合比定理); 5)a c a b c d b d b d --=?= (分比定理); 6)a c a b c d b d a b c d ++=?= --(合分比定理); 7) (0)a c m a c m a b d n b d n b d n b ++???+==???=++???+≠?=++???+(等比定理). 二、平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则 AB DE AC DF =，BC EF AC DF =， AB AC DE DF = . l 3 l 2l 1F E D C B A 2. 平行线分线段成比例定理的推论： 如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则 A D A E D E A B A C B C ==，反之如果有 AD AE DE AB AC BC == ，那么DE ∥BC 知识点睛 中考要求 梅涅劳斯定理和塞瓦定理
A B C D E E D C B A 三、梅涅劳斯定理 梅内劳斯（Menelaus ，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家．梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理． 梅涅劳斯定理：X 、Y 、Z 分别是△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上的点．则X 、Y 、Z 共线 的充分必要条件是： 1CX BZ AY XB ZA YC ??=． 根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形：或X 、Y 、Z 三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两点在三角形的边上；或X 、Y 、Z 三点分别都在三角形三边的延长线上． Z Y c a b X C B A c a b Y Z X A C B 证明：（1）必要性，即若X 、Y 、Z 三点共线，则 1CX BZ AY XB ZA YC ??=． 设A 、B 、C 到直线XYZ 的距离分别为a 、b 、c ．则 CX c XB b =，BZ b ZA a =、AY a YC c =，三式相乘即得1CX BZ AY c b a XB ZA YC b a c ??=??= （2）充分性，即若 1CX BZ AY XB ZA YC ??=，则X 、Y 、Z 三点共线． 设直线XZ 交AC 于Y '，由已证必要性得：1CX BZ AY XB ZA Y C ' ??=' 又因为1CX BZ AY XB ZA YC ??=，所以AY AY Y C YC '= '． 因为Y '和Y 或同在AC 线段上，或同在AC 边的延长线上，并且能分得比值相等，所以Y '和Y 比重合为一点，也就是X 、Y 、Z 三点共线． 梅涅劳斯定理的应用，一是求共线线段的笔，即在CX XB 、BZ ZA 、AY YC 三个比中，已知其中两个可以求得第三个．二是证明三点共线． 四、塞瓦定理 连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线．塞瓦（G ·Gevo1647-1734） 是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理． 塞瓦定理：从ABC △的每个顶点出发作一条塞瓦线AX BY CZ ，， ．则A X B Y CZ ，，共点的充分必要
二项式定理典型例题
二项式定理典型例题-- 例1 在二项式n x x ?? ? ??+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=??? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1123 12-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 1431681,82,1,021C +- +==r r r r r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 例2 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数． 分析：62)1(x x -+不是二项式，我们可以通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+把它看成二项式展开． 解：方法一：[]6 262)1()1(x x x x -+=-+ -+++-+=4 4256)1(15)1(6)1(x x x x x 其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-． 含5 x 项的系数为6． 例3 求证：（1）1212C C 2C -?=+++n n n n n n n ；
（2）)12(1 1C 11C 31C 21C 1210 -+=++++++n n n n n n n n ． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质 n n n n n n 2C C C C 210 =++++ ． 解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--?=--=-? =k n k n n k n k n n k n k n k n k n k k ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n =?=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n 右边． （2）)! ()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-?+=+ 11C 1 1)!()!1()!1(11+++=-++?+=k n n k n k n n ． ∴左边112111C 1 1C 11C 11++++++++++= n n n n n n n =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n 右边． 例4 展开5 2232??? ? ?-x x ． 例5 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）． A ．11 B ．33 C ．55 D ．66 分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开． 解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即 ∑=-?+=++=++100101010 10)(])[()(k k k k z y x C z y x z y x ． 这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式k y x -+10)(展开， 不同的乘积k k k z y x C ?+-1010) (（10,,1,0 =k ）展开后，都不会出现同类项． 下面，再分别考虑每一个乘积k k k z y x C ?+-1010)(（10,,1,0 =k ）． 其中每一个乘积展开后的项数由k y x -+10)(决定，
梅涅劳斯定理(精选.)
梅涅劳斯定理 【定理内容】 如果一条直线与ABC ?的三边AB 、BC 、CA 或其延长线交于F 、D 、E 点， 那么 1=??EA CE DC BD FB AF . [评]等价叙述：ABC ?的三边AB 、BC 、CA 或其延长线上有三点F 、D 、E ， 则F 、D 、E 三点共线的充要条件是 1=??EA CE DC BD FB AF 。三点所在直线称为三角形的梅氏线。 【背景简介】 梅涅劳斯（Menelaus ）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。 【证法欣赏】 证法1：（平行线分线段成比例） 证：如图，过A 作BC AG //交CF 延长线于G ， ∵BC AG //，∴BD AG FB AF =，AG CD EA CE =， 又 CD BD CD BD = B G
则 1=??=??CD BD AG CD BD AG CD BD EA CE FB AF ∴1=??EA CE DC BD FB AF 证法2：（正弦定理） 证：如图，令α=∠AEF ，β=∠AFE ，γ=∠BDE ， 在AEF ?中，由正弦定理知： β αsin sin AE AF =， 同理 ββγsin )180sin(sin BD BD BF =-?=，γ αsin sin CE CD = ∴βαsin sin =AE AF ，γβsin sin =BF BD ，α γsin sin =CD CE ， ∴ 1=??CD CE BF BD AE AF ，即1=??EA CE DC BD FB AF . 【逆定理】 梅涅劳斯定理的逆定理也成立，即 如果有三点F 、D 、E 分别在ABC ?的三边AB 、BC 、CA 或其延长线上，且满足 1=??EA CE DC BD FB AF ，那么F 、D 、E 三点共线。 [注]利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线 B
二项式定理典型例题
二项式定理典型例题-- 典型例题一 例1 在二项式n x x ??? ? ?+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=??? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1123 12-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 1431681,82,1,021C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有 17页 系数和为n 3． 典型例题四 例4 （1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：
梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理 定理叙述 设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 注意： 1 定理的应用有正反两个方向。由共线推出比例式叫作逆定理。 2 三个分点可能有两个在线段上，或者三个都不在线段上。 最简单的证明（张景中院士说过“做足够多的三角形可以解任何几何题”。等价说法是“做足够多的垂线可以解任何几何题”） 证明：过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'， AD：DB=AA'：BB' BE：EC=BB'：CC' CF：FA=CC'：AA' 所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1 一应用梅涅劳斯定理 1.定理的条件已经具备，正向或反向应用定理。 例：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。 分析：目标明确，写出比例式就行了。 例:不等边三角形的三条外角平分线与对边延长线的交点共线。 分析：此题同上。注意外角平分线分对边成的比例与夹边比例的关系，是和内角平分线类似的。 例： 分析：直线若平行于BC，则命题显然成立。若不平行，则作出直线与直线BC的交点是非常自然的。
例： 如图在三角形三边取相同比例的分点。中间黑色三角形面积等于白色面积，求边上的分点比例。 分析：没啥好分析的。 总结：用定理要选取三角形和截线。目标中共线的三个点所在的直线上，一般不会包含所选取的三角形的边。 2.几个不适合用梅氏定理的例子。 例： 如图锐角x的两条边上取A,B两点。甲乙二人分别从A,B出发沿箭头方向前进。保持速度不变。证明两人以及锐角顶点组成的三角形垂心在某直线上运动。 分析：本题具备定理的基本图形，并且目标是证明共线。但此处不可使用梅氏定理。因为垂心所在的定直线一般是不过锐角顶点的。那么我们取几个时刻的垂心呢？两个就够了。只要证明这两个垂心连线的斜率只与两人的速度比有关……
第二章 塞瓦定理及应用
第二章 塞瓦定理及应用 【基础知识】 塞瓦定理 设A '，B '，C '分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若AA '，BB '，CC ' 三线平行或共点，则1BA CB AC A C B A C B ''' ??='''． ① 证明 如图2-1（b ）、（c ），若AA '，BB '，CC '交于一点P ，则过A 作BC 的平行线，分别交BB '， CC '的延长线于D ，E ，得,CB BC AC EA B A AD C B BC ''== ''． A′ B' C ' A B C P P C B A A′ B' C ' D E C B A A′ B' C ' D E (c) (b)(a) 图2-1 又由 BA A P A C AD PA EA '''==，有BA AD A C EA '= '． 从而1BA CB AC AD BC EA A C B A C B EA AD BC '''??=??='''． 若AA '，BB '，CC '三线平行，可类似证明（略）． 注 （1）对于图2-1（b ）、（c ）也有如下面积证法： 由：1PAB PBC PCA PCA PAB PBC S S S BA CB AC A C B A C B S S S '''??=??='''△△△△△△，即证． （2）点P 常称为塞瓦点． （3）共点情形的塞瓦定理与梅涅劳斯定理可以互相推证． 首先，由梅涅劳斯定理推证共点情形的塞瓦定理． 如图2-1（b ）、（c ），分别对△ABA '及截线C PC '，对△AA C '及截线B PB '应用梅涅劳斯定理有 1BC A P AC CA PA C B ''??=''，1A B CB AP BC B A PA ''??=''． 上述两式相乘，得1BA CB AC A C B A C B ''' ??='''． 其次，由共点情形的塞瓦定理推证梅涅劳斯定理． 如图2-2，设A '，B '，C '分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，且A '，B '，C '三点共线．令直线BB '与CC '交于点X ，直线C C '与AA '交于点Y ，直线AA '与BB '交于点Z ．
梅涅劳斯定理的应用练习1
平面几何问题：1.梅涅劳斯定理 一直线分别截△ABC的边BC、CA、AB（或其延长线）于D、E、F，则1 FB AF EA CE DC BD = ? ?。 背景简介：梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。 证明： 说明： （1）结论的图形应考虑直线与三角形三边交点的位置情况，因而本题图形应该有两个。 （2）结论的结构是三角形三边上的6条线段的比，首尾相连，组成一个比值为1的等式。 （3）梅氏定理及其逆定理不仅可以用来证明点共线问题，而且是解决许多比例线段问题的有力 工具。用梅氏定理求某个比值的关键，在于恰当地选取梅氏三角形和梅氏线。 梅涅劳斯定理的逆定理：如果有三点F、D、E分别在△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线上， 且满足1 EA CE DC BD FB AF = ? ?，那么F、D、E三点共线。 利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线。 梅涅劳斯定理练习 1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证： FB AF 2 ED AE =。
2．过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、 AC 于E 、F ，交CB 延长线于D 。求证： 1FA CF EA BE =+。 3. 在△ABC 中，点D 在BC 上，31DC BD =，分别在AB ，AD 上，32EB AE =，2 1 GD AG =，EG 交 AC 于点F ，求 FC AF 。 4.在□ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与CE 相交于G ，AF 与DE 交于H ，求AH:HG:GF 5.设D 为等腰Rt △ABC （∠C=90°）的直角边BC 的中点，E 在AB 上,且AE ：EB=2:1， 求证：CE ⊥AD 6.在△ABC 中，点M 和N 顺次三等分AC ，点X 和Y 顺次三等分BC ，AY 与BM ，BN 分别交于点S ，R ，求四边形SRNM 与△ABC 的面积之比。
各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆)
托勒密定理 定理图 定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组 对边所包矩形的面积之和。从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式， 托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质. 定理的提出 一般几何教科书中的托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的 书中摘出。 证明 一、(以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。) 在任意四边形ABCD 中，作△ ABE使/ BAE= / CAD / ABE= / ACD 因为△ ABE ACD 所以BE/CD=AB/AC, 即BE-AC=AB CD (1) 而/ BAC= / DAE ,，/ ACB= / ADE 所以△ ABC AED 相似. BC/ED=AC/AD 即ED- AC=BC AD (2) ⑴+⑵，得 AC(BE+ED)=AB CD+AD BC 又因为BE+EI> BD (仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即托勒密定理”) 所以命题得证 复数证明 用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、 BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到复数恒等式：(a -b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d)，两边取模，运用三角不等式得。等 号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。 二、设ABCD是圆内接四边形。在弦BC上，圆周角/ BAC = / BDC，而在AB上， / ADB = / ACB。在AC 上取一点K，使得/ ABK = / CBD ; 因为/ ABK + / CBK = / ABC = / CBD + / ABD，
2018年高考二项式定理十大典型问题及例题
学科教师辅导讲义 1．二项式定理： 011 ()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数 （包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+- ++ +-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C +++++ +=， 变形式1221r n n n n n n C C C C ++ ++ +=-。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123 (1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++ ++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
梅涅劳斯定理的应用练习1
平面几何问题： 1.梅涅劳斯定理 一直线分别截△ABC 的边BC 、CA 、AB （或其延长线）于D 、E 、F ，则1FB AF EA CE DC BD =??。 背景简介：梅涅劳斯（Menelaus ）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。 证明： 说明： （1）结论的图形应考虑直线与三角形三边交点的位置情况，因而本题图形应该有两个。 （2）结论的结构是三角形三边上的6条线段的比，首尾相连，组成一个比值为1的等式。 （3）梅氏定理及其逆定理不仅可以用来证明点共线问题，而且是解决许多比例线段问题的有力工具。用梅氏定理求某个比值的关键，在于恰当地选取梅氏三角形和梅氏线。 梅涅劳斯定理的逆定理：如果有三点F 、D 、E 分别在△ABC 的三边AB 、BC 、CA 或其延长线上，且满足 1EA CE DC BD FB AF =??，那么F 、D 、E 三点共线。 利用梅涅劳斯定理的逆定理可判定三点共线。 梅涅劳斯定理练习 1．设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。求证： FB AF 2ED AE = 。
2．过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、F ，交CB 延长线于D 。求证： 1FA CF EA BE =+。 3.在△ABC 中，点D 在BC 上，31DC BD =，分别在AB ，AD 上，32EB AE =，2 1 GD AG =，EG 交AC 于点F ，求 FC AF 。 4.在□ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与CE 相交于G ，AF 与DE 交于H ，求 AH:HG:GF 5.设D 为等腰Rt △ABC （∠C=90°）的直角边BC 的中点，E 在AB 上,且AE ：EB=2:1， 求证：CE ⊥ AD 6.在△ABC 中，点M 和N 顺次三等分AC ，点X 和Y 顺次三等分BC ，AY 与BM ，BN 分别交于点S ，R ，求四边形SRNM 与△ABC 的面积之比。
1梅涅劳斯定理及应用
梅涅劳斯定理及应用 定理：设Z Y X ,,分别是ABC ?的边AB CA BC ,,或其延长线的点，则Z Y X ,,三点共线的充要条件是： 1=??ZB AZ YA CY XC BX 例1：在O B C ?中，A 为BC 的中点，D 为OB 上的点，且21=OD BD ,E CD OA 相交于点与，则OA OE _____= 例2：如图，过ABC ?的三个顶点C B A ,,作它的外接圆的切线，分别和BA CA BC ,,的延长线交于R Q P ,,；求证：R Q P ,,三点共线
例3：（1985年第三届美国数学邀请赛）如图，G 是ABC ?内一点，直线CG BG AG ,,将ABC ?分为6个小三角形，已知BDG BFG AFG ???,,的面积分别为40,30,35，求A B C ?的 面积 例4： (1983年全国高中数学联赛）在四边形ABCD 中，ABC BCD ABD ???,,的面积之比是1:4:3，点M,N 分别在AC,CD 上，满足AM:AC=CN:CD ，并且B,M,N 三点共线，求证M 与N 分别是AC 和CD 的中点
练习：1（2009年中国科技大学）已知ABC ?的面积为1,;F E D ,,分别在边AB CA BC ,,上，FB AF EA CE DC BD 2,2,2===;CF BE AD ,,两两交于R Q P ,,，求PQR ?的面积 2 四边形ABCD (不是正方形）的内切圆分别切DA CD BC AB ,,,于H G F E ,,,，求证：GF DB HE ,,三线共点
3 (1982年第23届IMO 试题）已知CE AC ,是正六边形ABCDEF 的两条对角线，点N M ,分别在线段CE AC ,上，且使 k CE CN AC AM ==,如果N M B ,,三点共线，试求k 的值 4（2016年湖南省高中数学夏令营）：ABC ?的内切圆分别与BC 、CA 、 AB 相切于点D 、E 、F,直线AD 与EF 相交于点H ，若直线BC EF 与相交于点G ，求证：GE FG HE FH =