三角函数中知值求角容易忽视的制约条件

2016年第47期（总第311期）

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·学科教育·

三角函数知值求角是高考数学中的常见题型之一,类型丰富,解法也多种多样,很有趣味求角的大小,一般是根据已知的三角函数值,求出待求角的三角函数值,然后再求出角的大小要能准确求出角的大小,必须先确定待求角的范围.笔者发现,知道三

角函数值，求角的大小是一类容易出现増解的问题。在具体题目中，部分隐含条件较深不易挖掘，下面就通过实例来分析。

类型一：通过具体函数值制约角度1.α、β是锐角，tanα=1，sinβ=10√，求α+2β

2.α是锐角，-π2＜β＜0，且tanα=17，tanβ=-13

,求

α-2β

3.0＜α＜π2，π2＜β＜π，且cosα=17，sinβ=53√14

，求β-α

在上述三个题目中，由于给定了角的范围以及某个函数值，对应的角度已经是完全确定.因而在解答中，不应出现两个解.具体地，在1、2题中，已知正切函数值，选正切函数为目标函数较为方便；而已知正余弦函数值时，则应对角度范围进行考虑：

若角在（0，π）时，一般选余弦函数，若在（-π2，π2

），则一般选正弦函数，这是因为余弦函数在（0，π）单调递减，而正弦函数在

（-π2，π2）单调递增，如第3题，由于β-α∈（0，π），故先求cos （β-α）。

该类型题解决增解的方式是利用函数的单调性确定自变量即角度的大小，这种做法充分体现了“函数问题，范围先行”的解题基本原则。解这类问题一般分三步:（1）求角的某一个三角函数值;（2）确定角所在的范围;（3）根据角的范围写出所求的角。

类型二：一角固定，

并制约另一角4.已知cosα=17，cos （α-β）=1314，且0＜β＜α＜π2，求β

解：由于cosα=17，且0＜α＜π2，故sinα=43√7

，由

0＜β＜α＜π，得0＜α-β＜π，又cos （α-β）=13，所以

sin （α-β)=33√14

因而cosβ=cos [α-（α-β）]=cosαcos （α-β）+sinαsin （α-β）=1又0＜β＜π所以β=π。

角与角的制约，可以通过不等式的变换得到相关角的取值范围，还可以利用特殊角函数值或函数的单调性缩小角的范围，

再根据范围，选用所求角恰当的函数名，如上题中，

利用β的范围，选择了余弦函数.又通过不等式的变换得到α-β的范围。

类型三：通过方程（等量关系）互相制约5.已知方程х2+33√х+4=0的两个实数根是tan α，

tanβ,且α，β∈（-π2，π2），求α+β.解：由于tanα，tanβ是方程х2+33√х+4=0的两个实数

根，由韦达定理有tanα+tanβ=-33√＜0，tanαtanβ=4＞0，又α，β∈（-π，π），所以α，β∈（-π，0），从而-π＜α+β＜0.所以tan （α+β）=tanα+tanβ1-tanαtanβ3√.故α+β=-2π3

.

根据方程，利用韦达定理，得到两个三角函数的和与积，再利用函数值的正负进行分析，从而达到缩小角范围的目的。

类型四：三角形中正弦函数的制约

6.在△ABC 中，3sinA+4cosB=6③，3cosA+4sinB=1④，

求C 的大小

错解：由③2+④2得sin （A+B ）=12，从而sinC=12

，于是C=

π6或5π6

.上述解法忽略了三角形中任意内角的正弦值都是大于0的。事实上，由②可得4sinB=1-3cosA＞0，从而cosA＜13＜12

，

所以A＞π，从而C＜2π，故C=π。

本题实质是利用三角形中正弦恒大于0得到不等式，缩小角的范围。

通过上述四种易错题的归类，在给值求角的问题中，首先应该判断的是角度是否由条件唯一确定，两个角或多个角之间是通过方程互相制约还是通过三角形内角的范围互相制约或者不等式制约。总之，“万变不离其宗”,我们在解决三角函数时应注

重对隐含条件的挖掘，重视对角范围的判断，

从而达到对三角函数问题的灵活处理，“以不变应万变”,避免错误的发生，提高解题能力，达到最优的解题效果。作者简介：吴洁华（1988-），女，毕业于华南师范大学数学科学学院，硕士研究生，2013年7月至今，就职于佛山市第一中学，二级教师。

三角函数中知值求角容易忽视的制约条件

吴洁华

（佛山市第一中学，广东

佛山528000）

摘要知道三角函数值，求角的大小是一类容易出现増解的问题。在具体题目中，部分隐含条件较深不易挖掘，本文就四种易

错类型进行分析。

关键词三角函数；知值求角；制约条件中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）47-0116-01116