高中数学 新人教A版必修1 (17)

课题：2.3 幂函数

精讲部分

学习目标展示

（1）了解幂函数的概念 （2）结合函数

的图像，了解它们的变化情况。

衔接性知识

1. 请画出y x =、2y x =、1

y x

=的图象 2. 请画出2x y =的图象

3. 比较函数()2x f x =与2()g x x =在解析式形式上的不同，并说明哪个是指数函数 基础知识工具箱

典例精讲剖析

例1. 比较下面大小： （1） 2.4

3.14

、 2.4

π

与 2.1

3.14 （2） 2.64()5、 3.82()3-与 3.83()4

-

【解析】（1） 2.4y x = 在(0,)+∞上是增函数，且 3.14π>， 2.4 2.4

3.14π∴>

又 3.14x y = 在(,)-∞+∞上是增函数，且2.4 2.1>， 2.4

2.1

3.14 3.14∴>

从而 2.4 2.4 2.13.14 3.14π>>

（2）由指数函数的性质，得 2.604

4

0()()155

<<=， 3.8

022()

()133->=， 3.8033()()144

->= 又 3.8y x -= 在(0,)+∞上减函数，且2334<， 3.8 3.823

()

()34

--∴> 从而有 3.8 3.8 2.6

234()()()345

-->> 例2. 幂函数2

21

()(33)m

m f x m m x --=-+的图像不经过原点，求实数m 的值。

【解析】 因为函数是幂函数，所以2331m m -+=，2

320m m ∴-+=，12m m ∴==或

当1=m 时，1

1

()f x x x

-==

，数的图像都不经过原点；当2=m 时，()f x x =，数的图像都经过原点，所以1=m 例3. 已知幂函数()f x 的图象过1

(8,

)4

点， 试求：（1）()f x 的定义域（2）()f x 的奇偶性（3）()f x 的单调区间． [解析]设()f x x α

=，则 ∵()f x x α

=的图象过1(8,

)4点，∴184

α=，

即2

322α

－＝，∴23α=-，∴2

3()f x x -=

，即()f x =(1)欲使()f x

0≠，∴0x ≠，∴()f x 的定义域为{|0}x x ∈≠R ． (2)对任意x ∈R 且0x ≠

，有()()f x f x -=

=

=，∴()f x 为偶函数．

(3)0α< ，∴()f x 在(0)∞，＋上是减函数，又()f x 为偶函数，∴()f x 在(0)∞－，上为增函数，故单调增区间为(0)∞－，，单调减区间为(0)∞，＋． 例4. 已知函数2

22

2)()(--+=m m x

m m x f ，当m 取什么值时，（1）)(x f 是正比例函数；（2）

)(x f 是反比例函数；

（3）)(x f 在第一象限它的图像是上升的曲线。 【解析】（1）由题意，得2

20

221m m m m ?+≠??--=??，0113m m m m ≠≠-?∴?=-=?且或，3m ∴=

（2）由题意，得2

2

22

1

m m m m ?+≠??--=-??

，01

11m m m m ≠≠-??∴?

==??且

，

11m ∴=（3）由题意，得2

20220m m m m ?+>??-->??

，01

11m m m m ><-??∴?>

11m m ∴<->或

精练部分

A 类试题（普通班用）

1.设a 、b 满足01a b <<<，则下列不等式中正确的是( )

A ．a b

a a <

B ．a b b b <

C ．a a

a b <

D ．b b

b a <

[答案] C

[解析] ∵x

y a =单调减，a b <，∴a b a a <，排除A. ∵x

y b =单调减，a b <，∴a b b b <，排除B.

∵x y a =与x

y b =在(0,1)上都是增函数，a b <，a a a b <，b b a b <，∴C 对D 错．

2.在同一坐标系内，函数(0)a

y x a =≠和1

y ax a

=+

的图象应是( )

[答案] B

[解析] 首先若0a >，1

y ax a

=+

，应为增函数，只能是A 或C ，应有纵截距1>0a 因而排

除A 、C ；故0a <，幂函数的图象应不过原点，排除D ，故选B

3. 函数()2

3()f x x -=＋的定义域为__________，单调增区间是__________，单调减区间

为__________．

[答案] {|}3x x R x ∈≠且－；()3-∞-，；()3-∞，+ [解析] ∵()2

2

1

(3)

3)

(f x x x -==

+＋，∴30x ≠＋，即3x ≠-，定义域为{|}3x x x ∈≠-R 且，

221y x x

-==

的单调增区间为()0-∞，，单调减区间为(0,)+∞，()2

3()f x x -=＋是由2y x -=向左平移3个单位得到的．

∴()2

3()f x x -=＋的单调增区间为()3-∞-，，单调减区间为(3,)-+∞．

4．比较下列各组中两个数的大小 （1）5

35.1与5

37.1 （2）3

2)

2.1(-

-与3

2)

25.1(-

-

【解析】（1）2

3

y x = 在(0,)+∞单调递增，且1.5 1.7<3355

1.5 1.7∴<

（2）223

3

( 1.2)

1.2--

-=

=

= ，223

3

( 1.25)

1.25-

-

-=

=

=

又2

3

y x

-

= 在(0,)+∞单调递减，且1.2 1.25<，223

3

1.2

1.25-

->

从而有22)3

3

( 1.2( 1.25)--

->-

5．已知函数()2

21

()2m

m f x m m x

+-?＝＋，m 为何值时，()f x 是(1)正比例函数；(2)反比

例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．

[解析] (1)若()f x 为正比例函数，则22

11

20

m m m m ?+-=?+≠?1m ?=；

(2)若()f x 为反比例函数，则22

11

20m m m m ?+-=-?+≠?1m ?=-； (3)若()f x 为二次函数，则221220

m m m m ?+-=?+≠

?m ?=

(4)若()f x 为幂函数，则221m m +=

，∴1m =-

B 类试题（3+3+4）（尖子班用）

1.设a 、b 满足01a b <<<，则下列不等式中正确的是( )

A ．a b a a <

B ．a b b b <

C ．a a a b <

D ．b b b a <

[答案] C

[解析] ∵x

y a =单调减，a b <，∴a b a a <，排除A. ∵x y b =单调减，a b <，∴a b

b b <，排除B.

∵x y a =与x

y b =在(0,1)上都是增函数，a b <，a a a b <，b b a b <，∴C 对D 错．

2. 幂函数2312

23

(5)m m y m m x --

=+-的图象分布在第一、二象限，则实数m 的值为( )

A ．2或－3

B ．2

C ．－3

D ．0

[答案] B

[解析] 由2

51m m +-=得2m =或3-，

∵函数图象分布在一、二象限，∴函数为偶函数，2m ∴=.

3. 在同一坐标系内，函数(0)a

y x a =≠和1

y ax a

=+

的图象应是(

)

[答案] B

[解析] 首先若0a >，1

y ax a

=+

，应为增函数，只能是A 或C ，应有纵截距1>0a 因而排

除A 、C ；故0a <，幂函数的图象应不过原点，排除D ，故选B.

4. 已知幂函数()y f x =

的图象经过点(2,，那么这个幂函数的解析式为________． [答案] 1

2

y x =

[解析] 设()f x x α

=，则2α

=1

2

α∴=，1

2y x ∴=

5．若1133

(1)(22)a a +<-，则实数a 的取值范围是________． [答案] (3,)+∞

[解析] ∵13

y x =在R 上为增函数，1133

(1)(22)a a +<-.∴122a a +<-，∴3a > 6．函数()2

3()f x x -=＋的定义域为__________，单调增区间是__________，单调减区间

为__________．

[答案] {|}3x x R x ∈≠且－；()3-∞-，；()3-∞，+ [解析] ∵()2

2

1

(3)

3)

(f x x x -==

+＋，∴30x ≠＋，即3x ≠-，定义域为{|}3x x x ∈≠-R 且，

221y x x

-==

的单调增区间为()0-∞，，单调减区间为(0,)+∞，()2

3()f x x -=＋是由2y x -=向左平移3个单位得到的．

∴()2

3()f x x -=＋的单调增区间为()3-∞-，，单调减区间为(3,)-+∞．

7. 比较下列各组中两个数的大小 （1）5

35.1与5

37.1 （2）3

2)

2.1(-

-与3

2)

25.1(-

-

【解析】（1）2

3

y x = 在(0,)+∞单调递增，且1.5 1.7<3355

1.5 1.7∴<

（2）223

3

( 1.2)

1.2--

-=

=

= ，223

3

( 1.25)

1.25-

-

-=

=

=

又2

3

y x

-

= 在(0,)+∞单调递减，且1.2 1.25<，223

3

1.2

1.25-

->

从而有22)3

3

( 1.2( 1.25)--

->-

8. 已知函数()2

21

()2m

m f x m m x

+-?＝＋，m 为何值时，()f x 是(1)正比例函数；(2)反比

例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．

[解析] (1)若()f x 为正比例函数，则22

11

20

m m m m ?+-=?+≠?1m ?=；

(2)若()f x 为反比例函数，则22

11

20m m m m ?+-=-?+≠?1m ?=-； (3)若()f x 为二次函数，则221220

m m m m ?+-=?+≠

?m ?=

(4)若()f x 为幂函数，则221m m +=

，∴1m =-9. 运用学过的幂函数或指数函数知识，求使不等式122

(21)(21)x x -

->-成立的x 的取值

范围．

[解析] 解法一：在同一坐标系中作出函数12

y x -

=与2y x =的图象，

观察图象可见， 当01x <<时，1

22

x

x -> ∴0211x <-<，∴

1

12

x <<

.

解法二：由于底数相同，可看作指数函数运用单调性．

∵210x ->且211x -≠，又x

y a =当1a >时为增函数，当01a <<时为减函数，

122

(21)

(21)x x -

->-，∴0211x <-<∴1

<<12

x .

（2）求当[1,1)(1,2]x ∈- 时，函数()f x 的值域． [解析] （1

移1个单位，再向上平移1个单位，可得()f x 的图象如下

由此可知，()f x 的单调减区间为(,1)-∞和(1,)+∞

（2）()f x 在[1,1)-上是减函数，当[1,1)x ∈-时，()(1)0f x f ≤-= 又()f x 在(1,2]上是减函数，当(1,2]x ∈时，()(2)3f x f ≥= 所以，当[1,1)(1,2]x ∈- 时，函数()f x 的值域为(,0][3,)-∞+∞