2012届高三数学二轮复习全套精品系列 专题一 数形结合思想

【专题一】数形结合思想

【考情分析】

在高考题中,数形结合的题目主要出现在函数、导数、解析几何及不等式最值等综合性题目上,把图象作为工具、载体,以此寻求解题思路或制定解题方案,真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。

从近三年新课标高考卷来看,涉及数形结合的题目略少,预测2012年可能有所加强。因为对数形结合等思想方法的考查,是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查,是对学生思维品质和数学技能的考查,是新课标高考明确的一个命题方向。

1.数形结合是把数或数量关系与图形对应起来,借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质,是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化,复杂的问题简单化。“数缺形时少直观,形少数时难入微”,利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。

2.数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位,考纲指出“数学科的命题,在考查基础知识的基础上,注重对数学思想思想方法的考查,注重对数学能力的考查”,灵活运用数形结合的思想方法,可以有效提升思维品质和数学技能。

3.“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查,考查时要与数学知识相结合”,用好数形结合的思想方法,需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示,为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。

4.函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等,是“以形示数”,而解析几何的方程、斜率、距离公式,向量的坐标表示则是“以数助形”,还有导数更是数形形结合的产物,这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。

5.在数学学习和解题过程中,要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径,制定解题方案,养成数形结合的习惯,解题先想图,以图助解题。用好数形结合的方法,能起到事半功倍的效果,“数形结合千般好,数形分离万事休”。

纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数”。

【知识交汇】

数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.。

应用数形结合的思想,应注意以下数与形的转化:

数形结合思想解决的问题常有以下几种:

(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围;

(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围;

(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系;

(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式;

(5)构建立体几何模型研究代数问题;

(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题;

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