计算不定积分应该注意的几个问题..

目 录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Keywords (1)

引言 (1)

1 基本概念、定理及公式 (2)

2 直接积分法易犯错误举例剖析 (3)

2.1 运算中漏掉“C ”、“?” (3)

2.2 自创运算法则致误 (3)

2.3 对公式1ln dx x C x =+? ()0x ≠的错误运用 (4)

2.4 对公式1

1a a x x dx C a +=++? ()1a ≠-的错误运用 (4)

3 第一换元积分法应注意问题 (5)

3.1 牢记凑微分公式 (5)

3.2 注意解的不同表示方法 (6)

4 第二换元积分法中易犯错误剖析 (6)

5 分部积分法应注意事项 (8)

6 计算某类特殊积分注意事项 (9)

6.1 有理函数的不定积分 (9)

6.2 分段函数的不定积分 (10)

参考文献 (12)

致谢 (13)

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计算不定积分应该注意的几个问题

摘要 不定积分是一个非常基本且又十分重要的概念，我们应当灵活地使用各种技巧和被积函数的类型和特点来计算不定积分，由此积分法成为数学教学中富有探索性的一个领域.文章归纳整理了我们在使用各种方法计算不定积分时容易出现的问题，并对这些问题进行了分析和探讨.例如：直接积分法、第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法以及特殊积分法.

关键词 不定积分 直接积分法 换元积分法 分部积分法 特殊积分法

Indefinite Integral Calculation Should Be Noted That Several Issues Abstract Indefinite integral is a concept which is basic and important,we shoud use various techniques flexibily and the type of product function and features to calculate the indefinite integral, Integration becomes into an area of mathematics teaching which is rich in exploration.This paper collates and analyzes the error-prone issues which we use various methods to calculate the indefinite integral, these issues are analyzed and discussed.such as: direct integration method, integration by first substitution, integration by second substitution,division integral method,and special integral method.

Key words Indefinite integral Direct integral method Integration by substitution

Division integral method Special integral method

引言 不定积分是求导的逆运算，对不定积分的理解和掌握不仅涉及到微积分本身的学习，而且影响到学习线积分、面积分及重积分等后继内容学习，我们在初学这些内容时容易出现一些普遍的错误，下面我们将对这些错误进行剖析，以便更好的掌握这部分知识.

1 基本概念、定理及公式

定义1[1] 设函数f 与F 在区间I 上有定义.若()(),,F x f x x I '=∈

则称F 为f 在区间I 上的一个原函数.

定义2[1] 函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分,记作 (),f x dx ?

其中称?为积分号,()f x 为被积函数,()f x dx 为被积表达式,x 为积分变量.

注意 函数不定积分是一个函数族,求函数的不定积分或原函数时,注意被积函数的定义域是很重要的因素,要引起足够的重视.

计算不定积分应该注意的几个问题

2

定理1 若函数f 在区间I 上连续，则f 在I 上存在原函数F ，即()(),F x f x x I '=∈.

定理2 设F 是f 在区间I 上的一个原函数，则

()i F C +也是f 在I 上的原函数，其中C 为任意常量函数；

()ii f 在I 上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数. 定理3 若函数f 与g 在区间I 上都存在原函数，1k 、2k 为两个任意常数，则

12k f k g I +在上也存在原函数，且

1212

[()()]()()k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+??? 常用基本积分公式:

()10dx C =?. ()2ln x

x

a a dx C a =+? (0,1)a a >≠-. ()31dx dx x C ==+??. ()14cos sin axdx ax C a =

+? (0)a ≠. (5)1

1

x x dx C ααα+=++? (1,0)x α≠->. ()16sin cos axdx ax C a =-+? (0)a ≠. ()17ln dx x C x =+? (0)x ≠. ()128arcsin arccos 1dx x C x C x

=+=-+-?. ()9x x e dx e C =+?. ()1210arctan cot 1dx x C arc x C x =+=-++?

2 直接积分法易犯错误举例剖析

直接积分法是根据基本积分公式利用不定积分基本运算法则或通过简单代数、三角恒等变形后再利用基本积分公式的一种方法，这是一种最基本最简单最直接积分方法，这也是我们初学不定积分应该掌握的最基本的计算方法，下面我们将对一些经常出现错误的地方具体举例剖析一下.

2.1 运算中漏掉“C ”、“?”

例1 求3x dx ?.

错解 4

34x x dx =?.

例2 求()34x dx +?.

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3

错解 ()4

334444x x dx x dx dx x C +=+=++?.

剖析 发生这类错误，有三种可能的情形：1）不定积分概念不清楚以及对“?” 意义不清楚；2）对“C ”出现的意义不明确，这应该指的是函数的所有原函数才对并不单独指某一个原函数；3）粗心大意.为减少这类错误的发生，我们再学习这部分内容时，应该注意强调函数的不定积分指的是该函数的所有原函数以及利用一切可能的机会强调符号“?”的意义及有关的运算法则，通过一定量的训练让我们能够正确的进行一些基础运算，为后边的内容打下一个坚实的基础.

2.2 自创运算法则致误

例3 求 ()323x x dx -?.

错解 ()()43232

3133343x x x dx x dx x dx x x C ??-=-=-+ ??????. 例4 求4

21

x dx x +?. 错解 ()544223151113x x dx x dx C x x dx x x ==++++???.

剖析 发生这类错误主要是我们根据思维定势自创运算法则造成，我们受之前的 极限四则运算法则及导数四则运算法则的影响，在解题过程中常常不自觉地将这一思维定势迁移到不定积分中认为不定积分也具有四则运算法则，且很容易自创如下错误法则 ()()()()f x g x dx f x dx g x dx =??? （1）； ()()()()f x dx g x dx f x dx g x =??

? （2）. 我们在解题过程中错误的运用这两个运算法则导致很多不该犯的错误就是没有搞清楚实际上不定积分有加减运算法则但没有乘法运算法则也没有除法运算法则，因此我们在计算不定积分时首先应熟记运算法则，不要无中生有以致不该出现的误解.

2.3 对公式1ln dx x C x =+? ()0x ≠的错误运用[2]

例5 求31dx x

?. 错解 331ln dx x C x

=+?. 例6 求21cos dx x

?.

计算不定积分应该注意的几个问题

4 错解 221ln cos cos dx x C x

=+?. 剖析 这种错误主要是源于对公式的特征识别有误，要想真正掌握基本积分公式， 我们再听积分基本公式的推导时要辨别各种公式的模式特点，在做例题时，仔细分析题目，有意识的培养自己识别所解问题是否符合公式模式，对不符合公式模式的寻找其他的解题途径，从理论上和心理上为正确运用公式奠定基础.

2.4 对公式11

a a x x dx C a +=++? ()1a ≠-的错误运用[2] 例7 求 3sin xdx ?.

错解 341sin sin 4

xdx x C =+?. 例8 求2sin sin xd x ?.

错解 由 ()()1cos sin ,,a a x x x ax -''=-= 32

cos sin sin 3x xd x C =-+?. 剖析 这类错误主要是对幂函数积分公式的模式识别有误，从题目形式上来看， 第一个例题不能直接用幂函数积分公式，只有当被积表达式化为[]()()a x d x ΦΦ形式时 才能用，但第二个例题正好符合公式，错误主要是没有真正掌握换元思想，下面我们将会介绍换元和公式的结合.

总结 以上主要列举了用直接积分法计算不定积分时我们经常出现错误的地方，其实类似这类错误还有很多，如：()2

1112dx d dx d x x x ==-、像这类系数问题、符号问题也是不定积分中常见的错误，问题出在函数的微分运算上，在这里就不再一一列举，以上所列举的几种类型主要是提醒我们在初学计算不定积分时，必须熟悉基本积分公式、基本运算性质、基本积分方法、一定的解题策略，并能对被积函数进行适当的代数或三角的恒等变形，或对被积表达式进行凑微分、变量置换等变形后化成能用公式直接代入的形式，因此在初学计算不定积分时要细心认真，掌握最基本的为下面计算更加复杂的积分奠定一个良好的基础.

3 第一换元积分法应注意问题

第一换元积分法[3]

若函数()[,]u x D a b ?=∈，且()x α?β≤≤，[,],u αβ?∈有

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5

()()F u f u '=，则函数[()]()f x x ??'存在原函数[()]F x ?，即

[][]()()().f x x dx F x C ???'=+?

第一换元积分法即如何凑成微分形式，然后利用基本积分公式，它是不定积分的基本方法.但是有些凑微分法需要一定的方法技巧，而且往往要多次尝试，我们初学者只有多看多做扩宽视野多积累经验才能熟能生巧，下面将对根据自己所掌握的对利用第一换元积分法计算不定积分需要注意的问题归纳整理，希望对学习不定积分有一定的帮助.

3.1 牢记凑微分公式

在用第一换元积分法求不定积分时，要牢记常用的凑微分公式，只有这样

才能对熟练运用第一类换元积分法起到事半功倍的效果.

例9[4] 求ln x dx x

?. 解 原式=21ln ln ln 2

xd x x C =+?. 分析 由凑微分公式1ln dx d x x

=可以看出中间变量可以确定为ln x ，即可求解. 例10 求tan xdx ?.

解 sin 1=tan cos ln cos cos cos x xdx dx d x C x x ==-=-+??

?原式. 分析 因为sin tan cos x x x

=，sin cos xdx d x =-由凑微分公式可知中间变量为cos x ，其解可根据上述公式求出.

从以上可以看出，熟练掌握凑微分公式，对灵活运用第一类换元积分法有较大的作用，但是我们在计算过程中一定要注意保证凑微分过程的准确性，否则将会带来很大的麻烦，易导致最后的结果错误.

3.2 注意解的不同表示方法

我们在用第一类换元积分法求解时，常常遇到方法正确而解有所不同的地方，这 时不要怀疑方法的正确性，这主要是因为由于中间变量选定的差异 ，可能造成解的形式有差异，但是这些解经过一定的变形后可化成相同形式.

例11[4] 求sin cos x xdx ?.

解法一 原式=21sin sin sin 2

xd x x C =+?.

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6

解法二 原式=211cos cos cos 2xd x x C -=-+?=()2111sin 2

x C --+ =2111sin 22

x C +- = 21sin 2

x C +. 解法三 原式=2111sin 2sin 22cos 2244xdx xd x x C ==-+??=()22112sin 4

x C --+ =2211sin 24

x C +- =21sin 2

x C +. 从以上可知三种解法，三个中间变量，得到三种不同形式的解，但最终都可化为 一种形式的解，所以再遇到与别人算的解不一样时不要盲目的认为自己的解不对，要仔细的检查自己选的中间变量是否正确.

总结 以上主要列举了用第一换元积分法计算不定积分时最需要注意的两个问题，还有一些细节方面的问题就不再举例了，参考直接积分法就可以了，此类积分法主要就是确定中间变量，一个积分有可能有很多不同的中间变量，我们一定要注意观察，用适合自己的方法解决此类问题.

4 第二换元积分法中易犯错误剖析

第二换元积分法 设函数[](),,()x t D a t b ?αβ?=∈≤≤，且()0t ?'≠，函数()f x 在 [][],,,a b t αβ?∈有定义，有[]()()()G t f t t ??''=，则函数()f x 在[],a b 存在原函数，且

1()().f x dx G x C ?-??=+???

第二类换元积分法一般是先做变量代换，然后再求积分，一共分为四个步骤来完成，即换元、整理、积分、回代，其中第一步是关键步骤，下面讲述的一类错误主要就是有关换元过程中忽略一些条件所引起的.

例12[5] 求22

x a dx x

-? (0)a >. 错解 令sec x a t =，则原式可化为

原式=tan sec tan sec a t a t tdt a t

?

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()()2222tan sec 1tan arccos .a tdt

a t dt a t t C

a x a a C x ==-=-+=--+??

剖析 从题目中我们可以看出原来被积函数的定义域是x a ≥，经过变量代换

sec x a t =后，t 对应定义域为22

t ππ-≤≤，因此2222tan tan x a a t a t -==，但是上述解法却直接把绝对值去了，这就相当于仅考虑了被积函数在x a >的定义域，从而导致只计算了一半把另一半忽略了.

例13 求35sin sin x xdx -?.

错解 ()3532sin sin sin 1sin x xdx x x dx -=-?? =322sin cos x xdx ?(令sin t x =)32t dt =?

5225t C =+5

22sin 5x C =+. 剖析 根据在化简过程可以确定被积函数的定义域x [22]k k π,π+π∈ k z ∈，因此在去绝对值过程中，只考虑了被积函数在第一象限而忽略了在第二象限，导致题目漏解.

总结 通过以上两个例题的分析，指出了用第二换元积分法计算不定积分时最容易出现错误的地方，即就是在换元过程中不考虑定义域问题而导致漏解情况，这应该引起我们的重视，因此在遇到类似情况时首先就算一下被积函数的定义域，然后在进行下面过程，这样就很容易避免类似错误发生.

5 分部积分法应注意事项

分部积分法 若()u x 与()v x 可导，不定积分()()u x v x dx '?存在，则()()u x v x dx '?

也存在，并有

()()()()()()u x v x dx u x v x v x u x dx ''=-??

分部积分法是积分学的一个宝贵方法，他可以解决某些用换元积分法不能计算的积分，该方法主要是根据两个函数乘积的微分法则建立起来的，但是有时需要连续使用几次分部积分才能得到结果，在计算过程中一定得仔细认真.

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例14[6] 求cos sin x dx x

?

. 错解 原式=1sin sin d x x ? 211sin sin sin sin 11sin cos sin cos 1,sin x xd x x

x xdx x x dx x =

-??=-- ???

=+??? 等式两边消去cos sin x dx x

?，得 1=0. 剖析 此题错误主要是错在最后一步，不定积分是原函数加上一个任意常数C ,因此不定积分不是一个确定的函数，不可在等式两边消去不定积分，若是按上面做法是求不出结果的，而且消去不定积分得“0=1”更是错误的.

注意 有时用分部积分法计算不定积分几次分部后，又出现原积分，可移项求解，此时要求：（1）移项后的相同不定积分系数可合并，但不可为零；（2）移项后等式另一边要加上“C ”.

例15 求cos x e xdx ?.

解 =cos cos sin x x x xde e x e xdx =+??原式

cos sin cos sin cos x x x x x e x xde e x e x e xdx =+=+-??

则 2cos (cos sin )x x e xdx e x x C =++?

从而 (sin cos )cos 22x x

e x x C e xdx +=+?. 6 计算某类特殊积分注意事项

计算不定积分除了以上几个比较常用的方法外，我们在计算过程中可能会遇到更复 杂的不定积分如：有理函数的不定积分、分段函数的不定积分等，这时我们会发现再用平常的积分方法根本解决不了问题，但是不管再复杂，我们还是可以按照一定的步骤计算出来，计算这类特殊积分必须熟记它所代表的类型以及所用的解题方法，下面将列举几个例子来分析一下.

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6.1 有理函数的不定积分

有理函数 由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为 101101...()()()...n n n m m m

x x P x R x Q x x x αααβββ--+++==+++， 其中n ,m 为非负整数，0101,,...,,,...,n m αααβββ与都是常数，且000,0αβ≠≠.

根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和，因而问题归结为求那些部分分式的不定积分，因而求此类积分分为以下步骤1）把被积函数作部分分式分解；2）把所求积分化为部分分式不定积分；3）逐一求每一个分式积分，然后合并起来.下面我们将举例具体介绍此类不定积分的解题步骤.

例16 求()226114

1x x dx x x -+-?.

解 第一步：设()()2226114

111x x A B C x x x x x -+=

++--- 有 ()()2

2611411x x A x Bx Cx x -+=-++-

62114A C A B C A +=??-+-=-??=?

解得 A =4,B =-1,C =2,

第二步：()()

2226114

42111x x dx dx dx dx x x x x x -+=-+---???? 第三步：经过前两步做好后可以直接计算得出结果

()226114

14ln 2ln 11

1x x dx x x C x x x -+=++-+--?. 注意 上述计算不定积分的方法非常通用，但是有时候这种分解会很繁琐的，而且必须是得知道分母根时才能进行这种分解，所以在遇到题目时要灵活，不能死套此做法，要和前面几种方法结合起来才是最好的.

例17[7] 求421

x dx x x ++?

计算不定积分应该注意的几个问题

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解 222=1322x dx x ????++ ? ??

????原式222211221322d x x ??+ ???=????++ ? ?????? =21112arctan 23

32

2

x C ++=2321arctan .33x C ++ 6.2 分段函数的不定积分 求分段函数的不定积分时，应先求函数在各段对应区间内的不定积分，然后考查 被积函数在各分段点处的连续性.

例18[8] 令2,0;()sin ,0.x x f x x x ?≤=?>?求()f x dx ?.

错解 3212,0;

3()sin cos ,0.x x dx C x f x xdx x C x ?=+≤?=??=-+>????

剖析 由于分段函数()f x 在分段点0x =处连续()(),f x ?-∞+∞在连续()f x ? 的原函数在(),-∞+∞存在，注意到对每一组确定的12C C ，,显然原函数在0x =连续，故

121C C =-+,所以3

11,0;()3cos 1,0.x C x f x dx x C x ?+≤?=??-++>??

注意 1）若被积函数在分段点上连续，则该分界点相邻两分段不定积分中的12,C C 相关，根据原函数在该点的连续性，确定出12,C C 的关系；2）若被积函数在分段点上为第一类间断点，则在包含该点的某区域内，不定积分不存在.故该分点相邻两分段内求出的不定积分中的12,C C 是无关的.

例19 令0,0;()1,01;2, 1.x g x x x x x ?

求()g x dx ?

解 由于0x =为()g x 第一类间断点，则在该点附近原函数不存在，但1x =为()g x 连续点，从而()g x 在(),-∞+∞不存在原函数，()g x 不定积分只能在(),0-∞与()0,+∞得到

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11 12223,0;1(),01;2

,

1.C x g x dx x x C x x C x ??其中1C 与2C 相互独立，2C 与3C 相关，从而231112C C ++=+，化简得2312

C C +=，则： 12222,0;1(),01;2

1, 1.2

C x g x dx x x C x x C x ?????

以上我们一共介绍了五种方法在计算不定积分过程中需注意的几个问题，需要指出的是，通常所说的“求不定积分”，是指用初等函数的形式把它表示出来.在这个意义下，但并不是任何初等函数的不定积分都能求出来，例如: 2sin ,,ln x dx x e dx dx x x

???等等.最后顺便指出我们可以利用现成的积分表来计算有些不定积分，但是作为初学者，我们首先应掌握各种基本的积分方法.

参考文献

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[2] 唐小丹.不定积分计算中几类常见错误分析[J].贵州教育学院学报，2004, 15(2): 4-5.

[3] 陈纪修.数学分析（上册）[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.5.

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[7] 谢惠民.数学分析习题课讲义[M].北京：北京教育出版社，2003.7.

[8] 刘后邘.微积分全程导学[M].2版.湖南：湖南科学技术出版社，2004.8.

积分大全

常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9． 2d ()x x ax b +? ＝ 2 11ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10． x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a - 12．x x ?＝2223 2(15128105a x abx b C a -+ 13． x ? ＝22 (23ax b C a -

14 ． 2x ? ＝2223 2 (34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? 2a b - 17． d x x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a + 20． 22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21． 22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2 (0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23． 2d x x ax b +?＝2 1ln 2ax b C a ++

定积分的性质与计算方法

定积分的性质与计算方法 摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常 丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。 关键词:定积分 性质 计算方法 定积分的定义 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ]，其中x 0=a ，x n =b 。可知各区间的长度依次是：△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。在每个子区间(x i-1,x i ]中任取一点i ξ（1,2,...,n ），作和式1()n i i f x ι=ξ?∑。设λ=max{△x 1, △x 2, …, △x n }（即λ是 最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为: ()b a f x dx ?。 其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。 对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件， ()f x 在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件： 定理1： 设()f x 在区间[a,b]上连续，则()f x 在[a,b]上可积。 定理2： 设()f x 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则 ()f x 在[a,b]上可积。 例：利用定义计算定积分1 20x dx ?. 解：因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此，为了 便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i i x n = ，1,2,,1i n =?-;这样，

不定积分计算的各种方法论文.doc

不定积分计算的各种方法 广东石油化工学院高州师范学院312数学（1）班梁多彬 【摘要】本论文将要介绍常见的不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，如：直接积分法（公式法）、分部积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、以及一些特殊函数的积分技巧与方法（有理函数的不定积分以及简单无理函数与三角函数的不定积分），并将结合例题探讨快捷方便的解题方法。 【关键词】不定积分直接积分法分部积分法换元积分法有理函数不定积分简单无理函数与三角函数有理式的不定积分 一、引言 不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础，掌握不定积分的计算方法对于学习这些后续内容具有重要意义。不定积分的解法不像微分运算有一定的法则，它需要根据不同的题型特点采用不同的解法，因此积分运算比起微分运算来，方法更多样，技巧性更强。下面将不定积分的各种计算方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。 二、不定积分的概念 定义：函数f(x)在区间I的所有的原函数()()R F∈ x C C +称为函数f(x)的不 ? 定积分，表为

?+=C x F dx x f )()( （)()('x f x F =，C 为积分常数）, 其中∫称为积分符号，x 称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，C 称为积分常数。 在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。列如： at at =??? ? ??' 221，而?+=C at atdt 221； () x x cos sin ' =,而?+=C x xdx sin cos ； 2 ' 331x x =??? ? ??，而?+=C x dx x 3231. 这也就是说： ()?)(d x f dx 和?dx x f )(' 是不相等的，即前者的结果是一个函数， 而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。 三、不定积分的计算方法 1.直接积分法 既然积分运算是微分运算的逆运算，那么自然地可以从导数公式得到相应的积分公式，并且我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫作基本积分表： （1）、?+=C ax adx ,其中a 是常数. ?+=C x dx . （2）、?++= +C x dx 11 1 x ααα，其中α是常数，且α≠-1. （3）、? +=C x x dx ln ,x ≠0. （4）、C a a dx a x x +=?ln 1 ,其中a>0，且a ≠1.

基本积分公式

§5.3基本积分公式 重点与难点提示 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式. (1) （ 5.6 ） (2) ( 5.7 ) (3) ( 5.8 ) (4) ( 5.9 ) (5) ( 5.10 ) (6) ( 5.11 ) (7) ( 5.12 ) (8) ( 5.13 ) (9) ( 5.14 )

(10) ( 5.15 ) (11) ( 5.16 ) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有.

是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数）

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='??????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则)()()()(a F b F x F dx x f b a b a -==? 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+

()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x s e c = ()22x a x f +=；设：t a x t a n = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv 附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数 的积分，应分为与 . 当 时， ， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当 时，有 . 当 时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故 （ ， ）式右边的 是在分 母，不在分子，应记清. 当 时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.

应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.

不定积分的基本公式和运算法则直接积分法

·复习 1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。 ·引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。 ·讲授新课 第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法 一基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：

以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。 求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1.求下列不定积分.（1）dx x ?2 1 （2） dx x x ? 解：（1） dx x ? 21 ＝2121 21x x dx C C x -+-=+=-+-+? （2）dx x x ? ＝C x dx x +=? 25 235 2 此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x α 的形式，然后应用幂函 数的积分公式求积分。 二 不定积分的基本运算法则

法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 dx x g dx x f dx x g x f ???±=±)()()]()([ 法则1对于有限多个函数的和也成立的． 法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 dx x f k dx x kf ??=)()( （0≠k ） 例2 求3(21)x x e dx +-? 解 3(21)x x e d x +-?=23x dx ?+dx ?-x e dx ? = 4 12 x x x e C +-+。 注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C 写在末尾，以后仿此。 注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例 由于41()2 x x x e C '+-+=321x x e +-，所以结果是正确的。 三 直接积分法 在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。 例3 求下列不定积分. （1） 1)(x dx ? （2）dx x x ?+-1 122 解：（1）首先把被积函数 1)()x 化为和式，然后再逐项积分得 1)((1x dx x dx - =+-- ??

常用求导积分公式及不定积分基本方法定稿版

常用求导积分公式及不定积分基本方法 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +?， 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?，d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?， cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+?

6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割 正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 22 csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??;

不定积分公式

Ch4、不定积分 §1、不定积分的概念与性质 1、 原函数与不定积分 定义1：若)()(x f x F ='，则称)(x F 为)(x f 的原函数。 ① 连续函数一定有原函数； ② 若)(x F 为)(x f 的原函数，则C x F +)(也为)(x f 的原函数； 事实上，())()()(''x f x F C x F ==+ ③ )(x f 的任意两个原函数仅相差一个常数。 事实上，由[]0)()()()()()('2'1'11=-=-=-x f x f x F x F x F x F ，得C x F x F =-)()(21 故C x F +)(表示了)(x f 的所有原函数，其中)(x F 为)(x f 的一个原函数。 定义2：)(x f 的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为?dx x f )(，?-积分号，-)(x f 被积函数，-x 积分变量。 显然C x F dx x f +=?)()( 例1、 求下列函数的不定积分 ①?+=C kx kdx ②??? ???-=+-≠++=+1 ln 11 11 μμμμμ C x C x dx x 2、 基本积分表（共24个基本积分公式） 3、 不定积分的性质 ①[]???±= ±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( ②??≠=) 0()()(k dx x f k dx x kf 例2、 求下列不定积分 ①? ? +- =++-= = +--C x C x dx x x dx 11 )2(11 )2(2 2

②? ? +=++-= = +--C x C x dx x x dx 21 )21(11 )21(2 1 ③?+-=??? ? ??+--C x x dx x x arctan 3arcsin 5131522 ④() ()() C x e e x dx dx e dx x e x x x x +- = - = ?? ? ?? -?? ?ln 2 1ln 2 121ππππ ⑤()???++-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x csc cot cot csc csc cot csc csc 2 ⑥? ??? ++-=+ = +=C x x xdx xdx dx x x x x x x dx tan cot sec csc cos sin cos sin cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 ⑦() ??+--=-=C x x dx x dx x cot 1csc cot 2 2 ⑧? ??++-=? ? ? ??++-= ++-=+C x x x dx x x dx x x dx x x arctan 311111111322 2 4 2 4 §2、不定积分的换元法 一、 第一类换元法（凑微分法） 1、()()()()b ax d a dx b ax d b ax f a dx b ax f += ++= +?? 1,1即 例1、求不定积分 ①()C x udu u x x xd xdx +- === ???)5cos(5 1sin 5 1555sin 5 15sin ②()()()()?? +-- =+-+?-=---=-+C x C x x d x dx x 8 1 77 7 2116 1211 71 21)21(212 121 ③() () )20(arctan 1 11 2 2 2 C a x a a x a x d a x a dx +?? ? ??= += +?? ④()() )23(arcsin 12 2 2 C a x a x a x d x a dx +?? ? ??=-= -? ? 2、()()n n n n n n dx dx x dx x f n dx x x f == --??1 1 ,1 即 例2、求不定积分 ①()( )() () C x C x x d x dx x x +-- =+-+? - =--- =-+??2 32 12 12 2 1 2 12 2 13 111 1 2 1112 1 1

积分常用公式

积分常用公式 一．基本不定积分公式： 1．C x dx +=? 2．111++= ? αα αx dx x 1(-≠α) 3．C x dx x +=?ln 1 4．C a a dx a x x +=?ln )1,0(≠>a a 5．C e dx e x x +=? 6．C x xdx +-=? cos sin 7．C x xdx +=? sin cos 8．C x dx x xdx +== ?? tan cos 1sec 22 9．C x dx x xdx +-==??cot sin 1csc 22 10．C x xdx x +=??sec tan sec 11．C x xdx x +-=?? csc cot csc 12． C x dx x +=-? arcsin 112 （或12 arccos 11C x dx x +-=-? ） 13． C x dx x +=+?arctan 112 （或12cot 11 C x arc dx x +-=+?） 14．C x xdx +=?cosh sinh 15．C x xdx +=? sinh cosh 二．常用不定积分公式和积分方法： 1．C x xdx +-=?cos ln tan 2．C x xdx +=? sin ln cot 3． C a x a x a dx +=+?arctan 122 4．C a x a x a a x dx ++-=-?ln 2122 5．C x x xdx ++=?tan sec ln sec 6．C x x xdx +-=? cot csc ln csc 7． C a x x a dx +=-? arcsin 2 2 8．C a x x a x dx +±+=±?222 2ln 9． C a x a x a x dx x a ++-=-?arcsin 2222 22 2 10． C a x x a a x x dx a x +±+ ±±= ±? 222 2 2 2 2 ln 2 2 11．第一类换元积分法（凑微分法）：

积分公式表,常用积分公式表

积分公式表 1、基本积分公式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11) 2、积分定理： （1）()()x f dt t f x a ='??????? （2）()()()()[]()()[]()x a x a f x b x b f dt t f x b x a '-'='?? ????? （3）若F （x ）是f （x ）的一个原函数，则 3、积分方法 ()()b ax x f +=1；设：t b ax =+ ()()222x a x f -=；设：t a x sin = ()22a x x f -=；设：t a x sec = ()22x a x f +=；设：t a x tan = ()3分部积分法：??-=vdu uv udv

附：理解与记忆 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与 . 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有 . 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有 . 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分 . 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.

不定积分的计算

不 定义：如果在区间I 上，可导函数F （x ）的导函数为f （x ），即对任一x ∈I ，都有 ()()dF(x)=f(x)dx F x f x '=或 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数F （x ），使对任一x I ∈都有 ()()F x f x '= 简单地说：连续函数一定有原函数。 一、换元积分法 1、第一类换元法 定理：设f （u ）具有原函数，()u x ?=可导，则有换元公式：()[()]()[()]u x f x x dx f u ???='=?， 设要求()g x dx ?，如果函数g （x ）可以化为g x [()]()x x ??'?（）=的形式，那么 ()()[()]()[()]u x g x dx f x x dx f u du ???='==?? . 这样，函数g （x ）的积分即化为函数f （u ）的积分，如果能求得f （u ）的原函数，那么也 就求出了g(x)的原函数。 例，求 ? 解：被积函数中，cos2x 是一个复合函数：cos2x=cosu ，u=2x ，常数因子恰好是中间变量u 的导数，因此，作变换u2x ，便有： 2cos 2cos 22cos 22()cos sin 22cos 2sin 2xdx x dx x x dx udu u c u x xdx x c =?=?= =+==+?????即 将代入得 2、第二类换元法 定理：设()x t ?=是单调的可导的函数，并且()0t ?'≠，又设[()]()f t t ??'具有原函数，则有换元公式：1 x ()[[()]()]t f x dx f t t dt ???-='=??（） （2） 其中1 x ?-（）是()x t ?=的反函数。 证明：设[()]()f t t ??'的原函数为()t Φ，记1 [()](x F x ?-Φ=），利用复合函数及反函数的 求导法则。得到：1 F ()[()]()[()]()() d dt x f t t f t f x dt dx t ????Φ''= ? =? ==' 即F(x)是f （x ）的原函数，所以有：1 ()()[()]f x dx F x c x c ?-=+=Φ+? =1 () [[()]()]t x f t t dt ? ??-='?

不定积分表

Y 卷终 公式表注解四 基本不定积分表 序言： 微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。 本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。 本表收录公式16组，151式。 公式一 基本初等函数的不定积分18式： 反三角函数 上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给出，特别的，对于正切函数，余切函数，正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变换完成。 公式二 含ax b +的积分（要指出a 非零）10式： 对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。 对于第一者，可以利用凑的方式，我们考虑分式11x b ax b a ax b ??=- ?++?? ，则得其积分是显的：111()ln ||x b b dx x d ax x ax b aC ax b a a ax b a a ????=-=-++ ? ?++??????。而第二式依然采取类似的方式，可借由带余多项式除法算得：22211()2x x ax b ab b ax b a ax b ax b ??=+-+??+++?? ，然后利用第一个积分式即可得到结论。 对于分母是二次多项式或者更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分便是沿用了此结论所得 到的。我们注意第一式中有 111111()(/)/b x ax b a x x b a a x x b a a ??==- ?+++??，积分即得。对于第二式依然可用分

常用求导积分公式及不定积分基本方法

常用求导积分公式及不定积分基本方法 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.

一、基本求导公式 1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x '= 2. (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(cot )csc x x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (csc )cot csc x x x '=- 5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '= 6. () 2arctan 11x x '+= ()arcsin x '= () 2arccot 11x x '+=- ()arccos x '= 二、基本积分公式 1. 1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +?， 1ln ||+dx x C x =? 2. d ln x x a a x C a =+?，d x x e x e C =+? 3. sin d cos x x x C =-+?， cos d sin x x x C =+? 4. 2sec d tan x x x C =+? 2csc d cot x x x C =-+? 5. tan d ln |cos |x x x C =-+? cot d ln |sin |x x x C =+?

6. sec d ln |sec tan |x x x x C =++? csc d ln |csc cot |x x x x C =-+? 7. 2 1d arctan 1x x C x =++? arcsin x x C =+ 2211d arctan x x C a x a a =++? arcsin x x C a =+ 8. ln x x C =+ ( ln x x C =++ 9. 221 1d ln 2x a x C a x a x a -=+-+? 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式 21cos 2sin 2x x -= 21cos 2cos 2x x += 2. 正余切与正余割 正割 1 sec cos x x = 22sec 1tan x x =+ 余割 1csc sin x x = 2 2csc 1cot x x =+ 四、常用凑微分类型 1. 1 1 ()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+??;

浅谈复积分的计算方法

山东财经大学学士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 山东财经大学关于论文使用授权的说明 本人完全了解山东财经大学有关保留、使用学士学位论文的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。 指导教师签名：论文作者签名： 年月日年月日 浅谈复积分的计算方法

摘要 复积分即是指复变函数积分.在复变函数的分析理论中,复积分是研究解析函数的重要工具.解析函数中的许多重要性质都要利用复变函数积分来证明.柯西积分定理在复积分的计算中理论上处于关键地位, 因此，对复积分及其计算的研究显得尤为重要.复变函数中的积分不仅是研究解析函数的重要工具,也是它的后继课程积分变换的基础,所以就复变函数的积分计算方法进行总结和探讨是十分必要的.柯西积分公式、柯西高阶导数公式和留数定理对复积分的计算起到很大的作用.留数定理不仅可以用来计算复积分，而且可以用来计算实积分，它把实积分和复积分的相关知识有机的结合起来. 本文讨论了留数定理与复变函数积分之间的内在联系，并举例说明了留数定理、柯西积分定理、柯西积分公式和柯西高阶导数公式之间的密切关系.本文将利用复变函数积分基本原理，利用几种复积分的基本求法，针对每一种计算方法给出例子，并通过柯西积分定理、柯西积分公式、柯西高阶导数公式、留数定理等来计算复积分，从中揭示诸多方法的内在联系，对复积分的计算方法作出较系统的归纳总结，从中概括出求复变函数积分的解题方法和技巧.复变函数中积分分闭曲线和非闭曲线两类.本文就这两种积分的计算方法进行总结和探讨. 关键词：复积分；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理 Discussion on the computational methods of complex integration

常见不定积分的求解方法

常见不定积分的求解方法的讨论 马征 指导老师：封新学 摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。 关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。 The discussion of common indefinite integral method of calculating Ma Zheng Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly. Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.

0引言 不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义 积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础， 要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是 常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法 则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运 算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出 来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 ?-x k dx 22sin 1（其中10<

[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]

高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:

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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx

定积分计算公式和性质

第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x 为上的任一点， 于是， 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动，则对 于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数，我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看，也很显然。因为X 是上一个动点， 从而以线段 为底的曲边梯形的面积，必然随着底数 端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10） 图 5-10

定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数，那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即 是 一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数 的原函数 ， 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般 方法： 设函数在闭区间上连续， 是 的一个原函数， 即 ，则 图 5-11

这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以 得到定积分以下几个简单性质： 图 5-12

不定积分解题方法及技巧总结

? 不定积分解题方法总结 摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词：不定积分；总结；解题方法 不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分） 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2： 例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1 111)'ln )1(ln(+- =-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法： 设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(??

浅谈几种积分计算方法

浅谈几种积分计算方法 作者：刘清贵 单位：湖南常德西洞庭一中 职称：中教一级 关键词：不定积分，定积分，被积函数，换元法，分部积分法 摘 要：对几种类型积分的计算方法进行介绍 在高等数学的学习中，积分的计算无疑是一个非常重要的内容。在进行积分计算时，我们常用的方法有：直接积分法，换元积分法，分部积分法等等。而对于一些特殊的积分，我们往往需要一些比较特殊的方法来进行计算。在本文中，我将谈谈几种特殊积分的计算方法： ㈠ 型的积分 这种类型的积分，如果直接使用一些常规方法，是很难计算出来的，即使能够计算出来，过程也十分繁琐。实际上，在该类积分计算中，灵活使用 的换元，计算将大大简化。 例1： 计算 解：原式= 考虑到 故原式= ?++±dx bx x x 1124 2

例2：计算： 解：略提示： ㈡型的积分 对于该类型的积分，如果分母可以因式分解成： （A1Sinx+B1Cosx）（A2Sinx+B2Cosx），则计算较简单。如果分母不能加上他因式分解时，可以通过待定系数法进行被积函的分解后再进行相应计算。 例3 计算： 解：∵2Sin2x﹣4Sinx·Cosx+5Cos2x =1+(Sinx﹣2Cosx)2 =6﹣(2Sinx+Cosx)2 故设：Sinx+Cosx=A(Cosx+2Sinx)+B(2Cosx﹣Sinx) 解之有：A= B= 故原式= 事实上，对于的计算也可以采用 如上的类似方法进行计算： 例4：计算： 解：令：Sinx+Cosx=S(2Sinx+3Cosx)+B(2Cosx－3Sinx)

解元有：A= B=－ 故原式 ㈢巧化对称式，简化计算： 对于及型的积分与其与之类似的积分，除可以使用配方法结合换元法进行计算外还可以先化为对称式，再直接用公式进行直接计算： 例5：计算：（b＞0) 解：令A=－B=－ 则：(x－a)(b－x)=[(x+A)+B][B－(x+A)] 原式= ㈣定积分的回归解法： 有些定积分直接利用牛顿——莱布尼兹公式计算是不能计算的，其中一部分定积分可以恰当的换元或分部积分之后，再利用回归解法求解：例6：证明：若函数f(x)于闭区间[0,1]上连续 则：∫ 证明：令t=π﹣x,则f(Sinx)=f(Sin(π﹣t))=f(Sint) 当x=0时，t=π，当x=π时，t=0 代入原式，得：