幻方群在图像置乱中的研究与应用

幻方解法整理归纳

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。 1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例） 奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 口诀： 1居首行正中央, 依次右上莫相忘 上出格时往下放, 右出格时往左放. 排重便往自下放, 右上出格一个样 图一 2、单偶数阶幻方 ()1 2 2＋ ＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例） ①把()1 2 2＋ ＝m n阶的幻方均分成4个同样的小幻方A、B、C、D(如图二) 图二

（注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方） ② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入()2221a a ——＋、在C 中填入()22312a a ——＋、在D 中填入()22413a a ——＋均构成幻方（2n a ＝）(如图三) 图三 （因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方） ③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调(如图四)： 图四 不管是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时，1＝m ，所以本例中只取了一个数） ④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调。（如图五） 图五 3、双偶数阶幻方m n 4＝——轴对称法（如图三：以八阶幻方为例） ① 把m n 4＝阶的幻方均分成4个同样的小幻方（如图六） 图六

幻方解法

说到幻方和九宫数大多数人都不陌生，在金庸先生著名的武侠小说《射雕英雄传》中就有郭靖在黄蓉的指导下为英姑指点九宫数的排列：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央。”想必各位朋友也都玩过这个数字游戏，但对幻方又了解多少呢？ 500){this.resized=true;this.style.width=500;}" border=0> 幻方又称为纵横图、魔方、魔阵或奇平方，它最早起源于我国。宋代数学家杨辉称之为纵横图。 所谓纵横图，它是由1到n2，这n2个自然数按照一种的规律排列成N行、N列的一个方阵。它具有一种奇妙的性质，在各种几何形状的表上排列适当的数字，如果对这些数字进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。 关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。 500){this.resized=true;this.style.width=50 0;}" border=0> 后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。公元前一世纪，西汉宣帝时的博士戴德在他的政治礼仪著作《大戴礼·明堂篇》中就有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的洛书九宫数记载。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个数。这九个数就可以组成一个纵横图，也就是记载最早的3阶幻方。

500){this.resized=true;this.style.width=50 0;}" border=0> 洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。同时，洛书以其高度抽象的内涵，对我国古代政治伦理、数学、天文气象、哲学、医学、宗教等等都产生了重要影响。在远古传说中，对于治国安邦上也具有积极的寓意！包括洛书在内的幻方自古以来在亚、欧、美洲不少国家都被作为驱邪避凶的吉祥物，这种古代地域广泛的图腾应该说是极其少见的。 除此之外，还有4阶、5阶...

三年级奥林匹克数学专题讲解三阶幻方理论A篇和练习B篇

三年级奥林匹克数学专题讲解——三阶幻方理论A 篇 幻方实际上是一种填数游戏，它不仅有三阶，还有四阶、五阶……直到任意阶。一般 地，在n 行n 列的方格里，既不重复也不遗漏地填上n n ?个连续的自然数，每个数占一格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上n 个自然数的和相等，我们把这几个相等的和叫做幻和，n 叫做阶，这样排成的图形叫做n 阶幻方。 三阶幻方：在三行三列的正方形方格中，既不重复也不遗漏地填上33?个连续的自然数，每个数占一格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上3个自然数的和均相等。通常这样的图形叫做三阶幻方。 三阶幻方的一些基本规律： 幻和=九个数之和÷3，中间数=幻和÷3。 九个连续的自然数中，第五个数是中间数，第二、四、六、八个数是四个角上的数。 例题1 在下面的方格中填上适当的数，使每行、每列和每条对角线上的三个数的和都等 于24。 分析： 解决问题的突破口：找出每行、每列和每条对角线上的任意两个数，就可以根据 幻和求出第三个数。 例题2 下图中，每个字母代表一个数。已知每行、每列、每条对角线上的三个数和都相 等，若4,16,17,5a l d h ====。求b 与f 为多少？ 分析： 根据幻和相等：a e l c e g b e h d e f ++=++=++=++，这4个算式中都有中间数 e ，所以有：a l c g b h d f +=+=+=+。再代入4,16,17,5a l d h ====即可。 一、知识介绍 二、例题讲解

例题3 编出一个三阶幻方，使其幻和为27。 分析： 先根据幻和求中间数，然后填其他数。请你试一试：调换数的位置，还可以得到 几种答案？ 例题4 将1～9这九个自然数填在下面图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上 的三个数的和都相等。 分析： 先求幻和，再根据幻和求中间数，然后填其他数。 例题5 下图中，a g 7个字母，各代表7个数字，要使三阶幻方成立，“a ”所代表的数字 是多少？ 分析： 根据幻方的概念：每一行、每一列以及每条对角线上3个自然数的和均相等。可 以得到：1218a d f a e g f g d e +++++=+++++，可求得：15a =。

探寻神奇的幻方

综合与实践 探寻神奇的幻方 太原第二实验中学白志红 学生起点分析 “探寻神奇的幻方” 是学生初中阶段接触的第一个“综合与实践”，学生此前已完成“有理数及其运算”与“整式及其加减”的学习，部分学生对用1～9填成三阶幻方，在方法上有初步的感性认识.学生的认知条件决定了它主要立足于丰富学生的数学活动经验，帮助学生在问题串引导下综合运用知识解决问题，对解决问题的方法和经验进行反思，从中感受对学生而言，一种全新的以自主探究为特色的学习方式. 教学任务分析 本“综合与实践”以探寻三阶幻方的本质特征为载体，帮助学生感受图形的对称；提高字母表示数的技能和探索规律的能力；体验数形结合的思想.教学时要提供学生充足的探索数量关系并符号化的时间，培养学生言之有据的习惯，发展学生正确使用数学语言进行表达和交流的能力，同时要鼓励学生在探索的过程中多角度尝试，不要以教师的讲解代替学生的思考、讨论；可以组建四人活动小组，每组有一份评分标准（见教师用书），促成学生以良好的情感态度主动参与合作交流；引导学生在独立思考的基础上与同伴进行合作交流； 教学目标 1、借助字母表示数、探索规律揭示几种简单的三阶幻方的本质特征；体验有理数混合运算、字母表示数、探索规律与几种简单的三阶幻方本质特征的内在联系；能够快速对含有具体数字的不完整幻方进行补充，掌握幻方的形成和相等关系的一般性描述. 2、在幻方规律的发现、幻方之间关系的探索过程中，形成初步的研究体验，获得一些发现问题、研究问题的经验，提高能力； 3、借助洛书、杨辉幻方等史料，帮助学生感受祖国文化的博大精深，增强民族自豪感，激发他们将民族瑰宝进一步发扬光大的信心和决心，从幻方对称的图形、美妙的结论中，初步感受数学的美. 教学过程设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备——查阅资料；第二环节：结识幻方；第三环节：研究三阶幻方；第四环节：制作三阶幻方；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.

数独技巧3知识讲解

X翼删减法、剑鱼删减法 X翼删减法：两列只有两格可以填入6，且这 4格分别在两行形成一个X形，这时可以排除 这两行其它格内的填入6的可能，示意图： 剑鱼删减法与X翼删减法道理相同，由2列拓 展为3列.3列中每列都只有3格可以填入5， 且这9格分别在三行，这时可以排除这三行其 它格填入5的可能，示意图： 剑鱼删减法除了以上标准型（3-3-3，3列都 有3个候选数），还由一些简化形式，比如 3-2-3型、3-2-2型、2-2-2型等。只要可以满 足在某列中选择任意一个候选数，都满足在 3行中都存在一个候选数即可。下边给出一 个2-2-2型的剑鱼删减法： X翼删减法实例：

剑鱼删减法实例： Turbot Fish 删减法 1楼 Turbot Fish介绍之前做个简单的铺垫，简单介绍一下强弱链的关系。单链分为强链和弱链。强链：某行、列或宫只存在2个某候选数，这两个数就构成强链，两数非真即假。这里用红线连接表示。 弱链：某行、列或宫存在3个或3格以上某候选数，这些数就构成弱链，其中一个为真则其余为假；其中一个为假则不能判断其余的真假。这里用蓝线连接表示。 根据强链两端数字，一个为真另一个为假的特性可以引申出某些三条连续单链组有排除候选数的情况。 “强-强-强链”和“强-弱-强”链都可以导致“长链”两端数字交叉处格中的该数被删除。 下边给出两种“三连链”的图:（两图中“长链”形状可以互换） 说明： “强-强-强链”由于链两端数非真即假的特性，标成红蓝两组，红为真则蓝为假，反之亦然。“长链”两端也为一红一蓝，肯定有一个是真，所以排除掉共同区域格（橙色格）中的x。“强-弱-强链”虽然不像“三强”中数字真假那么分明，但注意弱链的两端，弱链一端为真另一端也为假，这两端的数字分别连接强链，所以导致“长链”两端数同样是一真一假。如果弱链两端均为假，则长链两端数都为真。综上：同样排除掉共同区域格（橙色格）中的x。 所以，可以看出“强-强-强链”与“强-弱-强链”在排除两端数字交叉区域数字的效果上是“等价”

第一讲 魔方起源

第一讲魔方起源 一、河图洛书 《易传·系辞》有“河出图，洛出书，圣人则之”之说。传说距今七八千年前的伏羲时代，一龙马从黄河跃出，其身刻有“一六居下，二七居上，三八居左，四九居右”的数字，此为河图。今河南洛阳孟津老城西北之负图寺（亦名伏羲庙），据说为当年“龙马负图”之处。 大禹治水时，一神龟从洛河爬出，背上的数字排列为“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央”，这就是洛书，如图1所示。今河南洛宁洛河岸边西长水村旁，有“洛出书处”的古碑，据说为当年“神龟贡书”之处。河图洛书奇妙地组合排列了9个基本数字，涵盖了自然界周期性和对称性的特征，反映出东方哲学思想的精髓。 2001年8月8日新华社报道，在安徽凌家滩出土的一块玉片和一只玉龟，经测定制作于五千三百年前的新石器时代。二者紧紧叠压在一起，形象是龟托着玉。玉龟分背甲和腹甲，由孔和暗槽相连。玉片呈长方形，正面刻有两个同心圆，小圆内刻有方心八角星纹；大圆对着长方形的四角各刻有一圭形纹饰；两圆之间被平分为八等份，每等份雕刻一圭形纹饰。这与文献记载中的“河图洛书”相吻合。有关“龟背图”的传说较早记载于春秋时期的《尚书》，说的是远古的一天，一只大龟驮着洛书出现在中国北方的洛河。河图洛书后来成为《周易》最主要的来源之一。 二、洛书走入数学 1977年，在我国安徽省阜阳地区出土了一件汉代文物，称为“太乙九宫占盘”，如图2所示。其实盘上的图就是洛书，据此，洛书可简化为图3的形式，称为九宫图。由于古人给洛书赋予了浓厚的神话色彩，从而引起了后人对九宫图的极大兴趣，作了大量的研究，其结果形成了中国古代数学的重要内容—幻方。最早把九宫图引入数学的，是汉代（公元2世纪）的徐岳。徐岳在他的《数术记遗》中讲到14种算法，其中之一是九宫算：“九宫算，五行参数，犹如循环”。 到了北周（公元557年），甄鸾在《数术记遗》对九宫图算作了一段注释：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央”。这段话和前面关于洛书的传说是一致的。从此以后，洛书在数学上就被称作九宫图了。奇怪的是，自汉代徐岳把洛书引入到数学后，除北周甄鸾的注解外，再无人问津。这种局面一直持续到宋代（公元13世纪），沉默了700多年。这种沉默绝不是偶然的，与这一时期洛书的失传有关。

探寻神奇的幻方教学设计原稿

《探寻神奇的幻方》（1）教学设计 甘肃省张掖市甘州区新墩镇中心学校闫治春 一、教材分析 《探寻神奇的幻方》是学生初中阶段接触的第一个“综合与实践”，这节内容是以古老的幻方知识为引子，以探寻三阶幻方的本质特征为载体，让学生借助对实际问题中的数量关系符号化抽象的过程，从而达成领会问题、探究方法、提升问题、解决问题的目标。本节共2课时，作为第一课时，重在引导学生获得“从特殊到一般”的研究方法，其过程是落实数学活动经验积累、学会学习的重要载体，其方法是一种全新的以自主探究为特色的学习方式。 二、学情分析 学生已完成了“有理数及其运算”与“整式及其加减”的学习，有过“探索规律”的经历，对图形对称性也有初步了解。本节课主要面临的问题是从哪里入手以及从哪些角度研究三阶幻方的本质特征和构造思路，如何讲清特征背后的道理、提炼幻方构造的普适性方法。 本节课是学生初中阶段第一次接触综合实践活动，其研究意识和研究思路还不成形，教学定位在示范引领学生初步掌握研究性学习的方法，以面向全体学生的数学活动为主线，在层层递进的探究过程中引导学生积累数学活动经验，帮助学生在问题串引导下综合运用知识解决问题，进而从中感受和反思解决问题的方法和经验。 三、任务分析 《探寻神奇的幻方》是北师大版数学七年级上册综合与实践学习课题之一。根据新课标的要求，通过本课题的学习应让学生能够结合实际情境，经历解决具体问题的方案的过程；在参与过程中学会反思，并能进行交流，进一步获得数学活动经验；能够通过对有关知识的探讨，了解所学知识之间的关联，发展应用意识和能力。因此，本节课的设计以探寻三阶幻方的本质特征为载体，帮助学生感受图形的对称；以“有理数及其运算”与“整式及其加减”的知识为基础，提高字母表示数的技能和探索规律的能力；体验数形结合的思想.教学时要提供学生充足的探索数量关系并符号化的时间，培养学生言之有据的习惯，

关于SEG资料的学习心德幻方解释

勇敢的心10982253 悟道380770829 11569412群 一百多天，每天四个小时以上的学习中，我和网上的自由的飞悟道一起研究了很多资料，但到现在都觉得很多，一时了解不完。但是由于我们没有资金做装置，所以我们决定把我们所学到的重要的部分摘录下来，给有资金的人提供帮助。谨以此心献给那些投入很多资金省吃俭用以及被磁铁厂砸榔头的爱好者们。 SEG的第一个部分： 很多人都知道幻方是SEG的核心问题之一，但是很多人不明白幻方在SEG里到底扮演着什么样的角色。以及瑟尔说的是什么概念。现在把重要的概念总结给想要学习的人们，以节省大家的时候去更快的向前。 5 11 2 12 14 0 9 7 8 6 15 1 3 13 4 10 line=30 sun=120 setp=3 6 12 3 13 15 1 10 8 9 7 16 2 4 14 5 11 line=34 sun=136 setp=3 18 24 15 25 27 13 22 20 21 19 28 14

16 26 17 23 line=82 sun=328 setp=3 很多人可能不知道SETP指的是什么，SETP是从左下到右上的数的间隔。例如：4 7 10 13 他们的STEP就是3 绿色的框代表空间的起始点，0是第一级空间，而1则是第二级空间，白色广格内的四个数，代表着幻方的核心，它是由两个奇数与两个偶数组成的，这个核心被称为空间框，蓝色的框为时间框。目前还不知道空间与时间一能量在幻方中的表达。只知道这么多。 但这些都只是一个平面的幻方，我们来看立面的幻方。 这是一个幻立方，他们角上的数字都是一样的，4 6 11 13成为四个角的共用数，而这四个安息又组成了一个二乘二的核心，而这个核心有可能被用来做小环的配比，而大环4 7 10 13 则是以下启示。我们把幻立方展开。

幻方填入规律

n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。 1、奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 2、双偶阶幻方

方阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 (2) 每个小方阵对角线上的数字，换成和它互补的数。 单偶阶幻方 n为偶数，且不能被4整除(n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……) 这是三种里面最复杂的幻方。 以n=10为例。这时，k=2 (1) 把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。

趣味数学061：一些特殊的幻方

一些特殊的幻方 由我国古代数学瑰宝“洛书”所开创的“幻方”，不仅以其特有的奇妙性质，受到世界各国数学爱好者的青睐，也成为数学文化中一个饶有兴味的课题。对此，前面在多篇文章中，已经做过一些介绍，这里再撷取几个比较特殊的幻方，供网友们玩赏。这些幻方的奇妙性质更加扑朔迷离，兴味无穷。 一、间隔幻方 1 35 24 54 43 9 6 2 32 6 40 19 49 48 14 5 7 27 47 13 58 28 5 39 20 50 44 10 61 31 2 36 23 53 22 56 3 33 64 30 41 11 17 51 8 38 59 25 46 16 60 26 45 15 18 52 7 37 63 29 42 12 21 55 4 34 这个八阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和相等，都是260。如果，把这些数同时按行和列隔一个取一个，竟然可以组成两个四阶幻方： 1 24 43 6 2 35 54 9 32 47 58 5 20 13 28 39 50 22 3 64 41 56 33 30 11 60 45 18 7 26 15 52 37 它们每行、每列、每条对角线上4个数的和相等，都是130。所以，这个幻方叫做“间隔幻方”。

16 41 36 5 27 62 55 18 26 63 54 19 13 44 33 8 1 40 45 1 2 22 51 58 31 23 50 59 30 4 37 48 9 38 3 10 47 49 24 29 60 52 21 32 57 39 2 11 46 43 14 7 34 64 25 20 53 61 28 17 56 42 15 6 35 这个八阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和相等，都是260，而且每行、每列、每条对角线上8个数的平方和也相等，都是11180，所以，这个幻方叫做“多重幻方”。 三、双料幻方 46 81 117 102 15 76 200 203 19 60 232 175 54 69 153 78 216 161 17 52 171 90 58 75 135 114 50 87 184 189 13 68 150 261 45 38 91 136 92 27 119 104 108 23 174 225 57 30 116 25 133 120 51 26 162 207 39 34 138 243 100 29 105 152 这个八阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和相等，都是840，而且每行、每列、每条对角线上8个数的积也相等，都是2058068231856000，所以，这个幻方叫做“双料幻方”。

幻方最优填法

如何填幻方 幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到574年，德国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。 数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。 1、奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 2、双偶阶幻方 n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义。互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。 先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。 也可以保留对角线上的数字不动，而将其它的数换为与它互补的数。 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k2个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。 1 63 6 2 4 5 59 58 8 56 10 11 53 52 14 15 49 48 18 19 45 44 22 23 41 25 39 38 28 29 35 34 32 33 31 30 36 37 27 26 40 24 42 43 21 20 46 47 17 16 50 51 13 12 54 55 9 57 7 6 60 61 3 2 64

神奇的幻方

神奇的幻方 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

幻方 教学目标： 1.初步认识幻方，了解幻方的起源，激发热爱祖国的思想感情。 2.能正确计算每一个九宫格中8个三数之和。 3.培养自主探究的能力和团结协作的能力。 教学重点：能正确计算每一个九宫格中8个三数之和。 教学难点：探索幻方的规律，并能运用规律灵巧地找出幻方中的缺数。 教具准备：课件、学习单 教学过程： 一. 故事引入 （大禹治水的故事） 师：今天又要学习新本领了，在学新本领之前，老师请大家先听一个故事（媒体） 【策略说明：数学是来源于生活的。故事的引入能激发学生学习数学的兴趣，让他们能以一种积极的态度开始投入学习新知识的活动中去。】 二、探究新知 （一）认识幻方 1.从乌龟背上的9种花点图案引到九宫图。 师：这张就是洛书（出示），洛书就是现在我们所说的幻方（出示），俗称“九宫 格” 师：观察一下洛书和幻方有什么区别

生：洛书是用点表示的，幻方是用数字来表示的。 师：哪个表示简单 生：用数字表示简单。 师：所以我们就用我们熟悉的啊拉伯数字把洛书的点数用数字表示出来就形成了 这样一张幻方。 师：今天我们就要来学习幻方 2．（出示1） 师：你看到了什么 生：1~9九个数字，三行，三列，两条对角线。 3.（出示2） 师：真棒，那么小朋友们仔细观察，你看懂了什么 生：要计算每行、每列、对角线三个数的和是多少。 师：4，9，2哪里来的3，5，7哪里来的8，5，2哪里来的 师：很好，那么我们把书翻到83页，一起来算一算 师：每行，每列，对角线的和都是多少呢 生：都是15。 师：你发现了什么 生：幻方每行，每列，对角线的和都是15。 师：像这样三行，三列，两条对角线的和都是15的，我们就把它称为和是 15的幻方。

幻方的性质与应用

郑州大学毕业论文题目：幻方的性质与应用 学生姓名：学号： 专业：信息与计算科学专业 院（系）： 完成时间 2010年5月20日 目录

幻方的性质与应用 (1) 摘要 (1) 引言 (2) 1幻方及其基本性质 (2) 2幻方的构造 (4) 3幻方的应用 (8) 综述 (9) 结束语及致谢 (10) 参考文献 (10)

幻方的性质与应用 【摘首先，我们简单的介绍一般幻方的定义以及一些特殊的幻方，然后 随着我们对幻方的研究我们又着重介绍了幻方的一些构造，，最后我们浅谈一下有关幻方的应用前景，比方说在美术设计方面的应用，在智力开发方面的应用，在科学技术方面的应用等等。 【abstract】 First, we simply introduce the general definition of magic squares as well as some special magic square，Then as we study magic squares we have highlighted some of the magic square construction，For example, from low-order magic square Magic Squares, Magic Squares of odd order, even order magic square construction and general construction of magic square.， Finally, we look at the Magic Square of prospects，For example, in the art design application, the application of intellectual development in science and technology-based applications。 【关键字】幻方的定义幻方的构造幻方的应用 【keyword】 The definition of magic squares Magic Square Application of Magic Squares 1幻方及其基本性质 1.1幻方的定义 1.2几种常见的幻方 2幻方的构造 2.1由低阶幻方构造高阶幻方的方法 2.2奇数阶幻方的构造 2.3偶数阶幻方的构造 2.4一般幻方的构造 3幻方的应用前景 3.1幻方应用于美术设计 3.2幻方应用于智力的开发功能 3.3幻方应用于科学技术之中 引言 所谓幻方也叫纵横图，就是在n′n的方阵中放入从1开始到2n个自然数，在一 定的布局下各行，各列和两条对角线上的数字之和正好相等，这个和数就叫幻方常数或幻和。由于幻方具有这种特殊的性质，几千年来吸引着数学家和数学爱好者的兴趣，并进行了广泛深入的研究，在本论文中我们主要探讨幻方的基本性质及其构造它的一般方法，最后我们在浅谈一下有关它的一些应用前景。 1幻方及其基本性质 1.1幻方的定义 幻方是一系列的数排列成一个方阵，使它的每行和，每列和以及每条

小学思维数学讲义：幻方(一)-带详解

幻方（一） 1. 会用罗伯法填奇数阶幻方 2. 了解偶数阶幻方相关知识点 3. 深入学习三阶幻方 一、幻方起源 也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图： 98 76 54321 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 二、幻方定义 幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33?的数阵称作三阶幻方，44?的数阵称作四阶幻方，55?的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样， 9 87654 32 1 13 414151 6 1297 8 105113 2 16 三、解决这幻方常用的方法 ⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数） ②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2． 四、数独 知识点拨 教学目标

幻方的研究

幻方的研究 作者姓名 学科专业 指导教师 培养院系

摘要 在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。 本文主要介绍了幻方的起源、解法与应用。 关键词：magic square, magic square solution, application of magic squares.

Abstract In a square consists of several rows of numbers consisting of the figure any of rampant, a longitudinal and a few number of diagonal and are equal, having a chart of this nature, known as the "magic square." Ancient Chinese called "Riverside", "Luo Shu", also called "aspect map." This paper describes the origin and application solution magic square. Key words: key word 1, key word2, key word 3, key word 4

幻方的起源 幻方的起源 幻方(magic square)起源于《易》，古称九宫（龟文），乃是我国最先发现的一个著名组合算题。《易》算之于九宫，识之以天象，在古代天文、历法、农牧生产与社会生活中具有广泛的应用价值。易十数为体，八九为用，八九不离十。《易》九宫算动态组合模型（包括河图、洛书、八卦）是幻方的通解与最简模型[1]。 幻方是一个高深莫测的数学迷宫和高智力游戏，它的重重大门闪似乎由一串串非常复、精密而又变化多端的连圜锁“参伍错综”地锁着的，人们走进去也许并不难，但是要走出来谈何容易。现代幻方组合理论及技术水平虽然达到了相当的高度，但我始终不敢轻言谁已经揭示了幻方谜底。 幻方是一个丰蕴的知识宝库。幻方九宫算模型的精髓在于：变、变、变。正可谓“横看成岭侧成峰”。《系辞》曰：“神无方而《易》无体”，这意思是说：九宫算神奇的数理变化不囿于一招一法，其几何形体亦无常于一制一式，因此研究幻方应尽可能采取多种多样的方法。发现新方法是很重要的，但各种方法的具体操作与用法创新、绝技的应用等，有时比方法本身更为重要。不同方法以及方法的不同用法，各种方法合理的交互应用等，必然会产生幻方新的结构与造型。n阶幻方的全部解各有一个幻方群，1至2n自然数列的2n个数在整个幻方群中的变位关系，阶次越大变化就越复杂，它们将遵守精密逻辑、模糊逻辑或非逻辑等等不同规则。 《易》九宫学博大精深。汉徐岳在《数术记遗》中已从算学角度称洛书为九宫，南北朝甄鸾注：“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九lu一，五居中央。”唐王希《太乙金镜式经》曰：“九宫之义，法以灵龟—此不易之道也”等等。但幻方九宫算的开拓者首当宋大数学家杨辉，他不仅发现了洛书（三阶幻方）的构图口诀，而且还填出了四阶至十阶多幅幻方以及幻圆、幻环等图形。同时，宋丁易东、明程大位、清张潮与方中通等人，也对幻方组合技术做出过重要贡献[2]。 幻方九宫算是东方大易文化的瑰宝。自汉唐以来统一的中国繁荣富强，在拓疆、移民、传教、航海与丝路开通等对外经贸与文化交流过程中，幻方古算题飘洋过海，

幻方

奇数阶幻方 教授（带图） 11 18 25 2 9 10 12 19 21 3 4 6 13 20 22 23 5 7 14 16 17 24 1 8 15 （1）五阶幻方

（2）七阶幻方

22 31 40 49 2 11 20 21 23 32 41 43 3 12 13 15 24 33 42 44 4 5 14 16 25 34 36 45 46 6 8 17 26 35 37 38 47 7 9 18 27 29 30 39 48 1 10 19 28 （1）幻方简介： 幻方（Magic Square）是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。幻方也是一种汉族传统游戏。旧时在官府、学堂多见。它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。

在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。幻方也称纵横图、魔方、魔阵，发源于中国古代的洛书——九宫图。公元前一世纪，西汉宣帝时的博士戴德在他的政治礼仪著作《大戴礼·明堂篇》中就有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的洛书九宫数记载。2500年前，孔子在他研究《易经》的著作《系词上传》中记载了：“河出图，洛出书，圣人则之。”最早将数字与洛书相连的记载是2300年前的《庄子·天运》，它认为：“天有六极五常，帝王顺之则治，逆之则凶。九洛之事，治成德备，监照下土，天下戴之，此谓上皇。”明代数学家程大位在《算法统宗》中也曾发出“数何肇？其肇自图、书乎？伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物”的感叹，大意是说，数起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并制定治理天下的九类大法，圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。 《周易本义》中的《洛书》，一个三阶幻方 宋杨辉著《续古摘奇算法》中曾叙述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”。 （2）解幻方方法： 1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例） 奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。

浅谈幻方以及其解法

学号 1250901205 学年论文 （2016届本科） 题目：浅谈幻方以及其解法 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 作者姓名：甘天明 指导教师：任天胜职称: 副教授 完成日期： 2014 年 12 月 18 日

浅谈幻方以及其解法 甘天明指导教师：任天胜 (河西学院数学与应用数学专业2016届2班05号甘肃张掖 734000) 摘要多少世纪以来，人们对幻方总是怀着浓厚的兴趣，从古代起幻方就跟某些超自然和魔术的领域相联系。在古代亚洲的城市，人们在考古挖掘中发现了它们。有关幻方的最早纪录，是约于公元前2200年在中国出现的“洛书”，传说这个幻方最初是大禹在黄河岸边的一只神龟的背上看到的。 幻方，有时又称魔方（该称呼现一般指立方体的魔术方块）或纵横图，有一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。幻方起源于我国，并由我国传到全世界，在这漫长的历史中，幻方也得到了广泛的发展和进步。 本文主要分为两部分，第一部分从幻方的历史和发展，幻方问题的研究以及幻方的应用来认识幻方；第二部分主要介绍幻方的解法。 关键字: 幻方；幻和；奇幻方；偶幻方. 1 引言 我国的纵横图通过东南亚国家,印度和阿拉伯传到西方。由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫做 Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。 幻方问题是具有悠久历史的复杂排列组合问题。幻方问题的复杂性不仅在于解的多样性随阶数指数递增，而且在于解在可行排列空间中所占的比例随阶数指数递减。 此外，在文章中，简单介绍了幻方在数学、智力开发、科学以及艺术中的应用，我们从多个角度去探寻幻方的历史，发展和在现实生活中的应用，以此来进一步加深对幻方的理解。 在文章第二部分，也介绍了幻方的几种解法，从不同的角度对幻方的解法做了一点讨论与研究。 2预备知识 的方阵中，放入从1开始的2n个定义2.1 幻方，也叫纵横图，就是在n n 自然数，在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好相等。 定义2.2 幻方的各行、各列和两条对角线上的数字之和相等的和数即为幻和，也叫幻方常数。 定义2.3 奇阶幻方：当幻方中的n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。

幻方求解新法

幻方求解新法 摘要 数学是美的,幻方更美,幻方是数学按着一种规律布局成的一种体系.每个幻方不仅是一个智力成就,而且还是一个艺术佳品,都以整齐划一,均衡对称,和谐统一的特性,迸发出耀人的数学美的光辉,具有很高的美学价值.幻方在数学教学中, 具有提高学生学习兴趣,美化教材,启迪思维的功能,幻方中数字的丰富变化,把数学教材中的各个内容联系起来.如方程幻方,根式幻方,分数幻方,黑洞数幻方,积幻方,差幻方,平方幻方等,它们都可用在数学教学当中,使数学内容产生魅力,当今的《奥林匹克数学》书中,幻方是一个重要内容.本文正是在此之上,详细介绍了幻方的起源,幻方的发展,现状以及应用前景,主要针对三阶幻方的解法作了探讨,尝试用非齐次线性方程组去寻找它的解,使三阶幻方的求解更加条理,思路更加清淅. 关键词：三阶幻方问题；非齐次线性方程组；三阶幻方

ABSTRACT Mathematics is beautiful, more beautiful, the illusion of illusion fang fang is a mathematical law according to layout of a kind of system. Each party is not only an illusion of intellectual accomplishments, but also an art market, with neat and tidy, balanced symmetrical, harmonious and unified, the characteristics of yewchung burst, mathematical beauty high aesthetic value. Illusion in mathematics teaching, improving students' learning interest and beautify the textbooks, enlightenment function of thinking, the illusion of rich change, the number of mathematics curriculum content of each link. If equation, radical unreal illusion, scores, black holes for unreal illusion, accumulate illusion, poor illusion, square illusion, such as used in mathematics teaching, make mathematics contents have charm, today's "Olympic mathematics, is an important content of illusion. In this paper, it introduced the origin, the illusion of the current development, the illusion and application prospect, mainly in the illusion of third-order method were discussed, try to use the homogeneous linear equations to find the solution, the illusion of the third-order solving more organized, thinking more clearer. Key words: third-order unreal square problem；Nonhomogeneous linear equations； Three order