高中不等式的性质练习题2
1,则,,a b c 的大小关系是 ( ) A.b c a >> B.c b a >> C.b a c >> D.a c b >>
【答案】A 【解析】
在(0,)+∞上为增函数知a c >;因在(,)-∞+∞上为减函数知c b >,再由不等式的传递性知b c a >>故选A.
考点:初等函数单调性及应用,不等式基本性质.
2.在ABC ?中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若222
2a b c +=,则cos C 的最小
值为( ) A
【答案】C
【解析】
,当且仅当a b =时取等号.
考点:1.余弦定理;2.基本不等式.
3.若正实数满足,则( )
A .
有最大值4 B .有最小值 C
.有最小值
【答案】C 【解析】
试题分析:本题是基本不等式的应用,我们可以举例说明一些不等式不成立,如
0.1,0.9a b ==,A B 不成立,D 不成立,因此选C .当然我们也可用基本不等式直接证明C ,a b 1a b +=11a b +ab 14
2
2
a b +2
12
a b
≤++=
,
当且仅当a b
=时取等号,
.
考点:基本不等式.
4.下列命题中的真命题是()
A.若d
c
b
a>
>,,则bd
ac> B,则2
2b
a>
C.若b
a>,则2
2b
a> D,则2
2b
a>
【答案】D
【解析】
试题分析:不等式基本性质中,与乘法有关的性质,不等式两边都要是非负数,才可能得出相应的结论,如果出现负数,结论不一定成立.如A中,b d为负数,结论就可能不成立:23,35
>->-,但23
?<(3)(5)
-?-;B但22
2(5)
<-,C中35
>-,但22
3(5)
<-,故A、B、C都是错误的,排除A、B、C,只能选D.实际上D中条件不
,不等式两边均非负,可同时平方得2
2b
a>.
考点:不等式的基本性质.
5.对于使M
x
x≥
-2
2成立的所有常数M中,我们把M的最大值-1,称为函数x
x2
2-
的“下确界”
A、8
B、6
C、 4
D、1
【答案】A
【解析】
试题分析:由,,
x y z R+
∈且20
x y z
-+=,
考点:基本不等式.
6.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是( )
D.a2+b2≥8
【答案】D
【解析】
试题分析:因为a>0,b>0当且仅当a b
=
时等号成立,C错;
当且仅当a b
=时,等号成立,
成立,B错;综上可知,选D.
考点:基本不等式、不等式的性质.
7.已知0,10a b <-<<,那么下列不等式成立的是( )
A .2a ab ab >>
B .2ab ab a >> C.2ab a ab >> D .2ab ab a >> 【答案】D 【解析】
试题分析:由于每个式子中都有a ,故先比较21,,b b 的大小.因为10b -<<,所以
21b b <<.
又
20,a ab ab a <∴>>.
考点:不等关系. 8则“x A ∈”是“x B ∈”的( )
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】
,∵A B ü,选C.
考点:1、分式不等式和绝对值不等式的解法;2、充分条件和必要条件.
9.成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行,决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设.已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y 1,y 2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站( )
A .5千米处
B .4千米处
C .3千米处
D .2千米处 【答案】A 【解析】
试题分析:设仓库到车站的距离是x 千米,,12y =,28y =分别代入两个式子,可所以
,即5x =时,等号成立,所以要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站5千米处.
考点:基本不等式及其应用
10.若,,a b c ∈R ,且a b >,则下列不等式一定成立的是( ) A .a c b c +≥-
B .2()0a b c -≥
C .ac bc >
D 【答案】D 【解析】
试题分析:A 项:当0c <时,不等式a c b c +<-;C 项:0c =时,ac bc =;D 项:0
c =
项:0a b a b >?->,20c ≥,所以2()0a b c -≥.故选D.
考点:不等式性质.
11.已知1(,1)x e -∈,ln a x =,则,,a b c 的大小关系为( )
A .c b a >>
B .b c a >>
C .b a c >>
【答案】B 【解析】
试题分析:∵1(,1)x e -∈,∴ln (1,0)x ∈- ∴(1,0)a ∈-,(1,2)b ∈,
1
(,1)c e -∈∴b c a >>. 选B .
考点:利用函数图像比较大小. 12.设0.5
3a =,
3log 2b =,2cos =c ,则 ( )
A.c b a <<
B.c a b << C .a b c << D.b c a <<
【答案】A 【解析】
c b a <<.
考点:指对数的计算以及余弦符号的判断.
13.,e π分别是自然对数的底和圆周率,则下列不等式不成立的是( ) A. ()2
log log 2e e ππ+> B. C. e e e e π
π->- D. ()(
)3
33
4e e ππ
+<+
【答案】C 【解析】
试题分析:当1x >时,()0,f x '>()f x ∴在()1,+∞上单调递增,而()()2
log 1,log log 12,e e e f A πππ>∴+>=∴成立;由均值
不
等
式
,
得
而
成立;令(),x g x e x =-则
()1x g x e '=-.当1x >时,()0,g x '>()g x ∴在()1,+∞上单调递增.而,e π<
()(),e g e e e g e C
πππ∴=-<=-∴不成立;
()(
)3
3333
332
44433
e e e e e e π
πππππ
+-
+
=+--
()()()()()()2
33223333330,e e e e e e e e e e D
ππππππππππ=+-+=+-+-+=->∴成立.
考点:1、不等式及其性质;2、导数的应用. 14.设,,a b c 都是正数,,N a b c =++,则,M N 的大小关系是 ( ).
A .M N ≥
B .M N <
C .M N =
D .M N ≤ 【答案】A 【解析】
试题分析:由题意不妨设0a b c ≥≥>, 则ab ac bc ≥≥,式,知
,即M N ≥.当且仅当a b c ==时
考点:不等式比较大小.
15.若不等式对恒成立,则实数的取值范围是
( )
A . B. C. D.
【答案】B 【解析】
试题分析:由题意
,,令
令1+=x t ,
,]1,1[-∈
t ,
选B.
考点:1.不等式的性质; 2.恒成立问题.
16
.若c b a >>,则下列不等式中正确的是 B.ac ab > C.
【答案】D 【解析】
试题分析:根据题意,由于
c b a >>,那么当c 不为零时,选项A 成立,对于C=0,选项B 不成立,对于C ,由于,只有a,b,c 同号时成立,故选D 考点:不等式的性质
点评:主要是考查了不等式性质的运用,属于基础题。 17( )
A
.n m < B .n m =
C .n m >
D .不能确定
【答案】A 【解析】
122+≤--+x x x m []0,2-∈x m (]2,∞-(]2,-∞-[]2,2-()(
)
+∞-∞-,22,
,则可知n m <,故选A.
考点:不等式的比较大小
点评:主要是考查了不等式的比较大小的运用,属于基础题。 18.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则
A B C .a 2+b 2
≥2
D .a 2+b 2
≤3
【答案】C 【解析】
试题分析:根据题意,由于a≥0,b≥0,且a+b=2,
则可知ab≤1a 2+b 2
≥2 成立故答案为C 考点:不等式的性质
点评:主要是考查了不等式的性质的运用,属于基础题。 19.若,10,1<<>>a y x 那么下列各式中正确的是( )
A .a a y x --> B. y x a a log log > C. y x a a < D. y
x a a >
【答案】C 【解析】
试题分析:根据题意,由于,10,1<<>>a y x ,对于B ,对数底数小于1,函数递减,则显然错误,对于A ,由于指数函数的性质可知,底数大于1,函数递增,则可知不成
立。对于D,结合指数函数图象可知,底数大于1,那么可知
x y a a <,故排除选C. 考点:不等式的比较大小
点评:主要是考查了对数和指数函数单调性以及幂函数性质的运用,属于基础题。
20 ) A B .22log log a b >
C .22222a b a b +≤+-
D 【答案】C 【解析】
试题分析:根据题意,由于0a b >>,则根据倒数性质可知
性质,底数大于1是递增函数,故22log log a b >成立,对于作差法可知成立,而对于C ,应该是大于等于号,即左边大于等于右边,故选C 。考点:不等式的性质
点评:主要是考查了不等式性质的运用,以及比较大小的运用属于基础题。
21.如果b a <<0,t >0,设M N ( ). A .M >N B .M <N
C .M =N
D .M 与N 的大小关系随t 的变化而变化
【答案】B
【解析】
试题分析:根据题意,由于b a <<0,t >0,设M N <0,故可知M <N ,故可知答案为B. 考点:不等式的比较大小
点评:主要是考查了不等式的运用,属于基础题。
22.如果,,a b c 满足c b a <<且0ac <,那么下列选项中不一定成立的是( ) A .ab ac > B .()0c b a -> C .22cb ab < D .()0ac a c -< 【答案】C 【解析】
试题分析:由c b a <<且0ac <知,0,0a c ><,若0b =,则22cb ab <错误。故选C 。
考点:不等式的性质
点评:由不等式的性质来判断式子是否成立,常用的方法是取值法。像本题中的C 项,当取0b =时,就可判断是错误的,这样就可排除掉。
23.设 a 与b 的大小关系
()
A .a >b
B .a
C .a ≤b
D .a ≥b
【答案】B 【解析】
试题分析:由x >0,y >0,结合不等式的性质可得,解:∵x >0,y >0,∴x+y+1>1+x
>0,1+x+y >1+y >0,则可知
,,那么可知
a <
b ,选B.
考点:不等式的性质
点评:本题主要考查了不等式的性质的简单应用,解题的关键是熟练应用基本性质 24.若R c b a ∈,,,且b a >,则下列不等式一定成立的是 ( ) A .c b c a -≥+ B .bc ac >
C .0)(2≥-c b a 【答案】
D 【解析】
试题分析:根据题意,由于R c b a ∈,,,且b a >,那么可知,不等式两边同时加上任何数不等式方向不变,故A 错误,对于B ,当c>0时才能成立,对于C ,由于c=0,不成立故排除,只有选D. 考点:不等式的性质
点评:主要是考查了不等式性质的运用,属于基础题。
25)
sin17cos17+,22cos 131b =-,,则a ,b ,c 的大小关系为 ( ) A. c a b << B. a c b << C. c b a << D. b a c << 【答案】D 【解析】 )sin17cos17+=
22cos 131b =- 64sin 26cos ==,,故b a c <<.选D. 考点:不等式比较大小 两角和与差的正弦函数 二倍角的余弦
点评:对三角函数式进行大小比较,一般要将其化为同名三角函数,并将其角化归到该函数的某个单调区间上,再利用函数的单调性进行解答.
26
A
B
C
D 【答案】C
【解析】 试题
分析:根据题意,由于
当且仅当时等号成立,故可知答案为C.
考点:不等式的求解最值
点评:主要是考查了均值不等式来求解最值的运用,属于基础题。 27.对于实数c b a ,,,下列结论中正确的是 A 、2
2
bc ac b a >>,则若 B 、b
a b a 110>>>,则若 C 、b
a
a b b a ><<,则
若0
D
、
001
1<>>>b a b
a b a ,,则,若
【答案】D 【解析】 试题分析:选项是不等式,可以利用不等式性质,结合特例逐项判断,得出正确结果.解:
A ,当c=0时,有22
ac bc =, 故错.对于 B 若a>b>0,则
11
a b
<,故错误, C 若a <b <0,取a=-2,b=-1,可知b a a b
<,故错误,对于D ,0
01
1<>>>b a b a b a ,,则,若成立,故选D
考点:不等式的性质
点评:本题考查命题真假,用到了不等式性质,特值的思想方法.
( ) C.2a b > D.22a b > 【答案】C 【解析】
试题分析:通过举反例说明选项A ,B ,D 错误,通过不等式的性质判断出C 正确。解:
对于A ,例如a=2,
此时满足a >1>b >A 错,对于B ,例如a=2,a >1>b >
-1B 错,对于C ,∵-1<b <1∴0≤b 2<1∵a >1∴a >b 2
故C 正确,对于D ,
例如此时满足a >1>b >-1,a 2
<2bg 故D 错,故选C
考点:不等式的性质
点评:想说明一个命题是假命题,常用举反例的方法加以论证.
29.若b a R c b a >∈,且,,,则下列不等式一定成立的是 ( ) B.||||c b c a > C.b a >|| D.【答案】C
【解析】
试题分析:根据题意,只有a,b 同号的时候,选项A 成立,对于B ,只有c 不为零时成立,对于C ,由于|a|a ≥ ,则根据不等式的传递性可知成立对于D,当a=0,不成立,故选C.
考点:不等式的性质
点评:主要是考查了不等式的性质简单运用,属于基础题。
30.设,,x y z 为正实数,满足230x y z -+=,则的最小值是 .
【答案】3 【解析】
试题分析:由已知得2y x 3z =+,∵x 0,y 0,z 0>>>
考点:1、不等式的性质;2、基本不等式. 31.已知0x >,0y >,且,则x y +的最小值为________. 【答案】16 【解析】
“=”,所以x y +
的最小值为16. 考点:基本不等式.
32.若正数,x y 满足230x y +-=,则的最小值为 . 【答案】3. 【解析】
试题分析:若正数,x y 满足230x y +-=,即23y x =-+ ①
②,把①式代入②式得2
2(33)60m x m x -+
+=,因为x 为正数,所以
,解得3m ≥,则 3. 考点:利用判别式法求最值.
33.对于函数f(x)定义域中任意的x 1,x 2(x 1≠x 2),有如下结论: ①f(x 1+x 2)=f(x 1)f(x 2), ②f(x 1x 2)=f(x 1)+f(x 2),
当f(x)=lnx 时,上述结论中正确结论的序号是_____________.
【答案】②④. 【解析】
试题分析:把函数()ln f x x =代入结论①②:1212ln()ln ln x x x x +=?,1212ln()ln ln x x x x =+,
结合对数的运算法则,知②正确,①错误;
说明12x x <时,12()()f x f x >,从而()f x 为减函数,但函数()ln f x x =是增函数,故③错误;
④等价
于?
12,0x x >
且12x x ≠时,上式显然成
立.故④也是正确的.
考点:1、对数的运算法则;2、对数函数的性质;3、基本不等式.
34.
则()x f 的最大值与最小值的乘积为 . 【解析】
试题分析:,而2421x x ≥+,所以
,当1≥k 时;当1 考点:不等式的应用. 35.设|,12|)(-=x x f 若不等式)(x f ≥ 对任意实数a 0≠恒成立,则 x 的取值集合是________________. 【答案】1x ≤-或3x ≥ 【解析】 3,从而3|1-2x |≥,解出3x 1 x ≥-≤,. 考点:1.恒成立问题;2.基本不等式. 36.若0,0,a b >>则。 【解析】 考点:新定义问题,不等式的性质,简单不等式的解法。 点评:中档题,理解新定义内容是正确解题的关键。 37.已知a ,b 大小关系是a b . 【答案】> 【解析】 试题分析:根据题意,由于a=2 ,b=,两个平方作差可知 那么可知a>b 考点:比较大小 点评:主要是考查了不等式的比较大小的运用,属于基础题。 38.若不等式2 11ax bx c -<++<的解集为(1,3)-,则实数a 的取值范围是 . 【解析】 试题分析:根据题意,由于不等式2 11ax bx c -<++<的解集为(1,3)-,则说明x=-1,x=3 是方程22x +bx+c-10x +bx+c+10a a ==,的两个根,则可知9a+3b+c-1=0,a-b+c+1=0,那么借助于方程的根的情况可知,由于判别式大于零,因此实数a 的取值范围是 考点:不等式的解集 点评:主要是考查了一元二次不等式的解法的运用,属于基础题。 39.设,x y 为实数,若2241x y xy ++=,则2x y +的最大值是 。 【解析】 试题分析:根据题意,由于2241x y xy ++=,而222(2)44x y x xy y +=++ =1+3xy=1+ ,解不等式可知结论为2x y +的最大值是 考点:不等式的性质 点评:主要是考查了不等式的性质的运用,属于基础题。 40.在,90 R t A B C C ?∠=中,且A ∠.B ∠.C ∠所对边分别为,,a b c ,若a b c x += , 则实数x 的取值范围为__________ 【解析】 试题分析:在,90Rt ABC C ?∠=中有222a b c +=, a b cx += 22 2ab a b ∈+ 考点:不等式及性质 点评:本题中求x 在应用时注意其成立条件: ,a b 是正数,当和为定值时积取最值,积为定值时和取最值,最后要验证等号成立的条 件a b =是否成立 41.若13,42αβ<<-<<,则的取值范围是 【解析】 试题分析:由13α<<得:由42β-<<得:24β-<-<, 考点:不等式的性质 42β-<<两式相减来得到 对一切实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是 . 【解析】 x 恒成立,那么可知221-ax ax ->恒成立即可,即当a=0时,显然0>-1恒成立,当a 0≠ 时,由于二次 函数开口向上,判别式小于零能满足题意,故可知为a>0,2440a a -< ,解得0 点评:主要是考查了指数不等式的求解和运用,属于中档题。 43.已知实数,,a b c 满足9a b c ++=,24ab bc ca ++=,则b 的取值范围是 . 【答案】[1 5], 【解析】 试题分析:将9c a b =--代入24ab ac bc ++=,并化简,构造关于a 的一元二次方程:22(9)9240a a b b b +-+-+=,该方程有解, 则22(9)4(924)0b b b ?=-- -+≥,解得15b ≤≤ 考点:不等式的运用 点评:主要是考查了构造方程的思想,借助于判别式得到范围,属于中档题。 44.设函数 (1)解不等式; (2)若关于 的不等式的解集不是空集,求得取值范围. 【答案】(1(2 322)(++-=x x x f 6)(>x f x 12)(-≤a x f a 【解析】 试题分析:本题考查绝对值不等式的解法和有解问题的求法,考查学生运用函数零点分类讨论的解题思想和转化思想.第一问,利用函数零点分成3类不等式组;第二问,是有解问题,将问题转化为min |21|()a f x -≥,本问的关键是求min ()f x ,将函数()f x 去掉绝对值,化成分段函数,通过数形结合求出min ()4f x =,即|21|4a -≥,下面解绝对值不等式求出a 的取值范围. 试题解析:(1)∵ |22||3|6x x -++> , ∴ 3(22)(3)6x x x ≤-? ? ---+>?或 31(22)(3)6x x x -≤≤??--++>?或1(22)(3)6x x x ≥? ?-++>?, 311x x -≤≤??<-?或 ∴3x ≤-或31x -≤<-或 ∴1x <-或5 3 x > . 5分 (2)因为13,3()|22||3|5,3131,1x x f x x x x x x x --≤-?? =-++=--<?+≥? , 所以()|22||3|4f x x x =-++≥, 所以若()|21|f x a ≤-的解集不是空集,则min |21|()4a f x -≥=, 22 即a 的取值范围是:52a ≥或3 2 a ≤-. 10分 考点:1.绝对值不等式的解法;2.分段函数的最值;3.有解问题的解法. 45.解关于x 的不等式ax 2 -(a +1)x +1<0. 【答案】(1)当0a =时,不等式解集为(2)当0a <时,不等式的解集或}1x >; (3)当01a <<时,(4)当1a =时,不等式解集为φ; (5)当1a >时,不等式解集为【解析】 试题分析:首先考虑不等式类型,当0a =时,解集为;0a ≠时是二次不 等式,利用图象法解二次不等式,需考虑开口方向和?的符号,以确定抛物线和x 轴的位置关系,对于能分解因式的二次不等式,可先分解因式(能分解因式,说明抛物线和 x 有公共点,不需考虑?的符号) ,再求根,此时直接讨论开口和根的大小即可,从而写出解集. 试题解析:当0a =时,不等式解集 当0a ≠时,不等式可变为 (1)(1)0ax x --<,方程(1)(1)0ax x --=的两根为 (1)当0a < 或}1x >;(2)当01a <<时,抛物线开口向上, (3)当1a =时,不等式解集为φ;(4)当1a >时,抛物线开口向上, (1)当0a =时,不等式解集为 (2)当0a <时,不等式的解集为或}1x >; (3)当01a <<时,不等式解集为 (4)当1a =时,不等式解集为φ; (5)当1a >时,不等式解集为 考点:含参数的二次不等式解法. 46 1x 的取值范围; (2)若关于x 的不等式()f x a <的解集不是空集,求实数a 的取值范围. 【答案】(1)(][),54,x ∈-∞-+∞; (2)(9,)+∞ 【解析】 试题分析:(1)设()g x =,利用零点分段法,将()f x 和()g x 写成分段函数的形式,然后观察()f x =()g x 时自变量的取值范围即可;(2)这是不等式的有解问题,利用绝对值三角不等式求()f x 的最小值,min ()f x a <. 试题 解析:(1)由=21,5 9,5421,4x x x x x --≤-?? -<?+≥? ,又()g x = 故使等 成立的x 的取值范围为 (] [),54,x ∈-∞-+∞ ; (2) ()f x x = 考点:1、零点分段法去绝对号;2、绝对值三角不等式;3、不等式有解问题. 47.已知二次函数 ()2,f x ax x =+若对于任意12,x x R ∈,恒有 成立,不等式()0f x <的解集为A , (1)求集合A ; (2) B 是集合A 的子集,求a 的取值范围. 【答案】(1(2【解析】 试题分析:(1,得0a >,然后解含参数的二次不等式;( 2)将集合B 计算出来,然后在数轴上表示两个集合的相对位置,研究当B A ?时,两个集合端点的位置关系(注意考虑端点是否能重合). 试题解析:120,,a x x R ≠?∈ 成立,所以0a > 方程2 0ax x +=的两根分别为 所以()0f x <的解集为 得()4,4 B a a =---,因为集合B 是集合A 的子集,所以4 0a -≤, 化简得2 410a a +-≤, 考点:1、恒成立问题;2、含参数的二次不等式;3、集合间的关系. 48.设正有理数x (Ⅱ)比较y 与x 【答案】(Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析;(Ⅰ) 利用差比较法证明;(Ⅱ)利用差比较法证明. 试题解析:(Ⅰ 3x >,分) ( Ⅱ ) , ,0>x , 所以y 比x 更接近于 考点:绝对值不等式. 49.设,,,3,a b c R ab bc ca + ∈++≥证明 555322322322()()()9a b c a b c b c a c a b ++++++++≥。 【答案】原命题等价于333222()()9a b c a b c ++++≥,利用分析法。 【解析】 试题分析:原命题等价于333222()()9a b c a b c ++++≥, 10分 分 故只需要证明222 3a b c ++≥成立。 25分 利用已知条件,这是显然的。 考点:不等式的性质,不等式的证明。 点评:中档题,不等式的证明方法有,比较法、分析法、综合法、反证法、数学归纳法、放缩法等。熟练掌握不等式的性质是关键。 50.已知不等式)0(042≠<+-k k x kx . (1)若不等式的解集为.},14|{的值求实数或k x x x ->-< (2)若不等式的解集为的取值范围求实数k ,φ. 【答案】(12【解析】 试题分析:(1)因为不等式的解集为{|41},x x x <->-或所以-1和-4是方程的两个实数根, (2)不等式的解集为,φ则240kx x k -+<恒成立, 所以016102≤-=?>k k 且解得考点:本小题主要考查一元二次不等式、一元二次函数和一元二次方程的关系. 点评:三个二次的关系非常密切,一元二次方程的两个实数根就是一元二次方程的零点,也是一元二次不等式的解集的端点,它们的关系要熟练应用,必要时可以画函数图象辅助解决. 《不等式的基本性质》教案 教学目标 1、经历不等式基本性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同. 2、掌握不等式的基本性质. 教学重难点 不等式的基本性质的掌握与应用. 教学过程 一、比较归纳,产生新知 我们知道,在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式,等式不变. 请问:如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式,那么结果会怎样?请举几例试一试,并与同伴交流. 类比等式的基本性质得出猜想:不等式的结果不变.试举几例验证猜想. 如3<7,3+1=4,7+1=8,4<8,所以3+1<7+1;3-5=-2,7-5=2,-2<2,所以3-5<7-5;3+a<7+a;3<7,3-a<7-a等.都能说明猜想的正确性. 二、探索交流,概括性质 完成下列填空. 2<3,2×5______3×5; 2<3,2×(-1)______3×(-1); 2<3,2×(-5)______3×(-5); 你发现了什么?请再举几例试试,与同伴交流. 通过计算结果不难发现:第一个空填“<”,后三个空填“>”. 得出不等式的基本性质: 不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.不等式的基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.不等式的基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.(通过自我探索与具体的例子使学生加深对不等式性质的印象) 三、例题解析 将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式: (1)x-5>-1;(2)-2x>3. 解:(1)根据不等式的基本性质1,两边都加5,得 x>-1+5 即 x >4 (2)根据不等式的基本性质3,两边都除以-2,得 32 <-x 四、练习巩固,促进迁移 1、用“>”号或“<”号填空,并简说理由. ① 6+2 ______ -3+2; ② 6×(-2)______ -3×(-2); ③ 6÷2______ -3÷2; ④ 6÷(-2)______ -3÷(-2) 2、利用不等式的基本性质,填“>”或“<”. (1)若a >b ,则2a +1 _____ 2b +1; (2)若a <b ,且c >0,则ac +c ______ bc +c ; (3)若a >0,b <0, c <0,(a -b )c ______ 0. 3、巩固应用,拓展研究. 按照下列条件,写出仍能成立的不等式,并说明根据. (1)a >b 两边都加上-4; (2)-3a <b 两边都除以-3; (3)a ≥3b 两边都乘以2; (4)a ≤2b 两边都加上c . 五、课堂小结 不等式的基本性质: 不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变. 不等式的基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 不等式的基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 高中数学 不等式的基本性质 习题 1.已知a >b >c ,a +b +c =0,则必有( ). A .a ≤0 B.a >0 C .b =0 D .c >0 2.若a <1,b >1,那么下列命题中正确的是( ). A .11a b > B .1b a > C .a 2<b 2 D .ab <a +b -1 3.设a >1>b >-1,则下列不等式中恒成立的是( ). A .11a b < B .11a b > C .a >b 2 D .a 2>2b 4.已知1≤a +b ≤5,-1≤a -b ≤3,则3a -2b 的取值范围是( ). A . B . C . D . 5.已知a <0,b <-1,则下列不等式成立的是( ). A .2a a a b b > > B .2a a a b b >> C . 2a a a b b >> D .2a a a b b >> 6.已知-3<b <a <-1,-2<c <-1,则(a -b )c 2的取值范围是__________. 7.若a ,b ∈R ,且a 2b 2+a 2+5>2ab +4a ,则a ,b 应满足的条件是__________. 8.设a >b >c >0,22()x a b c =++,22()y b c a =++,22()z c a b =++,则x ,y ,z 之间的大小关系是__________. 9.某次数学测验,共有16道题,答对一题得6分,答错一题倒扣2分,不答则不扣分,某同学有一道题未答,那么这个学生至少答对多少题,成绩才能在60分以上?列出其中的不等关系. 10.已知等比数列{a n }中,a 1>0,q >0,前n 项和为S n ,试比较33S a 与55 S a 的大小. 20XX年高中测试 高 中 试 题 试 卷 科目: 年级: 考点: 监考老师: 日 期: 第7章 第1节 一、选择题 1.(文)(20XX·深圳市深圳中学)不等式(x -1)x +2≥0的解集是( ) A .{x|x>1} B .{x|x≥1} C .{x|x≥1且x =-2} D .{x|x≥1或x =-2} [答案] D [解析] 不等式化为????? x -1≥0x +2≥0或x +2=0, ∴x≥1或x =-2,故选D. (理)(20XX·天津文,7)设集合A ={x|x -a|<1,x ∈R},B ={x|1<x <5,x ∈R},若A∩B =?,则实数a 的取值范围是( ) A .{a|0≤a≤6} B .{a|≤2,或a≥4} C .{a|a≤0,或a≥6} D .{a|2≤a≤4} [答案] C [解析] |x -a|<1?a -1 函数,函数y =f ′(x)的图象如图所示.若实数a 满足f(2a +1)<1,则a 的取值范围是( ) x -2 0 4 f(x) 1 -1 1 A.????0,32 B.??? ?-12,32 C.????12,72D.??? ?-32,32 [答案] D [解析] 由f ′(x)的图象知,f(x)在[-2,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,又由表知若f(2a + 1)<1,则-2<2a +1<4,∴-321,则下列不等式成立的是( ) 学习目标 1、掌握不等式的基本性质。 2、会应用不等式的基本性质对不等式进行化简。 3、知道等式与不等式性质的联系与区别。 重点难点 重难点:不等式的性质及其应用。 学习过程 一、课前预习 1、不等式的性质1: 字母表示为:如果a>b,那么 2、不等式的性质2: 字母表示为:如果a>0,c>0,那么 3、不等式的性质3: 字母表示为:如果a>0,c<0,那么 二、课堂研讨 (一)重点研讨 4、将下列不等式化成“χ>a”或“χ<a”的形式。 (1)χ+12>6 (2)2χ<-2 (3)χ-2>0.9 (4)-3χ<-6 5、思考:等式的性质和不等式的性质有什么异同? 相同点:不同点: (二)拓展训练 6、解不等式2x—1﹤5x-5并在数轴上表示解集。 7、已知a﹥b,ac一定大于bc吗? (三)达标测试 8、填写不等号或变形依据。 (1)∵0<1∴a a+1,依据; (2)若2x>-6,两边同除以2,得,依据;(3)若-12 x f,两边同乘以-3,得,依据。 3 9、若x>y,判断下列不等式变形是否正确,并说出你的理由。(1)x-6 (3)-2x<-2y (4)2x+1>2y+1 (5)ax>ay 三、课后巩固 10、填空 (1)∵ 2a > 3a ∴ a 是 数 (2)∵ 32 a a p ∴ a 是 数 (3)∵ax < a 且 x > 1 ∴ a 是 数 11、根据下列已知条件,说出a 与b 的不等关系,并说明是根据不等式哪一条性质。 (1)a -3 > b -3 (2) 33a b f (3)-4a > -4b 12、设m >n ,用“<”或“>”填空 ⑴m -5 n -5 ⑵m+4 n+4 ⑶6m 6n ⑷-31 m - 31 n 13、利用不等式的性质解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来。 ⑴ x -7>26 ⑵ 3x <2x+1 不等式的基本性质练习及答案 1.若x >y ,则下列式子中错误的是( ) A .x -3>y -3 B .x +3>y +3 C .-3x >-3y D.x 3>y 3 2.下列不等式变形正确的是( ) A .由a >b 得ac >bc B .由a >b 得-2a >-2b C .由a >b 得-a <-b D .由a >b 得a -2<b -2 3.下列变形中,不正确的是( ) A .由x -5>0可得x >5 B .由1 2x >0可得x >0 C .由-3x >-9可得x >3 D .由-34x >1可得x <-4 3 4.因为-1 3x >1,所以x -3(填“>”或“<”),依据 是 . 5.用不等号填空:(1)若a >b ,则ac 2 bc 2;(2)若a >b ,则3-2a 3-2b . 6.把不等式2x >3-x 化为x >a 或x <a 的形式是( ) A .x >3 B .x <3 C .x >1 D .x <1 7.小明的作业本上有四道利用不等式的性质,将不等式化为x >a 或x <a 的作业题:①由x +7>8解得x >1;②由x <2x +3解得x <3;③由3x -1>x +7解得x >4;④由-3x >-6解得x <-2.其中正确的有( ) A .1题 B .2题 C .3题 D .4题 8.根据不等式的基本性质,可将“mx <2”化为“x >2 m ”,则m 的取值范围 是 . 9.已知x 满足-5x +5<-10,则x 的范围是 . 10.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成x >a 或x <a 的形式: (1)2x>-4; (2)x-4<-2; (3)-2x<1; (4)1 2 x<2. 11.某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件,后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同种商品40件,如果商店销售这些商品时,每件定价为x 元,则会获得不少于12%的利润,用不等式表示以上问题中的不等关系,并把这个不等式变形为“x≥a”或“x≤a”的形式. 12.某商贩去菜摊买西红柿,他上午买了30斤,价格为每斤x元;下午,他又 买了20斤,价格为每斤y元,后来他以每斤x+y 2 元的价格卖完后.发现自己赔 了钱,你知道是什么原因吗? 答案: 1. C 《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 (1)能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系; (2)初步学会作差法比较两实数的大小; (3)掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系;以问题方式代替例题,学习如何利用不等式研究及表示不等式,利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度,注重问题情境、实际背景的设置,通过学生对问题的探究思考,广泛参与,改变学生学习方式,提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系, 会作差法比较两实数的大小 ,通过类比法,掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. (一)新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< (二)新课讲授 问题1:你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 (1)某路段限速40km /h ; (2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于%,蛋白质的含量p 应不少于%; (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边; (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 对于(1),设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ,“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40,于是0<v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于%,蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于(3),设△ABC 的三条边为a ,b ,c ,则a +b >c ,a -b <c . 对于(4),如图,设C 是线段AB 外的任意一点,CD 垂直于AB ,垂足 为D ,E 是线段AB 上不同于D 的任意一点,则CD <CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着, 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高元,销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解:提价后销售的总收入为错误!x 万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 “不等式的性质”的教学设计 07990201 侯志静 综合理科072班 一、课标分析 数学新课程标准提到:要注重提高学生的数学思维能力,即“在学生学习数学运用数学解决问题时,应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。笔者在认真学习领会新课程标准的基础上,在《不等式的性质》教学设计中大胆探索归纳式学习方法、勇于实践探究式教学方法,以取得更好的教学效果。二、教材分析 (1)本节内容是七年级下第九章《不等式和不等式组》中的重点部分,是不等式的第一节课,由于学生是第一次接触不等式,故此节课应该是在加深对不等式的认识的基础上,着重探究不等式的性质,了解一般不等式的解与解集以及解不等式的概念。 (2)不等式的性质是后继深入学习一元一次不等式组以及解决与不等式有关问题的基础和依据。教材中列举了不等式的三条基本性质定理,这三条性质不等式的最基本、也是最重要的性质,不仅要掌握它们的内容、理解掌握它们成立的条件、把握它们之间的联系,还要对这些性质进行拓展探究。 (3)不等式的性质是培养学生数学能力的良好题材,学习不等式,要经常用到观察、分析、归纳、猜想、迭代的思想,还要综合运用前面的知识解决不等式中的一些问题,这些都有助于学生数学能力的提高。本节内容安排上难度和强度不高,适合学生讨论,可以充分开展合作学习,培养学生的合作精神和团队竞争的意识。 (4)本章的知识定位与传统教材有些不同,在这套教材中,前面已经介绍了一元一次方程、一次函数及二元一次方程组的内容,现在再学习一元一次不等式和一元一次不等式组已是顺理成章的了,但是知识体系的变化会引起对不等式整个内容的理解与把握上的不同,相应问题的难度与函数、方程的综合程度会有所加大,并且突出由一些具体的实际问题抽象为不等关系模型的过程,让学生体会 2.2 《不等式的基本性质》练习题 一、选择题(每题4分,共32分) 1、如果m <n <0,那么下列结论中错误的是( ) A 、m -9<n -9 B 、-m >-n C 、1 1 n m > D 、1m n > 2、若a -b <0,则下列各式中一定正确的是( ) A 、a >b B 、ab >0 C 、0a b < D 、-a >-b 3、由不等式ax >b 可以推出x <b a ,那么a 的取值范围是( ) A 、a≤0 B 、a <0 C 、a≥0 D 、a >0 4、如果t >0,那么a +t 与a 的大小关系是( ) A 、a +t >a B 、a +t <a C 、a +t≥a D 、不能确定 5、如果34a a <--,则a 必须满足( ) A 、a≠0 B 、a <0 C 、a >0 D 、a 为任意数 6、已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示,则下列式子正确的是( ) a 0b c A 、cb >ab B 、ac >ab C 、cb <ab D 、c +b >a +b 7、有下列说法: (1)若a <b ,则-a >-b ; (2)若xy <0,则x <0,y <0; (3)若x <0,y <0,则xy <0; (4)若a <b ,则2a <a +b ; (5)若a <b ,则11a b >; (6)若1122x y --<, 则x >y 。 其中正确的说法有( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 8、2a 与3a 的大小关系( ) A 、2a <3a B 、2a >3a C 、2a =3a D 、不能确定 二、填空题(每题4分,共32分) 9、若m <n ,比较下列各式的大小: (1)m -3______n -3 (2)-5m______-5n 9.1.2 不等式的性质 三维目标知识与技能 1、理解掌握不等式的性质; 2、会解决简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集。 过程与方法 经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程,初步体会 不等式与等式的异同,初步掌握类比的思想方法。 情感与态度通过创设问题情境和实验探究活动,积极引导学生参与数学活动,提高学习数学的兴趣,增进学习数学的信心,体会在解决问题的过 程中与他人交流合作的重要性。 教学重点:理解并掌握不等式的性质及运用; 教学难点:不等式性质3的探索及正确运用不等式的性质; 教学方法与手段:启发、讨论、探究 教学过程: 一、情境创设 复习回顾: 等式有哪些性质? 导入新课: ①给不平衡的天平两边同时加入相同质量的砝码,天平会有什么变化? ②不平衡的天平两边同时拿掉相同质量的砝码,天平会有什么变化? ③如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数,天平会平衡吗?缩小相同的倍数呢? 二、自主探究 探究活动一 (一)探究不等式的性质 问题1 用“>”或“<”填空. ①-1 < 3 -1+2 3+2,-1-3 3-3 ②5 >3 5+a 3+a ,5-a 3-a ③ 6 > 2 6×5 2×5 ,6×(-5) 2×(-5) ④-2 < 3 (-2)×6 3×6 (-2)×(-6) 3×(一6) ⑤-4 >-6 (-4)÷2 (-6)÷2 (-4)÷(-2)(-6)÷(-2)鲁教版七年级数学下册 不等式的基本性质教案
高中数学--不等式的基本性质-习题(含答案)
{高中试卷}高三数学一轮复习:不等式性质及解法练习题3[仅供参考]
不等式的性质教案1
不等式的基本性质练习及答案
人教A版新课标高中数学必修一教案-《等式性质与不等式性质》
不等式的性质的教学设计
(完整word版)《不等式的基本性质》练习题
人教初中数学七下不等式的性质教案