课时作业 A 组——基础对点练
1．(2015·高考湖北卷)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ2
2)，这两个正态分布密度曲线
如图所示．下列结论中正确的是( )
A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)
B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)
C ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )
D ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )
解析：由正态分布密度曲线的性质可知，X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)的密度曲
线分别关于直线x ＝μ1，x ＝μ2对称，因此结合题中所给图象可得，μ1＜μ2，所以
P (Y ≥μ2)＜P (Y ≥μ1)，故A 错误．又X ～N (μ1，σ21)的密度曲线较Y ～N (μ2，σ22)的
密度曲线“瘦高”，所以σ1＜σ2，所以P (X ≤σ2)＞P (X ≤σ1)，B 错误．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )，P (X ≥t )≤P (Y ≥t )，C 正确，D 错误． 答案：C
2．(2018·长沙模拟)一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数
(例如：若a 1＝a 3＝a 5＝1，a 2＝a 4＝0，则A ＝10101)，
其中二进制数A 的各位数中，已知a 1＝1，a k (k ＝2,3,4,5)出现0的概率为1
3，出现1的概率为2
3，记X ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，现在仪器启动一次，则E (X )＝( ) A.8
3 B.113 C.89
D.119
解析：法一：X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，P (X ＝1)＝C 44? ????134? ????230＝1
81
，P (X ＝2)
＝C 34? ????133? ????231＝
881，P (X ＝3)＝C 24? ????132? ????232＝827，P (X ＝4)＝C 14? ????131? ????233＝3281，P (X ＝5)＝C 04? ????130? ??
??234＝1681
，所以
E (X )＝1×181＋2×881＋3×827＋4×3281＋5×1681＝11
3.
法二：由题意，X 的所有可能取值为1,2,3,4,5，设Y ＝X －1，则Y 的所有可能取值为0,1,2,3,4，因此Y ～B (4，23)，所以E (Y )＝4×23＝83，从而E (X )＝E (Y ＋1)＝E (Y )
＋1＝83＋1＝11
3. 答案：B
3．已知袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．若η＝aX ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，则a ＋b 的值是( ) A ．1或2 B ．0或2 C ．2或3
D ．0或3
解析：由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，E (X )＝12×0＋120×1＋1
10×2＋320×3＋15×4＝32，
D (X )＝12×? ????0－322＋120×? ????1－322＋110×(2－32)2＋320×? ?
???3－322＋15×? ????4－322＝114.
由D (η)＝a 2D (X )，得a 2×11
4＝11，即a ＝±2.
又E (η)＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×3
2＋b ， 得b ＝－2，此时a ＋b ＝0.
当a ＝－2时，由1＝－2×3
2＋b ，得b ＝4，此时a ＋b ＝2.故选B. 答案：B
4．若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0＜p ＜1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数，则2D (ξ)－1
E (ξ)
的最大值为( ) A ．2＋2 2
B ．2 2
C ．2－ 2
D ．2－2 2
解析：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，且P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，即ξ～B (1，p )，根据公式得E (ξ)＝p ，D (ξ)＝p (1－p )，则2D (ξ)－1E (ξ)＝2－? ?
???2p ＋1p .而2p ＋
1
p ≥2
2p ·1p ＝22，当且仅当2p ＝1p ，即p ＝22时取等号．因此当p ＝22时，
2D (ξ)－1
E (ξ)取得最大值2－2 2. 答案：D
5．若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次．设某学生一次制作成功的概率为p (p ≠0)，制作次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞7
4，则p 的取值范围是( ) A.? ?
???0，712 B.? ????
712，1 C.? ?
?
??0，12 D.? ??
??12，1 解析：由已知条件可得P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3＞74，解得p ＞52或p ＜12，又p ∈(0,1]，可得p ∈? ?
???0，12，故选C.
答案：C
6．(2015·高考广东卷)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.
解析：由?????
np ＝30，np (1－p )＝20得p ＝1
3.
答案：1
3
7．已知X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1＜x 2.若E (X )＝4
3，
D (X )＝2
9，则x 1＋x 2的值为________．
解析：由题意得X 的所有可能取值为x 1，x 2，所以E (X )＝23x 1＋13x 2＝43，D (X )＝2
3? ?
???x 1－432＋13? ????x 2－432＝29，整理得???
2x 1＋x 2＝46? ????x 1－432＋3? ????x 2－432＝2，
解得???
??
x 1＝1x 2＝2或?????
x 1＝5
3x 2＝2
3
(舍去)，故x 1＋x 2＝3.
答案：3
8．(2018·淄博模拟)某4S 店在一次促销活动中，让每位参与者从盒子中任取一个由0～9中任意三个数字组成的“三位递减数”(即个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字)．若“三位递减数”中的三个数字之和既能被2整除又能被5整除，则可以享受5万元的优惠；若“三位递减数”中的三个数字之和仅能被2整除，则可以享受3万元的优惠；其他结果享受1万元的优惠． (1)试写出所有个位数字为4的“三位递减数”；
(2)若小明参加了这次汽车促销活动，求他得到的优惠金额X 的分布列及数学期望E (X )．
解析：(1)个位数字为
4
的“三位递减数”有：
984,974,964,954,874,864,854,764,754,654，共10个．
(2)由题意，不同的“三位递减数”共有C 3
10＝120(个)．
小明得到的优惠金额X 的取值可能为5,3,1. 当X ＝5时，三个数字之和可能为20或10，
当三个数字之和为20时，有983,974,965,875，共4个“三位递减数”； 当三个数字之和为10时，有910,820,730,721,640,631,541,532，共8个“三位递减数”，
所以P (X ＝5)＝4＋8120＝1
10.
当X ＝3时，三个数字之和只能被2整除，即这三个数字只能是三个偶数或两个奇数一个偶数，但不包括能被10整除的“三位递减数”，
故P (X ＝3)＝C 35＋C 25C 15－12120＝
48120＝2
5.
故P (X ＝1)＝1－P (X ＝5)－P (X ＝3)＝1－110－25＝1
2. 所以他得到的优惠金额X 的分布列为
数学期望E (X )＝5×110＋3×25＋1×1
2＝2.2(万元)．
B 组——能力提升练
1．(2018·南阳模拟)设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝5
9，则D (3Y ＋1)＝( ) A ．2 B ．3 C ．6
D ．7
解析：法一：由题意得
P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 12p (1－p )＋C 22p 2
＝59
，所以
p ＝13，则Y ～B (3，13)，故D (Y )＝3×13×? ????1－13＝23，所以D (3Y ＋1)＝9D (Y )＝9×2
3
＝6.
法二：因为P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝59，所以P (X ＝0)＝C 02(1－p )2
＝49，所以p ＝13，则Y ～B ? ?
???3，13，故D (Y )＝3×13×? ????1－13＝23，所以D (3Y ＋1)＝9D (Y )＝9×23＝6. 答案：C
2．已知随机变量ξ的所有可能取值分别为1,2,3,4,5.若数学期望E(ξ)＝4.2，则ξ取值为5的概率至少为()
A．0.1 B．0.15
C．0.2 D．0.25
解析：设ξ的取值为1,2,3,4,5的概率分别为p1，p2，p3，p4，p5，p i∈[0,1]，i＝1,2,3,4,5，则p1＋p2＋p3＋p4＋p5＝1，则p1＋2p2＋3p3＋4(1－p1－p2－p3－p5)＋5p5＝4.2?p5＝0.2＋3p1＋2p2＋p3≥0.2，当p1＝p2＝p3＝0时等号成立．
答案：C
3．(2016·高考山东卷)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知
甲每轮猜对的概率是3
4，乙每轮猜对的概率是
2
3；每轮活动中甲、乙猜对与否互不
影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．
解析：(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，
记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，
记事件D：“乙第二轮猜对”，
记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．
由题意，E＝ABCD＋A BCD＋A B CD＋AB C D＋ABC D，
由事件的独立性与互斥性，
P(E)＝P(ABCD)＋P(A BCD)＋P(A B CD)＋P(AB C D)＋P(ABC D)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋
P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＝34×23×34×2
3＋2×? ????14×23×34×23＋34×13×34×23＝23， 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23. (2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得
P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×? ????34×13×14×13＋14×23×14×13＝10
144＝
5
72，
P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25
144， P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝1
12， P (X ＝4)＝2×? ????
34×23×34×13＋34×23×14×23
＝60144＝5
12，
P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝1
4. 可得随机变量X 的分布列为
所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝23
6. 4．(2018·江西模拟)前不久，社科院发布了2015年度“全国城市居民幸福排行榜”，北京市成为本年度最“幸福城”，随后，某师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后一位数字为叶).
(1)指出这组数据的众数和中位数；
(2)若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望． 解析：(1)众数：8.6；中位数：8.75.
(2)设A i (i ＝0,1,2,3)表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则
P (A )＝P (A 0)＋P (A 1)＝C 312C 316＋C 14C 2
12C 316
＝121
140.
(3)法一：ξ的所有可能取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝? ????343＝27
64；P (ξ＝1)
＝C 13
×14×? ????342＝27
64； P (ξ＝2)＝C 23
? ????142×34＝964； P (ξ＝3)＝? ????
143＝164.
ξ的分布列为：
所以E (ξ)＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×1
64＝0.75.
法二：ξ的所有可能取值为0,1,2,3. 则ξ～B ? ?
?
??3，14，
P (ξ＝k )＝C k 3? ????14k ? ????343－k
，k ＝0,1,2,3. 所以E (ξ)＝3×1
4＝0.75.
均值、方差、正态分布__学生用
§12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X (1)均值 称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D (X )＝∑n i ＝1 (x i －E (X ))2 p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D X 为随机变量X 的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . (2)D (aX ＋b )＝a 2 D (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X 服从两点分布，则E (X )＝__p __，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝__np __，D (X )＝np (1－p )． 4．正态分布 (1)正态曲线：函数φμ，σ(x )＝1 2πσ e －x －μ2 2σ2 ，x ∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0， μ∈R )．我们称函数φμ、σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1 σ2π； ④曲线与x 轴之间的面积为__1__； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着__μ__的变化而沿x 轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ__越大__，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
随机变量的均值与方差、正态分布(专题复
教学过程 一、课堂导入 “离散型随机变量的分步列，均值和方差”在“排列与组合”知识的延伸，在本讲的学习中，同学们将通过具体实例理解随机变量及其分布列、均值和方差的概念，认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性．要求同学们会用随机变量表达简单的随机事件，会用分布列来计算这类事件的概率，计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．在高考中，这部分知识通常有一道解答题，占12─14分左右，主要考查学生的逻辑推理能力和运算能力，凸显数学的应用价值．
二、 复习预习 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定． ( ) (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小． ( ) (3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差． ( ) (4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布． ( ) 2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝1 5(k ＝2,4,6,8,10)，则D (ξ)等于 ( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．16 3．设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 等于 ( ) A ．3 B.5 3 C ．5 D.73 4．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的件数，则D (X )＝________.
知识讲解离散型随机变量的均值与方差
知识讲解离散型随机变量的均值与方差(总13页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除
离散型随机变量的均值与方差 【学习目标】 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题； 2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题； 【要点梳理】 要点一、离散型随机变量的期望 1.定义： 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 要点诠释： （1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． （2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有 =1p =2p …n p n 1= =，=ξE +1(x +2x …n x n 1 )?+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。 （3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质： ①()E E E ξηξη+=+； ②若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，有 b aE b a E +=+ξξ)(； b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下：： η的分布列为
于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++… ＝+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)＝b aE +ξ ∴b aE b a E +=+ξξ)(。 要点二：离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念： 已知一组数据1x ，2x ，…，n x ，它们的平均值为x ，那么各数据与x 的差的平方的平均数 [1 2n S = 21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋222)(p E x ?-ξ＋…＋2()n i x E p ξ-?＋…称为随机变量ξ的方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ． 要点诠释： ⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）． ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系：
知识讲解离散型随机变量的均值与方差(理)(基础)
离散型随机变量的均值与方差 【学习目标】 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题； 2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题； 【要点梳理】 要点一、离散型随机变量的期望 1.定义： 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 要点诠释： （1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． （2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p … n p n 1= =，=ξE +1(x +2x …n x n 1 )?+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。 （3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质： ①()E E E ξηξη+=+； ②若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，有b aE b a E +=+ξξ)(； b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下：： η的分布列为 于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++… ＝+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)＝b aE +ξ
∴b aE b a E +=+ξξ)(。 要点二：离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念： 已知一组数据1x ，2x ，…，n x ，它们的平均值为x ，那么各数据与x 的差的平方的平均数 [1 2n S = 21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋22 2)(p E x ?-ξ＋…＋2()n i x E p ξ-?＋…称为随机变量ξ的方差，式中 的ξE 是随机变量ξ的期望． ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ． 要点诠释： ⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）． ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系： 22()()D E E ξξξ=- 4.方差的性质： 若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，2 ()D D a b a D ηξξ=+=； 要点三：常见分布的期望与方差 1、二点分布： 若离散型随机变量ξ服从参数为p 的二点分布，则 期望E p ξ= 方差(1).D p p ξ=-
高中数学--离散型随机变量的均值与方差、正态分布
高中数学--离散型随机变量的均值与方差、正态分布 1．已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，D (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( ) A ．n ＝4，p ＝0.6 B ．n ＝6，p ＝0.4 C ．n ＝8，p ＝0.3 D ．n ＝24，p ＝0.1 【解析】 由题意得??? ?? np ＝2.4， np 1－p ＝1.44， 解得??? ?? n ＝6， p ＝0.4. 【答案】 B 2．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ2 2)(σ2＞0)的密度函数图象 如图所示，则有( ) A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D ．μ1＞μ2，σ1＞σ2 【解析】 根据正态分布N (μ，σ2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A. 【答案】 A 3．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为
2，则2a ＋1 3b 的最小值为( ) A.323 B.283 C.143 D.163 【解析】 由已知得，3a ＋2b ＋0×c ＝2， 即3a ＋2b ＝2，其中061随机变量的概率分布、期望与方差1
如皋市薛窑中学2011届高三理科数学一轮复习 61随机变量的概率分布、期望与方差 【考点解读】 离散型随机变量及其分布列：A;超几何分布：A;条件概率及相互独立事件：A； n次独立重复试验的模型及二项分布：B;离散型随机变量的均值与方差：B 【复习目标】 1?了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；会求某些简单的离散型随机变量的分布列。 2?了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 3?了解条件概率和两个事件相互独立的概念( 对条件概率的应用题不作要求 )。 4 ?理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。 5?了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。 活动一：基础知识 1. 随机变量： 1) 定义： _________________________________________________________ 。 2) ____________________________________ 表示方法：。 2. 随机变量分布列的定义： 假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是X1,X2丄X n且P(X=x i)=p i ,i=1,2, -n,① 称①为随机变量X 的概率分布列，简称X的分布列 3. 概率分布表 将①用表的形式表示如下： 4. 分布列的性质： 概率分布列中P(i 1,2L n)满足以下两个条件: (1) ______________________________ (2) ______________________________ 5. 两点分布 如果随机变量X只取两个可能值_0 和__________ 1 ___ ，则称该随机变量X服从0-1分布或两点分布并记为X?0-1或X?两点分布. 其概率分布表为： 其中丨min{ M , n}，且n N,M N,n,M,N N .称分布列
2.5 随机变量的均值和方差
2.5随机变量的均值和方差 扬州市新华中学查宝才 教学目标： 1．通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义； 2．能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题． 教学重点： 取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义． 教学方法： 问题链导学． 教学过程： 一、问题情境 1．情景． 前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．怎样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？ 甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分布如下． 2．问题． 如何比较甲、乙两个工人的技术？ 二、学生活动 1．直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率比乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，
似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论． 2．学生联想到“平均数”，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？ 3．引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法． 三、建构数学 1．定义． 在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式x1p1＋x2p2＋…＋x n p n 计算样本的平均值，其中p i为取值为x i的频率值． 类似地，若离散型随机变量X的分布列或概率分布如下： X x1x2…x n P p1p2…p n 其中，p i≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋p n＝1，则称x1p1＋x2p2＋…＋x n p n为随机变量X的均值或X的数学期望，记为E(X)或μ． 2．性质． （1）E(c)＝c；（2）E(aX＋b)＝aE(X)＋b．（a，b，c为常数） 四、数学应用 1．例题． 例1高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色之外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求X的数学期望． 分析从口袋中摸出5个球相当于抽取n＝5个产品，随机变量X为5个球中的红球的个数，则X服从超几何分布H(5，10，30)． 例2从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格品数，求随机变量X的数学期望E(X)． 说明例2中随机变量X服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当X～B(n，p) 时，E(X)＝np． 例3设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场, 那么比赛宣告结束，假定A，B在每场比赛中获胜的概率都是1 2 ，试求需要比赛 场数的期望．
离散型随机变量的均值与方差(含答案)
离散型随机变量的均值与方差测试题（含答案） 一、选择题 1．设随机变量()~,B n p ξ，若()=2.4E ξ，()=1.44D ξ，则参数n ，p 的值为（ ） A ．4n =，0.6p = B ．6n =，0.4p = C ．8n =，0.3p = D ．24n =， 0.1p = 【答案】B 【解析】由随机变量()~,B n p ξ，可知()==2.4E np ξ，()=(1)=1.44D np p ξ-，解得 6n =，0.4p =． 考点：二项分布的数学期望与方差． 【难度】较易 2．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则p =（ ） A ．13 B ．23 C ．15 D ．25 【答案】A 考点：二项分布的数字特征. 【题型】选择题 【难度】较易 3．若随机变量),(~p n B ξ，9 10 3 5==ξξD E ，，则=p ( ) A. 31 B. 32 C. 52 D. 5 3 【答案】A 【解析】由题意可知，()5,3 101,9E np D np p ξξ? ==????=-=?? 解得5,1,3n p =???=??故选A. 考点：n 次独立重复试验.
【题型】选择题 【难度】较易 4．若随机变量ξ的分布列如下表，其中()0,1m ∈，则下列结果中正确的是（ ） ξ 0 1 P m n A ．()()3 ,E m D n ξξ== B ．()()2 ,E m D n ξξ== C ．()()2 1,E m D m m ξξ=-=- D ．()()2 1,E m D m ξξ=-= 【答案】C 考点：离散型随机变量的概率、数学期望和方差． 【题型】选择题 【难度】较易 5．已知ξ～(,)B n p ，且()7,()6E D ξξ==，则p 等于( ) A. 7 1 B. 6 1 C. 5 1 D. 4 1 【答案】A 【解析】∵ξ～(,)B n p ，∴()7,()(1)6E np D np p ξξ===-=，∴1 49,7 n p ==，故选A. 考点：二项分布的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】较易 6．设随机变量ξ～(5,0.5)B ，若5ηξ=，则E η和D η的值分别是（ ）
独立随机变量期望和方差的性质
第七周多维随机变量，独立性 7.4独立随机变量期望和方差的性质 独立随机变量乘积的期望的性质： Y X ,独立，则()()() Y E X E XY E =以离散型随机变量为例，设二元随机变量(),X Y 的联合分布列() ,i j P X x Y y ==已知，则()()(),i j i j P X x Y y P X x P Y y ====?=， () 1,2,,; 1,2,,i m j n == ()() 11,m n i j i j i j E XY x y P X x Y y =====∑∑()() 11 m n i j i j i j x y P X x P Y y =====∑∑()() 1 1 m n i i j j i j x P X x y P Y y =====∑∑()() E X E Y =***********************************************************************独立随机变量和的方差的性质： Y X ,独立，则()()() Y Var X Var Y X Var +=+()()() 2 2 Var X Y E X Y E X Y ??+=+-+?? ()222E X XY Y =++()()()()22 2E X E X E Y E Y ??-++? ? ()()()()2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()()()22E XY E X E Y +-()()()() 2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()() Var X Var Y =+若12,,,n X X X 相互独立，且都存在方差，则()() 121 n m k k Var X X X Var X =+++=∑ ***********************************************************************利用独立的0-1分布求和计算二项分布随机变量()~,X b n p 期望和方差 我们在推导二项分布随机变量的方差时，已经利用了独立随机变量和的方差等于方差
均值、方差、正态分布--学生用
！ § 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为 X x 1 x 2 。 … x i … x n P p 1 p 2 … - p i … p n (1)均值 称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D (X )＝∑n i ＝1 (x i －E (X ))2 p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D X 为随机变量X 的标准差． 2．均值与方差的性质 ， (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . (2)D (aX ＋b )＝a 2 D (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X 服从两点分布，则E (X )＝__p __，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝__np __，D (X )＝np (1－p )． 4．正态分布 (1)正态曲线：函数φμ，σ(x )＝1 2πσ e －x －μ2 2σ2 ，x ∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0， μ∈R )．我们称函数φμ、σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： 、 ①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1 σ2π； ④曲线与x 轴之间的面积为__1__；
随机变量的数学期望与方差
第9讲随机变量的数学期望与方差 教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。 2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。 教学重点： 1．随机变量的数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 2．随机变量函数的数学期望 3．数学期望的性质 4．方差的定义 For personal use only in study and research; not for commercial use 5．方差的性质 教学难点：数学期望与方差的统计意义。 教学学时：2学时。 For personal use only in study and research; not for commercial use 教学过程： 第三章随机变量的数字特征 §3.1 数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X 的概率分布，那么X 的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。 1．离散随机变量的数学期望 我们来看一个问题： 某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数X 是一个随机变量，如何定义X 取值的平均值呢？ 若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品，21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为 27.1100 21 3100172100301100320=?+?+?+? 这个数能作为X 取值的平均值吗？ 可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27。 对于一个随机变量X ，若它全部可能取的值是 ,,21x x ， 相应的概率为 ,,21P P ，则对X 作一系列观察(试验)所得X 的试验值的平均值是随机的。但是，如果试验次数很大，出现k x 的频率会接近于K P ，于是试验值的平均值应接近 ∑∞ =1 k k k p x
随机变量的均值与方差
随机变量的均值与方差 一、填空题 1．已知离散型随机变量X 的概率分布为 则其方差V (X )＝解析 由0.5＋m ＋0.2＝1得m ＝0.3，∴E (X )＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，∴V (X )＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44. 答案 2.44 2．(优质试题·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________． 解析 设没有发芽的种子有ξ粒，则ξ～B (1 000,0.1)，且X ＝2ξ，∴E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝2×1 000×0.1＝200. 答案 200 3．已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值分别为________． 解析 由二项分布X ～B (n ，p )及E (X )＝np ，V (X )＝np ·(1－p )得2.4＝np ，且1.44＝np (1－p )，解得n ＝6，p ＝0.4. 答案 6,0.4 4．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝1 5，E (ξ)＝1，则V (ξ)＝________. 解析 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则????? 15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1， 解得????? a ＝3 5，b ＝1 5，
所以V(ξ)＝(0－1)2×1 5＋(1－1) 2× 3 5＋(2－1) 2× 1 5＝ 2 5. 答案2 5 5．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则E(η)，V(η)分别是________．解析由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，V(η)＝(－1)2V(X)＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案 2.4 6．口袋中有5只球，编号分别为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是________． 解析由题意知，X可以取3,4,5，P(X＝3)＝1 C35＝ 1 10， P(X＝4)＝C23 C35＝ 3 10，P(X＝5)＝ C24 C35＝ 6 10＝ 3 5， 所以E(X)＝3×1 10＋4× 3 10＋5× 3 5＝4.5. 答案 4.5 7．(优质试题·扬州期末)已知X的概率分布为 设Y＝2X＋1，则 解析由概率分布的性质，a＝1－1 2－ 1 6＝ 1 3， ∴E(X)＝－1×1 2＋0× 1 6＋1× 1 3＝－ 1 6， 因此E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2 3. 答案2 3 8．(优质试题·合肥模拟)某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分
均值与方差、正态分布
均值与方差、正态分布 时间：45分钟 分值：100分 一、选择题(每小题6分，共48分) 1．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，P (X ≤4)＝0.84，则P (X <0)等于( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 【答案】 A 【解析】 P (X <0)＝P (X >4)＝1－P (X ≤4)＝1－0.84＝0.16. 2．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中随机取出2个，其中含有红球个数的数学期望是( ) A.3 2 B.5 3 C.6 5 D.35 【答案】 C 【解析】 根据超几何分布期望公式，E (X )＝2×32＋3＝6 5. 3．(2012·黄冈期末)某市进行一次高三数学质量抽样检测，考试后统计所有考生的数学成绩服从正态分布，已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占5%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( ) A ．10% B ．15% C ．30% D ．45% 【答案】 D 【解析】 ∵正态曲线对称轴为μ＝90，P (x <60)＝0.05，
∴P (90随机变量的均值与方差的计算公式的证明
随机变量的均值与方差的计算公式的证明 姜堰市励才实验学校 姜近芳 组合数有很多奇妙的性质,笔者试用这些性质证明了随机变量的均值与方差的两组计算公式。 预备知识: 1. ()()()()11!!1!1! !!--=-?--?=-??=k n k n nC k n k n n k n k n k kC 2. k k n C 2=()1111111-------+=k n k n k n C k n nC nkC =()22111-----+k n k n C n n nC 3.N 个球中有M 个红色的,其余均为白色的,从中取出n 个球,不同的取法有: n N l n M N l M n M N M n M N M n M N M C C C C C C C C C =++++------- 22110 ()()M n l ,m i n =. 公式证明: 1.X ～()p n B , ()()X E 1.np =()()X V 2().1p np -= 证明:()n n p x p x p x p x X E ++++= 332211 ()()()n n n n n n n n n p nC p p C p p C p p C ++-+-+-?=-- 222110012110 ()()[] n n n n n n n p C p p C p p C n 11221110111------++-+-= ()[] 11-+-=n p p np .np = ()()()()n n p x p x p x X V 2 222121μμμ-++-+-= n n p x p x p x p x 2323222121++++= ()n n p x p x p x p x ++++- 3322112μ ()n p p p p +++++ 3212μ ()() 2222222112121μμ+-++-+-=--n n n n n n n p C n p p C p p C ()()[]11121110111-------++-+-=n n n n n n n p C p p C p C np ()()()[] 22223122022111μ-++-+--+-------n n n n n n n p C p p C p C p n n
离散型随机变量的均值与方差正态分布含解析理
离散型随机变量的均值与方差正态分布含解析 理 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
课后限时集训(五十八) (建议用时：60分钟) A 组 基础达标 一、选择题 1．(2019·孝感模拟)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X 为取出3个球的总分值，则E (X )＝( ) C ．4 B [由题意知，X 的所有可能取值为3,4,5，且P (X ＝3)＝ C 33C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23·C 12C 35 ＝3 5，P (X ＝5)＝C 13·C 22 C 35 ＝310，所以E (X )＝3×110＋4×35＋5×310＝215.] 2．已知某批零件的长度误差ξ(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) (附：正态分布N (μ，σ2)中，P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝ 6，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝ 4) A ． 6 B ． 9 C ． 8 D ． 4 B [因为P (－3＜ξ＜3)＝ 6，P (－6＜ξ＜6)＝ 4， 所以P (3＜ξ＜6)＝1 2× 4－ 6)＝ 9，故选B.] 3．已知随机变量ξ的分布列为 若E (ξ)＝1 3，则D (ξ)＝( ) A ．1 D ．2 B [∵ E (ξ)＝1 3，∴由随机变量ξ 的分布列知，??? x ＋13＋1 6＋y ＝1， －x ＋16＋2y ＝1 3， ∴??? x ＝5 18， y ＝2 9， 则 D (ξ)＝????－1－132×518＋????0－132×13＋? ?? ?1－132×16＋? ?? ?2－132×29＝119.] 4．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E (ξ)＝( ) A ．3 D ．4
随机变量的均值和方差学习资料
随机变量的均值和方 差
随机变量的均值和方差 自主梳理 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 (1)均值 μ＝E (X )＝________________________________为随机变量X 的均值或______________，它反映了离散型随机变量取值的____________． (2)方差 σ2＝V (X )＝_________________________________＝∑n i ＝1 x 2i p i －μ2为随机变量X 的方差， 它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的______________，其________________________为随机变量X 的标准差，即σ＝V (x ). 2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝________. (2)V (aX ＋b )＝________(a ，b 为实数)． 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X 服从两点分布，则E (X )＝____，V (X )＝
____________________________________. (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝____，V (X )＝________. 1．若η＝aξ＋b ，则E (η)＝aE (ξ)＋b ，V (η)＝a 2V (ξ)． 2．若ξ～B (n ，p )，则E (ξ)＝np ，V (ξ)＝np (1－p )． 自我检测 1．若随机变量X 2.已知随机变量X n ，p 的值分别为________和________． 3．(2010·课标全国改编)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________． 4．(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简 历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2 3 ，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三 个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝1 12 ，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.
均值、方差、正态分布学生用
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§ 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为 X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n (1)均值 称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D (X )＝∑n i ＝1 (x i －E (X ))2 p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D X 为随机变量X 的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b . (2)D (aX ＋b )＝a 2 D (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X 服从两点分布，则E (X )＝__p __，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝__np __，D (X )＝np (1－p )． 4．正态分布 (1)正态曲线：函数φμ，σ(x )＝1 2πσ e －x －μ2 2σ2 ，x ∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数 (σ>0，μ∈R )．我们称函数φμ、σ(x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的性质： ①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1 σ2π； ④曲线与x 轴之间的面积为__1__； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着__μ__的变化而沿x 轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； σ__越大__，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
最新(8) 离散型随机变量的均值与方差 、正态分布复习课程
第九节 离散型随机变量的均值与方差 、正态分布 1．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )． A. 65 B.6 5 C. 2 D ．2 2．已知X 的分布列为，设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( )． A.7 3 B ． 4 C ．－1 D ．1 3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下： 已知ξ的期望E (ξ)＝8.9，则y 的值为________． A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.9 4．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( )． A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32 D ．n ＝7，p ＝0.45 5．随机变量ξ的概率分布列由下表给出： ξ 7 8 9 10 P 0.3 0.35 0.2 0.15 该随机变量ξ的均值是________． 凡诺学堂专题训练一 方差期望 典题导入 【例1】?A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1、A 2、A 3，B 队队员是B 1、B 2、B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下： X －1 0 1 P 1 2 13 16 ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y
对阵队员 A 队队员胜的概率 A 队队员负的概率 A 1和 B 1 23 13 A 2和B 2 25 35 A 3和B 3 25 35 现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得总分分别为X ，Y (1)求X ，Y 的分布列；(2)求E (X )，E (Y )． [审题视点] 首先理解X ，Y 的取值对应的事件的意义，再求X ，Y 取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望． 以题试法 变式：本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，1 2；两小时以上且不超过三小时 还车的概率分别为12，1 4；两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E (ξ)． 凡诺学堂专题训练二 方差期望计算 典题导入 【例2】?设随机变量X 具有分布P (X ＝k )＝15，k ＝1,2,3,4,5，求E (X ＋2)2 ，D (2X －1)，D X －1.
离散型随机变量均值与方差优秀教案
离散型随机变量的均值与方差 教学目标：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据分布列求出均值或期望，理解公式“E(a ξ+b)=aE ξ+b ”，以及“若ξ～B(n,p)，则E ξ=np ”；了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。 教学重点、难点：离散型随机变量的均值或期望的概念，及根据分布列求出均值或期望，了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差；会根据期望、方差、标准差的大小解决实际问题。 复习： 1 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 若ξ是离散型随机变量，η=a ξ+b , a, b 是常数，则η也是离散型随机变量。 3 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1， x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概 率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布， 简称ξ的分布列 ξ x 1 x 2 … x i … P P 1 P 2 … P i … 4 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1) 5 离散型随机变量的二项 分布:在一次随机试验中，某 事件可能发生也可能不发 生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 ξ 0 1 … k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - … 0q p C n n n
