文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 高考导数解答题中常见的放缩大法

高考导数解答题中常见的放缩大法

高考导数解答题中常见的放缩大法
高考导数解答题中常见的放缩大法

(高手必备)高考导数大题中最常用的放缩大法

相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟,将复杂的函数求导,再对导函数求导,再求导,然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩,如:人教版课本中常用的结论

⑴sin ,(0,)x x x π<∈,变形即为

sin 1x x

<,其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.

⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.

将这些不等式简单变形如下: ex

x ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。 例析:(2018年广州一模)x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(?≤>++=若对任意的设恒成立,求a 的取值范围。

放缩法:由可得:1+≥x e x 2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x

高考中最常见的放缩法可总结如下,供大家参考。

第一组:对数放缩

(放缩成一次函数)ln 1x x ≤-,ln x x <,()ln 1x x +≤ (放缩成双撇函数)()11ln 12x x x x ??<-> ???,()11ln 012x x x x ??>-<< ???

, )

ln 1x x

<>,)ln 01x x ><<, (放缩成二次函数)2ln x x x ≤-,()()21ln 1102

x x x x +≤--<<,()()21ln 102

x x x x +≥-> (放缩成类反比例函数)1ln 1x x

≥-,()()21ln 11x x x x ->>+,()()21ln 011x x x x -<<<+, ()ln 11x x x +≥+,()()2ln 101x x x x +>>+,()()2ln 101x x x x +<<+

第二组:指数放缩

(放缩成一次函数)1x e x ≥+,x e x >,x e ex ≥, (放缩成类反比例函数)()101x e x x ≤

≤-,()10x e x x

<-<, (放缩成二次函数)()21102x e x x x ≥++>,2311126x e x x x ≥+++, 第三组:指对放缩

()()ln 112x e x x x -≥+--=

第四组:三角函数放缩

()sin tan 0x x x x <<>,21sin 2x x x ≥-,22111cos 1sin 22

x x x -≤≤-. 第五组:以直线1y x =-为切线的函数

ln y x =,11x y e -=-,2y x x =-,11y x

=-,ln y x x =. 拓展阅读:为何高考中总是考这些超越函数呢?和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师,他们站在高观点下看高中数学,一览无遗。作为学生没有多大必要去去了解大学的知识,但是作为老师却是有很大的必要去理解感悟高考题命题的背景。超越函数本质上就是高等数学中的泰勒公式。即从某个点0x 处,我们可以构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值,如果这个点是0,就是形式比较简单的麦克劳林级数。简而言之,它的功能就是把超越式近似表示为幂函数。常见的幂级数展示式有:

2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数

2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数

2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一. 选择题: 1.(全国一1 )函数y =的定义域为( C ) A .{}|0x x ≥ B .{}|1x x ≥ C .{}{}|10x x ≥ D .{}|01x x ≤≤ 2.(全国一2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图像可能是( A ) 3.(全国一6)若函数(1)y f x =- 的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称,则()f x =( B ) A .21x e - B .2x e C .21x e + D .22x e + 4.(全国一7)设曲线11x y x += -在点(32),处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( D ) A .2 B .12 C .12- D .2- 5.(全国一9)设奇函数()f x 在(0)+∞, 上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()0f x f x x --<的解集为( D ) A .(10)(1)-+∞,, B .(1)(01)-∞-, , C .(1)(1)-∞-+∞, , D .(10)(01)-,, 6.(全国二3)函数1()f x x x = -的图像关于( C ) A .y 轴对称 B . 直线x y -=对称 A B C D

C . 坐标原点对称 D . 直线x y =对称 8.(全国二4)若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,, ,,,则( C ) A .a > B .b a c >> C .c a b >> D .b c a >> 10.(北京卷3)“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的( B ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 11.(四川卷10)设()()sin f x x ω?=+,其中0ω>,则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) (A)()01f = (B)()00f = (C)()'01f = (D)()'00f = 12.(四川卷11)设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=,若()12f =,则()99f =( C ) (A)13 (B)2 (C)132 (D)213 13.(天津卷3)函数1y =04x ≤≤)的反函数是A (A )2(1)y x =-(13x ≤≤) (B )2(1)y x =-(04x ≤≤) (C )21y x =-(13x ≤≤) (D )21y x =-(04x ≤≤) 14.(天津卷10)设1a >,若对于任意的[,2]x a a ∈,都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=,这时a 的取值集合为B (A )2{|1}a a <≤ (B ){|}2a a ≥ (C )3|}2{a a ≤≤ (D ){2,3} 15.(安徽卷7)0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的( B ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 16.(安徽卷9)在同一平面直角坐标系中,函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称,若()1f m =-,

2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题

2017至2018年北京高三模拟分类汇编之导数大题,20创新题 精心校对版 △注意事项: 1.本系列试题包含2017年-2018年北京高考一模和二模真题的分类汇编。 2.本系列文档有相关的试题分类汇编,具体见封面。 3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本 4.本系列试题涵盖北京历年(2011年-2020年)高考所有学科 一 、解答题(本大题共22小题,共0分) 1.(2017北京东城区高三一模数学(文))设函数ax x x x f +-=232131)(,R a ∈. (Ⅰ)若2=x 是)(x f 的极值点,求a 的值,并讨论)(x f 的单调性; (Ⅱ)已知函数3221)()(2+-=ax x f x g ,若)(x g 在区间)1,0(内有零点,求a 的取值范围; (Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ,2x ,试讨论过两点))(,(11x f x ,))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(,若能,求a 的值;若不能,说明理由. 2.(2017北京丰台区高三一模数学(文)) 已知函数1()e x x f x +=,A 1()x m ,,B 2()x m ,是曲线()y f x =上两个不同的点. (Ⅰ)求()f x 的单调区间,并写出实数m 的取值范围; (Ⅱ)证明:120x x +>. 3.(2017北京丰台区高三二模数学(文)) 已知函数ln ()x f x ax =(0)a >. (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程; 姓名:__________班级:__________考号:__________ ●-------------------------密--------------封------------ --线------ --------内------ ------- -请------- -------不-------------- 要--------------答--------------题-------------------------●

2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数

2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一. 选择题: 1.(全国一1 )函数y = C ) A .{}|0x x ≥ B .{}|1x x ≥ C .{}{}|10x x ≥ D .{}|01x x ≤≤ 2.(全国一2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图像可能是( A ) 3.(全国一6)若函数(1)y f x =- 的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称,则()f x =( B ) A .21x e - B .2x e C .21x e + D .22x e + 4.(全国一7)设曲线11x y x += -在点(32),处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( D ) A .2 B .12 C .12- D .2- 5.(全国一9)设奇函数()f x 在(0)+∞, 上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()0f x f x x --<的解集为( D ) A .(10)(1)-+∞ ,, B .(1)(01)-∞- , , C .(1)(1)-∞-+∞ ,, D .(10)(01)- , , 6.(全国二3)函数1()f x x x = -的图像关于( C ) A .y 轴对称 B . 直线x y -=对称 A . B . C . D .

C . 坐标原点对称 D . 直线x y =对称 8.(全国二4)若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,,,,,则( C ) A .a > B .b a c >> C .c a b >> D .b c a >> 10.(北京卷3)“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的( B ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 11.(四川卷10)设()()sin f x x ω?=+,其中0ω>,则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) (A)()01f = (B)()00f = (C)()'01f = (D)()'00f = 12.(四川卷11)设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=,若()12f =,则()99f =( C ) (A)13 (B)2 (C)132 (D)213 13.(天津卷3)函数1y =04x ≤≤)的反函数是A (A )2(1)y x =-(13x ≤≤) (B )2(1)y x =-(04x ≤≤) (C )21y x =-(13x ≤≤) (D )21y x =-(04x ≤≤) 14.(天津卷10)设1a >,若对于任意的[,2]x a a ∈,都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=,这时 a 的取值集合为B (A )2{|1}a a <≤ (B ){|}2a a ≥ (C )3|}2{a a ≤≤ (D ){2,3} 15.(安徽卷7)0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的( B ) A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 16.(安徽卷9)在同一平面直角坐标系中,函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称,若()1f m =-,

高考导数大题30道(2020年整理).doc

导数大题 1 .已知函数()b ax x x f ++=2 3的图象在点P (1,0)处的切线与直线03=+y x 平行? (1)求常数a 、b 的值; (2)求函数()x f 在区间[]t ,0上的最小值和最大值(0>t )? 2 .已知函数R a ax x x f ∈+-=,)( 3 (1)若)(x f 在),1[+∞上为单调减函数,求实数a 取值范围; (2)若,12=a 求)(x f 在[-3,0]上的最大值和最小值? 3 .设函数x e x x f 22 1)(=. (1)求函数)(x f 的单调区间; (2)若当]2,2[-∈x 时,不等式m x f <)(恒成立,求实数m 的取值范围. 4 .已知函数.),2,1()(3)(3 l P P x f y x x x f 作直线过点上一点及-=-= (1)求使直线)(x f y l =和相切且以P 为切点的直线方程; (2)求使直线)(x f y l =和相切且切点异于P 的直线方程)(x g y =?

()I 求()f x 的单调区间; ()II 若()f x 在1x =-处取得极大值,直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交点,求m 的取值范围? 7 .已知函数2 ()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为22ln 23++-=x y . (Ⅰ)求b a ,的值; (Ⅱ)若方程()f x m +=m 的取值范围(其中e 为自然对数的底数); 8 .已知函数21 2 ()()ln f x a x x =-+.(R a ∈) (1)当a =1时,求()f x 在区间[1,e ]上的最大值和最小值; (2)若在区间(1,+∞)上,函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方,求a 的取值范围。 10.已知函数2 ()sin 2(),()()2f x x b x b R F x f x =+-∈=+,且对于任意实数x ,恒有(5)(5)F x F x -=-? ⑴求函数)(x f 的解析式; ⑵已知函数()()2(1)ln g x f x x a x =+++在区间(0,1)上单调,求实数a 的取值范围; ⑶讨论函数21()ln(1)()2 h x x f x k =+- -零点的个数?

2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题

2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项:1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。2.本系列文档有相关的试题分类汇编,具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年(2011年-2020年)高考所有学科一、解答题(本大题共10小题,共0分)1.(2013年北京高考真题数学(文))已知函数2()sin cos f x x x x x (1)若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切,求a 与b 的值。(2)若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点,求b 的取值范围。2.(2012年北京高考真题数学(文))已知函数2()1(0)f x ax a ,3()g x x bx .(Ⅰ)若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线,求,a b 的值;(Ⅱ)当3a ,9b 时,若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28,求k 的取值范围.3.(2011年北京高考真题数学(文))已知函数()()x f x x k e . (Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ)求()f x 在区间[0,1]上的最小值. 4.(2009年北京高考真题数学(文))姓名:__________班级:__________考号:__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●

2017年北京高三模拟题分类汇编之导数大题

2017年北京高三模拟题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项:1.本系列试题包含2017北京市各城区一模二模真题。2.本系列文档有相关的试题分类汇编,具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年(2011年-2020年)高考所有学科一、解答题(本大题共12小题,共0分)1.(2017北京东城区高三一模数学(文))设函数ax x x x f 232131)(,R a .(Ⅰ)若2x 是)(x f 的极值点,求a 的值,并讨论)(x f 的单调性;(Ⅱ)已知函数3221)()(2ax x f x g ,若)(x g 在区间)1,0(内有零点,求a 的取值范围;(Ⅲ)设)(x f 有两个极值点1x ,2x ,试讨论过两点))(,(11x f x ,))(,(22x f x 的直线能否过点)1,1(,若能,求a 的值;若不能,说明理由.2.(2017北京丰台区高三一模数学(文))已知函数1()e x x f x ,A 1()x m ,,B 2()x m ,是曲线()y f x 上两个不同的点. (Ⅰ)求()f x 的单调区间,并写出实数m 的取值范围;(Ⅱ)证明:120x x . 3.(2017北京丰台区高三二模数学(文))已知函数ln ()x f x ax (0)a . (Ⅰ)当1a 时,求曲线()y f x 在点(1(1)),f 处的切线方程;姓名:__________班级:__________考号:__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●

(完整版)专题05导数与函数的极值、最值—三年高考(2015-2017)数学(文)真题汇编.doc

1. 【 2016 高考四川文科】已知函数的极小值点,则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】 D 考点:函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值.在可导函数中函数的极值点是方程但是极大值点还是极小值点,需要通过这点两边的导数的正负性来判断,在 的解,附近,如 果时,,时,则是极小值点,如果时,,时,,则是极大值点, 2. 【 2015 高考福建,文A.充分而不必要条 件12】“对任意 B.必要而不充分条件 ,”是“ C .充分必要条件 D ”的() .既不充分也不必 要条件 【答案】 B 【解析】当时,,构造函数,则 .故在单调递增,故,则;当时,不等式等价于,构造函数 ,则,故在递增,故 ”是“,则.综上 ”的必要不充分条件,选 所述,“ 对任 意B. ,

【考点定位】导数的应用. 【名师点睛】 本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用, 根 据已知条件构造函数,进而研究其图象与性质,是函数思想的体现,属于难题. 3. (2014 课标全国Ⅰ,文 12) 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 3 2 + 1,若 f ( ) 存在唯一的零点 x 0 ,且 x x x 0>0,则 a 的取值范围是 ( ) . A . (2 ,+∞ ) B . (1 ,+∞) C . ( -∞,- 2) D .( -∞,- 1) 答案: C 解析:当 a = 0 时, f ( x ) =- 3x 2+ 1 存在两个零点,不合题意; 当 a >0 时, f ′(x ) = 3ax 2- 6x = , 令 ′( ) = 0,得 x 1 = 0, , fx 所以 f ( x ) 在 x =0 处取得极大值 f (0) = 1,在 处取得极小值 , 要使 f ( x ) 有唯一的零点,需 ,但这时零点 x 0 一定小于 0,不合题意; 当 a <0 时, f ′(x ) = 3ax 2- 6x = , 令 f ′(x ) = 0,得 x 1=0, ,这时 f ( x ) 在 x =0 处取得极大值 f (0) = 1,在 处取得极小值 , 要使 f ( x ) 有唯一零点,应满足 ,解得 a <- 2( a > 2 舍去 ) ,且这时 零点 x 0 一定大于 0,满足题意,故 a 的取值范围是 ( -∞,- 2) . 名师点睛:本题考查导数法求函数的单调性与极值,函数的零点,考查分析转化能力,分类讨论思想, 较难题 . 注意区别函数的零点与极值点 . 4. 【 2014 辽宁文 12】当 时,不等式 恒成立,则实数 a 的取 值范围是()

高考导数大题汇编理科答案

高考导数大题汇编理科 答案 YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020

一、解答题 1. 解:(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞,' 112()e ln e e e .x x x x a b b f x a x x x x --=+-+ 由题意可得' (1)2,(1) e.f f ==故1,2a b ==. (Ⅱ)由(Ⅰ)知12e ()e ln ,x x f x x x -=+从而()1f x >等价于2 ln e .e x x x x ->- 设函数()ln g x x x =,则()1ln g x x '=+,所以当1 (0,)e x ∈时,' ()0g x <; 当1(,)e x ∈+∞时,' ()0g x >,故()g x 在1(0,)e 单调递减,在1(,)e +∞单调递增, 从而()g x 在(0,)+∞的最小值为11().e e g =-. 设函数2 ()e e x h x x -=-,则'()e (1)x h x x -=-,所以当(0,1)x ∈时,'()0h x >; 当(1,)x ∈+∞时,' ()0h x <,故()h x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减,从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)e h =- . 综上,当0x >时,()()g x h x >,即()1f x >. 2. 解题指南(1)根据导数公式求出函数的导数,利用分类讨论思想求解;(2)根据函数的单调性以及函数极值与导数的关系式确定函数的极值点,代入函数中求解. 解析(1)2/ 2 2 2(2)24(1) ()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-=-=++++ (*) 当1a ≥时,/ ()0f x >,此时,()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. 当01a <<时,由/ ()0f x = 得1 x = ,(2x =-舍去). 当1(0,)x x ∈时,/()0f x <;当1(,)x x ∈+∞时,/ ()0f x >. 故()f x 在区间1(0,)x 上单调递减,在区间1(,)x +∞上单调递增. 综上所述,当1a ≥时,()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. 当01a <<时,()f x 在区间(0, 上单调递减,在区间)+∞上单调递增. 由(*)式知,当1a ≥时,/ ()0f x >,此时()f x 不存在极值点,因而要使得()f x 有两个极值点, 必有01a <<.又()f x 的极值点只可能是1 x = 2x =-,且由定义可知,1 x a >- 且2x ≠- ,所以1a ->- 且2-≠-,解得1 2 a ≠- 此时,由(*)式易知,12,x x 分别是()f x 的极小值和极大值点,而 令2a - 01x <<. 记(g x (Ⅰ)当1 - 因此,g 1()( f x f +(Ⅱ)当0 因此,(g x 1()( f x f + 综上所 3. (1)证明函数. (2)解:由条 令t = 因为 当且 因此 (3)解:令函 当x ≥1时, 因此g (x )在 由于存在x 0故1 e+e 2 --令函数() h x

2017年高考真题分类汇编(理数)专题2导数(解析版)

2017年高考真题分类汇编(理数):专题2 导数 一、单选题(共3题;共6分) 1、(2017?浙江)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是() A、 B、 C、 D、 2、(2017?新课标Ⅱ)若x=﹣2是函数f(x)=(x2+ax﹣1)e x﹣1的极值点,则f(x)的极小值为() A、﹣1 B、﹣2e﹣3 C、5e﹣3 D、1 3、(2017?新课标Ⅲ)已知函数f(x)=x2﹣2x+a(e x﹣1+e﹣x+1)有唯一零点,则a=() A、﹣ B、 C、 D、1 二、解答题(共8题;共50分)

4、(2017?浙江)已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥ ). (Ⅰ)求f(x)的导函数; (Ⅱ)求f(x)在区间[ ,+∞)上的取值范围. 5、(2017?山东)已知函数f(x)=x2+2cosx,g(x)=e x(cosx﹣sinx+2x﹣2),其中e≈2.17828…是自然对数的底数.(13分) (Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程; (Ⅱ)令h(x)=g (x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.6、(2017?北京卷)已知函数f(x)=e x cosx﹣x.(13分) (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值. 7、(2017·天津)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1,2)内有一个 零点x0, g(x)为f(x)的导函数. (Ⅰ)求g(x)的单调区间; (Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求证:h(m)h(x0)<0;(Ⅲ)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0, 2],满足| ﹣x0|≥ . 8、(2017?江苏)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (Ⅰ)求b关于a的函数关系式,并写出定义域; (Ⅱ)证明:b2>3a; (Ⅲ)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求a的取值范围. 9、(2017?新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2)e x﹣x.(12分) (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 10、(2017?新课标Ⅱ)已知函数f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx,且f(x)≥0. (Ⅰ)求a; (Ⅱ)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2. 11、(2017?新课标Ⅲ)已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx. (Ⅰ)若 f(x)≥0,求a的值; (Ⅱ)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+ )(1+ )…(1+ )<m,求m的最小值.

高考导数大题汇编理科 答案

一、解答题 1. 解:(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞,' 112()e ln e e e .x x x x a b b f x a x x x x --=+-+ 由题意可得' (1)2,(1) e.f f ==故1,2a b ==. (Ⅱ)由(Ⅰ)知12e ()e ln ,x x f x x x -=+从而()1f x >等价于2 ln e .e x x x x ->- 设函数()ln g x x x =,则()1ln g x x '=+,所以当1 (0,)e x ∈时,' ()0g x <; 当1(,)e x ∈+∞时,' ()0g x >,故()g x 在1(0,)e 单调递减,在1(,)e +∞单调递增, 从而()g x 在(0,)+∞的最小值为11().e e g =-. 设函数2 ()e e x h x x -=-,则'()e (1)x h x x -=-,所以当(0,1)x ∈时,'()0h x >; 当(1,)x ∈+∞时,' ()0h x <,故()h x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减,从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)e h =- . 综上,当0x >时,()()g x h x >,即()1f x >. 2. 解题指南(1)根据导数公式求出函数的导数,利用分类讨论思想求解;(2)根据函数的单调性以及函数极值与导数的关系式确定函数的极值点,代入函数中求解. 解析(1)2/ 2 2 2(2)24(1) ()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-=-=++++ (*) 当1a ≥时,/ ()0f x >,此时,()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. 当01a <<时,由/ ()0f x = 得1 x =, (2x =-舍去). 当1(0,)x x ∈时,/()0f x <;当1(,)x x ∈+∞时,/ ()0f x >. 故()f x 在区间1(0,)x 上单调递减,在区间1(,)x +∞上单调递增. 综上所述,当1a ≥时,()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. 当01a <<时,()f x 在区间(0, 上单调递减,在区间)+∞上单调递增. 由(*)式知,当1a ≥时,/ ()0f x >,此时()f x 不存在极值点,因而要使得()f x 有两个极值点, 必有01a <<.又()f x 的极值点只可能是1 x = 2x =-,且由定义可知,1 x a >- 且2x ≠- ,所以1a ->- 且2-≠-,解得1 2 a ≠- 此时,由(*)式易知,12,x x 分别是()f x 的极小值和极大值点,而 令2a - 记(g x (Ⅰ)当1 - 因此,g 1()( f x f +(Ⅱ)当0 因此,(g x 综上所 3. (1)证明数. (2)解:由条 令t = 因为 当且 因此 (3)解:令函 当x ≥1时, 因此g (x )在 由于存在x 0故1 e+e 2 --令函数() h x 当(0,e x ∈当x ∈(e – 所以h (x )在

高考新课标数学试题分类汇编2010-2019:导数大题(理)

高考新课标数学试题分类汇编:导数大题(理) 【2019新课标1理20】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数.证明: (1)()f x '在区间(1,)2 π-存在唯一极大值点;(2)()f x 有且仅有2个零点. 【解析】(1)设()()g x f 'x =,则1 ()cos 1g x x x =- +,2 1sin ())(1x 'x g x =-++. 当1, 2x π? ?∈- ???时,()g'x 单调递减,而(0)0,()02g'g'π><,可得()g'x 在1,2π??- ??? 有 唯一零点,设为α. 则当(1,)x α∈-时,()0g'x >;当, 2x α? π? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增,在, 2απ?? ???单调递减,故()g x 在1,2π? ?- ??? 存在唯一极大 值点,即()f 'x 在1, 2π? ? - ??? 存在唯一极大值点. (2)()f x 的定义域为(1,)-+∞. (i )当(1,0]x ∈-时,由(1)知,()f 'x 在(1,0)-单调递增,而(0)0f '=,所以当 (1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. (ii )当0,2x ?π? ∈ ?? ? 时,由(1)知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2 απ?? ?? ? 单调递减, 而(0)=0f ',02f 'π??< ???,所以存在,2βαπ?? ∈ ??? ,使得()0f 'β=,且当(0,)x β∈时,()0f 'x >;当,2x βπ??∈ ???时,()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增,在,2βπ?? ??? 单调 递减. 又(0)=0f ,1ln 1022f ππ????=-+> ? ?????,所以当0,2x ?π?∈ ??? 时,()0f x >.从而,()f x

2020年全国高考导数压轴题汇编

2016全国各地导数压轴题汇编 1、(2016年全国卷I理数) 已知函数2 )1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点 (I )求a 的取值范围 (II )设21,x x 是)(x f 的两个零点,求证:221<+x x 2、(2016年全国卷I文数) 已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x (I )讨论)(x f 的单调性 (II )若)(x f 有两个零点,求a 的取值范围 3、(2016年全国卷II 理数) (I )讨论函数x x 2f (x)x 2 -=+e 的单调性,并证明当x >0时,(2)20;x x e x -++> (II )证明:当[0,1)a ∈ 时,函数2x =(0)x e ax a g x x -->() 有最小值.设g (x )的最小值为()h a ,求函数()h a 的值域. 4、(2016年全国卷II 文数) 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. (I )当4a =时,求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程; (II)若当()1,x ∈+∞时,()0f x >,求a 的取值范围. 5、(2016年全国卷III 理数) 设函数)1)(cos 1(2cos )(+-+=x a x a x f 其中a >0,记|)(|x f 的最大值为A

(Ⅰ)求)(x f '; (Ⅱ)求A ; (Ⅲ)证明A x f 2)(≤' 6、(2016年全国卷III 文数) 设函数()ln 1f x x x =-+. (Ⅰ)讨论()f x 的单调性; (Ⅱ)证明当(1,)x ∈+∞时,11ln x x x -<<; (Ⅲ)设1c >,证明当(0,1)x ∈时,1(1)x c x c +->. 7、(2016年天津理数) 设函数R x b ax x x f ∈---=,)1()(3 其中R b a ∈, (Ⅰ)求)(x f 的单调区间; (Ⅱ)若)(x f 存在极点0x ,且)()(01x f x f =其中01x x ≠,求证:3201=+x x ; (Ⅲ)设0>a ,函数|)(|)(x f x g =,求证:)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于...4 1 8、(2016年四川理数) 设函数x a ax x f ln )(2 --=其中R a ∈ (Ⅰ)讨论)(x f 的单调性; (Ⅱ)确定a 的所有可能取值,使得x e x x f -->11)(在区间(1,+∞)内恒成立(e =2.718…

2010-2019学年高考新课标全国I卷数学(文)真题分类汇编专题16 函数与导数(2)(解析版)

专题16 函数与导数(2) 函数与导数大题:10年10考,每年1题.函数的载体上:对数函数很受“器重”,指数函数也较多出现,两种函数也会同时出现(2015年).第2小题:2019年不等式恒成立问题,2018年证明不等式,2017年不等式恒成立问题,2016年函数的零点问题,2015年证明不等式,2014年不等式有解问题(存在性),2013年单调性与极值,2012年不等式恒成立问题,2011年证明不等式,2010年不等式恒成立问题. 1.(2019年)已知函数f (x )=2sin x ﹣x cos x ﹣x , f ′(x )为f (x )的导数. (1)证明:f ′(x )在区间(0,π)存在唯一零点; (2)若x ∈[0,π]时,f (x )≥ax ,求a 的取值范围. 【解析】(1)∵f (x )=2sin x ﹣x cos x ﹣x ,∴f ′(x )=2cos x ﹣cos x +x sin x ﹣1=cos x +x sin x ﹣1, 令g (x )=cos x +x sin x ﹣1,则g ′(x )=﹣sin x +sin x +x cos x =x cos x , 当x ∈(0,2π)时,x cos x >0,当x ∈(2 π,π)时,x cos x <0, ∴当x =2π时,极大值为g (2π)=12π->0, 又g (0)=0,g (π)=﹣2, ∴g (x )在(0,π)上有唯一零点, 即f ′(x )在(0,π)上有唯一零点; (2)由(1)知,f ′(x )在(0,π)上有唯一零点x 0,使得f ′(x 0)=0, 且f ′(x )在(0,x 0)为正,在(x 0,π)为负, ∴f (x )在[0,x 0]递增,在[x 0,π]递减, 结合f (0)=0,f (π)=0,可知f (x )在[0,π]上非负, 令h (x )=ax , 作出图象,如图所示:

(完整)2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用(一).doc

2019-2020 年高考数学压轴题集锦——导数及其应用(一) 1.已知函数f (x) x2 ax ln x(a R) . (1)函数f (x)在 [1,2] 上的性; (2)令函数g( x) e x 1 x2 a f (x) ,e=2.71828?是自然数的底数, 若函数 g (x) 有且只有一个零点m,判断 m 与 e 的大小,并明理由 . 2.已知函数 f (x) x3ax2bx c 在x 2 与x 1都取得极. 3 (1)求 a, b 的与函数f( x)的区; (2)若x [ c,1] ,不等式 f (x) c 恒成立,求 c 的取范 . 2 3.已知函数 f (x) ln(1 x) ln(1x) . (1)明 f '(x) 2 ; (2)如果 f (x) ax x [0,1) 恒成立,求 a 的范 .

x 1 4.已知函数f (x) ( e 自然数的底数) . e x (1)求函数f (x)的区; (2)函数(x) xf (x) tf '(x) 1 x1, x2 [0 ,1] ,使得 2 ( x1 )(x2 ) x ,存在数 e 成立,求数t 的取范 . 5.已知函数 f ( x) kx a x,其中k R,a 0且a 1 . (1)当 a e ( e=2.71 ?自然数的底),f(x)的性;(2)当k 1,若函数f(x)存在最大g(a),求g(a)的最小. 6.已知函数 f x x2ax ln x a R (1)当a 3 ,求函数f(x)在 1 , 2 上的最大和最小; 2 (2)函数 f(x)既有极大又有极小,求数 a 的取范 .

7.已知 f( x)是定义在 R 上的奇函数,当 x 0 时, f x 1 x 3 ax a R ,且曲线 f(x)在 3 x 1 处的切线与直线 y 3 x 1平行 2 4 (1)求 a 的值及函数 f(x)的解析式; (2)若函数 y f x m 在区间 3, 3 上有三个零点,求实数 m 的取值范围 . 8.已知函数 f x x 0 ax, a ln x (1)若函数 y f x 在 1, 上减函数,求实数 a 的最小值; (2)若存在 x 1 , x 2 e,e 2 ,使 f x 1 f x 2 a 成立,求实数 a 的取值范围 . 9.已知函数 f (x) x 3 ax 2 bx 1, a , b R . ( 1)若 a 2 b 0 , ①当 a 0 时,求函数 f(x)的极值(用 a 表示); ②若 f(x)有三个相异零点,问是否存在实数 a 使得这三个零点成等差数列?若存在,试 求出 a 的值;若不存在,请说明理由; ( 2)函数 f( x)图象上点 A 处的切线 l 1 与 f(x)的图象相交于另一点 B ,在点 B 处的切线为 l 2 ,直线 l 1, l 2 的斜率分别为 k 1, k 2 ,且 k 2 =4k 1 ,求 a ,b 满足的关系式.

高考题汇编2010-2017年全国高考数学真题--第21题导数

2010-2017年全国高考数学真题--第21题导数 2010年:设函数2()1x f x e x ax =---。 (1)若0a =,求()f x 的单调区间; (2)若当0x ≥时()0f x ≥,求a 的取值范围 2011年:已知函数ln ()1a x b f x x x = ++,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=. (I )求,a b 的值; (II )如果当0x >,且1x ≠时,ln ()1x k f x x x >+-,求k 的取值范围. 2012年: 已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-. (Ⅰ)求)(x f 的解析式及单调区间; (Ⅱ)若b ax x x f ++≥2 2 1)(,求b a )1(+的最大值.

2013: 一卷:已知函数()f x =2 x ax b ++,()g x =()x e cx d +,若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P (0,2),且在点P 处有相同的切线42y x =+ (Ⅰ)求a ,b ,c ,d 的值; (Ⅱ)若x ≥-2时,()f x ≤()kg x ,求k 的取值范围. 2014一卷:设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+,曲线()y f x =在点(1,(1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ; (Ⅱ)证明:()1f x >. 2015一卷:已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ,()ln g x x =-. (Ⅰ)当a 为何值时,x 轴为曲线()y f x = 的切线; (Ⅱ)用min {},m n 表示m ,n 中的最小值,设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ,讨论()h x 零点的个数.

高考导数大题汇编理科答案

高考导数大题汇编理科答 案 Last revision date: 13 December 2020.

一、解答题 1. 解:(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞,' 112()e ln e e e .x x x x a b b f x a x x x x --=+-+ 由题意可得' (1)2,(1) e.f f ==故1,2a b ==. (Ⅱ)由(Ⅰ)知12e ()e ln ,x x f x x x -=+从而()1f x >等价于2 ln e .e x x x x ->- 设函数()ln g x x x =,则()1ln g x x '=+,所以当1 (0,)e x ∈时,' ()0g x <; 当1(,)e x ∈+∞时,' ()0g x >,故()g x 在1(0,)e 单调递减,在1(,)e +∞单调递增, 从而()g x 在(0,)+∞的最小值为11 ().e e g =-. 设函数2()e e x h x x -=-,则'()e (1)x h x x -=-,所以当(0,1)x ∈时,'()0h x >; 当(1,)x ∈+∞时,' ()0h x <,故()h x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减,从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)e h =- . 综上,当0x >时,()()g x h x >,即()1f x >. 2. 解题指南(1)根据导数公式求出函数的导数,利用分类讨论思想求解;(2)根据函数的单调性以及函数极值与导数的关系式确定函数的极值点,代入函数中求解. 解析(1)2/ 2 2 2(2)24(1) ()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-=-=++++ (*) 当1a ≥时,/ ()0f x >,此时,()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. 当01a <<时,由/ ()0f x = 得1 x = ,(2x =-舍去). 当1(0,)x x ∈时,/ ()0f x <;当1(,)x x ∈+∞时,/ ()0f x >. 故()f x 在区间1(0,)x 上单调递减,在区间1(,)x +∞上单调递增. 综上所述,当1a ≥时,()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. 当01a <<时,()f x 在区间(0, 上单调递减,在区间)+∞上单调递增. 由(*)式知,当1a ≥时,/ ()0f x >,此时()f x 不存在极值点,因而要使得()f x 有两个极值点, 必有01a <<.又()f x 的极值点只可能是1x = 2x =-,且由定义可知,1 x a >- 且2x ≠- ,所以1a ->- 且2-≠-,解得1 2 a ≠- 此时,由(*)式易知,12,x x 分别是()f x 的极小值和极大值点,而 令2a - 01x <<. 记(g x (Ⅰ)当1 - 因此,g 1()( f x f +(Ⅱ)当0 因此,(g x 1()( f x f + 综上所 3. (1)证明函数. (2)解:由条 令t = 因为 当且 因此 (3)解:令函 当x ≥1时, 因此g (x )在 由于存在x 0故1 e+e 2 --令函数() h x 当(0,e x ∈

相关文档 最新文档