Brouwer不动点定理的几种证明
Brouwer不动点定理的几种证明
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二○一一年五月
摘要
Brouwer不动点定理是很著名的定理.其中，关于它的证明很多有：代数拓扑的证明、组合拓扑的证明、微分拓扑的证明等.都涉及拓扑学上许多复杂的概念和结果.
关于该定理，也可以用图论的方法证明，用离散离散理论解决连续系统中问题.本文试图在总结其他证明方法的基础上，对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详细的介绍来体现这一思想.
关键词：Brouwer；不动点.
ABSTRACT
Brouwer fixed point theorem is very famous theorem . Among them , about its proof many : algebra topologies, proof of the proof, differential combined topology etc. The proof of topological Involves many complex on the concept of limited and results.
About this theorem, also can use graph method to prove, in a discrete discrete theory in solving continuous system. This article tries to summarize the other proof method based on the method of graph theory prove Brouwer fixed point theorem for detailed introduction to reflect this thought.
Keywords: Brouwer; Fixed point.
目录
第一章引言 (1)
1.1 研究背景 (1)
1.2 本课题的研究内容 (1)
第二章 Brouwer不动点定理的证明 (2)
2.1 Brouwer不动点定理的图论证明 (2)
引理2.1.1（sperner，1982） (3)
定理2.1.2 (Brouwer) (3)
2.2 Brouwer不动点定理的初等证明 (5)
2.2.1 基本概念与引理 (5)
定理2.2.2.1(Banach不动点定理) (5)
定理2.2.2.2(KKM定理) (5)
2.2.3 Brouwer不动点定理的证明 (7)
定理2.2.3.2 (FKKM定理) (7)
定理2.2.3.5(Brouwer不动点定理) (8)
2.3 Brouwer不动点定理的https://www.wendangku.net/doc/5217597365.html,nor分析证明 (9)
2.3.6 Brouwer不动点定理 (18)
参考文献 (19)
致谢 (20)
第一章引言
1.1 研究背景
Brouwer不动点定理是非线性分析和拓扑学中的重要基本定理，它的叙述简洁，应用广泛，但证明却很不简单.不论是代数拓扑的证明[1]，还是组合拓扑的证明[2]，以及微分拓扑的证明[3]，都涉及拓扑学上许多复杂的概念和结果.1978年著名的微分拓扑学家https://www.wendangku.net/doc/5217597365.html,nor给出了一中新证明[4]，只用到多变量微分学的知识和某些基本分析定理.关于该定理，也可以用图论的方法证明，这种离散理论解决连续系统中问题的思想，对我们也给了很大的启示.
本文试图在总结其他证明方法的基础上，对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详细的介绍.
1.2 本课题的研究内容
整理Brouwer不动点定理的初等、图论方面的证明和https://www.wendangku.net/doc/5217597365.html,nor给出的用多变量微分学和某些基本分析定理的新证明.
详细介绍Brouwer不动点定理的图论方法证明，体现离散理论解决连续系统中问题的思想.
1
2
第二章 Brouwer 不动点定理的证明
2.1 Brouwer 不动点定理的图论证明
Brouwer 不动点定理：若2
?表示平面上一个三角形区域围成的闭区域，f 是2
?到自身的连续映射，则f 至少有一个不动点，即存在一点20p ∈?，使得00()f p p =.
首先把2
?剖分成若干小三角形区域，即2
2
1
m
i i δ=?= ，2
21,n
i
j i j
i j m
δ
δ≠≤≤
的面积为零.
把2?的三个顶点分别标志位0,1,2.每个2
i δ的顶也用{0,1,2}中的数标志.若2i δ的顶i p 在2?上的边上，且2?的这条边端点之标号为k 与m ，2i δ的顶也标成k 与m ，称这些标志位正常标志，在正常标志中小三角形2i δ的三顶分别标志0,1,2时，称2i δ为正常三角形，见图a.2?的这种标志的剖分称为三角剖分.
1
图
2.1
v v 1v 5
9
v 10
v 11
图 2.2
3
引理2.1.1（sperner ，1982）
在2
?的三角剖分中，正常三角形为奇数个.
证：记20δ为2?的外部区域，22212,,...,m δδδ是2?进行三角剖分得到三角形子区域.以{}22212,,...,m δδδ为顶集造一个图G ，对于i 与j 接非零的情形，仅当2i δ与2j δ有公共边具此边端点标志为0与1时，才在此二顶间连一边，对20δ与2(0)i i δ≠的情形，仅当2i δ的0-1标志的边落在2?的0-1标志的边上时，在顶20δ与2i δ间连一边，见图b.
由于上述图G 中奇次项的个数是偶数，如果20()d δ是奇数，则
22212(),(),...,()m d d d δδδ中奇数个奇次项，
又2()3,1,2,...,i d i m δ<=.故22212,,...,m δδδ中的奇次项是一次项.而仅当2i δ是正常三角形时，2()1i d δ=，所以正常三角形有奇数个.
下证20()d δ是奇数.事实上，20()d δ是2?上0-1边上以0与1为端点的小区间的个数.当的这条0-1边之内点为任何小三角形之顶时，，是奇数.当的这条边内有小三角形之顶时，由于标志是正常的，的则这种小三角形在的这条0-1边上之端点标志位0或1.这时又有两种情况，（i ）在这条0-1边上的小三角形顶皆标志0或皆标志1，则，（ii ）在2?这条0-1边上的小三角形之顶点标0与标1都有时，我们把端点标号一样的小区间收缩成一点，标号不变，则f 的这条0-1边上的标号序列为0-1交错列010101…01，这里出现奇数个以0，1为端点的小区间，故20()d δ为奇数.证毕. 定理2.1.2 (Brouwer)
f 是2?到自己的连续映射，则存在'20p ∈?，使''
00
()f p p =. 证：012,,p p p 是2?的三个顶点，则对任意2p ∈?，可以写成
001122p a p a p a p =++，则0i a ≥，2
1i i a ==∑，其中的012,,,p p p p 是二维向量，且
012(,,)p a a a =，'
''0
1
2
()(,,)f p a a a =.令{}2'012012(,,)|(,,),,0,1,2i i i S a a a a a a a a i =∈?≥=.
如果能证出 012S S S φ≠ ，则存在012012(,,)a a a S S S ∈ ，且
'
,0,1,2i
i a a i ≤=；又2
2
'00
1i i i i a a ====∑∑，故必有'''
001122,,a a a a a a ===，即f 有不动点. 下证20
i i S φ=≠ .事实上，考虑2?的正常标志的三角形剖分，使得标志i 的每个顶点属
于,0,1,2i S i =.2?上任意一点'''012012(,,),()(,,)p a a a f p a a a ==时，存在一个i S ，使
i p S ∈，且0i a >；否则当每个0i a >时，'
i
i a a >.于是22
'0
i i i i a a ==>∑∑，矛盾.若一个三
4
角形顶点i p S ∈且0i a >时，p 标志以i ，这种标志是正常标志，例如2?的顶点
(0,1,2)i p i =有1i a =，故i i p S ∈，标成i ；在2?的01p p 边上各点的20a =，我们只能把这边上的点标以0或1；02p p 边上的点同理只能标志0或2；12p p 上的点只能标志1或2，故正常标志.
由引理知，至少有一个正常三角形，其中顶点分别属于012,,S S S .我们是剖分无限变密，且小三角形中的最大直径足够小，则有分别在012,,S S S 中的三个点，两两相距可以任意小，又f 是连续的，故012,,S S S 是闭集.于是，012S S S φ≠ .证毕.
5
2.2 Brouwer 不动点定理的初等证明
2.2.1 基本概念与引理
定义2.2.1.1 设E 是一线性空间，其一切子集构成的集族记为2E .子集A E ?称为有限闭的，若它与每一有限维平面L E ?的交按L 上的Eucild 拓扑是闭的；一个集族{}A λλσ∈称为有限交性质，如果它的每一有限子集的交不空.
定义2.2.1.2 设E 是一线性空间，X 是E 上的任意子集，称:2E G X →是一个KKM 映像，
如果对任何有限子集{}1
2
,,...m
x x x
X ?，有：{}1
2
1,,...()m
m
i
i x x x G x =∞?
引理2.2.1.3 设集合n X R ?非空，则距离函数()inf y X
d x x y ∈=-是Lipschitz 的，即有：
()()d x d y x y -≤- ,n x y R ?∈
2.2.2 利用Banach 不动点定理证明KKM 定理 定理2.2.2.1(Banach 不动点定理)
有限维空间中有界闭凸集上的连续自映射必有不动点． 定理2.2.2.2(KKM 定理)
设E 是一线性空间，X 是E 的子集，:2E G X →是一KKM 映像.如果对于任何
x X ∈，()G x 是有限闭的，则集族{}()|G x x X ∈具有有限交性质.
证: 反证法.假设存在{}1
2
,,...m
x x x
X ?使得1
()m
i
i G x φ== .设L 是由
{}1
2
,,...m
x x x 张成的有限维平面，d 是上的Eucild 的度量.令{}12,,...m
D co x x x =，则D L ?.由假定每个1,2,...,()i i m L G x = 在L 中闭，故(,())0i
d x L G x = 的充分必要条件是()i
x L G x ∈ .
定义函数： 1
()(,())m
i
i x d x L G x λ==∑
由于1
()m
i
i G x φ== ，故对于每一x D ∈，()0x λ>.由引理1知：
6
()()x y n x y λλ-≤- ,x y D ?∈
不妨设D 包含原点，否则用1
1m i
i D x m =-∑代替D 即可.令：
1
1()(,())()m
i i i f x d x L G x x t x λ==∑ x D ?∈ 式中，1t >是待定参数.则:f D D →连续，且对任意,x y D ∈，有：
1111()()(,())(,())()()m m i i
i i i i f y f x d y L G x x d x L G x x t y t x λλ==-≤-∑∑ 1111(,())(,())()()m m i i i i i i d y L G x x d x L G x x t y t y λλ==≤-∑∑ 1111(,())(,())()()m m i i i i i i d x L G x x d x L G x x t y t x λλ==+-∑∑ 下面对式(3)右端两项分别进行估计.首先由引理1．对任意,x y D ∈，有：
11
11(,())(,())()()m m i i
i i i i d y L G x x d x L G x x t y t y λλ==-∑∑ 1
1()()m
i i x x y t y λ=≤-∑ 其次根据式(2)，对任意,x y D ∈，有：
11
11(,())(,())()()m m i i
i i i i d x L G x x d x L G x x t y t x λλ==-∑∑ 1
1(,())()()()()m i i
i d x L G x x x y t x y λλλλ=≤-∑ 1
((,()))()()m
i i i n d x L G x x x y t x y λλ=≤-∑ 综合式(3)、(4)、(5)知：
(,)
()()h x y f y f x x y t
-≤
-
7
式中，11
1(,)(,())()()()m m
i i i i i n
h x y x d x L G x x y x y λλλ===+∑∑ .在有界闭集D D ?上连续，因此有最大值M .取足够大的{}max ,1t M ≥，则，f 构成D 上的一个压缩映射.由Banach 不动点定理知道，，有一不动点x D ∈.令
{}{
}
|(,())0,1,2,...i I i d x L G x i m -
=>∈
则()i
i I
x G x -
∈? .另外:11()(,())()m i i i x f x d x L G x x t x λ--
-===∑ {}1(,())|()()
i
i
i
i i I
i I
d x L G x x x
i I G x t x λ-
-
∈∈=
∈∞∈?∑
导致了矛盾.故定理2成立.
2.2.3 Brouwer 不动点定理的证明
引理2.2.3.1 设集族{}A λλσ∈是n R 中的非空闭集合，其中一个有界，具有有限交性质，则该集族看非空交.
证明:反证法.假设A λλσ
φ∈= ，则它的余集为全空间，即()n CA C A R λλλσλσ
∈∈==
即开集CA λ.的并覆盖全空间，当然也覆盖集族中的有界闭集.由有限覆盖定理知，存在有限个开集12,,...,m CA CA CA .覆盖住0A ，即：012m A CA CA CA ? 从而：
012m CA A A A ? ，即：012()m A A A A φ= 这与假设相矛盾，从而引理2成立.
定理2.2.3.2 (FKKM 定理)
设X 是n R 中的非空紧凸集，:n G X R →是闭值的KKM 映射，且存在一点0x 使
0()G x 有界，则集族{}()|G x x X ∈有非空交.
证明 ：根据定理2知集族{}()|G x x X ∈具有有限交性质，于是根据引理2知定理3成立.
引理2.2.3.3. 设X 是n R 中的非空紧凸集，映射:n G X R →连续，则至少存
8
在一点y X -∈使得：()inf ()x X
y G y x G y ---
∈-=-
引理2.2.3.4. 设X 是n R 中的非空紧凸集，映射:n G X R →连续.若对于X 中每一满足()x G x ≠的点x ，连结x 和()G x 的线段[],()x G x 至少包含X 中2点.则G 在X 中有不动点.
定理2.2.3.5(Brouwer 不动点定理)
设:n n G D R R ?→是闭集D 上的压缩映像，()G D D ?，则对任意0x D ∈，迭代序列：1()k k x G x += 0,1,...k =存在唯一的极限点.
证明:由引理2.2.3.3，2.2.3.4可知Brouwer 不动点定理2.2.3.5成立.
9
2.3 Brouwer 不动点定理的https://www.wendangku.net/doc/5217597365.html,nor 分析证明
2.3.1 考虑所有实数n 元组的集合1{{,...,}|(1)}n n i E x x x x i n ==≤≤是实数，在n E 上引进三种线性运算之后,{,,,,}n n R E =+?<>就称为n 维欧式空间，其中1(,...,)n x x x =称为n R 的点或向量，诸i x 称为点x 的坐标或向量x 的分量；向量(,...,)i n x x x =和
(,...,)i n y y y =相加，结果是一个向量，定义为
11(,...,)n n x y x y x y +=++ 实数α和向量x 相乘，结果是一个向量，定义为
1,...,)(n x x x ααα=
向量x 和y 的内积是一个实数，定义为 1
,n
i i
i x y x y =??=∑
于是，向量的长度定义为
x ==向量x 和y 的之间的距离就是
x y -=
由于对任何α有
2,,2,,0x y x y x x x y y y αααα?++?=??+??+??≥ 所以判别式
2,,,0x y x x y y ??-????≤ 即是对任何x 和y n R ∈有Canchy By -∏不等式 |,|x y x y ??≤?
10
等式成立的充要条件是：相差一个常数因子.因此我们可以定义的夹角,x y ??︿
的余弦为
cos ,x y ??︿
,x y x y
??
?＝
显然，,cos x y ??≤︿
１｜｜；x 和y 相差正数因子时，,cos x y ??≤︿
１｜
；相差负数因子时，,cos x y ??=-︿
１｜｜；此外由于
222
,x y x y x y -=+-??２
22
,cos x y x y x y +-???︿
＝２
与通常的余弦定律一致，所以,cos x y ??︿
的定义是合理的.从而，向量x 和y 正交定义为， ,x y ??︿
＝０.向量x 可以用从原点到点x 的有向线段来表示，也可以平行移动
到任何位置，只依赖于方向和长度.因此，在图示中，两个向量相加可以用平行四边形法则，也可以用三角形法则.
图 2.3(a) 图 2.3(b)
2.3.2 命*I 是n R 中的一个区域.如果对任何向量*x I ∈，都相应的地有一个向量()n y x R ∈，就说y 是把*I 映入n R 的一个映像（变换）.如果()y x 的诸分量
1(,...,)(1)i n y x x i n ≤≤是1(,...,)n x x 的连续函数，就说y 是连续向量场.注意，在说到连续可微时，总是指函数对各个变元的一阶偏导数在包含*I 的一个n 维开领域中处处存在且连续.
引理2.3.2.1 命*I 是有界闭域，v 是*I 上的连续可微向量场.于是存在Lipchitz 常数c ，使得
*
()(),,v x v y c x y x y I -≤-∈
证明，由于v 是*I 上的连续，所以对任何*I ξ∈，存在()0δξ>，使得v 在方体 (,()){|||()(1)}n i i I x R x i n ξδξξδξ=∈-<≤≤
11
处处连续可微，命 *
(,())sup |
|i
ij x I j
I v c x ξδξξ∈∈?=
? 于是，根据微分中值定理，对任何,(,())x y I ξδξ∈有
22()()|(,...,)(,...,)|i n i n i
v x v y v x x v y y -≤-∑
1222{|(,...,)(,,...,)|i n i n i
v x x x v y x x ≤-+∑
1212|(,...,)(,,...,)|i n i n v y x x v y y x -+ .........
1212|(,...,)(,,...,)|}i n i n v y y x v y x x -
,,||ij i i ij i j
i j
c x y c x y ≤-≤-∑∑
今证存在0δ>，不依赖于*I ξ∈，使得对任何,(,())x y I ξδξ∈，上述吧不等式
成立.否则，对任何正整数p ，存在*p I ξ∈以及1
,(,)p p p x y I p
ξ∈，使得
()()p p ij p p ij
x x v y c x y -≤-∑
由于*I 是有界闭集，根据Bolzano-Weierstrass 定理，可设*p I ξξ→∈，从而，
,p p x y ξ→.于是，当p 充分大时，,(,())p p x y I ξδξ∈，所以，
()()p p ij p p ij
v x v y c x y -≤-∑
矛盾.这样一来，如果命 *
,()()sup x y I M v x v y ∈=- ,max{,}ij i j
M
c c δ
=∑
则对任何*
,x y I ∈有()()v x v y c x y -≤-
引理2.3.2.2 命*I 是有界闭域，v 是*I 上的连续可微向量场.命u ：
*n I R →是一个变换，定义为*()(),u x x t v x x I =+?∈ 于是，当||t 充分小时，u 是把*I 变成区域*()u I 的一一变换，区域*()u I 的体积可以表示为t 的多项式.
证明：据引理1，设是的Lipschitz 常数.
于是，当1
||t c
<时，变换u 是一一的.
因为，若x y ≠而()()v x u y =，则由(()())x y t v y v x -=- 推出||x y t c x y x y -≤-<-，矛盾. 其次，由于所以的Jacobi 行列式是
12
,,()[]1,0,i
i j j
i j
v J u t
x i j i j
δδ?=+?=?=?
≠?
因而可以表为的多项式：1()1()()n n J u a x t a x t =+++
其中诸()i a x t 显然是的连续函数.注意，当0t =时，这个行列式之值为1，所以只要||t 充分小，则()J u 恒为正.于是，则反函数定理，当||t 充分小时，u 是把区域*I 变成区域*()u I 的一一连续可微变换，它的逆变换也是连续可微的.因此，按照体积的积分定义以及n 重积分的换元法则，区域的体积可以表示为
**1()
(())n u I vol u I du du =??
*
12()I J u dx dx =??
01n n a a t a t =+++ 其中 **
1()i i n I a a x dx dx =?? *0,1,,,1i n a == ,n
c k 中的1n -维单位球面定义为 1{|1}n n S x h x -=∈=
命v 是1n S -上的向量场.如果对任何1n x S -∈都有,()0x v x =，就说v 是1n S -上的向量场.
今设v 是1n S -上的连续可微的单位切向量场，即是对任何1n x S -∈有()1v x =. 考虑区域
图 2.4
*13{|
}22
n I x k x =∈≤≤
13
命
*()(),x
v x x v x I x
=∈ 于是，v 被扩充为*I 上的连续可微的切向量. 再考虑变换*:n u I k → *()(),u x x tv x x I =+∈ 由于
()u x =
=可见变换u 把半径为13
()22
r r ≤≤的球面1(){|}n n S r x R x r -=∈=
变到半径为
1(n S -上.
引理2.3.2.3 当t 充分小时，变换u 把1()n S r -
变成1(n S -
证明：设11
,3t t c
<<，其中c 是在上的Lipschitz 常数.
对于任何固定的
10(n u S -∈
命
*()(),w x tv x x I =
∈ 由于1
()2
tv x t x =?<
， 所以
13()()()22tv x w x tv x <-≤≤< 此外， ()()()()w x w y t v x v y t c x y -=?-≤??-
而1t c ?<，可见w 是把欧氏空间的闭集映入自身的压缩映像，据压缩映像原理，有唯一的原动点00()x w x =，即
00()x tv x =+
，所以1x =000()u tv ξξ=+，
其中100n x S ξ-=∈.
这就证明了对任何10(n u S -∈，存在唯一的
10n S ξ-∈，使得00()u u ξ=
14
图 2.5
2.3.3 现在让我们对半径为r 的n 维球体(){|}n n B r x R x r =∈≤的体积给出一个计算公式
(())n n n vol B r c r =
其中 111312,2221322,23n n
n n n c n n n c n n c n n n π----???-=?--??-?
为偶数为奇数 事实上，例如1234
2,,3
c c c ππ===，按归纳法有
10
(())2[r
n n n vol B r vol B dx -=?
22
101
2()2
r
n n
n n c r x dx --=-? 210
2cos n
n n c r d π
θθ-=?
算出上述积分，就得到所要的结果
.
图 2.6
15
2.3.4 现在我们问：球面1n S -上是否存在连续可微的单位切向量？这个问题的回答有些古怪.如果1n -是奇数，回答是肯定的，事实上我们可以给出所要的向量，例如
121321()(,,,),n n n v x x x x x x x x S --=---∈ 但是，如果1n -是偶数，回答则是否定的
定理1.偶数维球面上不存在连续可微的单位切向量场.
证明：假若不然，当n 是奇数时，若1n S -上存在连续可微的单位切向量场v ，
则据引理3，变换()()u x x tv x =+当t 充分小时把区域*13
{|}22
n I x R x =∈≤≤
变成区域*(){n u I x R x =∈≤， 所以*()u I 的体积是
*(())[[n n vol u I vol B vol B =-
31
[()()22
n n n n c =-
*()n vol I =
由于n 是奇数，这个体积不可能是t 的多项式，因而和引理2的结果矛盾. 定理1还可以稍加推广如下.
定理2.偶数维球面上不存在处处不为零的连续向量场.
证明：假若不然，命v 是1n S -上处处不为零的连续向量场， 1
()n x S
m Min v x -∈=.于是0m >.据Weierstrass 逼近定理[8]
，中有界闭集上的连续函数可以用多项式函数均匀逼近，所以存在一个多项式映像1:n n p S R -→，即诸()i p x 都是1(,,)n x x 的多项式，
图 2.7
16
使得 1()(),n p x v x m x S --<∈ ， 命 1()()(),,n u x p x p x x x x S -=-∈
即 1()()()n i i j j i j u x p x p x x x =??
=- ???∑ 显然，上的联讯可微向量场，
此外，2
1(),(),(),0,n u x x p x x p x x x x S -=-=∈
所以u 是1n S -上的切向量场，最后，()0u x =
蕴涵()(),p x p x x x =， 所以(),()0p x v x =
,()()p x v x m -=>矛盾，从而u 在1n S -上
处处不为零.因此()
()()
u x w x u x =就是1n S -上连续可微的单位切向量场.但是，如果
1n -是偶数，定理1说，这是不可能的.
例.地球表面的风的分布可以视为向量场，向量的长度和方向分别表示在该点的风力和风向.风力的分布当然是连续的，所以这个定理说，地球表面上总有一处是完全无风的.
2.3.5 现在介绍一种方法，怎么样从维球体傻瓜的向量场构造出维球面上的切向量场.考虑1n k +，设
111{|0}{|1}{|1}
n n n n n n n k x k x S x k x B x k x +++=∈==∈==∈≤
图 2.8
n B 的边界球面1{|1}n n S x k x -=∈=是n S 的赤道.假设给了n B 上一个处处不为
零的连续向量场u ，使得1n x S -∈时，()u x x =.首先，利用北极投影把n B 映成南半
正弦定理证明
一、正弦定理的几种证明方法
1.利用三角形的高证明正弦定理
（1）当 ? ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据锐角三角函数的定义，
有CD ?asinB ,CD ? b sin A 。
C
由此，得
a sin A
b ? sinB
同理可得 ，
c sinC
?
b sin B
，
b
a
A
B
故有
a
b
sinA ? sinB
c ? sinC .从而这个结论在锐角三角形中成立.
D
（2）当 ? ABC 是钝角三角形时，过点 C 作 AB 边上的高，交 AB 的延长线于点 D， 根据锐角三角函数的定义，有CD ?asin?CBD ?asin?ABC ，CD ? b sin A 。由此，
得
a sin A
b ? sin?ABC
同理可得 ，
c sinC
b ? sin?ABC
C
故有
a
b
sinA ? sin?ABC
c ? sinC .
b
a
A
由(1)(2)可知，在
?
ABC
中，
a sin
A
?
b sin
B
c ? sinC
成立.
BD
从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即
a
b
c
sinA ? sinB ? sinC .
2.利用三角形面积证明正弦定理
已知△ ABC,设 BC＝a, CA＝b,AB＝c,作 AD⊥BC,垂足为 D. 则 Rt△ ADB
中, sin B ? AD , ∴AD=AB·sinB=csinB.
A
AB
∴S△ ABC= 1 a ? AD ? 1 acsin B . 同理,可证 S△ ABC= 1 absin C ? 1 bcsin A.
2
2
2
2
∴ S△ ABC= 1 absin C ? 1 bcsin A ? 1 acsin B . ∴absinc=bcsinA=acsinB, C
2
2
2
D
B
在等式两端同除以 ABC,可得 sin C ? sin A ? sin B . 即 a ? b ? c .
c
a
b
sin A sin B sin C
3.向量法证明正弦定理
(1)△ ABC 为锐角三角形,过点 A 作单位向量 j 垂直于 AC ,则 j 与 AB 的夹角为
90°-A,j 与 CB 的夹角为 90°-C. 由向量的加法原则可得 AC ? CB ? AB ,
为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量
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不动点定理及其应用
不动点定理及其应用 一、不动点定理 不动点定理fixed-point theorem ：如果f 是1n +维实心球1{,11}n B x R n x +=∈+≤ 到自身的连续映射(1,2,3)n =???，则f 存在一个不动点1n x B +∈（即满足(0)0f x x =）。 （一）、压缩算子: 1、定义： 设（1）X 距离空间； （2）算子:T X X →的映射。 若(01),..,s t x y X θθ?≤
（2）定理的条件是结论成立的充分非必要条件。 （3）迭代的收敛性和极限点与初始点无关。但T 的选取及初始点0x 的选取对迭代速度有影响。初始点离极限点越近，其收敛速度越快，而不影响精确度。 （4）误差估计 ①事前（或先验）误差：根据预先给出的精确度，确定计算步数。此方法有时理论上分析困难。 设迭代到第n 步，将* n x x ≈，则误差估计式为 * 0010(,)(,)(,)11n n n x x Tx x x x θθρρρθθ ≤=-- ②事后（或后验）误差：计算到第n 步后，估计相邻两次迭代结果的偏差1(,)n n x x ρ-，若该值小于预定的精度要求，则取* n x x ≈。此方法简单，但有时无法估计计算步数。 设迭代到第n 步，将*n x x ≈，则误差估计式为 *1(,)(,)1n n n x x x x θ ρρθ -≤ - 或 *11 (,)(,)1n n n x x x x ρρθ +≤ - 3、求解不动点的具体步骤： Step1 提供迭代初始点0x ； Step2 计算迭代点10x Tx =； Step3 控制步数，检查10(,)x x ρ，若10(,)x x ρε>。则以1x 替换0x 转到第二步，继续迭代，当10(,)x x ρε≤时终止，取1x 为所求结果。误差不超过 1θ εθ -。 对于不动点理论，为了便于应用，下面给出两种不同情况下所适合的方法。 推论1 设（1）X ----完备的距离空间； （2）:T X X →的算子。
正弦定理的几种证明
正弦定理的几种证明 内蒙古赤峰建筑工程学校 迟冰 邮编（024400） 正弦定理是解决斜三角形问题及其应用问题（测量）的重要定理，而证明它们的方法很多，展开的思维空间很大，研究它们的证明，有利于培养学生的探索精神，体验数学的探索活动过程，也有利于教师根据不同的教学质量要求和学次，进行适当的选择。 C c B b A a C B A c b a ABC sin =sin =sin ,,,,:则：和中的三边和三角分别是 在正弦定理的内容： ? 一向量法 C c B b A a B b A a C c C CB i A CB AC i AB i AC i ABC sin sin sin :sin sin sin sin ||||sin | ) (,⊥=== ==+?=??即正弦定理可证 同理可证：，则：中做单位向量 证明：在
即正弦定理可证 同理可证：即中 和则在中做高线证明：在, sin =sin ,sin =s sin =sin sin =, sin =, C c A a B b inA a B a A b B a CD A b CD BDC Rt ADC Rt CD ABC ??? 三外接圆法 C c B b A R C c R A a R B b B R b B D a D R b Rt CAD R AD D C O ABC sin sin sin a ∴2sin ,2sin :2sin ,sin 2∴∠∠,sin ,∴, ,,========???同理即且且为设圆的半径为连接连接圆心与圆交于点过点的外接圆证明：做
四面积法 C c B b A a B ac C ab A bc S ABC sin sin sin ∴sin 21sin 2 1 sin 21=====?正弦定理可证：
角谷静夫不动点定理
一、不动点算法 又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换?(x),映射到A时,使得x=?(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为R n中的一紧致凸集, ?为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=?（x）。其后，角谷静夫于1941年将此定理推广到点到集映射上去。设对每一x∈A，?(x)为A的一子集。若?(x)具有性质：对A上的任一收敛序列x i→x0，若y i∈?(x i)且y i→y0，则有y0∈?(x0),如此的?(x)称为在A上半连续，角谷静夫定理：设A为R n中的一紧致凸集，对于任何x∈A，若?(x)为A的一非空凸集，且?(x)在A上为上半连续，则必存在x∈A,使x∈?(x)。J.P.绍德尔和J.勒雷又将布劳威尔定理推广到巴拿赫空间。 不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中皆有广泛的应用。例如，关于代数方程的基本定理，要证明?(x)=0必有一根，只须证明在适当大的圆│x│≤R内函数?(x)+x有一不动点即可；在运筹学中，不动点定理的用途至少有二：一为对策论中用来证明非合作对策的平衡点的存在和求出平衡点；一为数学规划中用来寻求数学规划的最优解。对于一个给定的凸规划问题：min{?(x)│g i(x)≤0，i=1,2,…,m}，在此,?和g1,g2,…,g m皆为R n中的凸函数。通过适当定义一个函数φ,可以证明：若上述问题的可行区域非空，则φ的不动点即为该问题的解。 在1964年以前，所有不动点定理的证明都是存在性的证明，即只证明有此种点存在。1964年，C.E.莱姆基和J.T.Jr.豪森对双矩阵对策的平衡点提出了一个构造性证明。1967年，H.斯卡夫将此证法应用到数学规划中去。其后，不动点定理的构造性证明有了大的发展和改进。 H.斯卡夫的证明是基于一种所谓本原集，后来的各种发展皆基于某种意义下的三角剖分。现以n维单纯形S n为例来说明这一概念，在此, 。对每一i, 将区间0≤x i≤1依次分为m1,m2…等分，m1
正弦定理证明
正弦定理的证明解读 克拉玛依市高级中学 曾艳 一、正弦定理的几种证明方法 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B =，同理可得 sin sin c b C B =， 故有 sin sin a b A B =sin c C =.从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 =∠sin sin a b A ABC ， 同理可得 =∠sin sin c b C ABC 故有 =∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中，sin sin a b A B =sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即sin sin a b A B =sin c C =. 1’用知识的最近生长点来证明： 实际应用问题中，我们常遇到问题： 已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即： 在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝c ， 求边AC 的长b 解：过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则 cos AD c A = sin sin cos sin tan sin cos BD c A c A C DC C C C C === sin cos (sin cos sin cos )sin cos sin sin sin c A C c C A A C c B b AC AD DC c A C C C +==+=+ == a b D A B C A B C D b a
不动点原理及其应用
题目：不动点原理及其应用 摘要 本文主要讨论了压缩映射原理，Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面。在解决微分方程，积分方程，以及其他方程的解的存在唯一性时，将问题转换为求某一映射的不动点，利用不动点原理进行解决。 关键词：压缩映射原理；Schauder不动点定理；不动点原理应用
Abstract In this paper ,we talked about contraction mapping principle,Schauder’s fixed point theorem and the application of the fixed point theorem.As we deal with the solutions about differential equation, integral equation and other kinds of equations, it is a useful way to transform the problem into fixed point theorem.We can use it to solve plenty of practice problems too. Keywords: contraction mapping principle; Schauder’s fixed point theorem;the application of fixed point theorem.
目录 引言 (1) 1.压缩映射原理 (1)
1.1压缩映射原理（距离空间） (1) 1.2压缩映射原理（巴拿赫空间） (7) 2.Schauder不动点定理 (9) 3不动点定理的应用 (11) 总结 (12) 参考文献 (14)
正弦定理的四种证明方法
正弦定理的四种证明方法 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义， 有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 1’用知识的最近生长点来证明： 实际应用问题中，我们常遇到问题： 已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即： 在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝c ， 求边AC 的长b 解：过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则 cos AD c A = sin sin cos sin tan sin cos BD c A c A C DC C C C C = == sin cos (sin cos sin cos )sin cos sin sin sin c A C c C A A C c B b AC AD DC c A C C C +==+=+ == a b D A B C A B C D b a
不动点定理研究
前言 不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1]．在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论[2]．1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念[3]． 我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4]．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的压缩映像（俗称收缩映射）原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理[6]．这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、 许多着名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数()fx()fx把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中，则有0[0,1]x，使00()fxx.波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题。 作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder 证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder不动点定理I：定理2设E是Banach 空间，X为E中非空紧凸集，XXf:是连续自映射，则f在X中必有不动点.Sehauder 不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意Xx，xf是紧
泛函分析中不动点理论及其应用
泛函分析与微分方程有着密切的联系，泛函分析的算子半群理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论，不动点原理等在常微分方程中都有重要的应用。 首先，算子半群最简单的原型在线性常微分方程的初值问题，且由 H i l l e Yo s i d a -定理表明：当稠定闭算子A 满足定理条件时，是下列方程的解， 且解是唯一的。 设A 是一个n n ?实矩阵，方程组 () ()()00n dx t Ax t dt x x R ?=? ? ?=∈? 在空间中解存在唯一。设0t ≥，考察映射 ()()0:.T t x x t → 则(){}0T t t ≥是强连续算子半群。在常微分方程中把算子半群(){} 0T t t ≥通过矩阵写出来： ()0 !n n tA N t A T t e n ∞ ===∑. 且不动点在常微分方程中有很多应用。例如，应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理 微分方程解的存在性与唯一性定理 若常微分方程 ()0 0,,x dy F x y y y dx ==满足以下条件： （1）(),F x y 在整个平面上连续； （2）()()11,,F x y F x y K y y -≤-，其中K >0； 那么存在唯一的连续函数()y x j =满足 () (),d x F x y dx ?=且()00x y ?=。 证明：用()() 0,X C U x d =表示所有定义在()0,U x d 上取值于R 的连续函数全 体，其中d 满足1K d <。,f g X "?，用()( ) ()()0,,m a x xUx f g f x g x a r ? =-表示,f g 间 的距离，同样由泛函分析的知识知X 为完备度量空间。上述常微分方程等价于
不动点定理及其应用(高考)
摘要 本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式.其次，通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点，总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用. 关键词：Banach不动点定理，数列通项，有界性，单调性，收敛性. Abstract This article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimensional extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing the characteristics of tests emerged on math papers of all parts of our country recent years, including the problem of general term and boundedness of a sequence of number. At last, attractive fix point and rejection fix point in Fixpoint Theorem v/ere introduced v/hich can solve the problem about the monotonicity and astringency of sequence of number. Keywords:Banach fixed point theorem, Sequence, Boundedness, Monotonicity Convergence. 第1章绪论 (1) 1.1导论 (1) 1.1.1选题背景 (1)
正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明
正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法 ——王彦文青铜峡一中1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一 些简单的三角形度量问题． 2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和 方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问 题． 主要考查有关定理的应用、三角恒等变换 的能力、运算能力及转化的数学思想．解三角 形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或 证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度 以及角度等问题，且多以应用题的形式出现． 1．正弦定理 (1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等， 即．其中R是三角形外接圆的 半径． (2)正弦定理的其他形式： ①a＝2R sin A，b＝，c ＝； ②sin A＝a 2R，sin B＝， sin C＝； ③a∶b∶c＝______________________. 2．余弦定理 (1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即 a2＝，b2＝， c2＝. 若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理． (2)余弦定理的变形：cos A ＝，cos B＝，cos C＝. 若C为锐角，则cos C>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cos C<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角． (3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，类似地，sin2B＝____________；sin2C＝__________________.注意式中隐含条件A＋B＋C＝π. 3．解斜三角形的类型 (1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理．只有一解． (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有___________________．如在△ABC中，已知a， 时，只有一解． (4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．
数学正弦定理证明如何证明
数学正弦定理证明如何证明 正弦定理该怎么证明呢?关于它们的证明方法之怎样的呢?下面 就是给大家的正弦定理证明方法内容，希望大家喜欢。 用三角形外接圆 证明：任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D.连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.所以 c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 用直角三角形 证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinBCH=b·sinA∴a·sinB=b·sinA得到a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中，b/sinB=c/sinC∴a/sinA=b/sinB=c/sinC 在直角三角形中,在钝角三角形中(略)。 用三角形面积公式 证明：在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CD⊥AB垂足为点D，作BE⊥AC垂足为点E，则CD=a·sinB，BE=csinA,由三角形面积公式得：AB·CD=AC·BE
即c·a·sinB=b·csinA∴a/sinA=b/sinB同理可得 b/sinB=c/sinC ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC 用余弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2 COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab SINc^2=1-COSc^2 SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2 同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2 得证 正弦定理：三角形ABC中BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC 证明如下：在三角形的外接圆里证明会比较方便 例如，用BC边和经过B的直径BD，构成的直角三角形DBC可 以得到： 2RsinD=BC(R为三角形外接圆半径) 角A=角D 得到：2RsinA=BC 同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB 这样就得到正弦定理了 猜你感兴趣： 1.高中数学定理证明 2.承兑延期证明
Banach不动点理论及其应用
不动点定理及其应用综述 摘要本文主要研究Banach 空间的不动点问题。[1]介绍了压缩映射原理证明隐函数存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的应用；[2][3]介绍了应用压缩映射原理需要注意的问题；[4]介绍了不动点定理在证明Fredholm 积分方程和V olterra 积分方程解的存在唯一性以及在求解线性代数方程组中的应用；[5]讨论了不动点定理在区间套定理的证明中的应用。 一、压缩映射原理 压缩映射原理的几何意义表示：度量空间中的点x 和y 在经过映射后，它们在像空间中的距离缩短为不超过d(x,y)的α倍（1α<）。它的数学定义为： 定义1.1设X 是度量空间，T 是X 到X 的映射，若存在α，1α<，使得对所有 ,x y X ∈，有下式成立 (,)(,)d Tx Ty d x y α≤（1.1） 则称T 是压缩映射。 定理1.1（不动点定理）：设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有唯一的不动点，即方程Tx=x 有且只有唯一解。 证明：设0x 是X 种任意一点，构造点列{}n x ，使得 21021010,,,n n n x Tx x Tx T x x Tx T x -===== （1.2） 则{}n x 为柯西点列。实际上， 111(,)(,)(,)m m m m m m d x x d Tx Tx d x x α+--=≤ 21212(,)(,)m m m m d Tx Tx d x x αα----=≤ 10(,)m d x x α≤≤ （1.3） 根据三点不等式，当n m >时， 1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤+++ 1101()(,)m m n d x x ααα+-≤++ 011(,)1n m m d x x ααα --=- （1.4） 由于1α<，故11n m α--<，得到 01(,)(,)()1m m n d x x d x x n m αα ≤>-（1.5） 所以当,m n →∞→∞时，(,)0m n d x x →，即{}n x 为柯西列。由于X 完备， x X ?∈，
(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法
(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为D 则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21= ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21== 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C 由向量的加法原则可得 AB CB AC =+ a b D A B C A B C D b a D C B A
(经典)高中数学正弦定理的五种最全证明方法
(经典)高中数学正弦定理的五种最全证明方法
高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为 D.则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21=. ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得 AB CB AC =+, a b D A B C B C D b a D C B A
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用 摘要不动点定理是研究方程解的存在性与唯一性理论的重要工具之一.本文给出了线性泛函分析中不动点定理的几个应用,并通过实例进行了说明.同时,介绍了非线性泛函分析中的不动点定理——Brouwer不动点定理和Leray-Schauder不动点定理. 关键词不动点;不动点定理;Banach空间 Fixed Point Theorems and Its Applications Abstract The fixed point theorem is one of important tools in studying the existence and uniqueness of solution to functional equation .In this paper,the fixed theorem in linear functional analysis and its applications are introduced and the corresponding examples are given.Meanwhile,the Brouwer and Leray-Schauder fixed point theorems are also involved. Key Words Fixed point , Fixed point theorem, Banach Space
不动点定理及其应用 0 引言 在线性泛函中,不动点定理是研究方程解的存在性与解的唯一性理论 [1-3] .而在非线性泛函中是 研究方程解的存在性与解的个数问题[4],它是许多存在唯一性定理（例如微分方程,积分方程,代数方程等）的证明中的一个有力工具. 下面给出不动点的定义. 定义 0.1设映射X X T →:,若X x ∈满足x Tx =,则称x 是T 的不动点.即在函数取值的过程中,有一点X x ∈使得x Tx =. 对此定义,有以下理解. 1）代数意义：若方程x Tx =有实数根0x ,则x Tx =有不动点0x . 2）几何意义：若函数()x f y =与x y =有交点()00,y x 则0x 就是()x f y =的不动点. 在微分方程、积分方程、代数方程等各类方程中,讨论解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性始终是一个极其重要的内容. 对于许多方程的求解问题，往往转化为求映射的不动点问题,同时简化了运算. 本文将对不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中的应用加以探索归纳. 1 Banach 不动点定理及其应用 1.1相关概念 首先介绍本文用的一些概念. 定义1.1.1[3] 设X 为距离空间,{}n x 是X 中的点列,若对任给的0>ε,存在 0>N ,使得当N n m >,时,()ερ 正弦定理的几种证明方法 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定 义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ， 同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即sin sin a b A B =sin c C = . 1’用知识的最近生长点来证明： | 实际应用问题中，我们常遇到问题： 已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即： 在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝c ， 求边AC 的长b 解：过C 作CD?AB 交AB 于D ，则 cos AD c A = sin sin cos sin tan sin cos BD c A c A C DC C C C C = == sin cos (sin cos sin cos )sin cos sin sin sin c A C c C A A C c B b AC AD DC c A C C C +==+=+ == ` a b D A （ C A B ~ D b a Brouwer不动点定理的几种证明 学院名称： 专业名称： 学生姓名： 指导教师： 二○一一年五月 摘要 Brouwer不动点定理是很著名的定理.其中，关于它的证明很多有：代数拓扑的证明、组合拓扑的证明、微分拓扑的证明等.都涉及拓扑学上许多复杂的概念和结果. 关于该定理，也可以用图论的方法证明，用离散离散理论解决连续系统中问题.本文试图在总结其他证明方法的基础上，对图论的方法证明Brouwer不动点定理进行详细的介绍来体现这一思想. 关键词：Brouwer；不动点. ABSTRACT Brouwer fixed point theorem is very famous theorem . Among them , about its proof many : algebra topologies, proof of the proof, differential combined topology etc. The proof of topological Involves many complex on the concept of limited and results. About this theorem, also can use graph method to prove, in a discrete discrete theory in solving continuous system. This article tries to summarize the other proof method based on the method of graph theory prove Brouwer fixed point theorem for detailed introduction to reflect this thought. Keywords: Brouwer; Fixed point. 正弦定理的几种证明方法 欧阳光明（2021.03.07） 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角 三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ， 同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有 =∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ， 同 理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中，sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即sin sin a b A B = sin c C = . 1’用知识的最近生长点来证明： 实际应用问题中，我们常遇到问题： 已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ， 需要定位点C ，即： 在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝ a b D A B C A B C D b a c ， 求边AC 的长b 解：过C 作CD^AB 交AB 于D ，则 推论： sin sin b c B C = 同理可证： sin sin sin a b c A B C == 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD ⊥BC,垂足为D.则Rt △ADB 中,AB AD B = sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?.同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21=. ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21==.∴absinc=bcsinA=acsinB, 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==.即C c B b A a sin sin sin = =. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与CB 的夹角为90°-C . 由向量的加法原则可得 AB CB AC =+, 为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到AB j CB AC j ?=+?)( 由分配律可得AB j CB j AC ?=?+. B ∴|j |AC Co s90°+|j |CB Co s(90°-C )=|j |AB Co s(90°-A ). j ∴asinC=csinA.∴ C c A a sin sin = . A 另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j D C B A C正弦定理的几种证明方法
Brouwer不动点定理的几种证明
2021年正弦定理的几种证明方法