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桂林电子科技大学物理正考补考试题(大题包过)

1．已知一质点的运动方程为22(2)r ti t j

=+-（SI 制）。(1) 求出1t s =，和2t s =时质点的位矢；(2) 求出1s 末和2s 末的速度； (3) 求出

加速度。解：（1）

1t s

=时

12r i j =+，2t s

=时

242r i j =-（2）质点的运动的速度

22dr v i t j dt

==-：1t s =时 122v i j =-，

2t s =时 224v i j =-（3）质点运动的加速度

2dv a j dt

==-

2.一质点沿y 轴作直线运动，其速度大小

283y v t =+，单位为SI 制。质点的初始位置在

y 轴正方向10m 处，试求：（1）2t s =时,质点

的加速度；（2）质点的运动方程。解：根据题意可知，0t

s =时，108ms v -=，

010m y =

（1）

质点在

2t s

=时的加速度

a 为

2612ms y y dv a t dt

（2）

质点的运动方程y 为y dy v dt =，两边积分

(83

)

dy t dt =+?

?，因此

108y t t =++

3.某质点在xoy 平面上作加速运动，加速度

232(m/s )a i j =+。在零时刻的速度为零，

位置矢量0

5m r i =。试求：

（1） t 时刻的速度和位矢；（2）质点在平面上的轨迹方程。

解：（1）t 时刻的速度v 为

(32)dv adt i j dt

==+，积分

得 0

(32)v

dv i j dt =+?

因此 1

(32)ms v ti tj -=+； t 时刻的位矢r 为(32)dr vdt ti tj dt ==+

积分得

(32)r

r dr ti tj dt =+?

?，

因此

2222

013(32)(5)22

r r t i t j t i t j =++=++

（2）由r 的表达式可得质点的运动方程

22352x t y t ?

=+??

?=?

消去两式中的t ，便得轨迹方程 21033

y x =-

4.一汽艇以速率0v 沿直线行驶。发动机关闭后，

汽艇因受到阻力而具有与速度v 成正比且方向相反的加速度a kv =-，其中k 为常数。求发动机

关闭后，（1）在时刻t 汽艇的速度；（2）汽艇能滑行的距离。

解：本题注意根据已知条件在计算过程中进行适当的变量变换。（1）因为dv a

kv dt =

=-，可得kdt v

dv -=，所以??-=t

v kdt v dv

0，积分得 kt v v -=0

ln ，即：kt e v v

-=0

（2）因为 dv dv ds dv

v kv dt ds dt ds

===-，所以

v dv k ds =-?

?，0v ks =

发动机关闭后汽艇能滑行的距离为0

v s k

。

5.一物体沿X 轴作直线运动，其加速度

2a kv =-，k 是常数。在0t =时，0v v =，0x =。（1）求速率随坐标变化的规律；（2）求坐

标和速率随时间变化的规律。解：本题注意变量变换。（1）因为2dv dv dx dv

a v kv dt dx dt dx

===-，所以

x v dv

k dx v

=-?

得0

ln v kx v =-，即 0kx

v v e -=

（2）因为2dv a kv dt ==-，所以02

v t

v dv

kdt v =-??

可得 00/(1)v v

v kt =+又因为dx

v dt

，所以

v dx vdt dt

v kt ==+?

，可

得

ln(1)x v kt k

+ 6.已知质点作半径为0.10m R

=的圆周运动，其

角位置与时间的关系为3

24t θ=+(其中θ的单位为rad ，t 的单位为s )。试求：（1）当2t s =时，角速度ω和角加速度；（2）当2t s =时，

切向加速度t a 和法向加速度n a 。

解：（1）质点的角速度及角加速度为

212d t dt θ

ω=

=，24d t dt

ωα==，当2t s =时， 211

12248rad s rad s ω--=?=，

2224248rad s rad s α--=?=

（2）质点的切向加速度和法向加速度为

24t a R Rt α==，24144n a R Rt ω==

当

2t s

=时，

22240.12 4.8t a R m s m s α--==??=

4221440.12230.4n a m s m s --=??=

7．一球以30m.s -1

的速度水平抛出，试求5s 钟后

加速度的切向分量和法向分量。

解：由题意可知，小球作平抛运动，它的运动方程为202

1 gt y t v x =

= 将上式对时间求导，可得速度在坐标轴上的分量为

gt dt d dt dy v v t v dt

dt dx v y x ======

1()(2

因而小球在

t 时刻速度的大小为

022)(gt v v v v y x +=+=故小球在t 时刻

切向加速度的大小为

2t dv a dt ===

由因为小球作加速度a =g 的抛体运动，所以在任意

时刻，它的切向加速度与法向加速度满足：τa a g n

+=且互相垂直。由三角形的关系，可求

得法向加速度为：

022)

(gt v gv a g a n +=

τ代入数据，得

8.36t a m S -=

=?，

212.5)58.9(30308.9-?=?+?=

S m a n

8．如图所示，一卷扬机的鼓轮自静止开始作匀角加速度转动，水平绞索上的A 点经3s 后到达鼓轮边缘B 点处。已知45.0=m ，鼓轮的半径为5.0=R m 。求A 到达最低点C 时的速度与加速度。

解：

A 点的加速度也为卷扬机边缘的切向加速度

t a ，由222

1t a S t =以及AB S =可得：

10.022

S a t m.s -2 设到达最低点的速度为v ，于是：()636.022=+='=R S a S a v t t π

m.s -1

方向为沿点

的切向方向向左。

808.02

==R

v a n m.s

-2

841

.02

2=+=n t a a a m.s

-2

，

7582'== t

a a arctg

θ 9．一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2m 的圆形轨道运动。此质点的角速度与运动的时间的平方成正比，即2

Kt =ω（SI 制）。式中K 为常数。已知质点在第2秒末的线速度为32m/s ，试求0.50s 时质点的线速度和加速度。

解：由已知32

2242232-=?===s Rt v t K ω，所以

24t =ω，24Rt R v ==ω 当

s t 50.0=，

242==Rt v m/s ，

88===Rt dt dv a t m/s 2， 22

2===R v a n m/s 2

.8282222=+=+=n t a a a

m/s 2

，

6.1325

.82tan tan 11

===--a a n θ 10．一无风的雨天，以20m.s -1

匀速前进的汽车中一乘客看见窗外雨滴和垂线成

75角下降。求雨滴

下落的速度。（设雨滴看作匀速下降）

解：十分简单的一个相对运动问题。分清合速度和分速度即可。 21v v v

+= 36.51

2==

tg75v v m.s

-1

11．当风以1

30m s -?的速率由西吹向正东方向

时，相对于地面，向东、向西和向北传播的声音的速率各是多大？（已知声音在空气中传播的速率为

1344m s -?。）解：已知风的速率为 1130m s v -=?，声音在空气中的速率为

12344m s v -=?，则向东传播的声音的速率为：

12(30344)m s 374m s E v v v --=+=+?=?向西传播的声音的速率为：

21(34430)m s 314m s W v v v --=-=-?=?向北传播的声音的速率

为

：

s 343m s N v --=?=? 第二章牛顿定理

1. 质量10m kg =的物体沿X 轴无摩擦地运动，

设0t

=时物体位于原点，速度为零。求物体在力34()F x N =+的作用下运动到3m 处

的加速度及速度的大小。

解：由于物体作直线运动，所以其加速度和速度均可当标量处理。由牛顿第二定律得

34F x a m m

+==，将3m ,10x m kg ==代入上式，

得 21.5(m )a s -=

因

dv dv dx dv a v dt dx dt dx

，

所

以

由

vdv adx =，对上式两边取积分并代入初始条件，

得0003410v x x x

vdv adx dx +==???

，解之得 221322

x x v +=，将3m x =代入上式，得13)2.3(m )v s -= 2.在光滑水平面上固定了一个半径为R 的圆环，一个质量为m 的物体A 以初速度为0v 靠圆环内壁作圆周运动，物体与环壁的摩擦系数为μ，试

求物体任一时刻的速率v ？

解：。根据题意，列出下列方程：

2(1)(2)(3)dv

m f dt v m

N R

f N μ?=-??

?=??=??? 将式（2）和（3）代入式（1）得2

v dv

R dt μ-=，将上式分离变量得2dv dt v R μ=-

将上式变成积分形式0

20v

t v dv dt v R

=-?

?，上式积分得

001v v v t

μ=

+ 3.一物体

放置在水平面上，已知物体质量2m kg

=，A 与水平面之间的滑动摩擦系数

0.57μ=。要使物体A 沿水平面匀速运动，试

求这时拉力的最小值及拉力的方向。

解：如图所示。选取直角坐标系xoy ，坐标原点取在

A 的质心上，ox 轴水平向右，oy 轴竖直向上。

根据题意，由牛顿方程得：

cos 0(1)sin 0(2)

(3)

F f F N mg f N θθμ-=??

+-=??=?

0dF

d θ

=，由式（1）

、（2）及（3）可得：cos sin mg F μθμθ

+，将上式代入式（4），得：cos sin 0mg d d μθμθθ

?? ?

+??=，由高等数学知识可得：

当00.5730arctg θ==时，拉力F 有最小值，拉

力大小为：9.8cos sin mg

F N μθμθ

拉力方向为:F 与水平面成0

30的夹角。

4. 用质量为m 的绳沿着光滑水平面拉动质量为M

的物体，如图所示。在绳的一端所施的水平力为F 。试求：（1）物体与绳的加速度；（2）绳施于物体M 的力的大小；（3）绳中各处张力的大小。假定绳的质量均匀分布，下垂度可忽略不计。解：系统各部分加速度式相同的。（1）对绳物系统由()F M m a =+ 得到：F a M m =

+（2）设绳施于物体M 的力为'F ，则有'F Ma =，所以，'F M F M F M m M m

==++

（3）设绳中距绳物联接处x 的地方张力为T ，则有()()m m F T M x a M x l l M m =+=++

5. 一质量为m 的物体由静止开始下落，下落过程

所受的阻力与其运动速率成正比，即f kv =，k 为常数，假设下落的高度足够长，试求此物体的极限速率。

解：根据题意，由牛顿方程可得：dv mg f m dt -=式中，g 为重力加速度。将f kv =代入上式得：

dv mg kv m dt -=，将上式微分方程分离变量得

1dv dt

k g v m =-，因为取零时刻，物体静止为初始条件，即000,0t v ==，则上述微分方程积分形式

为

t dv

dt k

g v m

=-?

?上式积分得

(1)k t m

m v g e k

-=-，由于其高度足够长，即

t →∞，物体速率的极限值为

lim(1)k t m

x m mg v g e k k

-→∞=-=

6.长为R 的细绳一端固定于点O ，另一端系一质量为m 的小物体作竖直圆周轨道运动。试求小物体位于圆周最高点A 和最低点B 处时的张力。解：小物体在任意点C 受到两个力，重力和绳的拉力。受力分解，列方程：

v m

ma mg T n 2

cos ==-θ○1和

t ma mg =θsin ○

2，由○1可得： ???

? ??+=+=θθcos cos 22

g R v m mg R v m

T ，在A 点时，π

θ=，?

??-=g R v m T A 2；在B 点时0=θ，???

??+=g R v m T B 2。

7. 质量为m '的长平板A 以速度v '在光滑的平面

上作直线运动，现将质量为m 的木块B 轻轻平稳的放在长平板上，板与木块之间的动摩擦因数为μ，求木块在长平板上滑行多远才能与长平板取得共同的速度？

解：分别对A、B受力分析，列方程有：

=μ，

由运动学规律，可知：as

-，解得：

()m

8. 质量分别为

m和

m（

m<）的两个小

孩，分别拉住跨在定滑轮上的绳子的两边往上爬。

开始时两小孩至定滑轮的距离都是h。试证明：质

量为

m的小孩在t秒钟爬到滑轮处时，质量为

的小孩离滑轮的距离为)

1gt

-。

解：两小孩各受到重力和绳子的拉力，

按牛顿第二定律有

-，

两式相减得g

=，2

m小孩在t

秒内爬上的距离

)

(

t a

而

m小孩在t秒内爬上的距离2

h=，所以

m小孩在t秒时距滑轮的距离

)

(

)

9. 在一只半径为R的半球形碗内，有一质量为m

的小球，当球以角速度ω在水平面内沿碗内壁作

匀速圆周运动时,它离碗底有多高？

解：

cos

sin

F mg

F m r

θω

sin

R h

r R

解得：

h R

3-1质量为m的物体，由水平面上点O以初速为

v抛出，

v与水平面成仰角α。若不计空气阻力，

求：（1）物体从发射点O到最高点的过程中，重

力的冲量；（2）物体从发射点到落回至同一水平

面的过程中，重力的冲量。

解1：物体从出发到达最高点所需的时间为

sin

?，则物体落回地面的时间为

sin

?于是，在相应的过程中重力的

冲量分别为

Iα

sin

=??，

Iα

sin

=??

3-2如图所示，在水平地面上，有一横截面

S的直角弯管，管中有流速为1s

0.3-

的水通过，求弯管所受力的大小和方向。

解：在

t?时

间内，

从管

一端

流入

（或

流出）

水的

质量为t

?ρ,弯曲部分AB的水的动量的增

量则为

()()

?ρ

依据动量定理p

=，得到管壁对这部分水的平均

冲力()A

F-

=Sv

ρ从而可得水流对管壁

作用力的大小为：

5.2

='Sv

Fρ

作用力的方向则沿直角平分线指向弯管外侧。

3-3 A、B两船在平静的湖面上平行逆向航行，

当两船擦肩相遇时，两船各自向对方平稳地传递

50的重物，结果是A船停了下来，而B船以

4.3-

?的速度继续向前驶去。A、B两船原有

质量分别为kg

5.03

?和kg

0.13

?，求在传递

重物前两船的速度。(忽略水对船的阻力)

解：设A、B两船原有的速度分别以v A、v B表示，传

递重物后船的速度分别以A、B表示，被搬运

重物的质量以m表示。分别对上述系统I、II应用

动量守恒定律，则有

()

-（1），

()

-（2）由题意知A= 0，

B= 3.4 可解得

()()1

.0-

v，

()

()()1

6.3-

3-4 一链条，总长为l，放在光滑的桌面上，其中

一端下垂，长度为a，如图所示。假定开始时链

条静止。求链条刚刚离开桌边时的速度。

解：选取桌边的坐标原点，向下为x轴正向，向下

dx元功为

gxdx

xgdx

dA=

其中x 为下垂端的坐标。链条刚离开桌面时

??-===l a

a a l g l m

xdx g l m dA A )(222，因为

1mv E E A ka

kb =-=所以，

)(2

2a a l l g v -=

，所以)(22a l l

g v -= 3-5 一物体在介质中按规律3ct x =作直线运

动，c 为一常量。设介质对物体的阻力正比于速度的平方。试求物体由00=x 运动到l x =时，阻力所作的功。（已知阻力系数为k ）

解：由运动学方程3ct x =，可得物体的速度

23d d ct t

v ==

,按题意及上述关系，物体所受阻力的大小为3/43/242299x kc t kc kv F ===,则阻力的功为:

/73/20

3/43/20

27d 9d 180cos d l kc x x kc x F W l

=-==?=??? x F 3-6一人从10.00m 深的井中提水，起始桶中装有10.00kg 的水，由于水桶漏水，每升高1.00m 要漏去0.20kg 的水。求水桶被匀速地从井中提到井口，人所作的功。

解：水桶在匀速上提过程中，a = 0，拉力与水桶重力平衡，有0=+P F

在图示所取坐标下，水桶重力随位置的变化关系为agy mg P -=

其中a = 0.2 kg/m ，人对水桶的拉力的功为

()J 882d d m 100

m 100

=-=?=?

y agy mg W y F

3-7如图所示，有一自动卸货矿车，满载时的质量为m '，从与水平成倾角 0.30=α斜面上的点A 由静止下滑。设斜面对车的阻力为车重的25.0倍，矿车下滑距离l 时，矿车与缓冲弹簧一道沿斜面运动。当矿车使弹簧产生最大压缩形变时，矿车自动卸货，然后矿车借助弹簧的弹性力作用，使之返回原位置A 再装货。试问要完成这一过程，空载时与满载时车的质量之比应为多大？

解：取沿斜面向上为x 轴正方向。弹簧被压缩到最大形变时弹簧上端为坐标原点O 。矿车在下滑和上行的全过程中，按题意，摩擦力所作的功为

()()x l g m mg W +'+=25.025.0f （1）式中m 和m 分别为矿车满载和空载时的质量，x 为弹簧最大被压缩量。根据功能原理，在矿车运动的全过程中，摩擦力所作的功应等于系统机械能增量的负值，故有()

k p f E E E W ?+?-=?-= 由于矿车返回原位时速度为零，故0k =?E ；而

()()αsin p x l g m m E +'-=?，故有

()()αsin f x l g m m W +'--= （2）由式

（1）、（2）可解得:

1='m m 3-8 用铁锤把钉子敲入墙面木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。若第一次敲击，能把钉子钉入木板m 1000.12-?，第二次敲击时，保持第一次敲击钉子的速度，那么第二次能把钉子钉入多深？

解：因阻力与深度成正比，则有F = kx （k 为阻力

系数）。现令x 0 －2

m ，第二次钉入的深度为x ?，由于钉子两次所作功相等，可得

?+=x x x x x kx x kx 00

0d d 0

,m 1041.02-?=?x

3-9一质量为m 的地球卫星，沿半径为E 3R 的圆轨

道运动，E R 为地球的半径，已知地球的质量为E m 。

求：（1）卫星的动能；（2）卫星的引力势能；（3）卫星的机械能。解：（1）卫星与地球之间的万有引力提供卫星作圆周运动的向心力，由牛顿定律可得

()E 22

E E 33R v m R m m G =,则:E E 2

621R m m G mv E == （2）取卫星与地球相距无限远（r ）时的势能

为零，则处在轨道上的卫星所具有的势能为

E p 3R m

m G

E -=（3）卫星的机械能为E

E E E E E p k 636R m

m G R m m G R m m G

E E E -=-=+= 3-10 如图所示，把质量kg 0.20=m 的小球放在位置A 时，弹簧被压缩m 105.72-?=?l ，然后在弹

簧的弹性力的作用下，小球从位置A 由静止被释放，小球沿轨道ABCD 运动。小球与轨道间的摩擦不计。已知弧BCD 是半径m 15.0=r 的半圆弧，AB 相距为r 2。求弹簧劲度系数的最小值。解：小球要刚好通过最高点C 时，轨道对小球支持

力F N = 0，因此，有r

v m mg 2

C =(1) 以小球、弹簧和地球为系统，取小球开始时所在位置A 为重力势能的零点，由系统的机械能守恒定律，有

()()2C

1321mv r mg l k +=?（2）由式（1）、（2）可得 ()

m N 3667-?=?=l mgr

k 3-11如图所示，质量为m 、速度为v 的钢球，射

向质量为m '的靶，靶中心有一小孔，内有劲度系数为k 的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面上作无摩擦滑动，求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离。

解：以小球与靶组成系统，设弹簧的最大压缩量为x 0，小球与靶共同运动的速率为v 1。由动量守恒定律，有()1v m m mv '+= （1）

又由机械能守恒定律，有

()202122

12121kx v m m mv ++'= （2）

由式（1）、（2）可得()

v m m k m m x '+'

3-12如图所示，

一个质量为m

的小球，从内壁为半球形的

容器边缘点A

滑下。设容器质

量为m '，半径为R ，内壁光滑，并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上，开始时小球和容器都处于静止状态。当小球沿内壁滑到容器底部的点B

时，受到向上的支持力为多大？解：根据水平方向

动量守恒定律以及小球在下滑过程中机械能守恒

定律可分别得 0m m ='-'v m mv （1）

mgR v m mv ='+'2m 2m 2

121 （2）式中v m 、v 分别表示小球、容器相对桌面的速度。由式（1）、（2）可得小球到达容器底部时小球、容器的速度大小分别为m

m gR

m v m +''=

2，

m gR

m m m v m +'''=

2 在容器底部时，小球相对容器的运动速度为

()gR m m m v v v v v 2m m m m m ??

??'+'=+=--=''

' （3），在容器底部，小球所受惯性力为零，

其法向运动方程为R v m mg F 2m

N '=- （4），由式（3）、（4）可得小球此时所受到的支持力为

??? ?

?'+=m m mg F 23N

第五章静电场

1、两个点电荷所带电荷之和为Q ，问他们各带电量为多少时，相互间的作用力最大？

解：2

0)(41

r q q Q F ?-?=πε 极限条件0=dq dF 得：2Q q =且0212

022

<-=r

dq F d πε，故各带2Q 时，相互作用最大

2、一半径为R 的半圆细环上均匀地分布电荷Q ，求环心处的电场强度。

解：取dl 电荷元，其所带电量为：

θπθππd Q Rd R Q dl R Q dq =?==

θεππεd R Q

R dq dE 2

02002^441=?= x 轴上x E 的对称为零，

∴??-==α

θsin dE E E

202020

224sin R Q d R Q επθεπθθπ-=?-=?

3、一均匀带电线段，带电线密度为λ，长度为L ，

求其延长线上与端点相距d 处的场强和电势。解：

)11(4)(40020L d d x d L dx E L +-=-+=?

πελπελd d L L d d x d L dx V L +=+-=-+=?ln

4)1ln 1(ln 4)(40000πελπελπελ4、设均匀电场的电场强度E 与半径R 的半球面对

称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。

解：2R E dS E S

π?=?=Φ?

5、一个内外半径分别1R 为2R 和的均匀带电球壳，

总电荷为1Q ，球壳外同心罩一个半径为3R 的均匀带电球面，球面带电荷为2Q ，求各区电场分布。解：利用高斯定理

?∑=?0εq

d S E ，有

∑=?0

24επq r E 1R r <，

∑=0

q ，

01=E 21R r R <<，2

313

203

1312)(4)(r R R R r Q E --=

πε 3

2R r R <<，2

013

Q E πε=

，3

R r >，

02144r Q Q E πε+=

电场强度的方向均沿径矢方向 6、设在半径为R 的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为

0==ρρkr R

r R

r >≤≤0

k 为一常量。试用高斯定理求电场强度E 与r 的

函数关系。（你能用电场强度叠加原理求解这个问题吗？）解：如图所示，作半径为r 的同心球形高斯面，据高斯定理有：0

εq d =??

s E R r ≤时，

2244kr dr r kr dr r q r

r o

πππρ=?=?=??

∴40

24kr r E εππ=?，∴2

4r k E

ε=

方向沿球半径方向，R r ≥时，424kR dr r q

ππρ?=?=，

∴4

4kR r E εππ=?，2

044r

kR E ε= 2041r dq

dE ?=πε 而r d r dq ''?=24πρ∴

220004441εππεkr r d r r r k dE E r r =''?'?==??，

R r ≥ 时，

2042

04441

r kR r d r r r k E R

εππε=''?'?=?

7、两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为1R 和2

R )(12R R >，单位长度上的

电荷为λ。求离轴线为r 处的电场强度：（1）

1R r <；

（2）21R r R <<；（3）2R r >。解：如图，用高斯定理，作同轴柱形高斯面（柱面长度为L ）有：（1）1R r <时，

==?επq

rL E ∴01=E （2）21R r R <<时，

002ελεπL

rL E ==?∴

E 022πελ=

（3）

R r >时，

020

0=-==?ελλεπL

L q

rL E ∴03=E

在带电柱面附近，E 不连续

8、两个同心球面的半径分别为1R 和2R ，各自带有电荷1Q 和2Q 。求（1）各区域电势的分布；（2）两球面上的电势差为多少。

解：由高斯定理可求得电场分布：01=E

1R r < ；r e r Q E 20124πε= 21R r R << r e r Q Q E 202134πε+= 2R r > 由电势?∞

?=r

dl E V 可求得各区域的电势分

布，当R r

≤时，???∞

?+?+?=2

3211R R R R r

dl E dl E dl E V

9、点电荷

1q 、2q 、3q 、4

q 的电荷量均为

9104-?C ，放置在一个四方形的四个顶点上，各顶点距正方形中心O 点的距离均为5cm ，（1）计算O 点处的场强和电势；（2）将一试探电荷910-=Q C 从无穷远移到O 点，电场力作功多少？（3）问（2）中所述过程中0q 的电势能的改

变为多少？

解：（1）位于对角的两相同点电荷在O 点处的场强相互抵消，故O 点的场强为零。

四点电荷在O 点电势相同，故O 点电势为

q V 00044

πεπε=

=05

.01085.814.310412

????=--31088.2?=V （2）无穷远处电势为零，

001088.2)1088.20(10)(--∞?-=?-=-=V V q A J （3）在移动0q 过程中要克服电场力作功，它使0

q 的电势能增加了6

1088.2-?J 10、两个同心球面，半径分别为10cm 和30cm ，小

球面均匀带有正电荷10-8

C ，大球面带有正电荷1.5

×10-8

C 。求：离球心分别为20cm 、 50cm 处的电势？解：距球心20=r cm 处是在两球面之间。该处电

势为900)(41442

1020201=+=+=

R q r q R q r q V πεπεπεV 50=r

cm 处是在大球面之外。该处电势为

4504021=+=r

q q V πεV 距球心20=r cm 处是在两球面之间。该处电势为

900)(

41442

0201=+=

R q r q R q r

q V πεπεπεV 50=r

cm 处是在大球面之外。该处电势为

4504021=+=r

q q V πεV

第六章静电中

1、在一平行板电容器的两板上带有等值异号的电荷，两板间的距离为5.0mm ，充以3=r ε的介质，

介质中的电场强度为m V /100.16

?求：（1）介质中的电位移矢量；（2）平板上的自由电荷密度；

（3）介质中的极化强度；（4）介质表面上的极化电荷面密度；

解：电容器中充满的是各向同性介质，所以： 1)6

120100.131085.8????==-E D r εε C.

2、一片二氧化钛晶片，其面积为2

0.1cm ，厚度为0.10mm ，把平行平板电容器的两极板紧贴在晶片的两侧。求（1）电容器的电容（2）电容器两极加上12V 电压时，极板上的电荷为多少，此时自由电荷和极化电荷的面密度各为多少？（3）求电容器内的电场强度。解：

3、有一个平板电容器，充电后极板上电荷面密度为2

0105.4--??=m

C σ，现将两极板与电源断

开，然后再把相对电容率0.2=r ε的电介质插入两

极板之间。此时电介质中的D ，

E 和P

各为多少？解：6

000

105.2?==

r r

E E εελε V.m -1

50105.4-?==E D r εε C.m -2

50103.2-?=-=E D P ε C.m -2

4、一平行板空气电容器，极板面极为S ，极板间距为d ，充电至带电Q 后与电源断开，然后用外力缓缓地把两极间距拉开到2d ，求此电容器能量的改变。解：拉开两极板，需要克服静电场力，即需外力做功，电容器的能量的增加由外力做功产生。

5、两个同轴的圆柱，长度都是L,半径分别为R 1和R 2，这两个圆柱带有等值异号电荷Q ，两圆柱之间充满电容率为ε的电介质。求

（1）电介质中的总电场能是多少？

（2）从电介质中的总电场能求圆柱形电容器的电容。解：（1）电场能量公式：?=V

e dV

w W

，而

22)

2(21

21ε

πεε??==

r l Q E w e ∴12

ln 42)2(2121R R l Q rdr r l Q W R R πεπεπε=?=?（2）电容器储能公式：C

Q W 22=

，∴

ln 22R R l W

Q C πε=

7-1、如图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I ，它们在O 点的磁感应强度各为多少？解（a ） R

I B 800

μ= 方向垂直纸面向外

（b ） R

I R I

B πμμ22000-

方向垂直纸面向里

（c ） R

I R I B 42000μπμ+= 方向垂直纸面向外 7-4、如图所示，一宽为b 的薄金属板，其电流为I 。试求在薄板的平面上距板的一边为r 的点P 的磁感应强度。解：x

dI dB πμ20=

r b I dx bx I dB B r

b r

+===?

?+ln

2200πμπμ 7-5、如图所示，矩形线圈与无限长直导线在同一平面内，无限长直导线中通有电流为I 求：通过矩形线圈的磁通量。解： r

I B πμ20=

Bhdr dS B d =?=

b r Ih dr r Ih b a ln

2200πμπμ==Φ?

7-6、如图所示，一边长为15.0=l

m 的立方体如

图放置，有一均匀磁场k j i B 5.136++=T 通过

立方体所在区域，计算：（1）通过立方体上阴影面的磁通量；（2）通过立方体六个面的总磁通量。解：（1）通过如图所示的立方体上阴影面积的磁通

135.0)15.0()5.136(2=?++=?=Φi k j i S B （2）立方体的六个面构成闭合曲面，通过立方体的总磁通量必为零，即

0d =?=Φ??s

s B

7-8、如图，一同轴电缆内芯半径1R ，外部圆筒结构内半径2R 、外半径3R ，内芯和外筒中的电流均为I ，但电流流向相反，导体的磁性可不考虑，求以下各处磁感强度（1）1R r < （2）21R r R << （3）3R r > 解

：

（

）

1R r <

12r R I

r B ππμπ=?,2

012R Ir B πμ=

（2）21R r R << I r B 022μπ=?,r

I B πμ202

（3）3R r >

0)(203=-=?I I r B μπ,03=B

7-9、如图所示的空心柱形导体半径分别为1R 和

2R ，导体内载有电流为I ，设电流I 均匀分布在导体的截面上，求导体内部（21R r R <<）各

点的磁感应强度。

解：∑?'=?I d 0μl B ,)

()(2122212R R R r I I --=', r R r R R I B 212212

20)

(2-?-=πμ

7-12、一无限长直导线，通有电流I 1=10mA ，矩形线圈中通有电流I 2=10mA ，如图放置，若d=2㎝，b=8㎝，?=10㎝，求矩形线圈所受的合力。 (0μ=4710-?πT.m..A 1

左： F= BI 2 =0

μd

I π21 I 2 =110

10-?N 右： F=

)

(21

0b d I +πμ I 2

=21110-?N

合力 F= 0.8

1010-?N

7-13、通电直导线旁放一通电导体，两者相互垂直（如图所示）。求此导体棒所受安培力的大小和方向。

===?Idl l I F BIdl dF l I B b

πμπμ2,,20000a

b I I ln 200πμ，方向向下。

8—1、如题图所示，通过回路的磁通量与线圈平面垂直，且指向纸面向外，磁通量依如下关系式变化，

1762

++=t t φ，式中φ的单位为毫韦伯，t 的单位

为秒。问：(1)当2=t 秒时，在此回路中感应电动

势的值等于多少?(2)R 上电流的方向如何？

31)712(-=+-=Φ

=t dt

d ε mV 答：(1)31毫伏；(2)由右向左

8—2、如图所示，一无限长载流导线AB ，电流为I

导体细棒CD 与AB 共面，并互相垂直，CD

长为l ,C 距AB 为a,CD 以匀速度v 沿

B →A 方向运动，求CD 中?=i

8—3、如图所示，导线AB 在金属框上以速度v 向右滑动。已知导线AB 的长为cm 50，s m v /0.4=，Ω=2.0R ，磁感应强度T B 50.0=，方向垂直回路平面。试求（1）AB 运动时所产生的动生电动势；（2）电阻R 上所消耗的功率；（3）磁场作用在AB 上的力。（6分）解：（1） AB 上的动生电动势；V Blv 0.1==ε

（2）电阻R 所消耗的功率； W R

P 0.52

==ε

（3）磁场作用在AB 上的力。

N R

B B I l

F 3.1===ε 8—4、AB 和BC 两段导线，其长均为cm 10、在B 处相接成030角。若使导线在均匀磁场中以速度s /m .v 51=运动，方向如题图所示．磁场方向垂直于纸面向内，磁感应强度T .B 21052-?=，问C A 、两端之间的电势差为多少，那一端电势高? 解：?

??=b

dl B v )(ε，BC AB AC U U U +=。

V .31076-?，A 端电势高 8—5、如图所示，一长直导线通有电流I=0.5A,在与其相距d=5.0cm 处放有一矩形线圈，共1000匝。线圈以速度u=3.0m/s 沿垂直于长导线的方向向右运动时，线圈中的动生电动势是多少？（设线圈长

L=4.0cm,宽b=2.0cm ）

解：根据动生电动势公式可知：0==DC AB εε lu NB AD 1=ε=lu d

I N

πμ20

lu NB BC 2=ε=lu b d I

)

(20+πμ

AD ε的方向是顺时针的，BC ε的方向是逆时针的。

因而线圈电动势为：

-=BC AD εεε)1

1(20b

d d Ilu N +-πμ=6.86

V 510-?

8—6、如图所示，金属杆AB 在竖直平面内，左端

距导线0.1m ，右端距导线 1.1m ，且以匀速s m /0.2=υ平行于直导线移动，此导线通有电流A I 40=。问：此金属杆中感应电动势有多大？杆的哪一端电动势较高？解：()l B υd U U AB B A ??=

=-?ε

.11.001084.32-?-=-=?

dx x

AB υπμεV

负号表示B 的电势比A 的电势高。

8-7、如图所示，平面线圈面积为S ，共N 匝，在匀强磁场→

B 中绕轴'OO 以速度ω匀速转动。'OO 轴与→

B 垂直。t=0时，线圈平面法线→

n 与→

B 同向。(1)圈中?=i

ε(2)线圈电阻为R ，求感应电流?=i I

8—8、如图所示的线圈处在变化的均匀磁场B 中，B 的大小变化为：B=6 t 2

+7 t +1（T ），方向不变，若回路电阻为10? ，回路面积为40㎝2

，求t =2 s 时回路中的电流大小和方向。

)712(10404+??==-t dt

ε=0.124 V , I=

ε=1.24

210-? A ,方向：逆时针

8—9、如图所示，同轴电缆半径分别为a 、b,电流

从内筒端流入，经外筒端流出，筒间充满磁导率为μ的介质，电流为I 。求单位长

度同轴电缆的?0=L

解：由安培环路定律知，筒间距轴r 处→

H 大小为：

I H π2=

πμ2=

B （H

μ=B ）

取长为h 一段电缆来考虑，穿过阴影面积磁通量为

（取→S d 向里）： Bhdr Bds s d B d ==?=Φ→

→ ??Φ=Φd =dr r h b a ?

I πμ2=a

b h ln 20πμI

a b h I L ln 20πμ=Φ=

，单位长电缆自感系数为a

h L L ln 200πμ==

8—10、同轴电缆中金属芯线的半径为R 1，同轴金

属圆筒半径为R 2，中间充满磁导中为μ的磁介质，若芯线与圆筒分别与电池两极相连，芯线与圆筒上的电流大小相等，方向相反，如略去金属芯线内的磁场，求此同轴芯线与圆筒之间单位长度上的磁能

与自感系数。

解：由题意知

????><<<22

0 2

0R r R r R r I R r H π＝，因而能量密度

222

821r

I H w m πμμ＝= 单

位

长度

的

总

磁

能1

2222ln

41282

R R I dr r r

I W R R m πμππμ=???＝

由磁能公式22

1LI W m =得单位长度的自感系数为，1

ln 2R R L

πμ=

8—11

一载流长直导线中电流为，一矩形线框置于同一平面中，线框以速度v 垂直于导体运动，如图所示.当线框边与导线的距离为时，试用如下两种方法求出此时线框内的感应电动势，并标明其方向.（1）用动生电动势定义式；（2）用法拉第电磁感应定律.

解1 用动生电动势的定义式计算

对于和边，因方向与方向垂直，电动势为零．取AB 边上线元方向从A 到B ，CD 边上线元

方向从C 到D ，动生电动势分别为

其中负号表明电动势的方向为ADCBA ． 8—12

如图，一半径为

的半圆形导线，保持与

一载流长直导线共面，且直径

与长直电流垂

直，

端到直电流的距离为.当半圆导线以匀速度v 平行于长直电流向上运动时,求半圆导线中的感应电动势大小，那一端电势较高？设

；

解如图，在直径

上距长直导线为x

处取线元，方向从

，

上的动生电动势为

故

点电势高.

半圆弧导线上感应电动势与直径上的大小相等为.

8—13 如图所示, 均匀磁场与半径为r 的圆线圈垂直 (图中

表示绕行回路的正方向).如果磁感强

度随时间的变化的规律为,其中

B 0和τ为常量, 试将线圈中的感应电动势表示为时间的函数,并标明方向. 解回路绕行方向为

逆时针, 穿过圆线圈的磁通量为

圆线圈上的电动势为

方向沿回路正方向即逆时针方向. 4-1 一汽车发动机曲轴的转速在

12s 内由3102.1?r.min -1

增加到

3107.2?r.min -1

。

（1）求曲轴转动的角加速度；（2）在此时间内，曲轴转了多少转？解：曲轴做匀变速转动。（1）角速度n πω2=，根据角速度的定义dt

d ωα

，则有：

()

=-=

n n t

2πωωα13.1rad.s -2

（2）发动机曲轴转过的角度为

t t t 2

20ωωαωθ+=

+=()t n n 0+=π

在12

秒内曲轴转过的圈数为

N 3902

20=+==

t n n πθ圈。 4-2 一半径为0.25米的砂轮在电动机驱动下，以每分钟1800转的转速绕定轴作逆时针转动，现关闭电源，砂轮均匀地减速，15秒钟后停止转动.求（1）砂轮的角加速度；（2）关闭电源后10=t s 时砂轮的角速度,以及此时砂轮边缘上一点的速度和加速度大小. 解：（1）4.1886060

1800

20==?=ππω rad.s 1

-，57.12415

0=-=-=

πα rad.s 2- (2)7.621057.124.1880=?-=+=t αωω

rad.s 1

.1525.07.62=?==r v ω m.s

-，

14.3-==αr a t m.s

- , 9872==ωr a n m.

-，9882

=+=n t a a a

m. s

4-3如图，质量201

=m kg 的实心圆柱体A 其半

径为20=r cm ，可以绕其固定水平轴转动，阻力忽略不计，一条轻绳绕在圆柱体上，另一端系一个质量102

=m kg 的物体B ，求：（1）物体B 下落

的加速度；（2）绳的张力T F

解：（1）对实心圆柱体A ，利用转动定律

αα212

1r m J r F T == ——①

对物体B ，利用牛顿定律a m F g m T 22=-

——②有角量与线量之间的关系 αr a =

解得：9.422212=+=m m g m a m ·s -2 （2）由②得

492)(2

121=+=

-=g m m m m a g m F T Ｎ 4-4如图，半径为r 的定滑轮，绕轴的转动惯量为J ，滑轮两边分别悬挂质量为1m 和2m 的物体A 、B ．A 置于倾角为θ的斜面上，它和斜面间的摩擦因数为μ，若B 向下作加速运动，求物体B 其下落的加速度大小. (设绳的质量及伸长均不计，绳与滑轮间无滑动，滑轮轴光滑)

解：设绳子张力为B A T T ,，则对物体A 有：

a m g m g m T A 111co s sin =--θμθ

对物体B 有：a m T g

m B 22=- 对滑轮有： α

J r T T A B =-)(，又： αr a =

可解得：2

21112cos sin r J m m g m g m g m a +

+--=θμθ

4-5 一飞轮的转动惯量为J ，在t=0时角速度为0ω.此后飞轮经历制动过程。阻力矩M 的大小与角速度ω的平方成正比，比例系数0>k ,求（1）当

031ωω=时，飞轮的角加速度；（2）从开始制动到031

ωω=所经历的时间。

解：（1）∵2ω-=K M α=J M ∴

α=ω-J K 920 ∴J

K 92

ω-

=α （2）∵α=J M ∴dt

d J K ωω=-2， ∴

??-=0

312

ωω

d K J dt t

所以， 0

2ωK J t = 4-6 如图所示，飞轮的质量为60kg ，直径为 0.05m ，转速为1.0×103

r·min 1

-．现用闸瓦制动

使其在5.0s 内停止转动，求制动力F ．设闸瓦与飞轮之间的摩擦因数μ=0.04；飞轮的质量全部分布在轮缘上．解：闸瓦受制动力F 和飞轮支撑力N 的力矩作用平衡，有5.0)5.075.0(?=+?N F ——① 又飞轮受摩擦力矩作用而减速至停止，有

ααμ2mR J NR == ——②

而9.205

60210000=?=-=π

ωαt rad.s 2-，

代入②式可得：785=N N ，代入①式可得：

314=F N

4-7 一质量为60.0kg 的人，站在一半径为3.00m ，转动惯量为450kg.m 2

的静止转台边缘上，此转台可绕通过转台中心的竖直轴转动，转台与轴之间的摩擦不计。如果人相对转台以v 的速率沿转台边缘行

走，问转台的角速率多大？

解：人和转台可以看作是一个定轴转动系统。人与

转台之间的相互作用力为内力，外力矩为零，故系统的角动量守恒。设转台的角速度为0ω，则人相

对地的角速度为R

v +=0ωω，系统初始是静止的，

根据系统角动量守恒定律：

00100=??? ?

++R v J J ωω，则得转台的角速度为

0201018.18-?-=+-=R

v mR J mR ωs -1

其中负号表示转台转动方向与人对地面的转动方向相反。

4-8 如图所示，长为50=l cm 的匀质细棒可绕其一端的轴O 在竖直平面内转动，开始时静止于竖直位置上。有一质量10=m g 的子弹以速度400=v

m.s 1

-水平射入棒的下端并陷入杆内.设棒绕轴的

转动惯量5=J kg.m 2

.不计一切摩擦，求：（1）子弹设入后棒所获得的初角速度；（2）棒的重心能上升的最大高度. 解：（1）取棒和子弹为一系统，系统对O 点的力矩为零，故系统的角动量守恒。所以有：

ω)(2J ml mvl +=，得4.0=ω rad.s

（2）取地球、棒和子弹为一系统，系统的机械能守恒。选棒竖直位置时的重心处为势能零点，设棒的质量为M ，则有22)(2

ωml J Mgh += 而 2

1Ml J =

，由此算得：60=M kg ，代入上

式算得3106.6-?=h m.

4-9如图所示。一质量为m 的小球由一绳索系着，以角速度0ω在无摩擦的水平面上，绕以半径为0r 的圆周运动。如果在绳的另一端作用一竖直向下的拉力。小球以半径为

0r 的圆周运动。试求：

（1）

小球的新角速度；（2）拉力做的功。解：（1）沿轴向的拉力对小球不产生力矩，小球由绕半径0r 到沿半径

r 的圆周运动中，角动量守恒。

有： 1100ωωJ J = 其中2

0mr J =，2

0141mr J =

，则：001

014ωωω==J J （2）由于小球的速度增加，其转动动能也增加，这就是拉力做功的结果。由转动的动能定理：

20202002112

32121ωωωmr J J W =-=

4-10一水平圆盘绕通过圆心的竖直轴

转动，角速度为ω1，转动惯量为J 1在其上方还有一个以角速度ω2绕同一竖直轴转动的圆盘，这圆盘的转动惯量为J 2，两圆盘的平面平行，圆心都在竖直轴上，上盘的底面有销钉，如使上盘落下，销钉嵌入下盘，使两盘合成一体。（1）求两盘合成一体后系统的角速度ω的大小？（2）第二个圆盘落下后，两盘的总动能改变了多少？解：（1）两圆盘合为一体过程中，没有受到外力矩作用，故角动量守恒，即：ω=ω+ωJ J J 2211，

ωJ 为两圆盘合为一体后的角动量，由于合为一体

前后两圆盘均绕相同的轴转动，故有21J J J

代入上式，系统的角速度大小为

1221

1J J J J +ω+ω=ω（2）合为一体后系统的动能为： 221ω=

J E K )

(2)(2122211J J J J +ω+ω=合成前的总动能为：22

112

121ω+ω=

J J E KO

，则系统动能改变量为 )

(2)(212

2121J J J J E E E KO

K K +ω-ω-=-=? 改变量为负值，说明系统合成后动能减小。

4-11 如图，一长L 、质量为m 的细棒可绕其一端自由转动，若棒在水平位置由静止自由转下，求棒转到与水平线成角度θ 时的角速度、角加速度. 解：应用转动定律αJ M

=求角加速度. 因为

θcos 2

mg L

M =

，231mL J =，所以θαcos 23L g =

应用动能定理求角速度：02

12-==?ωθJ Md W

即

220

cos 2ωθθθ

mL d mg L =?

，解得： θωsin 3L

.. 4-12 在如图所示的装置中，弹簧的劲度系数

0.2=k N.m 1-,滑轮对轴的转动惯量5.0=J

kg.m 2

，半径30=R cm ，物体的质量60=m g ，

开始时用手将物体托住，使弹簧为原长，系统处于静止状态。求物体降落40=h cm 时的速率.(不计一切摩擦) 解：取地球、弹簧、物体和滑轮为一系统，无外力和非保守内力作功，系统的机械能守恒。选系统静止时物体所在的位置为势能零点，则有：

mgh kh J mv -++=

2222

21210ω 又 R v ω=，代入各数据可算得：64.1=v m.s