2019学年九年级数学下册第一章同步练习新版北师大版

专题训练(一) 求锐角三角函数值的方法归类

? 方法一 运用定义求锐角三角函数值

1．2017·日照在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为() A.

513 B.1213 C.512 D.125 2．如图1－ZT －1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是() A.34

B.43

C.35

D.45

图1－ZT －1

? 方法二 巧设参数求锐角三角函数值

3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝45

，则tan B 的值为() A.43 B.34 C.35 D.45

4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan B ＝5

2

，那么cos A 的值为() A.52 B.53 C.

2 55 D.2

3

5．如图1－ZT －2，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝3

5

，BE ＝2，则tan ∠DBE 的值是()

图1－ZT －2

A.12

B ．2 C.52 D.55

6．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，且a ，b ，c 满足b 2

＝(c ＋a )(c －a )．若5b －4c ＝0，求sin A ＋sin B 的值．

7．如图1－ZT －3，在Rt △BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使DC ＝1

2

BD ，连接AC ，若tan B

＝53

，求tan ∠CAD 的值．

图1－ZT－3

?方法三在网格中构造直角三角形求锐角三角函数值

8．如图1－ZT－4，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan A的值为()

图1－ZT－4

A.3

5

B.

4

5

C.

3

4

D.

4

3

9．如图1－ZT－5，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A的值为()

图1－ZT－5

A.

3

3

B.

5

5

C.

2 3

3

D.

2 5

5

10．2017·宜昌△ABC在网格中的位置如图1－ZT－6所示(每个小正方形的边长均为1)，AD⊥BC于点D，下列四个选项中，错误的是()

图1－ZT－6

A．sinα＝cosα B．tan C＝2

C．sinβ＝cosβ D．tanα＝1

?方法四利用等角求锐角三角函数值

11．如图1－ZT－7，A为角α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值错误的是()

图1－ZT－7

A.BD

BC

B.

BC

AB

C.

AD

AC

D.

CD

AC

12．如图1－ZT －8，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.若∠BPC ＝12

∠BAC ，则tan ∠BPC ＝________．

1－ZT －8

? 方法五 利用特殊角求锐角三角函数值

13．如图1－ZT －9，在等边三角形ABC 中，D 是BC 边上一点，连接AD 并延长到点E ，使AE ＝AC ，∠BAE 的平分线交△ABC 的高BF 于点O ，则tan ∠AEO ＝________．

图1－ZT －9

14．如图1－ZT －10，在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC ，数学兴趣小组的同学在斜坡底P 处测得该塔顶B 的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1∶2.4的斜坡AP 行进了26米到达坡顶A 处，在A 处又测得该塔顶B 的仰角为76°.

求：(1)坡顶A 到地面PQ 的距离； (2)古塔BC 的高度(结果精确到1米)．

(参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01)

图1－ZT －10

? 方法六 利用同角三角函数的关系求锐角三角函数值 同角三角函数之间有如下关系：

对于锐角α，有sin 2

α＋cos 2

α＝1，tan α＝

sin α

cos α

. 15．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝23

，则sin B 的值为() A.

253 B.53 C.255 D.5

5

16．已知α为锐角，且cos α＝13，求tan α＋

cos α

1＋sin α

的值．

? 方法七 利用互余两角三角函数的关系求锐角三角函数值 若∠A ＋∠B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B .

对于锐角α，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小，tan α随α的增大而增大．

17．已知0°＜∠A ＜90°，那么cos(90°－∠A )等于() A ．cos A B ．sin(90°＋∠A ) C ．sin A D ．sin(90°－∠A )

18．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝3，求cos B 的值．

19．在△ABC 中．

(1)若∠C ＝90°，cos A ＝12

13

，求sin B 的值；

(2)若∠A ＝35°，∠B ＝65°，试比较cos A 与sin B 的大小，并说明理由．

详解详析

1．[解析] B 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得BC ＝AB2－AC2＝12，∴sin A ＝BC AB ＝1213

. 故选B.

2．[解析] D 由勾股定理得OA ＝32＋42＝5，所以cos α＝45

.故选D.

3．[解析] B 设BC ＝4x ，则AB ＝5x ，AC ＝AB2－BC2＝3x ，∴tan B ＝AC BC ＝3x 4x ＝34

.故选B.

4．[解析] B 由三角函数的定义，知cos A ＝

∠A的邻边斜边.又因为tan B ＝5

2

，所以可设

AC ＝5k ，BC ＝2k (k >0)，由勾股定理，得AB ＝3k ，不难求出cos A ＝AC AB ＝5k 3k ＝5

3

.故选B.

5．[解析] B 在Rt △ADE 中，∵cos A ＝AE AD ＝3

5

，∴设AE ＝3x ，则AD ＝5x .由勾股定理可

得DE ＝AD2－AE2＝4x .∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝5x ，∴BE ＝5x －3x ＝2x ＝2，∴x ＝1，∴DE ＝4.在Rt △DBE 中，tan ∠DBE ＝DE BE ＝42

＝2.故选B.

6．解：根据b 2＝(c ＋a )(c －a )，可得b 2＝c 2－a 2，即a 2＋b 2＝c 2

，所以△ABC 为直角三角形，且∠C ＝90°.因为5b －4c ＝0，所以设b ＝4k (k >0)，则c ＝5k ，根据勾股定理可得a ＝3k ，所以sin A ＋sin B ＝a c ＋b c ＝3k 5k ＋

4k 5k ＝7

5

.

7．解：如图，过点D 作DE ∥AB 交AC 于点E .

∵∠BAD ＝90°，DE ∥AB ，∴∠ADE ＝90°. ∵tan B ＝53

，设AD ＝5k ，则AB ＝3k . ∵DE ∥AB ，∴DE AB ＝

CD BC ＝13，∴DE ＝1

3AB ，

∴tan ∠CAD ＝DE AD ＝13×AB AD ＝13×3k 5k ＝15

.

8．[解析] D 在Rt △ABC 中，∠A 的对边BC ＝4，∠A 的邻边AB ＝3，因此tan A ＝BC AB

＝

4

3

.故选D.

9．[解析] D 如图，过点B 作AC 边上的高BD ，由勾股定理得AB ＝32＋12＝10，

AD ＝22＋22＝2 2，所以cos A ＝AD AB ＝2 210

＝2 5

5.故选D.

10．[解析] C 观察图象可知，△ADB 是等腰直角三角形，BD ＝AD ＝2，AB ＝2 2，AD ＝2，CD ＝1，AC ＝5，∴sin α＝cos α＝22，故A 正确；tan C ＝AD

CD

＝2，故B 正确；tan α＝1，故D 正确；∵sin β＝

CD AC ＝55，cos β＝AD AC ＝2 5

5

，∴sin β≠cos β，故C 错误．故选C.

11．[解析] C 因为AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，所以∠B ＋∠BAC ＝∠ACD ＋∠BAC ＝90°，所以∠B ＝∠ACD ＝α，即cos α＝BD BC ＝

BC AB ＝CD

AC

，故选C. 12．[答案] 43

[解析] 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵AB ＝AC ＝5，BC ＝8，∴BD ＝CD ＝12

BC ＝4，∠BAD ＝12∠BAC .在Rt △ABD 中，AD ＝AB2－BD2＝52－42＝3.∵∠BPC ＝12

∠BAC ，∴tan ∠BPC ＝tan ∠BAD ＝BD AD ＝43

.

13．[答案]

33

14．解：(1)如图，过点A 作AH ⊥PQ ，垂足为H . ∵斜坡AP 的坡度为1∶2.4，∴AH PH ＝512

.

设AH ＝5k 米，则PH ＝12k 米，由勾股定理，得AP ＝13k 米，∴13k ＝26，解得k ＝2. ∴AH ＝10米，PH ＝24米．

答：坡顶A 到地面PQ 的距离为10米． (2)如图，延长BC 交PQ 于点D . ∵BC ⊥AC ，AC ∥PQ ，∴BD ⊥PQ ， ∴四边形AHDC 是矩形， ∴CD ＝AH ＝10米，AC ＝DH . ∵∠BPD ＝45°，∴PD ＝BD .

设BC ＝x 米，则x ＋10＝24＋DH ， ∴AC ＝DH ＝(x －14)米． 在Rt △ABC 中，tan76°＝BC AC

， 即

x

x －14

＝tan76°，解得x ≈19. 答：古塔BC 的高度约为19米．

15．[解析] B ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝23

，∴sin B ＝1－（23）2＝53

.

故选B.

16．解：∵cos α＝1

3

， ∴sin α＝

1－（13）2＝2 23

，

tan α＝sin α

cos α＝2 231

3

＝2 2，

∴tan α＋

cos α

1＋sin α＝2 2＋13

1＋

2 2

3

＝2 2＋3－2 2＝3.

17．[答案] C

18．解：∵tan A ＝3，∴∠A ＝60°，sin A ＝32

. 又∵∠A ＋∠B ＝90°，

∴cos B ＝sin A ＝

32

. 19．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°，

∴sin B ＝cos A ＝12

13

.

(2)cos A ＜sin B .

理由：∵cos A ＝cos35°＝sin55°＜sin65°＝sin B ， ∴cos A ＜sin B .