大牛讲解信号与系统以及数字信号处理

无意在网上看到这篇《大牛讲解信号与系统以及数字信号处理》看的时候眼泪奔涌而出，现在我才知道大学读的专业的干吗的！

第一课什么是卷积卷积有什么用什么是傅利叶变换什么是拉普拉斯变换

引子

很多朋友和我一样，工科电子类专业，学了一堆信号方面的课，什么都没学懂，背了公式考了试，然后毕业了。

先说"卷积有什么用"这个问题。(有人抢答，"卷积"是为了学习"信号与系统"这门课的后续章节而存在的。我大吼一声，把他拖出去枪毙！)

讲一个故事:

张三刚刚应聘到了一个电子产品公司做测试人员，他没有学过"信号与系统"这门课程。一天，他拿到了一个产品，开发人员告诉他，产品有一个输入端，有一个输出端，有限的输入信号只会产生有限的输出。

然后，经理让张三测试当输入sin(t)(t<1秒)信号的时候(有信号发生器)，该产品输出什么样的波形。张三照做了，花了一个波形图。

"很好！"经理说。然后经理给了张三一叠A4纸: "这里有几千种信号，都用公式说明了，输入信号的持续时间也是确定的。你分别测试以下我们产品的输出波形是什么吧！"

这下张三懵了，他在心理想"上帝，帮帮我把，我怎么画出这些波形图呢?"

于是上帝出现了: "张三，你只要做一次测试，就能用数学的方法，画出所有输入波形对应的输出波形"。

上帝接着说:"给产品一个脉冲信号，能量是1焦耳，输出的波形图画出来！"

张三照办了，"然后呢?"

上帝又说，"对于某个输入波形，你想象把它微分成无数个小的脉冲，输入给产品，叠加出来的结果就是你的输出波形。你可以想象这些小脉冲排着队进入你的产品，每个产生一个小的输出，你画出时序图的时候，输入信号的波形好像是反过来进入系统的。"

张三领悟了:" 哦，输出的结果就积分出来啦！感谢上帝。这个方法叫什么名字呢?"

上帝说:"叫卷积！"

从此，张三的工作轻松多了。每次经理让他测试一些信号的输出结果，张三都只需要在A4纸上做微积分就是提交任务了！

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张三愉快地工作着，直到有一天，平静的生活被打破。

经理拿来了一个小的电子设备，接到示波器上面，对张三说: "看，这个小设备产生的波形根本没法用一个简单的函数来说明，而且，它连续不断的发出信号！不过幸好，这个连续信号是每隔一段时间就重复一次的。张三，你来测试以下，连到我们的设备上，会产生什么输出波形！"

张三摆摆手:"输入信号是无限时长的，难道我要测试无限长的时间才能得到一个稳定的，重复的波形输出吗?"

经理怒了:"反正你给我搞定，否则炒鱿鱼！"

张三心想:"这次输入信号连公式都给出出来，一个很混乱的波形；时间又是无限长的，卷积也不行了，怎么办呢?"

及时地，上帝又出现了:"把混乱的时间域信号映射到另外一个数学域上面，计算完成以后再映射回来"

"宇宙的每一个原子都在旋转和震荡，你可以把时间信号看成若干个震荡叠加的效果，也就是若干个可以确定的，有固定频率特性的东西。"

"我给你一个数学函数f，时间域无限的输入信号在f域有限的。时间域波形混乱的输入信号在f域是整齐的容易看清楚的。这样你就可以计算了"

"同时，时间域的卷积在f域是简单的相乘关系，我可以证明给你看看"

"计算完有限的程序以后，取f(-1)反变换回时间域，你就得到了一个输出波形，剩下的就是你的数学计算了！"

张三谢过了上帝，保住了他的工作。后来他知道了，f域的变换有一个名字，叫做傅利叶，什么什么... ...

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再后来，公司开发了一种新的电子产品，输出信号是无限时间长度的。这次，张三开始学拉普拉斯了......

后记:

不是我们学的不好，是因为教材不好，老师讲的也不好。

很欣赏Google的面试题: 用3句话像老太太讲清楚什么是数据库。这样的命题非常好，因为没有深入的理解一个命题，没有仔细的思考一个东西的设计哲学，我们就会陷入细节的泥沼: 背公式，数学推导，积分，做题；而没有时间来回答"为什么要这样"。做大学老师的做不到"把厚书读薄"这一点，讲不出哲学层面的道理，一味背书和翻讲ppt，做着枯燥的数学证明，然后责怪"现在的学生一代不如一代"，有什么意义吗？

第二课到底什么是频率什么是系统?

这一篇，我展开的说一下傅立叶变换F。注意，傅立叶变换的名字F可以表示频率的概念(freqence)，也可以包括其他任何概念，因为它只是一个概念模型，为了解决计算的问题而构造出来的(例如时域无限长的输入信号，怎么得到输出信号)。我们把傅立叶变换看一个C语言的函数，信号的输出输出问题看为IO 的问题，然后任何难以求解的x->y的问题都可以用x->f(x)->f-1(x)->y来得到。

1. 到底什么是频率?

一个基本的假设: 任何信息都具有频率方面的特性，音频信号的声音高低，光的频谱，电子震荡的周期，等等，我们抽象出一个件谐振动的概念，数学名称就叫做频率。想象在x-y 平面上有一个原子围绕原点做半径为1匀速圆周运动，把x轴想象成时间，那么该圆周运动在y轴上的投影就是一个sin(t)的波形。相信中学生都能理解这个。

那么，不同的频率模型其实就对应了不同的圆周运动速度。圆周运动的速度越快，sin(t)的波形越窄。频率的缩放有两种模式

(a) 老式的收音机都是用磁带作为音乐介质的，当我们快放的时候，我们会感觉歌唱的声音变得怪怪的，调子很高，那是因为"圆周运动"的速度增倍了，每一个声音分量的sin(t)输出变成了sin(nt)。

(b) 在CD/计算机上面快放或满放感觉歌手快唱或者慢唱，不会出现音调变高的现象：因为快放的时候采用了时域采样的方法，丢弃了一些波形，但是承载了信息的输出波形不会有宽窄的变化；满放时相反，时域信号填充拉长就可以了。

2. F变换得到的结果有负数/复数部分，有什么物理意义吗?

解释: F变换是个数学工具，不具有直接的物理意义，负数/复数的存在只是为了计算的完整性。

3. 信号与系统这们课的基本主旨是什么?

对于通信和电子类的学生来说，很多情况下我们的工作是设计或者OSI七层模型当中的物

理层技术，这种技术的复杂性首先在于你必须确立传输介质的电气特性，通常不同传输介质对于不同频率段的信号有不同的处理能力。以太网线处理基带信号，广域网光线传出高频调制信号，移动通信，2G和3G分别需要有不同的载频特性。那么这些介质(空气，电线，光纤等)对于某种频率的输入是否能够在传输了一定的距离之后得到基本不变的输入呢? 那么我们就要建立介质的频率相应数学模型。同时，知道了介质的频率特性，如何设计在它上面传输的信号才能大到理论上的最大传输速率?----这就是信号与系统这们课带领我们进入的一个世界。

当然，信号与系统的应用不止这些，和香农的信息理论挂钩，它还可以用于信息处理(声音，图像)，模式识别，智能控制等领域。如果说，计算机专业的课程是数据表达的逻辑模型，那么信号与系统建立的就是更底层的，代表了某种物理意义的数学模型。数据结构的知识能解决逻辑信息的编码和纠错，而信号的知识能帮我们设计出码流的物理载体(如果接受到的信号波形是混乱的，那我依据什么来判断这个是1还是0? 逻辑上的纠错就失去了意义)。在工业控制领域，计算机的应用前提是各种数模转换，那么各种物理现象产生的连续模拟信号(温度，电阻，大小，压力，速度等) 如何被一个特定设备转换为有意义的数字信号，首先我们就要设计一个可用的数学转换模型。

4. 如何设计系统?

设计物理上的系统函数(连续的或离散的状态)，有输入，有输出，而中间的处理过程和具体的物理实现相关，不是这们课关心的重点(电子电路设计?)。信号与系统归根到底就是为了特定的需求来设计一个系统函数。设计出系统函数的前提是把输入和输出都用函数来表示(例如sin(t))。分析的方法就是把一个复杂的信号分解为若干个简单的信号累加，具体的过程就是一大堆微积分的东西，具体的数学运算不是这门课的中心思想。

那么系统有那些种类呢?

(a) 按功能分类: 调制解调(信号抽样和重构)，叠加，滤波，功放，相位调整，信号时钟同步，负反馈锁相环，以及若干子系统组成的一个更为复杂的系统----你可以画出系统流程图，是不是很接近编写程序的逻辑流程图? 确实在符号的空间里它们没有区别。还有就是离散状态的数字信号处理(后续课程)。

(b) 按系统类别划分，无状态系统，有限状态机，线性系统等。而物理层的连续系统函数，是一种复杂的线性系统。

5. 最好的教材?

符号系统的核心是集合论，不是微积分，没有集合论构造出来的系统，实现用到的微积分便毫无意义----你甚至不知道运算了半天到底是要作什么。以计算机的观点来学习信号与系统，最好的教材之一就是<>，作者是UC Berkeley的Edward A.Lee and Pravin V araiya----先定义再实现，符合人类的思维习惯。国内的教材通篇都是数学推导，就是不肯说这些推导是为了什么目的来做的，用来得到什么，建设什么，防止什么；不去从认识论和需求上讨论，通篇都是看不出目的的方法论，本末倒置了。

第三课抽样定理是干什么的

1. 举个例子，打电话的时候，电话机发出的信号是PAM脉冲调幅，在电话线路上传的不是话音，而是话音通过信道编码转换后的脉冲序列，在收端恢复语音波形。那么对于连续的说话人语音信号，如何转化成为一些列脉冲才能保证基本不失真，可以传输呢? 很明显，我们想到的就是取样，每隔M毫秒对话音采样一次看看电信号振幅，把振幅转换为脉冲编码，

传输出去，在收端按某种规则重新生成语言。

那么，问题来了，每M毫秒采样一次，M多小是足够的? 在收端怎么才能恢复语言波形呢? 对于第一个问题，我们考虑，语音信号是个时间频率信号(所以对应的F变换就表示时间频率)把语音信号分解为若干个不同频率的单音混合体(周期函数的复利叶级数展开，非周期的区间函数，可以看成补齐以后的周期信号展开，效果一样)，对于最高频率的信号分量，如果抽样方式能否保证恢复这个分量，那么其他的低频率分量也就能通过抽样的方式使得信息得以保存。如果人的声音高频限制在3000Hz，那么高频分量我们看成sin(3000t)，这个sin函数要通过抽样保存信息，可以看为: 对于一个周期，波峰采样一次，波谷采样一次，也就是采样频率是最高频率分量的2倍(奈奎斯特抽样定理)，我们就可以通过采样信号无损的表示原始的模拟连续信号。这两个信号一一对应，互相等价。

对于第二个问题，在收端，怎么从脉冲序列(梳装波形)恢复模拟的连续信号呢? 首先，我们已经肯定了在频率域上面的脉冲序列已经包含了全部信息，但是原始信息只在某一个频率以下存在，怎么做? 我们让输入脉冲信号I通过一个设备X，输出信号为原始的语音O，那么I(*)X=O，这里(*)表示卷积。时域的特性不好分析，那么在频率域F(I)*F(X)=F(O)相乘关系，这下就很明显了，只要F(X)是一个理想的，低通滤波器就可以了(在F域画出来就是一个方框)，它在时间域是一个钟型函数(由于包含时间轴的负数部分，所以实际中不存在)，做出这样的一个信号处理设备，我们就可以通过输入的脉冲序列得到几乎理想的原始的语音。在实际应用中，我们的抽样频率通常是奈奎斯特频率再多一点，3k赫兹的语音信号，抽样标准是8k赫兹。

2. 再举一个例子，对于数字图像，抽样定理对应于图片的分辨率----抽样密度越大，图片的分辨率越高，也就越清晰。如果我们的抽样频率不够，信息就会发生混叠----网上有一幅图片，近视眼戴眼镜看到的是爱因斯坦，摘掉眼睛看到的是梦露----因为不带眼睛，分辨率不够(抽样频率太低)，高频分量失真被混入了低频分量，才造成了一个视觉陷阱。在这里，图像的F变化，对应的是空间频率。

话说回来了，直接在信道上传原始语音信号不好吗? 模拟信号没有抗干扰能力，没有纠错能力，抽样得到的信号，有了数字特性，传输性能更佳。

什么信号不能理想抽样? 时域有跳变，频域无穷宽，例如方波信号。如果用有限带宽的抽样信号表示它，相当于复利叶级数取了部分和，而这个部分和在恢复原始信号的时候，在不可导的点上面会有毛刺，也叫吉布斯现象。

3. 为什么傅立叶想出了这么一个级数来? 这个源于西方哲学和科学的基本思想: 正交分析方法。例如研究一个立体形状，我们使用x,y,z三个互相正交的轴: 任何一个轴在其他轴上面的投影都是0。这样的话，一个物体的3视图就可以完全表达它的形状。同理，信号怎么分解和分析呢? 用互相正交的三角函数分量的无限和：这就是傅立叶的贡献。

入门第四课傅立叶变换的复数小波

说的广义一点，"复数"是一个"概念"，不是一种客观存在。

什么是"概念"? 一张纸有几个面? 两个，这里"面"是一个概念，一个主观对客观存在的认知，就像"大"和"小"的概念一样，只对人的意识有意义，对客观存在本身没有意义(康德: 纯粹理性的批判)。把纸条的两边转一下相连接，变成"莫比乌斯圈"，这个纸条就只剩下一个"面"了。概念是对客观世界的加工，反映到意识中的东西。

数的概念是这样被推广的: 什么数x使得x^2=-1? 实数轴显然不行，(-1)*(-1)=1。那么如果存在一个抽象空间，它既包括真实世界的实数，也能包括想象出来的x^2=-1，那么我们称这个想象空间为"复数域"。那么实数的运算法则就是复数域的一个特例。为什么1*(-1)=-1?

+-符号在复数域里面代表方向，-1就是"向后，转!"这样的命令，一个1在圆周运动180度以后变成了-1，这里，直线的数轴和圆周旋转，在复数的空间里面被统一了。

因此，(-1)*(-1)=1可以解释为"向后转"+"向后转"=回到原地。那么复数域如何表示x^2=-1呢? 很简单，"向左转"，"向左转"两次相当于"向后转"。由于单轴的实数域(直线)不包含这样的元素，所以复数域必须由两个正交的数轴表示--平面。很明显，我们可以得到复数域乘法的一个特性，就是结果的绝对值为两个复数绝对值相乘，旋转的角度=两个复数的旋转角度相加。高中时代我们就学习了迪莫弗定理。为什么有这样的乘法性质? 不是因为复数域恰好具有这样的乘法性质(性质决定认识)，而是发明复数域的人就是根据这样的需求去弄出了这么一个复数域(认识决定性质)，是一种主观唯心主义的研究方法。为了构造x^2=-1，我们必须考虑把乘法看为两个元素构成的集合: 乘积和角度旋转。

因为三角函数可以看为圆周运动的一种投影，所以，在复数域，三角函数和乘法运算(指数)被统一了。我们从实数域的傅立叶级数展开入手，立刻可以得到形式更简单的，复数域的，和实数域一一对应的傅立叶复数级数。因为复数域形式简单，所以研究起来方便----虽然自然界不存在复数，但是由于和实数域的级数一一对应，我们做个反映射就能得到有物理意义的结果。

那么傅立叶变换，那个令人难以理解的转换公式是什么含义呢? 我们可以看一下它和复数域傅立叶级数的关系。什么是微积分，就是先微分，再积分，傅立叶级数已经作了无限微分了，对应无数个离散的频率分量冲击信号的和。傅立叶变换要解决非周期信号的分析问题，想象这个非周期信号也是一个周期信号: 只是周期为无穷大，各频率分量无穷小而已(否则积分的结果就是无穷)。那么我们看到傅立叶级数，每个分量常数的求解过程，积分的区间就是从T变成了正负无穷大。而由于每个频率分量的常数无穷小，那么让每个分量都去除以f，就得到有值的数----所以周期函数的傅立叶变换对应一堆脉冲函数。同理，各个频率分量之间无限的接近，因为f很小，级数中的f，2f，3f之间几乎是挨着的，最后挨到了一起，和卷积一样，这个复数频率空间的级数求和最终可以变成一个积分式：傅立叶级数变成了傅立叶变换。注意有个概念的变化：离散的频率，每个频率都有一个"权"值，而连续的F域，每个频率的加权值都是无穷小(面积=0)，只有一个频率范围内的"频谱"才对应一定的能量积分。频率点变成了频谱的线。

因此傅立叶变换求出来的是一个通常是一个连续函数，是复数频率域上面的可以画出图像的东西? 那个根号2Pai又是什么? 它只是为了保证正变换反变换回来以后，信号不变。我们可以让正变换除以2，让反变换除以Pi，怎么都行。慢点，怎么有"负数"的部分，还是那句话，是数轴的方向对应复数轴的旋转，或者对应三角函数的相位分量，这样说就很好理解了。有什么好处? 我们忽略相位，只研究"振幅"因素，就能看到实数频率域内的频率特性了。我们从实数(三角函数分解)->复数(e和Pi)->复数变换(F)->复数反变换(F-1)->复数(取幅度分量)-> 实数，看起来很复杂，但是这个工具使得，单从实数域无法解决的频率分析问题，变得可以解决了。两者之间的关系是: 傅立叶级数中的频率幅度分量是a1-an,b1-bn，这些离散的数表示频率特性，每个数都是积分的结果。而傅立叶变换的结果是一个连续函数: 对于f 域每个取值点a1-aN(N=无穷)，它的值都是原始的时域函数和一个三角函数(表示成了复数)积分的结果----这个求解和级数的表示形式是一样的。不过是把N个离散的积分式子统一为了一个通用的，连续的积分式子。

复频域，大家都说画不出来，但是我来画一下！因为不是一个图能够表示清楚的。我用纯中文来说:

1. 画一个x,y轴组成的平面，以原点为中心画一个圆(r=1)。再画一条竖直线: (直线方程x=2)，

把它看成是一块挡板。

2. 想象，有一个原子，从(1,0)点出发，沿着这个圆作逆时针匀速圆周运动。想象太阳光从x 轴的复数方向射向x轴的正数方向，那么这个原子运动在挡板(x=2)上面的投影，就是一个简协震动。

3. 再修改一下，x=2对应的不是一个挡板，而是一个打印机的出纸口，那么，原子运动的过程就在白纸上画下了一条连续的sin(t)曲线!

上面3条说明了什么呢? 三角函数和圆周运动是一一对应的。如果我想要sin(t+x)，或者cos(t)这种形式，我只需要让原子的起始位置改变一下就可以了：也就是级坐标的向量，半径不变，相位改变。

傅立叶级数的实数展开形式，每一个频率分量都表示为AnCos(nt)+BnSin(nt)，我们可以证明，这个式子可以变成sqr(An^2+Bn^2)sin(nt+x)这样的单个三角函数形式，那么：实数值对(An,Bn)，就对应了二维平面上面的一个点，相位x对应这个点的相位。实数和复数之间的一一对应关系便建立起来了，因此实数频率唯一对应某个复数频率，我们就可以用复数来方便的研究实数的运算：把三角运算变成指数和乘法加法运算。

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但是，F变换仍然是有限制的(输入函数的表示必须满足狄义赫立条件等)，为了更广泛的使用"域"变换的思想来表示一种"广义"的频率信息，我们就发明出了拉普拉斯变换，它的连续形式对应F变换，离散形式就成了Z变换。离散信号呢? 离散周期函数的F级数，项数有限，离散非周期函数(看为周期延拓以后仍然是离散周期函数)，离散F级数，仍然项数有限。离散的F变换，很容易理解---- 连续信号通过一个周期采样滤波器，也就是频率域和一堆脉冲相乘。时域取样对应频域周期延拓。为什么? 反过来容易理解了，时域的周期延拓对应频率域的一堆脉冲。

两者的区别：FT=从负无穷到正无穷对积分LT=从零到正无穷对积分(由于实际应用，通常只做单边Laplace变换，即积分从零开始) 具体地，在Fourier积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在laplace变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。

而Z变换，简单地说，就是离散信号(也可以叫做序列)的Laplace变换，可由抽样信号的Laplace变换导出。ZT=从n为负无穷到正无穷对求和。Z域的物理意义: 由于值被离散了，所以输入输出的过程和花费的物理时间已经没有了必然的关系(t只对连续信号有意义)，所以频域的考察变得及其简单起来，我们把(1,-1,1,-1,1,-1)这样的基本序列看成是数字频率最高的序列，他的数字频率是1Hz(数字角频率2Pi)，其他的数字序列频率都是N分之1Hz，频率分解的结果就是0-2Pi角频率当中的若干个值的集合，也是一堆离散的数。由于时频都是离散的，所以在做变换的时候，不需要写出冲击函数的因子

离散傅立叶变换到快速傅立叶变换----由于离散傅立叶变换的次数是O(N^2)，于是我们考虑把离散序列分解成两两一组进行离散傅立叶变换，变换的计算复杂度就下降到了O(NlogN)，再把计算的结果累加O(N)，这就大大降低了计算复杂度。

再说一个高级话题: 小波。在实际的工程应用中，前面所说的这些变换大部分都已经被小波变换代替了。

什么是小波？先说什么是波：傅立叶级数里面的分量，sin/cos函数就是波，sin(t)/cos(t)经过幅度的放缩和频率的收紧，变成了一系列的波的求和，一致收敛于原始函数。注意傅立叶级数求和的收敛性是对于整个数轴而言的，严格的。不过前面我们说了，实际应用FFT的时候，我们只需要关注部分信号的傅立叶变换然后求出一个整体和就可以了，那么对于函数的部分分量，我们只需要保证这个用来充当砖块的"波函数"，在某个区间(用窗函数来滤

波)内符合那几个可积分和收敛的定义就可以了，因此傅立叶变换的"波"因子，就可以不使用三角函数，而是使用一系列从某些基本函数构造出来的函数族，只要这个基本函数符合那些收敛和正交的条件就可以了。怎么构造这样的基本函数呢？sin(t)被加了方形窗以后，映射到频域是一堆无穷的散列脉冲，所以不能再用三角函数了。我们要得到频率域收敛性好的函数族，能覆盖频率域的低端部分。说的远一点，如果是取数字信号的小波变换，那么基础小波要保证数字角频率是最大的2Pi。利用小波进行离频谱分析的方法，不是像傅立叶级数那样求出所有的频率分量，也不是向傅立叶变换那样看频谱特性，而是做某种滤波，看看在某种数字角频率的波峰值大概是多少。可以根据实际需要得到如干个数字序列。

我们采用(0,f),(f,2f),(2f,4f)这样的倍频关系来考察函数族的频率特性，那么对应的时间波形就是倍数扩展(且包含调制---所以才有频谱搬移)的一系列函数族。频域是窗函数的基本函数，时域就是钟形函数。当然其他类型的小波，虽然频率域不是窗函数，但是仍然可用：因为小波积分求出来的变换，是一个值，例如(0,f)里包含的总能量值，(f,2f)里面包含的总能量值。所以即使频域的分割不是用长方形而是其他的图形，对于结果来说影响不大。同时，这个频率域的值，它的分辨率密度和时域小波基函数的时间分辨率是冲突的(时域紧频域宽，时域宽频域紧)，所以设计的时候受到海森堡测不准原理的制约。Jpeg2000压缩就是小波：因为时频都是局部的，变换结果是数值点而不是向量，所以，计算复杂度从FFT的O(NlgN)下降到了O(N)，性能非常好

数字信号处理试卷

数字信号处理试卷集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

数字信号处理试卷 一、填空题 1、序列()0n n -δ的频谱为 。 2、研究一个周期序列的频域特性，应该用 变换。 3、要获得线性相位的FIR 数字滤波器，其单位脉冲响应h （n ）必须满足条件： ； 。 4、借助模拟滤波器的H （s ）设计一个IIR 高通数字滤波器，如果没有强调 特殊要求的话，宜选择采用 变换法。 5、用24kHz 的采样频率对一段6kHz 的正弦信号采样64点。若用64点DFT 对其做频谱分析，则第 根和第 根谱线上会看到峰值。 6、已知某线性相位FIR 数字滤波器的一个零点为1+1j ，则可判断该滤波器 另外 必有零 点 ， ， 。 7、写出下列数字信号处理领域常用的英文缩写字母的中文含义： DSP ，IIR ，DFT 。

8、数字频率只有相对的意义，因为它是实际频率对 频率 的 。 9、序列CZT 变换用来计算沿Z 平面一条 线 的采样值。 10、实现IIR 数字滤波器时，如果想方便对系统频响的零点进行控制和调 整，那么常用的IIR 数字滤波器结构中，首选 型结构来实现该IIR 系统。 11、对长度为N 的有限长序列x （n ） ，通过单位脉冲响应h （n ）的长度 为M 的FIR 滤波器，其输出序列y （n ）的长度为 。若用FFT 计算x （n ） *h （n ） ，那么进行FFT 运算的长度L 应满 足 。 12、数字系统在定点制 法运算和浮点制 法运算中要进行尾数处理， 该过程等效于在该系统相应节点插入一个 。 13、，W k x l X DFT N k kl M ∑-==1 0)()( 的表达式是某 由此可看出，该序列的时域长度 是 ，M W 因子等于 ， 变换后数字频域上相邻两个频率样点 之间的间隔是 。 14、Z 平面上点的辐角ω称为 ，是模拟频率Ω对 （s f ）的归一化，即ω= 。 15、在极点频率处，)(ωj e H 出现 ，极点离单位圆越 ，峰值 越大；极点在单位圆上，峰值 。 16、采样频率为Fs Hz 的数字系统中，系统函数表达式中1-z

数字信号处理答案解析

1-1画出下列序列的示意图 (1) (2) (3) (1) (2)

(3) 1-2已知序列x(n)的图形如图1.41，试画出下列序列的示意图。 图1.41信号x(n)的波形 (1)(2)

(3) (4) (5)(6) (修正：n=4处的值为0，不是3）（修正：应该再向右移4个采样点）1-3判断下列序列是否满足周期性，若满足求其基本周期 (1) 解：非周期序列; (2) 解：为周期序列，基本周期N=5; (3)

解：，，取 为周期序列，基本周期。 (4) 解： 其中，为常数 ，取，，取 则为周期序列，基本周期N=40。 1-4判断下列系统是否为线性的？是否为移不变的？ (1)非线性移不变系统 (2) 非线性移变系统（修正：线性移变系统） (3) 非线性移不变系统 (4) 线性移不变系统 (5) 线性移不变系统（修正：线性移变系统）1-5判断下列系统是否为因果的？是否为稳定的？ (1) ，其中因果非稳定系统 (2) 非因果稳定系统 (3) 非因果稳定系统 (4) 非因果非稳定系统

(5) 因果稳定系统 1-6已知线性移不变系统的输入为x(n)，系统的单位脉冲响应为h(n)，试求系统的输出y(n)及其示意图 (1) (2) (3) 解：（1） （2） （3）

1-7若采样信号m(t)的采样频率fs=1500Hz，下列信号经m(t)采样后哪些信号不失真？ (1) (2) (3) 解： (1)采样不失真 (2)采样不失真 (3) ，采样失真 1-8已知,采样信号的采样周期为。 (1) 的截止模拟角频率是多少？ (2)将进行A/D采样后，的数字角频率与的模拟角频率的关系如何？ (3)若，求的数字截止角频率。 解： (1) (2) (3)

(完整版)数字信号处理课后答案_史林版_科学出版社

第一章 作业题 答案 ############################################################################### 1.2一个采样周期为T 的采样器，开关导通时间为()0T ττ<<，若采样器的输入信号为 ()a x t ，求采样器的输出信号()()()a a x t x t p t ∧ =的频谱结构。式中 ()() 01,()0,n p t r t n t r t ττ∞ =-∞ = -≤≤?=? ?∑其他 解：实际的采样脉冲信号为： ()()n p t r t n τ∞ =-∞ = -∑ 其傅里叶级数表达式为： ()000 ()jk t n p t Sa k T e T ωωτ ω∞ =-∞ = ∑ 采样后的信号可以表示为： ()()()?a a x t x t p t δ= 因此，对采样后的信号频谱有如下推导： ()()()()()()()()()()() ()()000000000 00 00??sin 1j t a a jk t j t a n jk t j t a k j k t a k a k a k X j x t e dt x t Sa k T e e dt T Sa k T x t e e dt T Sa k T x t e dt T Sa k T X j jk T k T X j jk T k ωωωωωωωωτ ωωτ ωωτ ωωτ ωωωωωω∞--∞ ∞ ∞ --∞=-∞ ∞ ∞ --∞=-∞∞ ∞ ---∞ =-∞∞ =-∞ ∞=-∞Ω===== -=-?∑? ∑ ?∑? ∑∑ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 1.5有一个理想采样系统，对连续时间信号()a x t 进行等间隔T 采样，采样频率8s πΩ=rad/s ，

(精品)信号与系统课后习题与解答第一章

1-1 分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？ 图1-1 图1-2

解 信号分类如下： ??? ?? ? ????--???--））（散（例见图数字：幅值、时间均离））（连续（例见图抽样：时间离散，幅值离散））（连续（例见图量化：幅值离散，时间））（续（例见图模拟：幅值、时间均连连续信号d 21c 21b 21a 21图1-1所示信号分别为 （a ）连续信号（模拟信号）； （b ）连续（量化）信号； （c ）离散信号，数字信号； （d ）离散信号； （e ）离散信号，数字信号； （f ）离散信号，数字信号。 1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号？（重复1-1题所示问） （1）)sin(t e at ω-； （2）nT e -； （3）)cos(πn ； （4）为任意值）（00)sin(ωωn ； （5）2 21??? ??。 解 由1-1题的分析可知： （1）连续信号； （2）离散信号； （3）离散信号，数字信号； （4）离散信号； （5）离散信号。 1-3 分别求下列各周期信号的周期T ： （1）)30t (cos )10t (cos -； （2）j10t e ； （3）2)]8t (5sin [； （4）[]为整数）（n )T nT t (u )nT t (u )1(0 n n ∑∞ =-----。 解 判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号，需要考察各 分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为非周期信号。 （1）对于分量cos (10t )其周期5T 1π=；对于分量cos (30t )，其周期15 T 2π=。由于 5π

数字信号处理试卷及答案

A 一、 选择题（每题3分，共5题） 1、)6 3()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期6 π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、对)70()(≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作 20 点 DFT ，得)(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在 围时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、)()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16

数字信号处理期末试卷(含答案)

数字信号处理期末试卷(含答案) 填空题（每题2分，共10题） 1、 1、 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 信号，再 进行幅度量化后就是 信号。 2、 2、 )()]([ωj e X n x FT =，用)(n x 求出)](Re[ωj e X 对应的序列 为 。 ３、序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 的N 点等间隔采样。 ４、)()(5241n R x n R x ==，只有当循环卷积长度L 时，二者的循环卷积等于线性卷积。 ５、用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要_________ 次复乘法，采用基2FFT 算法，需要________ 次复乘法，运算效率为__ _ 。 ６、FFT 利用 来减少运算量。 ７、数字信号处理的三种基本运算是： 。 ８、FIR 滤波器的单位取样响应)(n h 是圆周偶对称的，N=6， 3)3()2(2 )4()1(5 .1)5()0(======h h h h h h ，其幅 度特性有什么特性？ ，相位有何特性？ 。 ９、数字滤波网络系统函数为 ∑=--= N K k k z a z H 111)(，该网络中共有 条反馈支路。 １０、用脉冲响应不变法将)(s H a 转换为)(Z H ，若)(s H a 只有单极点k s ，则系统)(Z H 稳定的条件是 （取s T 1.0=）。 一、 选择题（每题3分，共6题） 1、 1、 )6 3()(π-=n j e n x ，该序列是 。 A.非周期序列 B.周期 6π = N C.周期π6=N D. 周期π2=N 2、 2、 序列)1()(---=n u a n x n ，则)(Z X 的收敛域为 。 A.a Z < B.a Z ≤ C.a Z > D.a Z ≥ 3、 3、 对)70() (≤≤n n x 和)190()(≤≤n n y 分别作20点DFT ，得)(k X 和)(k Y ， 19,1,0),()()( =?=k k Y k X k F ，19,1,0)],([)( ==n k F IDFT n f ， n 在 范围内时，)(n f 是)(n x 和)(n y 的线性卷积。 A.70≤≤n B.197≤≤n C.1912≤≤n D.190≤≤n 4、 4、 )()(101n R n x =，)()(72n R n x =，用DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可 能的少，应使DFT 的长度N 满足 。 A.16>N B.16=N C.16

数字信号处理经典例题解析

1：周期序列()()n n x 0cos ~ ω=， 0ω6 π =，()n x ~是由)(~ t x a ()t 0cos Ω=理想抽样而得。试求(1)()n x ~的周期; (2)()()[]n x F e X j ~ =ω (3) ()t x a ~=∑∞ -∞ =n nt j n 0 e Ωα；求n α (4) ()()[]t x F X a ~ =Ω 解：(1) 对于周期性序列()()n n x 0cos ~ ω= 因为 2ωπ = 6/2ππ =112=K N 所以序列周期12=N (2):由题意知()n x ~是由()t x a ~ 理想抽样所得，设抽样间隔为s T ，抽样输出为()t x a ?； 易得()()[]t x F X a ~ =Ω()[]t F 0cos Ω= ]2 [00t j t j e e F Ω-Ω+= =π()0Ω+Ωδ+π()0Ω-Ωδ 由采样序列()n x ~=()nt x a ?，由采样定理知： () ()[]n x F e X j ~=ω=()s T a X /?ω=ΩΩ =∑∞ ∞ --k s s s T k T X T )2( 1πω = ∑∞ ∞ --k s s T k X T )2(1 πω

=)]26()26([1s k s s T k T k T π πωπδππωπδ-++--∑∞∞- =)]26()26([ππ ωπδππωπδk k k -++--∑∞ ∞ - (3) 由)(~t x a ()t 0cos Ω== 2 00t j t j e e Ω-Ω+=∑∞ -∞ =n nt j n 0 e Ωα得: ?????=±==其他 n n n 0121 α (4)由(2)得:()ΩX =π()0Ω+Ωδ+π()0Ω-Ωδ 2：有限长序列()?? ? ??=n n x 6cos π ()n R 12求： (1))]([)(n R F e R n j n =ω (2) ()()[]n x F e X j =ω，用)(ωj N e R 表示; (3)求(2)中() ωj e X 的采样值??? ? ??k j e X 122 π 110≤≤k ; (4)()()[]n x DFT k X =; (5):求第(3)问中??? ? ??k j e X 122 π 的IDFT 变换; (6)：求() ()????????? ??=n R n F e X j 2416cos πω 的采样值??? ? ??k j e X 2421π 230≤≤k ; (7):求第(6)问中的采样序列()n x 1; (8):第(2)问中() ωj e X 的采样值??? ? ??k j e X 242 π 对应的采样序列。 .解:(1))]([)(n R F e R n j n =ω =∑-=1 )(N n n j N e n R ω

信号与系统课后习题答案—第1章

第1章 习题答案 1－1 题1－1图所示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？ 解： ① 连续信号：图（a ）、（c ）、（d ）； ② 离散信号：图（b ）； ③ 周期信号：图（d ）； ④ 非周期信号：图（a ）、（b ）、（c ）； ⑤有始信号：图（a ）、（b ）、（c ）。 1－2 已知某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=|f(t)|，试判定该系统是否为线性时不变系统。 解： 设T 为此系统的运算子，由已知条件可知： y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，以下分别判定此系统的线性和时不变性。 ① 线性 1）可加性 不失一般性，设f(t)=f 1(t)+f 2(t)，则 y 1(t)=T[f 1(t)]=|f 1(t)|，y 2(t)=T[f 2(t)]=|f 2(t)|，y(t)=T[f(t)]=T[f 1(t)+f 2(t)]=|f 1(t)+f 2(t)|，而 |f 1(t)|＋|f 2(t)|≠|f 1(t)+f 2(t)| 即在f 1(t)→y 1(t)、f 2(t)→y 2(t)前提下，不存在f 1(t)＋f 2(t)→y 1(t)＋y 2(t)，因此系统不具备可加性。 由此，即足以判定此系统为一非线性系统，而不需在判定系统是否具备齐次性特性。 2）齐次性 由已知条件，y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则T[af(t)]=|af(t)|≠a|f(t)|=ay(t) （其中a 为任一常数） 即在f(t)→y(t)前提下，不存在af(t)→ay(t),此系统不具备齐次性，由此亦可判定此系统为一非线性系统。 ② 时不变特性 由已知条件y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则y(t-t 0)=T[f(t-t 0)]=|f(t-t 0)|， 即由f(t)→y(t)，可推出f(t-t 0)→y(t-t 0)，因此，此系统具备时不变特性。 依据上述①、②两点，可判定此系统为一非线性时不变系统。 1－3 判定下列方程所表示系统的性质： )()()]([)()(3)(2)(2)()()2()()(3)(2)()()()()() (2''''''''0t f t y t y d t f t y t ty t y c t f t f t y t y t y b dx x f dt t df t y a t =+=++-+=+++=? 解：（a ）① 线性 1）可加性 由 ?+=t dx x f dt t df t y 0)()()(可得?????→+=→+=??t t t y t f dx x f dt t df t y t y t f dx x f dt t df t y 01122011111)()()()()()()()()()(即即 则 ???+++=+++=+t t t dx x f x f t f t f dt d dx x f dt t df dx x f dt t df t y t y 0212102201121)]()([)]()([)()()()()()( 即在)()()()()()()()(21212211t y t y t f t f t y t f t y t f ＋＋前提下，有、→→→，因此系统具备可加性。 2）齐次性 由)()(t y t f →即?+=t dx x f dt t df t y 0)()()(，设a 为任一常数，可得 )(])()([)()()]([)]([000t ay dx x f dt t df a dx x f a dt t df a dx x af t af dt d t t t =+=+=+??? 即)()(t ay t af →，因此，此系统亦具备齐次性。 由上述1）、2）两点，可判定此系统为一线性系统。

数字信号处理完整试题库

1. 有一个线性移不变的系统，其系统函数为： 2z 2 1 )21)(2 11(2 3)(11 1<<-- - = ---z z z z H 1）用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 4．试用冲激响应不变法与双线性变换法将以下模拟滤波器系统函数变换为数字滤波器系统函数： H(s)= 3) 1)(s (s 2 ++其中抽样周期T=1s 。 三、有一个线性移不变的因果系统，其系统函数为： ) 21)(2 1 1(2 3)(111------= z z z z H 1用直接型结构实现该系统 2)讨论系统稳定性，并求出相应的单位脉冲响应)(n h 七、用双线性变换设计一个三阶巴特沃思数字低通虑波器，采样频率为kHz f s 4=（即采样周期为s T μ250=）,其3dB 截止频率为kHz f c 1=。三阶模拟巴特沃思滤波器为： 3 2 ) ()(2)(211)(c c c a s s s s H Ω+Ω+Ω+= 解1)2 111112 5 12 3) 21)(2 1 1(2 3)(------+-- = --- = z z z z z z z H …………………………….. 2分 当2 1 2> >z 时： 收敛域包括单位圆……………………………6分 系统稳定系统。……………………………….10分 1111 1211 2 111)21)(2 11(2 3)(------- -= -- - = z z z z z z H ………………………………..12分 )1(2)()2 1 ()(--+=n u n u n h n n ………………………………….15分 4.（10分）解： 3 1 11)3)(1(1)(+- +=++= s s s s s H ………………1分 1 311)(------ -= Z e s T Z e T z H T T ……………………3分

(完整版)最新《数字信号处理》期末试题库(有答案解析)

一. 填空题 1、一线性时不变系统，输入为 x（n）时，输出为y（n）；则输入为2x（n）时，输出为 2y(n) ；输入为x（n-3）时，输出为 y(n-3) 。 2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最高频率f max关系为： fs>=2f max。 3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X（e jw），它的N点离散傅立叶变换X（K）是关于X（e jw）的 N 点等间隔采样。 4、有限长序列x(n)的8点DFT为X（K），则X（K）= 。 5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠所产生的现象。 6．若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是奇对称的，长度为N，则它的对称中心是 (N-1)/2 。 7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。8、无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。 9、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 8 。 10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关 11．DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。12．对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用xm(n)表示，其数学表达式为xm(n)= x((n-m))NRN(n)。

13．对按时间抽取的基2-FFT 流图进行转置，并 将输入变输出，输出变输入 即可得到按频率抽取的基2-FFT 流图。 14.线性移不变系统的性质有 交换率 、 结合率 和分配律。 15.用DFT 近似分析模拟信号的频谱时，可能出现的问题有混叠失真、 泄漏 、 栅栏效应 和频率分辨率。 16.无限长单位冲激响应滤波器的基本结构有直接Ⅰ型，直接Ⅱ型， 串联型 和 并联型 四种。 17.如果通用计算机的速度为平均每次复数乘需要5μs ，每次复数加需要1μs ，则在此计算机上计算210点的基2 FFT 需要 10 级蝶形运算，总的运算时间是______μs 。 二．选择填空题 1、δ(n)的z 变换是 A 。 A. 1 B.δ(w) C. 2πδ(w) D. 2π 2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率f s 与信号最高频率f max 关系为： A 。 A. f s ≥ 2f max B. f s ≤2 f max C. f s ≥ f max D. f s ≤f max 3、用双线性变法进行IIR 数字滤波器的设计，从s 平面向z 平面转换的关系为s= C 。 A. 1111z z z --+=- B . 1111z z z ---=+s C. 11211z z T z ---=+ D. 11 211z z T z --+=- 4、序列x 1（n ）的长度为4，序列x 2（n ）的长度为3，则它们线性卷积的长度是 B ，5点圆周卷积的长度是 。 A. 5, 5 B . 6, 5 C. 6, 6 D. 7, 5 5、无限长单位冲激响应（IIR ）滤波器的结构是 C 型的。

数字信号处理课后答案

1.4 习题与上机题解答 1. 用单位脉冲序列δ(n)及其加权和表示题1图所示的序列。 题1图 解：x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n －1)+2δ(n －2)+4δ(n －3)+0.5δ(n －4)+2δ(n －6) 2． 给定信号： ?? ? ??≤≤-≤≤-+=其它04 061 452)(n n n n x (1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列； (3) 令x 1(n)=2x(n －2)，试画出x 1(n)波形； (4) 令x 2(n)=2x(n+2)，试画出x 2(n)波形； (5) 令x 3(n)=x(2－n)，试画出x 3(n)波形。 解：(1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n)+6δ(n －1)+6δ(n －2)+6δ(n －3)+6δ(n －4) （3）x 1(n)的波形是x(n)的波形右移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。 (4) x 2(n)的波形是x(n)的波形左移2位，再乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。 (5) 画x 3(n)时，先画x(－n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180°)，然后再右移

2位， x 3(n)波形如题2解图（四）所示。 3．判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 (1)是常数 A n A n x 8π73 cos )(??? ??-=π (2))8 1 (j e )(π-= n n x 解：（1） 因为ω=7 3 π, 所以314 π 2= ω , 这是有理数，因此是周期序列，周期T=14。 （2） 因为ω=81 , 所以ωπ2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 4． 对题1图给出的x(n)要求： (1) 画出x(－n)的波形； (2) 计算x e (n)=1/2［x(n)+x(－n)］， 并画出x e (n)波形； (3) 计算x o (n)=1/2［x(n)－x(－n)］， 并画出x o (n)波形; (4) 令x 1(n)=x e (n)+x o (n), 将x 1(n)与x(n)进行比较， 你能得到什么结论？ 解：（1）x(－n)的波形如题4解图（一）所示。 (2) 将x(n)与x(－n)的波形对应相加，再除以2，得到x e (n)。毫无疑问，这是一个偶对称序列。x e (n)的波形如题4解图（二）所示。 (3) 画出x o (n)的波形如题4解图（三）所示。 (4) 很容易证明：x(n)=x 1(n)=x e (n)+x o (n) 上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。偶对称序列可以用题中(2)的公式计算，奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。 5．设系统分别用下面的差分方程描述，x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。

信号与系统第一章答案

1-1画出下列各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5）)2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为

（1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5） )2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11） )]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ （12）)]()3([2)(k k k f k ---=εε 1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。 1-4 写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。 1-5 判别下列各序列是否为周期性的。如果是，确定其周期。 （2）)63cos()443cos()(2ππππ+++=k k k f （5）)sin(2cos 3)(5t t t f π+= 解： 1-6 已知信号)(t f 的波形如图1-5所示，画出下列各函数的波形。 （1）)()1(t t f ε- （2）)1()1(--t t f ε （5） )21(t f - （6）)25.0(-t f （7）dt t df ) ( （8）dx x f t ?∞-)( 解：各信号波形为

(完整版)数字信号处理试卷及答案

江 苏 大 学 试 题 课程名称 数字信号处理 开课学院 使用班级 考试日期

江苏大学试题第2A页

江苏大学试题第3A 页

江苏大学试题第页

一、填空题：（每空1分，共18分） 8、 数字频率ω是模拟频率Ω对采样频率s f 的归一化，其值是 连续 （连续还是离散？）。 9、 双边序列z 变换的收敛域形状为 圆环或空集 。 10、 某序列的DFT 表达式为∑-== 10 )()(N n kn M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为 N ， 变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 M π 2 。 11、 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2 52) 1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为 2,2 1 21-=-=z z ；系统的稳定性为 不稳定 。系统单位冲激响应)(n h 的初值4)0(=h ； 终值)(∞h 不存在 。 12、 如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ，序列)(n h 是一长度为128点的有限长 序列)1270(≤≤n ，记)()()(n h n x n y *=（线性卷积），则)(n y 为 64+128-1＝191点 点的序列，如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积，则FFT 的点数至少为 256 点。 13、 用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换 关系为T ω = Ω。用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率Ω与数字频率ω之 间的映射变换关系为)2tan(2ωT = Ω或)2 arctan(2T Ω=ω。 当线性相位FIR 数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应)(n h 满足的条件为)1()(n N h n h --= ，

《数字信号处理》第三版课后答案(完整版)

西安电子 ( 高西全丁美玉第三版 ) 数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答 1. 用单位脉冲序列 (n) 及其加权和表示 题 1 图所示的序列。 解： x( n)(n 4) 2 (n 2) ( n 1) 2 (n)(n 1) 2 (n 2) 4 ( n 3) 0.5 (n 4) 2 (n 6) 2n 5, 4 n 1 2. 给定信号： x( n) 6,0 n 4 0, 其它 （1）画出 x( n) 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示 x(n) 序列； （3）令 x 1( n) 2x(n 2) ，试画出 x 1( n) 波形； （4）令 x 2 (n) 2x(n 2) ，试画出 x 2 (n) 波形； （5）令 x 3 (n) 2x(2 n) ，试画出 x 3 (n) 波形。 解： （ 1） x(n) 的波形如 题 2 解图（一） 所示。 （ 2） x(n)3 ( n 4) (n 3) (n 2) 3 ( n 1) 6 (n) 6 (n 1) 6 ( n 2) 6 (n 3) 6 (n 4) （ 3） x 1 (n) 的波形是 x(n) 的波形右移 2 位，在乘以 2，画出图形如 题 2 解图（二） 所示。 （ 4） x 2 (n) 的波形是 x(n) 的波形左移 2 位，在乘以 2，画出图形如 题 2 解图（三） 所示。 （ 5）画 x 3 (n) 时，先画 x(-n) 的波形，然后再右移 2 位， x 3 ( n) 波形如 题 2 解图（四） 所 示。 3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （1） x( n) Acos( 3 n ) ，A 是常数； 7 8 （2） x(n) j ( 1 n ) e 8 。 解：

第1章 信号与系统

第一章信号与系统 本章学习要求 （1）了解信号与系统的基本概念；信号的不同类型与特点；系统的类型与特点； （2）熟悉离散时间信号的基本表示方法； （3）掌握正弦序列周期性的定义和判断； （4）深刻理解能量信号、功率信号的定义和判断； （5）掌握信号的基本运算（变换）方法； （6）深刻理解冲激信号、阶跃信号的定义、特点及相互关系；理解冲激函数的广义函数定义；掌握冲激函数的基本性质；冲激函数的微积分； （7）熟悉系统的数学模型和描述方法 （8）了解系统的基本分析方法；掌握系统的基本特性及其判断 本章重点 （1）离散时间信号的表示； （2）离散周期序列的判断、周期的计算； （3）能量信号的定义、判断；功率信号的定义、判断； （4）信号的加法、乘法；信号的反转、平移；信号的尺度变换； （5）阶跃函数的极限定义、冲激函数的极限定义；阶跃函数与冲激函数的关系； （6）冲激函数的广义函数定义；冲激函数的导数与积分；冲激函数的性质； （7）连续系统和离散系统的数学模型；系统的表示方法； （8）线性时不变系统的基本特性；线性、时不变性的判断。 1.1 绪言 什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一起？信号、系统能不能相互独立而存在？ 一、信号的概念 1. 消息(message): 人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。 2. 信息(information): 通常把消息中有意义的内容称为信息。 本课程中对“信息”和“消息”两词不加严格区分。 3. 信号(signal): 信号是信息的载体。通过信号传递信息。

为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转换成便于传输和处理的信号,由此再次说明“信号是信息的载体，信息是信号的内涵”。 信号我们并不陌生，如刚才铃声—声信号，表示该上课了；十字路口的红绿灯—光信号，指挥交通；电视机天线接受的电视信息—电信号；广告牌上的文字、图象信号等等。 二、系统的概念 信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。一般而言，系统(system)是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。 如手机（可以用手机举例）、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起。 系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号，如图1所示。 图1 从系统的角度出发，系统理论包括系统的分析与综合两个方面。简单地说，系统分析是对已知的系统做各种特性的分析；系统综合又称系统的设计或实现，它是指根据需要去设计构成满足性能要求的系统。 通常，系统分析是针对已有的系统，系统综合往往意味着做出新系统。显然，前者属于认识世界的问题，后者则是改造世界的问题，且是人们追求的最终目的。一般来说，系统分析是系统综合的基础，只有精于分析，才能善于综合。本课程主要侧重于系统分析。 三、信号与系统概念无处不在 信息科学已渗透到所有现代自然科学和社会科学领域，因此可以说信号与系统在当今社会无处不在，大致列举的应用领域如下： ?工业监控、生产调度、质量分析、资源遥感、地震预报 ?人工智能、高效农业、交通监控 ?宇宙探测、军事侦察、武器技术、安全报警、指挥系统 ?经济预测、财务统计、市场信息、股市分析 ?电子出版、新闻传媒、影视制作 ?远程教育、远程医疗、远程会议 ?虚拟仪器、虚拟手术 如对于通讯： ?古老通讯方式：烽火、旗语、信号灯 ?近代通讯方式：电报、电话、无线通讯

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北京信息科技大学 2010 ~2011 学年第一学期 《数字信号处理》课程期末考试试卷（A） 一、填空题（本题满分30分，共含4道小题，每空2分） 1.两个有限长序列x1(n)，0≤n≤33和x2(n)，0≤n≤36，做线性卷积 后结果的长度是，若对这两个序列做64点圆周卷积，则圆周卷积结果中n= 至为线性卷积结果。 W的、和三个固有特性来实现2.DFT是利用nk N FFT快速运算的。 3.IIR数字滤波器设计指标一般由、、和等 四项组成。 4.FIR数字滤波器有和两种设计方法，其结构 有、和等多种结构。 二、判断题（本题满分16分，共含8道小题，每小题2分，正 确打√，错误打×） 1.相同的Z变换表达式一定对应相同的时间序列。（） 2.Chirp-Z变换的频率采样点数M可以不等于时域采样点数N。（） 3.按频率抽取基2 FFT首先将序列x(n)分成奇数序列和偶数序列。（） 4.冲激响应不变法不适于设计数字带阻滤波器。（） 5.双线性变换法的模拟角频率Ω与数字角频率ω成线性关系。（） 6.巴特沃思滤波器的幅度特性必在一个频带中（通带或阻带）具有等

波纹特性。（ ） 7. 只有FIR 滤波器才能做到线性相位，对于IIR 滤波器做不到线性相 位。（ ） 8. 在只要求相同的幅频特性时，用IIR 滤波器实现其阶数一定低于 FIR 阶数。（ ） 三、 综合题（本题满分18分，每小问6分） 若x (n)= {3，2，1，2，1，2 }，0≤n≤5， 1) 求序列x(n)的6点DFT ，X (k)=？ 2) 若)()]([)(26k X W n g DFT k G k ==，试确定6点序列g(n)=? 3) 若y(n) =x(n)⑨x(n)，求y(n)=？ 四、 IIR 滤波器设计（本题满分20分，每小问5分） 设计一个数字低通滤波器，要求3dB 的截止频率f c =1/π Hz ，抽样频率f s =2 Hz 。 1. 导出归一化的二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数H an (s)。 2. 试用上述指标设计一个二阶巴特沃思模拟低通滤波器，求其系 统函数H a (s)，并画出其零极点图。 3. 用双线性变换法将H a (s)转换为数字系统的系统函数H(z)。 4. 画出此数字滤波器的典范型结构流图。 五、 FIR 滤波器设计（本题满分16分，每小问4分）

数字信号处理名词解析及滤波器原理和设计

论述计算题（40分） 1、试分析DFT与DTFT及Z变换之间的关系，并详细阐述用DFT计算线性卷 积的方法和步骤。 FT（傅里叶变换）是对纯虚数变换的情况，是拉普拉斯变换的特殊情况，即傅里叶变换是S仅在虚轴上取值的拉普拉斯变换。 Z变换是离散化的拉普拉斯变换（即拉普拉斯变换对应的是连续信号，而Z变换对应的是离散信号），是离散时间傅里叶变换（DTFT）的一种拓展形式，所以Z变换和拉普拉斯变换类似。 DFT（离散傅里叶变换）是傅里叶变换的离散形式，也即将x(t)进行傅里叶变换后进行离散采样得的函数X[jw] DTFT（离散时间傅里叶变换）为将x(t)先进行离散采样处理得到离散时间系列x[n]，然后再对x[n]进行傅里叶变换。可以看作是将()jw X e在频域展开为傅立叶级数，傅立叶系数即是x[n]。DTFT是Z变换的特殊情况，只有绝对可和的离散信号才有DTFT，所以Z变换用于那些不满足绝对可和的信号，如T j T z eσ+Ω =(T 是采样间隔)，当σ=0时,就是DTFT。此时其时域是离散的，而频域依然是连续的。图像上，对应的是z平面的单位圆。 用DFT计算线性卷积： 线性卷积：一个离散序列通过一个离散的线性时不变系统，它的输出即为y[k]，即在时域上，输出信号等于输入信号和系统的单位脉冲响应h[k] 的卷积。 即：y[][]*[] k x k h k = y[k] 利用DFT 的循环卷积特性，可由DFT 计算线性卷积： 比如若系列x[k]的长度为N，系列h[k]的长度为M，则L>=N+M-1点的循环卷积等于x[k]与h[k]的线性卷积。

即： x[k]*h[k]=x1[k] h1[k]DFT 实现具体过程为： 1. 首先将两序列在尾部补零，延拓成长度为L=M+N -1的序列 2. 将两序列进行循环卷积，卷积后的结果即为线性卷积的结果 即： 其中乘法总次数为：23log 2 L L L ? + 结论：线性卷积可以完全使用DFT 实现，而DFT 可以使用其快速算法FFT 大大降低计算量。 2、试分析归纳总结IIR 滤波器设计的基本思路及典型的几种滤波器实现方法。 数字IIR （无线冲击响应）滤波器设计的基本思路是：首先给定数字滤波器的技术指标，然后将其装换为模拟滤波器的技术指标，之后再转换成模拟低通滤波器的技术指标，代入到设计的模拟低通滤波器G(p)，得到模拟低通、高通、带通、带阻滤波器H(s)，最后通过转换便可得到数字低通、高通、带通、带阻滤波器H(z)。 模拟低通滤波器的设计： 1、首先给定模拟低通滤波器的技术指标通带截止频率p ω、组带下限截止频率 s ω、通带允许的最大衰减p α和阻带内应达到的最小衰减s α

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数字信号处理（姚天任江太辉）第三版 课后习题答案

第二章 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。 （1）x(n)=Acos(685π π+n ) （2）x(n)=)8(π-n e j （3）x(n)=Asin(343π π+n ) 解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(?ω+n )，得出= ω8 5π 。因此5162= ωπ 是有理数，所以是周期序列。最小周期等于N=)5(165 16 取k k =。 （2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出8 1 =ω。因此 πω π 162=是无理数，所以不是周期序列。 （3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(?ω+n )，又x(n)=Asin(3 43ππ+n )＝Acos( -2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。因此3 8 2=ωπ是有理数，所以是周期序列。最小周期等于N=)3(83 8 取k k = 在图中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。 解 利用线性卷积公式 y(n)= ∑∞ -∞ =-k k n h k x )()( 按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。 (a) y(0)=x(O)h(0)=1 y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3 y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1) h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2) y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)= ∑∞ -∞ =--k k n k n u k u a )()(= ∑∞ -∞ =-k k n a =a a n --+111u(n) 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λn u(n)*u(n)