抛物线的简单几何性质学案
一、教学目标
使学生理解并掌握抛物线的几何性质,并能从抛物线的标准方程出发,推导这些性质.
从抛物线的标准方程出发,推导抛物线的性质,从而培养学生分析、归纳、推理等能力.
二、教材分析
重点:抛物线的几何性质及初步运用.难点:抛物线的几何性质的应用.
三.教学过程
【情境设置】问题抛物线的标准方程是怎样的?
与椭圆、双曲线一样,通过抛物线的标准方程可以研究它的几何性质.
下面我们根据抛物线的标准方程:来研究它的几何性质.
【探索研究】
1.抛物线的几何性质
(1)范围
因为,由方程可知,所以抛物线在轴的右侧,当的值增大时,也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.
(2)对称性
以代,方程不变,所以抛物线关于轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.(3)顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点,在方程中,当时,因此抛物线的顶点就是坐标原点.
(4)离心率
由抛物线的定义可知
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,
2、归纳总结
焦点
方程
图形
准线范围对称
顶点y2 = 2px
(p>0)
y2 = -2px
(p>0)
x2 = 2py
(p>0)
x2 = -2py
(p>0)
再向学生提出问题:与椭圆、双曲线的几何性质比较,抛物线的几何性质有什么特点?
学生和教师共同小结:
(1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但没有渐近线;
(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
(3)抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;
(4)抛物线的离心率是确定的,为1.
【例题分析】
例1已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点,求它的标准方程,并用描点法画出图形.
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直径为
,灯深,求抛物线的标准方程和焦点位置.
四.随堂练习
1.求适合下列条件的抛物线方程
①顶点在原点,关于轴对称,并且经过点
②顶点在原点,焦点是
③顶点在原点,准线是
④焦点是,准线是
2.一条隧道的顶部是抛物拱形,拱高是 m,跨度是 m,求拱形的抛物线方程
五.总结提炼
抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来,差别较大.它的离心率等于1;它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线;它没有中心,也没有渐近线.